Czy liczby hiperrzeczywiste istnieją „naprawdę” ?

Oczywiście, niestandardowe liczby hiperrzeczywiste ( tj. liczby hiperrzeczywiste, nie będące rzeczywistymi ) – są obiektami nie zwykłymi. Zapewne z tego powodu nazywa się je właśnie niestandardowymi.

Ale co oznacza, że są one niezwykłe ?

Niezwykłe zazwyczaj oznacza cos do czego nie jesteśmy przyzwyczajeni. To do czego przywykliśmy jest już dla nas czymś zwyczajnym. Również do liczb niestandardowych należy po prostu się przyzwyczaić.

Proces ten zapewne budzić będzie pewne psychologiczne trudności, ale od razu pragniemy wyjaśnić, gdzie znajduje się miejsce dla „nowych” liczb. Dla liczb nieskończenie dużych takie miejsce. Dla liczb nieskończenie dużych, takie miejsce znajduje się z łatwością – gdzieś tam w ujemnej lub dodatniej nieskończoności.

W tym sensie psychologicznie prościej jest oswoić się z niestandardowymi liczbami hipernaturalnymi. Każda taka liczba jest nieskończenie duża i dodatnia i jest ona większa od każdej liczby naturalnej.

W istocie wyobrażenie o takiej liczbie już bytowało ( chociaż nie w ścisłym sensie ) w społeczności matematyków : słówkiem ”gugol” nazwano potocznie liczbę naturalną, która przewyższa każda rozsądną wartość. Nieskończenie duże liczby hiperrzeczywiste mogą być już nie tylko dodatnie, ale i ujemne : nieskończenie duża liczba ujemna jest mniejsza, a dodatnia – większa od wszystkich standardowych liczb. Ale są jeszcze skończone niestandardowe liczby.

Gdzie one się mieszczą ?

Są one umiejscowione pomiędzy liczbami rzeczywistymi wypełniając pustki pomiędzy nimi. Ale czy takie pustki istnieją ? Oczywiście jeśli stoimy na takim stanowisku, ze możliwe są tylko ( standardowe ) liczby rzeczywiste, to żadne pustki pomiędzy nimi nie pojawiają się, a nawet jeśli by istniały to nie ma ich czym zapełnić ( przecież przy wybranym punkcie widzenia żadne liczby niestandardowe nie istnieją ). Przejście od liczb rzeczywistych do skończonych liczb

hiperrzeczywistych na drodze do tych pierwszych skończonych liczb niestandardowych, następuje analogicznie do tego jak przeszliśmy od liczb wymiernych do liczb rzeczywistych, poprzez dodanie do tych pierwszych liczb niewymiernych.

Liczby niewymierne są umiejscowione pomiędzy liczbami wymiernymi i jawne zrozumienie takiego faktu, nierzadko również wywołuje pewne psychologiczne opory. Również w takim przypadku można ( chociaż jest to bardzo niedogodne ) stać na stanowisku, ze liczby bywają tylko wymierne, a zatem na naszej osi liczbowej dla liczb rzeczywistych nie byłoby miejsca. Oczywiście w tym przypadku powinniśmy zrezygnować od takich standardowych możliwości, jak powiedzmy możliwość wyciągnięcia pierwiastka kwadratowego z dowolnej liczby dodatniej. Eliminując liczby niestandardowe, również pozbywamy się pewnych możliwości – w tym przypadku będą to oczywiście możliwości nieco niezwykłe, takie jak np. prawo do rozważania liczb nieskończenie małych i nieskończenie dużych.

Oczywiście analogia pomiędzy skończonymi liczbami niestandardowymi i liczbami niewymiernymi jest słuszna tylko do pewnych granic – liczby niewymierne wypełniają tzw. luki pomiędzy liczbami wymiernymi ( po jednej liczbie

niewymiernej na każda taką lukę ), aby otrzymać skończoną część osi hiperrzeczywistej, należy każdą liczbą rzeczywistą rozciągnąć w pewien odcinek ( co prawda nieskończenie mały )( Przecież np. gwiazdy widzimy jako punkty, chociaż w odpowiednim powiększeniu mają one kształt dysków. Analogicznie możemy przyjąć, że to co „widzimy” jako punkty na osi rzeczywistej, to w istocie są odcinki o środku w pewnej liczbie rzeczywistej tj. monady )

Zapewne czytają powyższe wywody, czytelnik ma mieszane odczucia. Co ma znaczyć iż „można przyjąć tak, a można przyjąć inaczej” ? Jak jest w rzeczy samej ?

Z czego skalda się oś liczbowa – tylko z liczb wymiernych, czy tylko z rzeczywistych – a może skończonych hiperrzeczywistych lub z samych hiperrzeczywistych, zarówno skończonych jak i nieskończenie dużych ?

Aby odpowiedzieć na wszystkie te pytania, należy w pierwszej kolejności zrozumieć, co oznaczają słowa „w istocie”.

Jaka jest istota rzeczy ? Problem w tym, ze należy sztywno rozróżniać realność matematyczną i fizyczną.

W realności matematycznej istnieją różnorodne układy liczbowe ( jeśli tak jest wygodniej można nazywać je osiami liczbowymi ) : N, Z, Q, R, R*.

Każdy z nich reprezentuje sobą liniowo uporządkowany zbiór z określonymi nad nimi operacjami dodawania i mnożenia.

Każdy taki układ można przyjąć jako rozszerzenie poprzedniego ( przy czym zarówno porządek, jak i wynik zastosowania operacji jest zachowany ), możemy zatem zapisać :

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ R*

Układ liczbowy ( lub inaczej oś liczbowa ) R jest wyróżniona tym, że jej elementy ( liczby rzeczywiste ) wzajemnie jednoznacznie i z zachowaniem porządku odpowiadają punktom prostej geometrycznej. Wydawać by się mogło, że własność ta jest decydująca – prosta geometryczna ( ściślej – prosta z wyróżnionymi na niej dwoma punktami, nazwanymi odpowiednio „zero” i „jedynka” ) daje nam oś liczbową.

Jednakże sama prosta geometryczna reprezentuje sobą obiekt matematycznej ( a nie fizycznej ! ) realności – w danym przypadku obiekt struktury matematycznej, opisywany przez odpowiednie aksjomaty i nazywana „geometrią Euklidesa”.

Można jednakże rozpatrywać i inne układy aksjomatów, otrzymując inne geometrie, w których proste będą posiadały inne niż w geometrii euklidesowej własności. Wiemy przecież, ze istnieją geometrie nieeuklidesowe. Pośród nich są geometria Łobaczewskiego i geometria Riemanna. W geometrii Łobaczewskiego naruszane są ( w porównaniu z geometria

Euklidesa ) zewnętrzne własności prostej tj. własności charakteryzujące zachowanie prostej względem innych prostych, ale własności wewnętrzne prostych są zachowane : punkty na prostej Łobaczewskiego umiejscowione są tak samo jak punkty na prostej euklidesowej.

W geometrii Riemanna naruszane są nie tylko własności zewnętrzne, ale i wewnętrzne prostej : porządek punktów na prostej Riemanna jest cykliczny, a zatem jest on podobny do porządku punktów na okręgu ( w ścisłym matematycznym sensie nie można go nazwać nawet porządkiem )A można wymyślić i taki „niestandardowy” układ aksjomatów geometrii, w którym punkty na prostej będą umiejscowione tak jak na osi hiperrzeczywistej R*. W ten sposób możemy wymyślać różnorodne geometrie, którym będą odpowiadały różnorodne układy liczbowe.

W takim przypadku naturalnym wydaje się pytanie, która z takich geometrii i w szczególności które wyobrażenie o prostej geometrycznej, opisuje realna przestrzeń fizyczną, a w szczególności realną prostą fizyczną ?

Należy jednakże zdawać sobie sprawę iż geometryczny opis realności fizycznej jest możliwy tylko w pewnym przybliżeniu I tak planetę Ziemia można opisywać jako kulę, jako elipsoidę, albo jako geoidę – każdy z takich opisów jest przybliżony, ale stopień dokładności opisu wzrasta ( nie należy myśleć, że im lepsza dokładność tym lepszy opis – fundamentalna rewolucję przyniosło wyobrażenie o Ziemi jako o kuli i jak się wydaje takie wyobrażenie na zawsze stanie się najbardziej istotne )

Przy niezbyt dużych i niezbyt małych ( w porównaniu z rozmiarami człowieka ) rozmiarach przestrzennych przestrzeń fizyczna z wystarczającą dokładnością opisywana jest przez standardową geometrią Euklidesa. Przy znacznym powiększeniu lub, przeciwnie przy zmniejszeniu wymiarów taka dokładność zaczyna być coraz mniejsza.

O tym jak zbudowana jest przestrzeń fizyczna w skalach bardzo dużej i bardzo małej wiemy jeszcze bardzo mało.

Ogólnie przyjętym jest punkt widzenia zgodnie z którym globalnie przestrzeń jest skończona.

Promień światła skierowany z pewnego punktu takiej przestrzeni w dowolną stronę, powróci do tego punktu z drugiej strony ( chociaż jest to poparte całym zbiorem dodatkowych uwag )

(* dalej autor prowadzi rozważania natury ogólno fizycznej *)

Być może w wielu przypadkach nie jest celowym pytać, która z określonego zbioru modeli matematycznych lepiej opisuje rzeczywistość fizyczna. Jak się wydaje rozsądnie przyjąć zasadę wielorakości modeli i przyjąć, że realność opisywana jest od razu przez cały zbiór modeli matematycznych, być może częściowo wzajemnie sprzecznych. Przykładowo rozsądnie można byłoby przyjąć, że przestrzeń fizyczna jednocześnie jest opisywana przez kilka modeli - jeden, z których to

standardowa geometria Euklidesa, drugi np. zakłada istnienie minimalnego rozmiaru przestrzennego „kwant przestrzenny”, trzecia – istnienie odległości nieskończenie małych itd.

W takim kontekście warto wspomnieć, że również w pracach twórców analizy matematycznej – Newtona i Leibniza – zakładano istnienie różnorodnych modeli praw natury. Leibniz widział świat jak mozaikę, złożoną z mniejszych części – można zatem interesować się stosunkiem jednej cząstki dy do drugiej dx. Świat Newtona jest ciągły i zmienia się w sposób ciągły z upływem czasu : zmienne ( według Newtona – fluenty ) x, y, ... są w istocie funkcjami czasu można interesować się prędkościami ich zmienności ( wedle Newtona – fluksjami ) x^• , y^• ,...

W ten sposób, jeśli obraz świata Leibniza realizuje się w technice mozaiki i zmienia się tak, jak byśmy obracali

kalejdoskopem przez nieskończenie małe odcinki czasu dt, to obraz świata Newtona farbami olejnymi, które nie zdążyły jeszcze wyschnąć i rozpływają się na powierzchni płótna.

W ten sposób nie jest wykluczone, że wyobrażenie o nieskończenie małych – odległościach, masach, ładunkach itp. dobrze odpowiada rzeczywistości fizycznej. Zatem dla opisania takich wielkości nieskończenie małych potrzebujemy

nieskończenie małe liczby. Jeśli żądamy, aby takie liczby podlegały standardowym operacjom arytmetycznym, to nieuchronnie pojawiają się liczby nieskończenie duże ( jako wynik dzielenie jedności przez nieskończenie małe ), jak również takie liczby niestandardowe, które nie są ani nieskończenie duże, ani nieskończenie małe ( jak wynik dodania nieskończenie małych do standardowych liczb rzeczywistych ).

Otrzymany w ten sposób układ liczb hiperrzeczywistych, zawierający wszystkie liczby rzeczywiste jako swój podukład, pretenduje do tego, aby opisywać świat fizyczny, nie gorzej niż robi to standardowa oś liczbowa.

Literatura

**************************************************************************************************