Rozdział 7 Ograniczenia i granice
10. Analiza niestandardowa i logika matematyczna
Wspominaliśmy już, że istnieją dwa sposoby wyłożenia analizy niestandardowej – „chałupnicza „naukowa”
( z wykorzystaniem logiki matematycznej ). Do tej pory nasz wykład naśladował tą pierwszą metodę. Obecnie postaramy się wyjaśnić, jak może być użyteczna logika matematyczna w celu uzasadnienia zbudowania i wykorzystywania liczb hiperrzeczywistych.
Nasza PH mówiła, że stwierdzenia dotyczące rozwiązywalności układów równań i nierówności są jednocześnie albo prawdziwe, albo fałszywe w R i R*. W istocie można wskazać znacznie szersza klasę stwierdzeń, które są jednocześnie albo prawdziwe, albo fałszywe w R i R*. Zanim jednak wskażemy taką klasę, omówimy pewne fundamentalne pojęcia logiczne.
Wcześniej mówiliśmy o układach równań i nierówności, złożonych z funkcji o argumentach rzeczywistych, jak również o ich analogach złożonych z funkcji o argumentach hiperrzeczywistych. Przykładowo, można było rozpatrywać układ : sin(x) = y, sin( cos(y)) ≠ x
oraz jego analog hiperrzeczywisty : sin*(x) = y, sin*( cos*(y)) ≠ x
Bardziej naturalnym jest jednakże przyjąć, że do takiego układu wchodzą nie same takie funkcje, a ich nazwy, tj. ich zapisy symboliczne. Po tym jak takim nazwom nadamy określony sens tj. każdemu z nich przyporządkujemy określoną funkcje, można mówić o rozwiązaniach układu ( przy zadanej interpretacji wchodzących do niej nazw ).
Przy tym w miejsce tego, aby wprowadzać różne nazwy dla funkcji i ich hiperrzeczywistych analogów, przyjmiemy, że mamy jedną nazwę, która jest dwuznaczna – ma sens rzeczywisty i hiperrzeczywisty.
Opiszemy teraz taki przepis bardziej formalnie.
Rozpatrzmy wszystkie możliwe funkcje argumentów rzeczywistych o wartościach rzeczywistych ( o dowolnej liczbie argumentów, przy tym funkcje 0 argumentów utożsamimy z liczbami rzeczywistymi ) i nadamy im nazwy.
W tym celu wybierzemy pewną relacje wzajemnie jednoznaczną pomiędzy zbiorem wszystkich takich funkcji i pewnym zbiorem I, którego elementy będziemy nazywali nazwami. Element zbioru I - nazwę, przyporządkowany danej funkcji, będzie właśnie jej nazwą. Jeśli funkcja posiada n –argumentów, to odpowiadający jej symbol będziemy nazywali n-tą walencją.
Zatem 0-walencyjne symbole są w istocie nazwami liczb rzeczywistych. Nazwy ( elementy zbioru I ) będziemy wykorzystywali przy tworzeniu termów.
Przyjmijmy przeliczalny spis symboli różnych od elementów I, którego elementy nazwiemy zmiennymi.
Teraz termy możemy zdefiniować jako wyrażenia, budowane wedle następujących zasad : 1) każda zmienna jest termem
2) każdy 0-walencyjny symbol funkcjonalny jest termem
3) jeśli zadany jest u – n-walencyjny symbol funkcjonalny, a t1 , ... , tn – są termami, to u(t1 , ... , tn ) – są również termami.
Przykładowo f( x, h(y)) i g(g(x, z), t ) – są termami, jeśli x, y, z – są zmiennymi, h- 1-walencyjny symbol funkcjonalny, t jest 0-walencyjnym symbolem funkcjonalnym, f, g są 2-walencyjnymi symbolami funkcjonalnymi.
Jak widzimy definicja termów w żaden sposób nie odwołuje się do sensu wchodzących do nich symboli. Dlatego wraz z początkowym sensem termów ( pojawiającym się, kiedy z nazwą i związana jest ta sama funkcja, nazwą której jest i ) można nadać im również drugi hiperrzeczywisty sens, przyporządkowując i hiperrzeczywisty analog tej funkcji.
Nazwa funkcji f
↓ ↓
Funkcja rzeczywista Hiperrzeczywisty analog f* funkcji f
Okazuje się, ze przy tej drugiej interpretacji istotnymi są jedne i te same formuły.
Zdefiniujmy teraz takie formuły.
Na początku wypiszemy zasady budowania formuł.
Jeśli t1i t2 są termami, to zapis ( t1= t2 ) jest formułą.
Jeśli ϕ i ψ - są formułami, to zapisy ( ϕ ∧ ψ ) , ( ϕ ∨ ψ ) , ( ϕ ⇒ ψ ), ϕ - są formułami, które czytamy następująco :
„ ϕ i ψ” , „ ϕ lub ψ” , „jeśli ϕ, to ψ” , „nieprawda, że ϕ”
Jeśli ϕ - jest formułą, a ξ - zmienną, to zapisy ∀ξϕ i ∃ξϕ - są formułami, które czytamy następująco :
„dla wszystkich ξ słuszne jest ϕ”, „istnieje ξ, dla którego słuszne jest ϕ”
Formułami nazywamy tylko te zapisy, które można otrzymać na podstawie powyższych zasad.
W ten sposób określiliśmy pojęcie formuły. Teraz należy wyjaśnić jaki sens możemy im nadać.
W pierwszej kolejności wprowadzimy pojęcie parametrów formuły.
Mówiąc ogólnie, parametry formuły – są to te zmienne od wartości których zależy prawdziwość danej formuły.
Ścisła definicja jest następująca.
Parametrami formuły ( t1= t2 ) są wszystkie zmienne wchodzące w t1lub do t2.
Parametry formuły ϕ są takie same jak dla ϕ. Parametrami formuł : ϕ ∧ ψ , ϕ ∨ ψ , ϕ ⇒ ψ są wszystkie zmienne będące parametrami ϕ lub ψ. Parametrami formuł ∀ξϕ i ∃ξϕ - są parametry formuły ϕ, różne od ξ. Przykładowo parametrami formuły :
∃x ∀y (( f(x, h(y)) = g(z, z) ∧ ( z = t ) ) są zmienne t i z, a formuła :
∃x( f(x, x ) = x ) nie posiada parametrów.
Teraz będzie interesowało nas zagadnienie prawdziwości lub fałszywości formuł. Aby miały one sens, należy wykonać dwie rzeczy. Po pierwsze, należy ustalić interpretacje naszego języka, tj. wyjaśnić jaki jest zbiór M możliwych znaczeń zmiennych ( nośnik interpretacji ) i jakie funkcje na takim zbiorze są przyporządkowane symbolom funkcjonalnym.
Po drugie, jeśli interesuje nas prawdziwość formuły ϕ, posiadającej jakieś parametry, to należy wskazać wartości takich parametrów, przyporządkowując im jakieś elementy zbioru M.
Niech zatem będzie przyjęta pewna interpretacja i każdemu parametrowi formuły ϕ przypisano pewną wartość, będącą elementem M. Wtedy formuła, jest albo prawdziwa, albo fałszywa. Nie będziemy dokładnie opisywali zasady, wedle której fakt taki następuje, mając nadzieję, że sens znaków ∧ , ∨ , ⇒ , , ∀, ∃ jest jasny.
Podamy teraz kilka przykładów. Formuła :
∃x∀y(h(y) = x )
nie posiada parametrów i będzie prawdziwa w tym przypadku, jeśli funkcja oznaczona symbolem h, będzie stała na M.
( Zauważmy, że przy przestawieniu kwantyfikatorów ∃x i ∀y formuła ta przekształca się w formułę prawdziwą tożsamościowo ). Formuła :
∃x ( h(x) = y )
posiada jeden parametr y i będzie prawdziwa przy danej jej znaczeniu wtedy i tylko wtedy, kiedy jej znaczenie wchodzi do obszaru wartości funkcji h. Formuła :
∃x∃y((h(x) = k(y)) ∧ ( f(x, y) = y ))
nie posiada parametrów I będzie prawdziwa w tym przypadku, jeśli układ : h(x) = k(y) , f(x, y) ≠ y
posiada rozwiązania, tj. istnieją takie x0 , y0 ∈ M, że wartość związanej z h funkcji na x0 jest równa wartości funkcji związanej z k na y0, a wartość funkcji związanej z symbolem f na parze (x0 , y0 ) nie jest równa y0.
Nasza zasada budowania formuł dopuszcza w szczególności również formuły ∀ξA, gdzie ξ nie jest parametrem A.
Przykładowo można zbudować formułę :
∀x ( f(y) = g(y))
do której z nie wchodzi do wyrażenia wiązanego z kwantyfikatorem lub formułę :
∀x∃x( f(x) = y )
gdzie x chociaż wchodzi do A, to nie jest jej parametrem.
Przyjmiemy, że formuły ∃ξA i ∀ξA dla których ξ nie jest parametrem A, mają ten sam sens co wejściowa formuła A.
Mamy zatem, dwie interpretacje naszego języka – rzeczywistą ( o nośniku R ) oraz nową interpretacje hiperrzeczywistą ( o nośniku R* ). Uogólnieniem wymagania jednoczesnej rozwiązywalności układów równań i nierówności jest następująca zasada nazywana, zasadą Leibniza.
Niech ϕ - będzie formułą bez parametrów. Wtedy jest ona jednocześnie prawdziwa lub fałszywa w R i R*.
Łatwo zrozumieć iż taka zasada jest rzeczywiście uogólnieniem naszego starego wymagania. Dla każdego układu równań i nierówności łatwo zapisać formułę, twierdzącą ( przy interpretacji rzeczywistej lub hiperrzeczywistej ), że układ ( lub jej hiperrzeczywisty analog ) posiada rozwiązania. Formuła taka ma postać :
∃ x1, ... , ∃ xn ϕ, gdzie x1, ... , xn – zmienne wchodzące do układu, ϕ ma postać:
( ... ((ψ1 ∧ ψ2 ) ∧ ψ3 ) ∧ ... )
gdzie każda formuła ψi ma postać ( t = s ) lub ( t = s ) i odpowiada jednemu z równań i nierówności układu.
Można dowieść, że dla naszego języka ( zawierającego symbole dla wszystkich funkcji ) zasada Leibniza oraz wymaganie jednoczesnej rozwiązywalności układu równań i nierówności są równoważne. Tym niemniej zasadę Leibniza dogodniej jest stosować. Zademonstruje to na kilku przykładach.
Dowodziliśmy, że jeśli zbiory zer funkcji o nazwach f i g pokrywają się, to i zbiory zer funkcji f* i g* pokrywają się.
Teraz w tym celu wystarczy zapisać stwierdzenie o pokrywaniu się zbiory zer w postaci formuły :
∀x ((( f(x) = 0 ) ⇒ ( g(x) = 0 )) ∧ ((g(x) = 0 ) ⇒ ( f(x) = 0 )))
Dowodziliśmy również równoważności standardowej i niestandardowej definicji ciągłości w punkcie x funkcji f, zdefiniowanej na zbiorze M. Teraz możemy to zrobić następująco. Niech f będzie funkcją ciągłą zgodnie z definicją standardową, x’ ∈ M i jest nieskończenie bliski do x. Dowiedziemy, że | f*(x’ ) – f(x) | jest mniejsze od dowolnego standardowego ε > 0. Wybierzemy (standardowe ) δ > 0, dla którego formuła :
∀y ((( y ∈M ) ∧ ( | y – x | < δ )) ⇒ ( | f(y) – f(x) | < ε ))
jest prawdziwa na zbiorze liczb rzeczywistych. Wtedy jest ona prawdziwa również w R* i podstawiając x’ w miejsce y, otrzymujemy wymagany wynik ( Zauważmy dwa szczegóły. Po pierwsze zwróćcie uwagę, że powyższa formuła nie posiada parametrów : x, ε i δ - nie są zmiennymi, a symbolami, reprezentującymi odpowiednie liczby rzeczywiste. Po drugie – przy zapisie tej formuły wykorzystaliśmy szereg skrótów. W miejsce y ∈ M należałoby zapisać m(y) = 0, gdzie m – jest funkcją, której zbiorem zer jest M, a zapis typu | a – b | < c należy rozumieć jako ord ( d(a, b), c ) = 0, gdzie ord – jest oznaczeniem dla funkcji dwóch zmiennych, dla której :
ord( x, y ) = 0 ⇔ x < y
d – jest oznaczeniem dla funkcji, dla której : d(x, y ) = | x – y |
itd. )
I odwrotnie, niech f nie jest funkcja ciągłą. Wtedy znajdziemy takie ε >0, że formuła :
∀δ ((δ > 0 ) ⇒ ∃y (( | y – x | < δ ) ∧ ( | f(y) – f(x) | ≥ ε )))
będzie prawdziwa w R. Wtedy będzie ona prawdziwa również w R* ( zasada Leibniza ) i biorąc nieskończenie małe dodatnie δ, znajdziemy odpowiadające mu hiperrzeczywiste y. Takie y będzie nieskończenie bliskie ku x, a :
| f*(y) – f*(x) | ≥ ε I zatem :
f*(y) ≈≠ f(x)
Z takiego przykładu widać, ze wykorzystanie zasady Leibniza pozwala wykonać wiele operacji krócej ( głownie dlatego, że odpada konieczność przechodzenia od prawdziwości twierdzenia typu ∀x∃y ϕ(x, y) do funkcji dającej po x takie y, że ϕ(x, y))
Zanim pójdziemy dalej, odpowiemy na pytanie, które być może już pojawiło się u czytelników.
Zasada Leibniza mówi, że liczby hiperrzeczywiste posiadają te same własności, co standardowe liczby rzeczywiste. Ale liczby standardowe spełniają aksjomat Archimedesa, a hiperrzeczywiste nie. Czy jest to sprzeczne z zasadą Leibniza ? Oto co pisze w tym temacie M Davies [ 3, str. 26] :
„Leibniz postulował istnienie układu liczb, posiadających te same własności, co liczby standardowe, ale posiadającego różne od zera nieskończenie małe ... Jednakże sytuacja Leibniza wydaje się oczywiście absurdalną. Standardowe liczby rzeczywiste, oczywiście posiadają jedną własność, którą nie posiadają postulowane przez Leibniza rozszerzenie – pośród liczb rzeczywistych nie ma nieskończenie małych.
Paradoks eliminujemy poprzez ścisły wybór formalnego języka z użyciem pojęć logiki współczesnej ( tak samo sztywne określony jak np. komputerowy język programowania ). W ten sposób zasada Leibniza jest uściślana :
Istnieje rozszerzenie liczb rzeczywistych, zawierające elementy nieskończenie małe i posiadające te same własności, co i liczby rzeczywiste, ponieważ takie własności mogą być wyrażone w języku formalnym. Stąd wnioskujemy, że własność bycia nieskończenie małą nie może być wyrażona we wskazany sposób”
W istocie, spróbujmy zapisać aksjomat Archimedesa w naszym języku. Chcielibyśmy zapisać coś w rodzaju :
∀ε ( ε > 0 ) ⇒ ((ε > 1 ) ∨ ( ε + ε > 1 ) ∨ ( ε + ε + ε > 1 )∨ ... ))
ale każda formuła powinna posiadać skończoną długość ( i nie powinna zawierać wielokropków ! )
Możemy spróbować zapisać aksjomat Archimedesa w postaci „dla każdej liczby istnieje liczba naturalna od niej większa”
∀x∃y (( y ∈ N ) ∧ ( x < y ))
( zapisy postaci y∈N, x < y – są skrótami, np. zapis y ∈ N należy rozumieć jako n(y) = 0, gdzie n – symbol funkcjonalny, któremu odpowiada funkcja przyjmująca wartość 0 w liczbach naturalnych i tylko w nich )
Formuła ta jest formalnym analogiem aksjomatu Archimedesa i oczywiście jest prawdziwa w R. Zatem, jest ona
prawdziwa i w R*. Nie jest to sprzeczne z tym faktem, że ciało R* nie jest archimedesowskim, ponieważ przy interpretacji w R formuła ta oznacza tylko, że dla każdej liczby hiperrzeczywistej istnieje większa od niej liczba hipernaturalna.
Dlatego – jak tego należało oczekiwać – żadnej sprzeczności tutaj nie ma.
Widzieliśmy już co daje nam logika matematyczna przy wykorzystaniu liczb hiperrzeczywistych. Obecnie rozpatrzymy zagadnienie związane z budowaniem układu liczb hiperrzeczywistych z pomocą metod logiki matematycznej.
Okazuje się, że istnienie układu liczb hiperrzeczywistych, spełniającego postawione przez nas wymagania, jest prostym następstwem jednego z podstawowych twierdzeń logiki matematycznej – twierdzenia o zwartości Malcewa.
Zanim sformułujemy to twierdzenie, wprowadzimy pewne podstawowe pojęcia logiczne ( pojęcie języka, termu, formuły, interpretacji języka ).
Niech będzie ustalony pewien zbiór symboli { P, Q, ... }, którego elementy będziemy nazywali symbolami
predykatywnymi, oraz zbiór { f, g , ... }, którego elementy będziemy nazywali symbolami funkcjonalnymi. Niech każdemu symbolowi predykatywnemu i funkcjonalnemu przyporządkowana będzie pewna liczba naturalna, nazywana liczbą argumentów danego symbolu. W takim przypadku mówimy, że zadano pewien język ( ściślej jest to język pierwszego rzędu ). Do tej pory rozpatrywaliśmy język, w którym dla każdej funkcji o argumentach i wartościach rzeczywistych mieliśmy pewien symbol funkcjonalny z odpowiednia liczbą argumentów, symboli predykatywnych nie używaliśmy.
Zdefiniujmy teraz pojęcie formuły danego języka. Zanim podamy definicje formalną, podamy kilka przykładów formuł.
Niech język zawiera symbole predykatywne P, Q, R o liczbie argumentów, odpowiednio 0, 1, 2, oraz symbole funkcjonalne f, g, h również o liczbie argumentów odpowiednio 0, 1, 2.
Wtedy formułami takiego języka będą np. takie zapisy :
( Przykładowo drugą z powyższych formuł czytamy tak :
jeśli istnieje takie y, że ma miejsce R or x i y, to mają miejsce Q od z i Q od w )
Wybierzmy pewien nieskończony ciąg symboli, nazywanymi zmiennymi. Niech będą to np. symbole x, y, z, u, v, w, x1, ...
Definicja termu jest taka jaką podaliśmy wcześniej, mianowicie :
(T1) dowolna zmienna i dowolny symbol funkcjonalny z zerem argumentów są to termy
(T2) jeśli dane są termy t1 , ... , tm , s - jest symbolem funkcjonalnym o m argumentach, to wyrażenie s(t1 , ... , tm ) jest termem.
Termami nazywamy te i tylko te wyrażenie, które można otrzymać na drodze wielokrotnego zastosowania zasad (T1) i (T2). Przykładowo, przy przyjętych powyżej założeniach o walencji symboli f, g, h wyrażenia :
x, f, g(x), h(x, y), H( h(x, x), g(y) ) są termami.
Zdefiniujemy teraz pojęcie formuły :
(F1) jeśli t, s – są termami, to ( t = s ) – jest formułą.
(F2) jeśli t1 , ... , tm – termy, a P – to symbol predykatywny o m argumentach , to P(t1 , ... , tm ) – jest formułą Jeśli P – jest symbolem predykatywnym o zerze argumentów, to P – jest formułą.
(F3) Jeśli P , Q – formuły, to P, ( P ∧ Q ), ( P ∨ Q ) ( P ⇒ Q ) – są formułami
(F4) Jeśli P – jest formułą, a ξ - zmienną, to ∀ξP i ∃ξP ( dla wszystkich ξ słuszne jest P , istnieje takie ξ, że P ) – są formułami.
Formułami nazywamy te i tylko te wyrażenia, które można otrzymać na drodze wielokrotnego zastosowania zasad (F1) – (F4). Czytelnik może się łatwo przekonać, że podane definicje termów i formuł stanowią uogólnienia wcześniejszych naszych definicji na przypadek dowolnego języka.
W ten sposób określiliśmy pojęcie formuły. Teraz chcemy omówić jaki sens można nadać formułą. W tym celu należy w pierwszej kolejności nadać sens wchodzącym do nich symbolom predykatywnym i funkcjonalnym.
Każdemu symbolowi predykatywnemu o liczbie argumentów m należy przyporządkować m-pozycyjny predykat, przyjmujący wartości „prawda” i „fałsz”, a każdemu symbolowi funkcjonalnemu o liczbie argumentów m – pewną m-pozycyjną funkcje ( Wszystkie takie predykaty i funkcje powinny być, oczywiście zadane na jednym i tym samym zbiorze, a wartości funkcji powinny należeć do tego właśnie zbioru ). Jeśli coś takiego zrobiliśmy, to mówimy, że zadana jest interpretacja języka.
Dokładniej – niech będzie dany pewien język L z symbolami predykatywnymi { P, Q, ... } i symbolami funkcjonalnymi { f, g, ... }. Zdefiniowanie interpretacji języka L oznacza :
1) wybrać pewien zbiór M – nośnik interpretacji
2) z każdym symbolem predykatywnym P o walencji m związać pewien m pozycyjny predykat tj. pewną funkcje P, argumentami której są skończone ciągi złożone z m elementów zbioru M, a wartościami symbole – Pr (prawda) i F ( fałsz).
3) z każdym symbolem funkcjonalnym f o walencji k związać pewną funkcje f, przyporządkowująca dowolnemu k-elementowemu ciągowi elementów M pewien element M. ( w tej definicji liczby m i k mogą być równe zero, symbolom funkcjonalnym o zerze argumentów przy interpretacji powinny odpowiadać elementy M, a symbolom predykatywnym – symbole Pr i F )
Aby ostatecznie określić sens formuł, należy wyjaśnić sens innych wchodzących do nich znaków. Jednakże ich sens jest jasny z ich nazwy. Ograniczymy się do podania kilku przykładów.
Jeśli a – jest stałą ( zero pozycyjny symbol funkcjonalny ), Q – jedno pozycyjny symbol, to formuła Q(a) będzie prawdziwa w tym i tylko w tym przypadku, kiedy element a zbioru M, przyporządkowany symbolowi a, posiada własność Q,
przyporządkowana symbolowi Q tj. kiedy Q(a) = Pr.
Jeśli x – jest zmienną, to zagadnienie o prawdziwości formuły Q(x) nabiera sensu tylko po ustaleniu wartości zmiennej x.
Ściślej – niech w danej interpretacji o nośniku M, symbolowi Q odpowiada funkcja Q z obszarem określoności M i wartościami Pr i F. Wtedy prawdziwość formuły Q(x) ( w tej interpretacji) będzie zależeć od tego jaki element x0∈ M wziąć w charakterze wartości zmiennej x. Dokładnie : Q(x) będzie prawdziwa przy x = x0 wtedy i tylko wtedy, kiedy Q(x0) = Pr.
Analogicznie prawdziwość formuły h(x, x ) = h( h(x, x), g(y)) zależy nie tylko od wybranej interpretacji, ale również od wartości zmiennych x i y. Formuła ta będzie prawdziwa przy x = x0 i y = y0, jeśli elementy x0∈ M i y0∈ M są takie, że : h(x0, x0) = h( h(x0, x0), g(y0))
Rozpatrzmy teraz formułę ∃xQ(x). Jej prawdziwość już nie zależy od wartości x, a jest określona przez wybór interpretacji.
Dokładnie – formuła ta jest prawdziwa w danej interpretacji wtedy i tylko wtedy, kiedy funkcja Q przyjmuje wartość Pr choćby tylko na jednym elemencie M.
Prawdziwość formuły :
∃x( h(x, y) = h(h(x, x), g(y)))
również nie zależy od wartości zmiennej x. Jej prawdziwość jest w pełni określona przez wybór interpretacji i wartości zmiennej y.
Formalna definicja prawdziwości prowadzimy według już wspomnianego schematu. Wprowadzamy pojęcie „parametru formuły” ( zmiennej od wartości której może zależeć prawdziwość formuły ) i definiujemy prawdziwość formuły przy zadanych wartościach jej parametrów. Formuły, nie zawierające parametrów, nazywają się formułami zamkniętymi.
Jak tylko ustaliliśmy jakąkolwiek interpretacje języka, to wszystkie formuły zamknięte przekształcają się w prawdziwe lub fałszywe zdania.
Z pomocą wprowadzonej terminologii można opisać całą sytuacje następująco. Rozpatrujemy język, zawierający symbol funkcjonalny dla każdej funkcji o argumentach i wartościach rzeczywistych. Oznaczymy taki język jako RL. Język RL posiada dwie interpretacje – rzeczywistą i hiperrzeczywistą.
W interpretacji rzeczywistej każdemu symbolowi funkcjonalnemu przyporządkowano funkcje o wartościach i argumentach rzeczywistych, w interpretacji hiperrzeczywistej – jej hiperrzeczywisty analog.
Zasada Leibniza może być teraz sformułowana następująco :w interpretacjach rzeczywistej i hiperrzeczywistej prawdziwe są jedne i te same formuły zamknięte języka RL.
W logice mamy specjalną nazwę dla takiej sytuacji : dwie interpretacje pewnego języka, w których prawdziwe są jedne i te same zamknięte formuły, nazywają się elementarnie równoważne.
Wykorzystując taką terminologię, zagadnienie zbudowania układu liczb hiperrzeczywistych możemy sformułować tak : Należy zbudować interpretacje języka RL, elementarnie równoważną standardowej interpretacji rzeczywistej, ale zawierającą nieskończenie małe, różne od zera.
Przekonajmy się teraz, że potrzebujemy właśnie czegoś takiego. Niech będzie dana właśnie taka interpretacja i M – jej nośnik. W naszym języku występują symbole, przedstawiające wszystkie funkcje rzeczywiste argumentów rzeczywistych.
W szczególności dla każdej liczby rzeczywistej ( zero-pozycyjnej funkcji ) mamy stałą, ją reprezentującą.
Takiej stałej przy interpretacji odpowiada określony element zbioru M. Jeśli c, d – są stałymi dla różnych liczb rzeczywistych, to odpowiadają im różne elementy M, inaczej formuła ( c = d ) była by fałszywa w interpretacji
standardowej i prawdziwa w naszej interpretacji. Utożsamiając każdą liczbę rzeczywistą z odpowiednim elementem M,
można przyjąć, że R jest podzbiorem M. Należy sprawdzić również, że funkcje na M, przyporządkowane każdemu symbolowi funkcjonalnemu języka RL, stają się przy tym przedłużeniami odpowiednich funkcji na R.
Niech f – będzie symbolem funkcjonalnym o n argumentach, a c1 , ... , cn – stałe, oznaczające n liczb rzeczywistych.
Wtedy formuła f(c1 , ... , cn ) = d będzie prawdziwa w interpretacji standardowej, jeśli d – jest stałą oznaczającą wartość f na liczbach c1 , ... , cn. ( dokładniej – wartość funkcji oznaczonej symbolem f, na liczbach oznaczanych symbolami c1 , ... , cn ). Zgodnie z zasadą Leibniza formuła ta będzie prawdziwa również w interpretacji z nośnikiem M. Dlatego wartość funkcji o argumentach i wartościach w M, odpowiadająca symbolowi f, na elementach M, oznaczanych symbolami c1 , ... , cn jest równa elementowi oznaczonemu symbolem d. To właśnie oznacza, że funkcje na M są przedłużeniami odpowiednich funkcji na R.
Zobaczmy teraz co może nam dać logika matematyczna dla budowy interpretacji języka RL, elementarnie równoważnej interpretacji standardowej. Zanim jednakże to zrobimy podamy kilka pojęć.
Niech dany będzie pewien język L. Niech T – będzie zbiorem formuł zamkniętych tego języka. Będziemy mówili, ze interpretacja P języka L jest modelem T, jeśli wszystkie formuły z T są prawdziwe w P.
W charakterze L weźmiemy teraz rozpatrzony przez nas wcześniej język RL ( z symbolami dla wszystkich funkcji na R ), a w charakterze T – zbiór Tr, wszystkich formuł zamkniętych tego języka, prawdziwych w standardowej jego interpretacji.
Wtedy zgodnie z naszą definicją, standardowa interpretacja, jak również dowolny układ liczb hiperrzeczywistych, będzie modelem dla Tr.
Pokażemy teraz, ze w dowolnym modelu dla Tr wszystkie formuły zamknięte języka RL, nie wchodzące do Tr będą fałszywe. Jeśli ϕ - jest formułą zamkniętą, nie wchodzącą do Tr, to ϕ jest fałszywa w interpretacji standardowej.
Wtedy formuła ϕ, jest w niej prawdziwa, a zatem wchodzi do Tr. To oznacza, że ϕ jest prawdziwa w dowolnym modelu zbioru Tr, a ϕ fałszywa w dowolnym modelu zbioru Tr. Zatem, w dowolnym modelu zbiory Tr prawdziwe są te i tylko te formuły, które są prawdziwe w modelu standardowym. Możemy to sformułować następująco :
Jeśli T – jest zbiorem formuł zamkniętych, prawdziwych w pewnej interpretacji P języka RL, to własności Tr ⊂ T i Tr = T są równoważne.
Teraz zadanie zbudowania układu liczba hiperrzeczywistych możemy sformułować tak :
znaleźć model zbioru Tr, który rozpatrywany jako ciało uporządkowane, nie spełnia aksjomatu Archimedesa.
Zanim jednak zajmiemy się tak sformułowanym zagadnieniem, wprowadzimy jeszcze jedno pojęcie, odnoszące się do dowolnego języka L i dowolnego zbioru T formuł zamkniętych języka L.
Zbiór T nazwiemy zgodnym, jeśli istnieje jego model, tj. jeśli istnieje interpretacja języka L, w której prawdziwe są wszystkie formuły z T.
Teraz mamy wszystko gotowe, aby sformułować twierdzenie o zwartości Malcewa.
Twierdzenie o zwartości. Niech będzie dany dowolny język L i dowolny zbiór T formuł zamkniętych tego języka.
Niech każdy podzbiór T zbioru T będzie zgodny, wtedy również cały zbiór T jest zgodny.
Twierdzenie to pokazuje, że dla zbudowania modeli zbioru T wystarczy umieć zbudować modele wszystkich skończonych podzbiorów zbioru T ( stwierdzenie odwrotne jest oczywiste, ponieważ model zbioru T jest również modelem dla
wszystkich jego skończonych podzbiorów )
Dowód powyższego twierdzenia omówimy nieco później, a póki co zademonstrujemy jak z jego pomocą możemy otrzymać układ liczb hiperrzeczywistych.
W pierwszej kolejności dodamy do naszego języka RL ( zawierającego symbole funkcjonalne dla wszystkich funkcji na zbiorze R ) jeszcze jeden zero pozycyjny symbol funkcjonalny c ( różny od wszystkich innych symboli )
Otrzymujemy w ten sposób, nowy rozszerzony język RLc Aby zadać interpretacje tego języka należy wziąć dowolną interpretacje języka RL, wybrać w jej nośniku dowolny element i nadać jego wartość symbolowi c.
Otrzymujemy w ten sposób, nowy rozszerzony język RLc Aby zadać interpretacje tego języka należy wziąć dowolną interpretacje języka RL, wybrać w jej nośniku dowolny element i nadać jego wartość symbolowi c.