Modele z jednym współczynnikiem przepływu

W rozdziale 2 zaprezentowano kilka modeli strumienia masy będących funkcjami ci-śnień spiętrzenia, w których właściwości przepływowe elementu pneumatycznego określa-ne są przez podanie wartości jedokreśla-nego współczynnika. Wszystkie te modele można opisać jedną zależnością:

˙m=μ_i⋅f ⋅ψ⋅ p₀

√

^R⋅T0

⋅ϕ_i(ε) (7.26)

gdzie μi to współczynnik przepływu odpowiadający kolejnemu modelowi, a φi(ε) to funkcje ekspansji (rys. 7.6) opisane kolejno wzorami: (2.8), (2.29), (2.30) bądź funkcją wynikającą z zależności (2.13) przy założeniu β = 1,13:

ϕ(ε)=1,13⋅ 1−ε

1,13−ε (7.27)

Porównując (7.26) z (4.16), przy uwzględnieniu (2.9), otrzymuje się:

f⋅ p₀

√

^T0

⋅

√

^Rκ⋅M1⋅

⁽

^{1+ κ−12 ⋅M12}

⁾

^{2−2⋅κκ+1 =μi⋅f⋅}

^√

^{R⋅Tp0 0⋅}

√

^κ⋅

⁽

^{κ +12}

⁾

^{κ −1κ +1⋅ϕi(ε)}

Po uproszczeniu i przekształceniu daje to:

μ_i=

M₁⋅

(

^{1+κ −1}2 ⋅M₁²

)

^{2−2⋅κκ+1}

√ ⁽

^{κ +12}

⁾

^{κ +1κ−1⋅ϕi(ε) (7.28)}

7.3. Modele z jednym współczynnikiem przepływu 119

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

wartość funkcji ekspansji φ

ε

Rys. 7.6. Przebiegi wartości funkcji ekspansji (2.8), (2.29), (7.27) i (2.30)

Podstawiając do (7.28) κ = 1,4 (powietrze), otrzymano:

μ_i=1,728⋅M₁⋅

(

^1+0,2⋅M12

)

⁻³

ϕ_i(ε) (7.29)

Wartość liczby Macha M1 jako funkcji C, b, m i a (oraz d i ε) należy wyznaczyć zgodnie z algorytmem podanym w punkcie 4.3. Algorytm ten, wraz ze wzorem (7.28), stanowią proponowaną funkcję przeliczającą z parametrów opisanych w normie ISO 6953 na odpo-wiedni współczynnik przepływu μi. Różnice wartości μi wyznaczonego dla poszczególnych modeli wynikają jedynie z różniących się przebiegów funkcji ekspansji (rys. 7.6). Dla wszystkich modeli μi nie ma stałej wartości, lecz jest funkcją stosunku ciśnień ε (rys. 7.7, 7.8, 7.9 i 7.10). Jedynie w przypadku modelu (2.8) współczynnik μ2.8 może mieć stałą war-tość w takim zakresie stosunku ciśnień spiętrzenia ε, że ε ≤ εK, a wynikająca z wartości ε wartość stosunku ciśnień statycznych η ≤ b.

Tabela 7.5 Zestawienie wartości parametrów przyjętych w przykładach obliczeniowych

SYMBOL A B C D E F G H J

C/d² [s∙m²/kg] 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 b [-] 0,200 0,200 0,200 0,600 0,600 0,600 0,900 0,900 0,900 m [-] 0,400 0,500 1,250 0,400 0,500 1,250 0,400 0,500 1,250 a [-] 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,0

0,2 0,4 0,6 0,8

współczynnik μ ^A

B

C D

E

F G H

J

ε

Rys. 7.7. Przebieg wartości współczynnika μ2.8. Parametry – patrz tab. 7.5

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

współczynnik μ

A B

C D E

F GH

J

ε

Rys. 7.8. Przebieg wartości współczynnika μ2.13. Parametry – patrz tab. 7.5

Ze wzrostem wartości ε wartość μi może maleć bądź rosnąć, w zależności od wartości b i m. Dla każdej wartości C/d² istnieje taka kombinacja wartości b i m (przy założonym

7.3. Modele z jednym współczynnikiem przepływu 121 a = 1), że zmienność μi jest minimalna. Przykładowo, dla modelu (2.8) zmienność współ-czynnika μ2.8 jest mniejsza niż 1,36%, gdy C/d² = 0,001 s∙m²/kg, b = 0,5795 i m = 0,4768.

W większości przypadków w parze b i m minimalizującej zmienność μi wartość b > εK.

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2

współczynnik μ ^A

B

C D

E

F G H

J

ε

Rys. 7.9. Przebieg wartości współczynnika μ2.29. Parametry – patrz tab. 7.5

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4

współczynnik μ ^A

B

C D

E

F G H

J

ε

Rys. 7.10. Przebieg wartości współczynnika μ2.30. Parametry – patrz tab. 7.5

Rozwiązanie zadania odwrotnego jest możliwe, ale mało racjonalne. Po pierwsze, nie ma ono obecnie znaczenia utylitarnego; po drugie – do jego rozwiązania wymagana jest znajomość praktycznie całego przebiegu wartości μi w funkcji ε.

Krokiem przygotowawczym proponowanej w niniejszej pracy procedury wyznaczenia wartości poszukiwanych parametrów: C/d², b, m i a jest wyznaczenie przebiegu wartości parametru pomocniczego FM w myśl zależności:

FM =μ_i(ε)⋅ϕ_i(ε)

1,728 (7.30)

Wykres wartości parametru FM (rys. 7.11) składa się zawsze z dwóch fragmentów: prostej (dla małych wartości ε) oraz krzywej wyższego rzędu.

Proponowany sposób wyznaczenia wartości stosunku przewodności dźwiękowej do kwadratu średnicy kanału zasilającego C/d² jest następujący:

— dla części prostoliniowej przebiegu parametru FM odczytać jego wartość;

— dla znanej wartości FM wyznaczyć wartość liczby Macha M1 (w tym wypadku równej M1max) z zależności:

FM =M₁⋅



^10,2⋅M12



^{−3 (7.31)}

— dla obliczonej wartości M1max wyznaczyć wartość C/d² ze wzoru (4.19).

Wyznaczenie wartości czopującego stosunku ciśnień a polega na odczytaniu wartości stosunku ciśnień ε, dla którego wartość parametru FM = 0 (na rysunku 7.11 są to wartości 0,98 bądź 1,00) i przyjęciu a = ε.

Wartości krytycznego stosunku ciśnień b oraz indeksu ekspansji m można wyznaczać jednocześnie bądź osobno.

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

0,0 0,2 0,4 0,6

parametr FM

współczynnik μ

ε 0,97 0,98 0,99 1,00 0,00

0,05 0,10

Rys. 7.11. Przebiegi wartości: współczynnika μ2.13 i parametru FM dla C/d² = 0,001 s∙m²/kg, b = 0,2, m = 0,5 oraz a = 0,98 bądź a = 1,00

7.4. Model Miatluka i Awtuszki 123 Dla wyznaczenia (tylko) wartości b należy:

— odczytać wartość stosunku ciśnień ε odpowiadającą przejściu przebiegu parametru FM z części prostoliniowej w krzywą wyższego rzędu (odczytanie tej wartości może być obarczone znacznym błędem ze względu na łagodne przejście); jest to wartość εK;

— dla znanych wartości εK oraz M1max wyliczyć wartość b ze wzoru (4.24).

Wyznaczając wartość m, powinno się:

— wybrać wartość 0 < υ < 1 i, dla znanej wartości M1max, obliczyć wartość M1 ze wzoru (4.28);

— dla obliczonej wartości M1 wyliczyć wartość FM i odczytać odpowiadającą jej wartość ε;

— dla znanych wartości ε oraz M1 wyliczyć wartość η ze wzoru (4.23);

— dla znanych wartości b, a, η oraz wybranej υ obliczyć wartość m ze wzoru (5.7).

Chociaż teoretycznie wartość m powinna być stała niezależnie od wyboru wartości υ, to w praktyce wcale tak nie musi być. Właściwsze (i zgodne z ideą normy ISO 6953) jest na-stępujące podejście:

— dla czterech wartości υ równych: 0,9, 0,8, 0,6 i 0,4 obliczyć cztery wartości mi, zgodnie z algorytmem podanym powyżej;

— dla znanych wartości b, a oraz mi wyliczyć średnią wartość m, minimalizując funkcję błędu o postaci (5.8).

W przypadku jednoczesnego wyznaczania wartości: b i m proponowany tok obliczeń powinien być następujący:

— dla znanej wartości M1max oraz υ równego: 0,9, 0,8, 0,6 i 0,4 obliczyć cztery wartości M1i ze wzoru (4.28);

— dla obliczonych wartości M1i wyliczyć wartości FM i odczytać odpowiadające im war-tości εi;

— dla każdej pary wartości εi oraz M1i wyliczyć wartość ηi ze wzoru (4.23);

— dla znanych wartości b, a, ηi oraz υi wyznaczyć średnie wartości b i m, minimalizując funkcję błędu o postaci (5.13).

Dla niektórych elementów pneumatycznych prostoliniowy przebieg wartości parame-tru FM może nie być równoległy do osi (FM nie ma w tym zakresie stałej wartości). Ta nie-równoległość jest nieznaczna i w obliczeniach można posłużyć się średnią wartością FM.

W takim przypadku wartości b i m należy wyznaczać jednocześnie.

7.4. Model Miatluka i Awtuszki

Model (2.13) wykorzystuje dwa współczynniki przepływu: μ i β. Jego struktura jest identyczna ze wzorem (7.26) przy założeniu, że funkcja ekspansji ma postać:

ϕ(ε,β)=β⋅1−ε

β−ε (7.32)

Zakładając, że współczynnik przepływu μ ma stałą wartość, można ją wyznaczyć ze wzoru (7.29) dla wartości ε = 0 (tożsame z podstawieniem φi(ε) = 1) po podstawieniu war-tości M1max, obliczonej ze wzoru (4.21), w miejsce M1. Ostatecznie daje to:

μ=1,728⋅M_{1 max}⋅

(

^{1+ 0,2⋅M}1max

2

)

^{−3 (7.33)}

Dla znanej wartości μ, po podstawieniu funkcji ekspansji (7.32) do (7.29) i uporządko-waniu, otrzymuje się wzór na wartość współczynnika β w postaci:

β= ε⋅M₁

M₁−0,5787⋅μ⋅(1−ε)⋅

(

^{1+ 0,2⋅M}12

)

^{3 (7.34)}

gdzie wartość liczby Macha M1 oblicza się zgodnie z algorytmem podanym w punkcie 4.3.

Tak wyznaczony współczynnik β nie ma stałej wartości, lecz jest funkcją stosunku ciśnień ε (rys. 7.12). Jego wartość do punktu o wartości ε = εK (punkt odpowiadający η = b) jest rów-na 1,0. Po przekroczeniu tego punktu zaczyrów-na rosnąć. Dla wartości indeksu ekspansji m < 1, po osiągnięciu maksimum, zaczyna maleć; dla m ≥ 1 maksimum nie występuje i β dla ε bliskiego jedności może osiągnąć znaczną wartość, na przykład β = 13,26 przy ε = 0,99 (rys. 7.12, wariant F).

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

1,0 1,1 1,2

A B C

D E F

G H

współczynnik β μ = 0,5842 J

ε

Rys. 7.12. Przebieg wartości współczynnika β. Parametry – patrz tab. 7.5

Wzory (7.33) i (7.34) stanowią szukaną funkcję przeliczającą z parametrów opisanych w normie ISO 6953 na wartości współczynników przepływu μ oraz β modelu (2.13).

W dokumencie Modele strumienia powietrza w pneumatyce (Stron 119-125)