Robinson i „nowa historia” analizy niestandardowej

Metoda aksjomatyczna analizy jakieś matematycznej struktury, mówiąc ogólnie, jest następująca.

Wydzielamy niektóre własności rozpatrywanej struktury i nazywamy je aksjomatami. Następnie wyprowadzamy z takich aksjomatów różnorodne następstwa (twierdzenia). Twierdzenia takie będą prawdziwe w rozpatrywanej strukturze.

Mało tego, będą one prawdziwe nie tylko w rozpatrywanej strukturze, ale w dowolnej innej, w której prawdziwe są aksjomaty. Może się okazać, że istnieje wiele najróżniejszych struktur, spełniających dany układ aksjomatów. Każda taka struktura nazywa się modelem rozpatrywanego układu aksjomatów. Czy to dobrze, czy źle, jeśli układ aksjomatów posiada wiele różnych (nieizomorficznych ) modeli ?

To zależy w jakim celu zbudowaliśmy w jakim celu zadaliśmy układ aksjomatyczny. Jeśli taki układ, podobnie do układu aksjomatów ciała, jest przeznaczony po to, aby wydzielić ogólne własności różnorodnych struktur i w jednolitej metodzie otrzymać ogólne własności o wszystkich tych strukturach, to im bardziej różnorodne są takie modele, tym lepiej.

Różnorodność modeli układu aksjomatów ciała świadczy o szerokiej możliwości zastosowania teorii ciał ( to samo można oczywiście powiedzieć np. o aksjomatach grup, pierścieni itd. )

Istnieje jednakże i drugie podejście do układów aksjomatycznych, zgodnie z którym układ aksjomatyczny powinien w sposób jak najbardziej pełny, odzwierciedlać własności danej, konkretnej struktury np. zbioru liczb naturalnych.

Przykładem układu aksjomatycznego zbudowanego w takim celu, są aksjomaty Peano, charakteryzujące szereg naturalny jak zbiór N z wyróżnionym elementem ( oznaczanym jako 0 i nazywany zerem ) i jednopozycyjną operacją ( oznaczaną jako S i nazywaną braniem następnika ) :

1) ∀a( 0 ≠ S(a))

2) ∀a∀b ( S(a) = S(b) ) ⇒ ( a = b )

3) (aksjomat indukcji) Jeśli zbiór M ⊂ N jest taki, że 0∈M i dla każdego α∈M spełnione jest S(α)∈M, to M = N.

Aksjomaty takie są przeznaczone, aby w sposób jak najpełniejszy odzwierciedlić własności liczb naturalnych. Dlatego znalezienie struktury ( zbioru N o wyróżnionym elemencie i jednopozycyjną operacją ), która spełniałaby w/w aksjomaty, ale silnie różniłaby się od standardowego szeregu liczb naturalnych, oznaczałoby, ze aksjomaty te są niezadowalające.

Na szczęście okazuje się, że znalezienie takiej struktury nie jest możliwe, ma bowiem miejsce następujące twierdzenie ( kategoryczność aksjomatów Peano ) :

Niech N – będzie dowolnym zbiorem, O – dowolny element należący do N, S – funkcja określona na N o wartościach w N, przy czym spełnione są własności 1 – 3. Wtedy istnieje odpowiedniość wzajemnie jednoznaczna pomiędzy N i

standardowym szeregiem liczb naturalnych N, przy której elementowi O∈N odpowiada liczba naturalna 0, a funkcja S przechodzi w funkcje następnika ( jak mówi się – struktury N i N są izomorficzne )

Dowód tego twierdzenia jest bardzo prosty. Poszukiwaną odpowiedniość zadamy następująco :

Liczby naturalne Elementy N 0 O 1 S(O) 2 S( S(O)) ... ...

Oznaczając : S ( S ( ... S(O) ... ) --- n razy ---

przez Sm(O), można powiedzieć, że liczbie naturalnej m∈N przyporządkowany jest element Sm(O)∈N.

Należy teraz dowieść, ze taka odpowiedniość jest wzajemnie jednoznaczna ,tj. że Sm(O) ≠ Sn(O), przy m ≠ n, oraz że dowolne x∈N jest równe Sm(O) przy pewnym m∈N.

Jeśli Sm(O) = Sn(O), m ≠ n , n, m > 0 to Sm–1(O) = Sn–1(O) zgodnie z aksjomatem 2 ( ponieważ Sk(O) = S(Sk–1(O)) ) Stosując takie rozważania wielokrotnie, znajdujemy że Sm–n(O) = 0 tj. S(a) = O, gdzie a = Sm–n–1(O) ( dla określoności rozważamy przypadek m > n) A to jest sprzeczne z aksjomatem 1. Aby zakończyć dowód wzajemnej jednoznaczności, należy pokazać jeszcze, ze zbiór

M = { O, S(O), ... , Sn(O), ... }

Pokrywa się ze wszystkimi elementami N.

Fakt ten wynika bezpośrednio z aksjomatu indukcji.

W ten sposób wzajemna jednoznaczność zbudowanej odpowiedniości została dowiedziona. To, ze przy takiej

odpowiedniości zero przechodzi w element O, a funkcja przyrostu jedności – w funkcje S, jest sprawą oczywistą. Zatem, dowiedliśmy kategoryczności aksjomatów Peano.

W ten sposób, można powiedzieć, ze aksjomaty Peano „całkowicie” opisują liczby naturalne.

Jednakże układ aksjomatów posiada następujący niedostatek – zakłada ona wcześniejszą znajomość pojęcia zbioru ( pojęcie to figuruje w aksjomacie indukcji). Chcielibyśmy, aby wszystkie aksjomaty były zapisane w postaci formuł pewnego języka pierwszego rzędu ( podobnie jak ma to miejsce dla dwóch pierwszych aksjomatów – aksjomaty te reprezentują sobą formuły języka pierwszego rzędu o jednym zero pozycyjnym i jednym jedno pozycyjnym symbolami funkcjonalnymi ). Przy tym chcielibyśmy, aby własność kategoryczności ( izomorfizm wszystkich modeli takiego układów aksjomatów) została zachowana. Niestety twierdzenie Goedla o zupełności i jego następstwo – twierdzenie o zwartości – burzą nadzieję na zbudowanie kategorycznego układu aksjomatów w języku pierwszego rzędu – takiego układu

aksjomatów nie można zbudować dla żadnej struktury, zawierającej nieskończenie wiele elementów. Wyjaśnimy dlaczego tak jest.

W charakterze układu aksjomatów weźmiemy zbiór T wszystkich formuł zamkniętych, prawdziwych w danej strukturze.

Jest jasne, że taki układ aksjomatów jest największy ze wszystkich możliwych, jeśli okaże się on niekategoryczny, to i dowolny inny układ aksjomatów, zapisanych w tym języku, nie będzie kategoryczny.

Stosując rozważania, analogiczne do tych jakie przeprowadziliśmy w paragrafie 7, możemy zbudować model zbioru T, istnienie którego jest sprzeczne z wymaganiem kategoryczności, innymi słowy będzie to „niestandardowy” model zbioru T.

Podana powyżej analiza metody aksjomatycznej ( niezbyt ścisła ) była nam potrzebna po to, aby pokazać w jaki sposób analiza możliwości takiej metody prowadzi do pojęcia modelu niestandardowego. W 1960 roku metody budowania modeli niestandardowych ( z pomocą ultrafiltrów i z użyciem twierdzeń o zupełności i zwartości ) były już dobrze znane

specjalistom zajmującym się teorią modeli, jednym z nich był A.. Robinson [11]

Pozostało „jedynie” połączyć takie metody z ideami o zastosowaniu wielkości nieskończenie małych w analizie, w ten sposób zapoczątkował on bujnie rozwijającą się gałąź matematyki – analizę niestandardową.

W 1961 roku pojawił się artykuł Robinsona „Analiza niestandardowa” [60]. W artykule tym zostały naszkicowane zarówno podstawowe założenia analizy niestandardowej jak i niektóre jej zastosowania ( np. w mechanice analitycznej)

W szczególności w artykule tym Robinson pisze :

„naszym głównym celem jest pokazanie, ze takie modele dają naturalne podejście ku staremu problemowi zbudowania rachunku, zawierającego ilości nieskończenie małe i nieskończenie duże. Jak dobrze wiadomo, wykorzystanie

nieskończenie małych zapoczątkowane przez Leibniza i bez wahań przyjęte przez Eulera, zostało zakwestionowane wraz z pojawieniem się metod Cauchy’ego, który postawił analizę matematyczną na twardych podstawach” ( tak na marginesie należy zauważyć, że za taką „twardość” podstaw należało zapłacić zarówno złożonością aparatu matematycznego, jak i odejściem od fizycznej poglądowości )

I w ten sposób, do 1961 roku pojęcie nieskończenie małej wielkości stałej, liczby nieskończenie małej obecne było w najlepszym wypadku jako pojęcie nieostre, a w gorszym przypadku – jako bezsensowne.

Robinson [60] pierwszy zauważył, że takiemu pojęciu można nadać ścisły matematyczny sens.

W przeciągu kolejnych 8 lat wyszły w świat trzy monografie, przedstawiające teorię niestandardową :

W 1962 – książka W. A. J. Luxemburga „Analiza niestandardowa. Wykłady o robinsonowskiej teorii liczb nieskończenie małych i nieskończenie dużych” [50] , 1966 – książka A. Robinsona „Analiza niestandardowa” [61]

W 1969 – książka M. Machowera, J. Hirschfelda „Wykłady o analizie niestandardowej” [54]

Największy oddźwięk wywołała oczywiście książka Robinsona, która wyszła w znanej serii „Prace z logiki i podstaw matematyki”. W 9 pierwszych rozdziałach tej monografii zawarto zarówno budowę wymaganego aparatu logiczno-matematycznego ( z odsyłaczem do pracy A. I. Malcewa jako autora leżącego u podstaw tego aparatu twierdzenia o zwartości ), jak i różnorakie zastosowania – do rachunku różniczkowego i całkowego, ku topologii ogólnej oraz do teorii funkcji zmiennej zespolonej, do teorii grup Liego, do hydrodynamiki i teorii sprężystości.

Szczególny interes przedstawia sobą ostatni rozdział 10, w którym autor przedstawia swoje poglądy na historię rozwoju analizy matematycznej. Chociaż książka Robinsona, która miała kilka wydań i miała znaczny wpływ na rozwój analizy niestandardowej, nie można jej rekomendować jako książkę do początkowej nauki tego przedmiotu – jest ona napisana skrótowo i ciężko.

Oprócz książki Robinsona w 1966 roku w analizie niestandardowej nastąpiło jeszcze jedno ważne zdarzenie. Pojawił się artykuł Bernsteina i Robinsona [21] w którym po raz pierwszy z użyciem metod analizy niestandardowej otrzymano rozwiązanie wcześniej postawionego problemu, odnoszącego się do „standardowych” obiektów matematycznych.

Dla zainteresowanych wyjaśnimy o jaki chodzi problem.

Chodzi o zagadnienie podprzestrzeni inwariantnych dla wielomianowo zwartych operatorów ( operator T nazywa się wielomianowo zwarty, jeśli zwarty jest operator p(T) dla pewnego wielomianu p o współczynnikach zespolonych ) Twierdzenie o istnieniu nietrywialnej inwariantnej przestrzeni zamkniętej dla operatorów zwartych w separowalnej zespolonej przestrzeni Hilberta zostało dowiedzione przez J. Von Neumanna na początku lat 30-tych.

( Jak wiadomo, wszystkie separowalne przestrzenie Hilberta są izomorficzne do „kanonicznej” przestrzeni ł2, składającej się z ciągów liczb zespolonych, sumowalnych z kwadratem. Co zaś tyczy przestrzeni nieseparowalnych, to dla ich twierdzenie to jest oczywiste )

Dowód Neumanna nie został jednak opublikowany. To samo twierdzenie dla operatorów zwartych w dowolnej przestrzeni Banacha nad ciałem liczb zespolonych został przedstawiony dalej przez Aronzajna, Shmita [18].

W artykule Halmosa [31] w charakterze dziewiątego problemu figuruje postawione przez K.T. Shmita zagadnienie o istnieniu podprzestrzeni inwariantnej dla takich operatorów T w przestrzeni Hilberta ł2, dla których operator T2 jest zwarty ( wszystkie takie T, są oczywiście wielomianowo zwarte ). Rozwiązanie tego problemu przedstawili A. P. Bernstein i A.

Robinson z użyciem metod analizy niestandardowej. Pokazali oni, że dowolny wielomianowy operator zwarty w

przestrzeni Hilberta ł2, posiada nietrywailną zamkniętą podprzestrzeń. Halmos zaznajomił się z tym dowodem, a następnie przerobił go na dowód nie wykorzystujący analizy niestandardowej [32].

W dalszej kolejności Bernstein, wykorzystując analizę niestandardową rozszerzył twierdzenie Bernsteina-Robinsona na przypadek wielomianowych operatorów zwartych w dowolnych przestrzeniach Banacha nad ciałem liczb zespolonych [20]

Stosunkowo niedawno twierdzenie o podprzestrzeniach inwariantnych dla operatorów zwartych zostało uogólnione ( również z pomocą metod analizy niestandardowej ), na szerszą klasę liniowych przestrzeni topologicznych niż przestrzenie Banacha [30].

Należy również zauważyć, ze W. I. Łomonosow pokazał ( z użyciem metod standardowych), ze każdy operator w nieskończenie wymiarowej przestrzeni Banacha, komutujący z operatorem zwartym ( i tym samym z każdym operatorem wielomianowo zwartym), posiada podprzestrzeń inwariantną [12]

Twierdzenie Bernsteina-Robinsona stanowi nie jedyny ( chociaż jest on najbardziej efektywny) przykład zastosowania metod analizy niestandardowej. Liczba i różnorodność takich zastosowań cały czas rośnie. Zastosowania analizy niestandardowej wewnątrz matematyki obejmują obszerny krąg zagadnień od topologii ( [1, str. 210-211; 19, 29, 36], teorii równań różniczkowych [17], teorii miary i prawdopodobieństwa ( w której pojawia się możliwość rozumienia prawdopodobieństwa zdarzeń jako stosunku nieskończonej liczby wyników sprzyjających do ogólnej liczby zdarzeń ) [22,26,42,46, 47, 58,59], w teorii gier [68]. Liczby nieskończenie małe ( w sensie analizy niestandardowej )okazują się również użyteczne w analizie wielkości nieskończenie małych w sensie standardowych podręczników analizy ( funkcji, dążących do zera ) [43, 45].

Co zaś tyczy zastosowań poza czysto matematycznych, to spotyka się je np. w ekonomice [23,24]

Wielce obiecującym wydaje się wykorzystanie niestandardowej przestrzeni Hilberta ł2* w celu zbudowania mechaniki kwantowej ( tradycyjnie formułowanej z użyciem „standardowej przestrzeni Hilberta ł2 ) [28,55].

W szczególności rozpatruje się niestandardową definicje feynmanowskie całki po trajektoriach [41], rozpatruje się nieskończoną fluktuacje pola w nieskończenie małym obszarze [40].

W mechanice statystycznej staje się możliwe rozpatrywanie układów o nieskończonej liczbie cząstek [53].

Zainteresowanie fizyków analizą niestandardową sprawia, że pojawia się ona w popularnych wykładach i czasopismach specjalistycznych [64, 66].

Oprócz zastosowań do różnorodnych obszarach matematyki (i nie tylko matematyki), prowadzi się również badania w obszarze samej analizy niestandardowej, w postaci badania samych struktur niestandardowych [37].

W 1976 roku ukazały się trzy książki poświęcone analizie niestandardowej :

„Analiza elementarna” , „Podstawy rachunku nieskończenie małych” – Keislera [38, 39] oraz „Wprowadzenie do teorii nieskończenie małych” - W. A. Luxemburga, K. D. Stroyan [62].

Pierwsza z nich reprezentuje napisany z niestandardowej pozycji podręcznik do analizy matematycznej. Znajduje się w niej duża liczba przykładów i ćwiczeń, jednakże wiele z dowodów podano tylko w zarysie, a samo istnienie ciała liczb

hiperrzeczywistych i pewien wariant zasady Leibniza, wprowadza się w charakterze aksjomatów. Cały materiał stanowiący uzasadnienie przeniesiony został do drugie książki tego autora, ściśle związanej z pierwszą. Zatem książkę druga należy przeczytać jako pierwszą, aby odpowiednio zrozumieć materiał wyłożony w „Analizie elementarnej”

Książka Stroyan’a i Luxemburga – jest to fundamentalna monografia, która przy czytaniu sprawia trudności nawet specjalistom.

W 1977 roku wydano książkę M. Davisa [3], według nas, książka ta jak najbardziej nadaje się dla pierwszego zaznajomienia z tematem. W książce tej podano liczne zastosowania analizy niestandardowej.

Być może największą korzyść metody niestandardowe mogą przynieść w obszarze matematyki stosowanej – nie darmo fizycy i inżynierowie tak lubią mówić o „nieskończenie małym” i „nieskończenie dużym”.

W 1981 w serii „Lecture notes in mathematics” wydano książkę L. Lutz, M. Gose „Analiza niestandardowa – praktyczny przewodnik z zastosowaniami” [48]. W tej książce po wyłożeniu podstawowych zasad analizy niestandardowej,

rozpatrywane są zagadnienia teorii zaburzeń. Mówiąc ogólnie, zadanie teorii zaburzeń jest następujące. Mamy pewien obiekt ( wielomian, operator liniowy, algebra Liego, równanie różniczkowe itd. ). Obiekt ten nieco zmieniamy. Jak teraz związane są własności tak zaburzonego obiektu z obiektem wejściowym ?

W języku analizy niestandardowej zagadnienie stawiamy tak.

Wejściowy obiekt jest standardowy. Zmiana, której on podlega, jest nieskończenie małą. Co można teraz powiedzieć o własnościach zmienionego obiektu, jeśli znamy własności obiektu wejściowego ?

Widzimy, ze pojęcia analizy niestandardowej figurują już w samym zadaniu całego zagadnienia. ( a nie tylko w jego rozwiązaniu ). Oczywiście można próbować przetłumaczyć zagadnienie na język analizy klasycznej ( bez nieskończenie

małych) i rozwiązać go z użyciem środków klasycznych, ale jak piszą autorzy przedstawionej książki, w wyniku zastosowania metod niestandardowych pojawiają się „zarówno jasne sformułowania, jak i intuicyjnie jasne dowody”

[ 48, str. 127].

W szczególności w 8-zadaniu części IV w/w książki autorzy rozpatrują szeroko znany ( w dużym stopniu dzięki pracom kręgu matematyków N. Bourbakiego [25, 5] ) tzw. „problem kaczek”. Problem ten polega na próbie wyjaśnienia w jaki sposób w równaniu van der Pola :

ε x^•• + ( x2 – 1 )x^• + x = a

gdzie ε - dodatnia I wystarczająco mała liczba

znika cykl graniczny, kiedy parametr a, wzrasta przechodząc przez wartość 1. Nazwa problemu jako „kaczki” wyjaśnia się tym, ze taki cykl graniczny w procesie swojego przekształcenia nabiera formę przypominająca kontur lecącej kaczki.

Rozpatrzenie parametru ε ni po prostu jako małej liczby rzeczywistej, a jako wielkości nieskończenie małej okazało się dla tego zagadnienia bardzo użyteczne.

Wraz z przedstawionym w niniejszej książce podejściem ku analizie niestandardowej ( pochodzącym od Robinsona ) istnieje, również zyskujący obecnie popularność, kierunek w którym elementy nieskończenie małe „pozbywają się” stylu rozszerzenia prostej rzeczywistej lub innych struktur matematycznych, a „egzystują” wewnątrz takich struktur. W takim podejściu musimy przyznać np. że nieskończenie małe zawsze były obecne pośród liczb rzeczywistych, ale my ich po prostu nie widzieliśmy, nie mając możliwości wydzielenia ich z pośród pozostałych liczb.

To co powiedziano wydaje się być sprzeczne – przecież wiemy, że dla ciała liczb rzeczywistych słuszny jest aksjomat Archimedesa, a zatem nie ma nieskończenie małych. Jak zatem można je tam „odkryć” ?

Przypomnijmy jednakże, omówienie aksjomatu Archimedesa i jego formalnego analogu podanego w paragrafie 10.

Widzieliśmy, że jest możliwa sytuacja której aksjomat Archimedesa nie jest spełniony, a jednocześnie jego formalny analog jest formułą prawdziwą. W tej sytuacji musimy przyjąć, ze właśnie tak ma miejsce w „standardowych” liczbach rzeczywistych. Przy tym wszystkie standardowe twierdzenia wiążące się z liczbami rzeczywistymi pozostają w mocy, ponieważ ich dowody mogą być sformalizowane i w takich formalizacjach wykorzystuje się nie intuicyjne rozumienie aksjomatu Archimedesa, a jego formalny analog.

To co powiedziano wymaga oczywiście uściślenia. Teraz jedynie podamy szkic takiego podejścia ( posługując się przy tym pracą [56], drugi sposób uściślenia omówiono w pracy [33] )

Rozpatrzmy układ aksjomatyczny teorii zbiorów i dodajmy do niego nowe nieokreślone pojęcie „x – zbiór standardowy”

( jako dodatek do już posiadanego nieokreślonego pojęcia „x – element zbioru y” )

Przy tym zachowujemy wszystkie wcześniejsze aksjomatu tego układu ( niczego oczywiście nie mówiącymi, o nowym pojęciu „bycia standardowym” ), dodajemy również nowe aksjomaty. Mówiąc ogólnie, takie aksjomaty odpowiadają zasadzie Leibniza, zasadzie skierowania i możliwości rozpatrywania dowolnych zbiorów w standardowej superstrukturze.

Przy tym okazuje się, ze pojawiające się rozszerzenie aksjomatycznej teorii zbiorów jest konserwatywne w tym sensie, że każda wywodliwa w takim rozszerzeniu formuła standardowej teorii zbiorów ( tj. nie zawierająca pojęcia „standardowy” ) jest wywodliwa i w standardowej teorii zbiorów. Zatem, dla „starych” formuł „nowe” środki dowodowe są równoważne

„starym” chociaż - i w tym właśnie tkwi użyteczność – całej analizy niestandardowej „nowe”, dowody mogą być krótsze i bardziej naturalne, niż „stare” dowody tych samych twierdzeń.

Różnica pomiędzy podejściem Robinsona do analizy niestandardowej i nowym podejściem aksjomatycznym, tkwi nie tyle w wynikach matematycznych, które z ich pomocą mogą zostać otrzymane, a raczej na stanowisku z jakiego je

rozpatrujemy. Przyjmując do wiadomości pogląd, że nieskończenie małe – są to zawsze istniejące obiekty rzeczywistości, podejście aksjomatyczne skłania nas do ich spokojnego wykorzystywania nie tylko w charakterze środków dowodowych

”użytecznych funkcji”, ale jako pełnoprawnych obiektów matematycznych, mogących wchodzić do sformułowań naszych twierdzeń. Dalszy rozwój analizy niestandardowej zapewne pokażę, na ile taki pogląd jest płodny.

W obecnym czasie analiza niestandardowa zdobywa sobie coraz większe uznanie. Organizuje się międzynarodowe sympozja, specjalnie poświęcone analizie niestandardowej oraz jej zastosowaniom [51, 52, 34].

W ciągu ostatnich dziesięcioleci analiza niestandardowa ( a ściślej – elementarna analiza matematyczna na podbudowie niestandardowej ) stała się przedmiotem wykładowym uniwersytetów amerykańskich (USA).