Analiza stanów stacjonarnych dla nienadprzewodz ˛ acego pier´scienia

rozkła-dem prawdopodobie´nstwa P (x), relacja (3.52), dla całkowitego strumienia magnetycznego przechodz ˛acego przez pier´scie´n x. W klasycznym przypadku, gdy λ = 0, rozkład praw-dopodobie´nstwa P (x) wyra˙za si˛e przez potencjał V_r/d(x). Pojawienie si˛e bistabilno´sci (multi-stabilno´sci) oznacza pojawienie si˛e dwu (wielu) stanów stacjonarnych, w których mo˙ze prze-bywa´c cz ˛astka Browna. Gdy nie jest przyło˙zony zewn˛etrzny strumie´n magnetyczny, x_e = 0, to pojawienie si˛e stanów stacjonarnych w x 6= 0 oznacza mo˙zliwo´s´c pojawienia si˛e pr ˛adów samopodtrzymuj ˛acych si˛e płyn ˛acych w pier´scieniu, tzn. pr ˛adów płyn ˛acych bez przyło˙zonego zewn˛etrznego strumienia magnetycznego. W przypadku kwantowym, gdy λ 6= 0, mo˙zemy zdefiniowa´c trzy potencjały: V₁(x) = V_r(x)/k₀T₀, V₂(x) = Ψ(x) oraz V₃(x) = ˜Ψ(x), gdzie V_r(x), Ψ(x), ˜Ψ(x) s ˛a zdefiniowane odpowiednio przez (3.18), (3.53), (3.54). W przypadku klasycznym λ = 0, P (x) ∼ exp[−V₁(x)], natomiast gdy λ 6= 0 to P (x) ∼ exp[−V₃(x)].

Oznacza to, ˙ze ekstrema potencjału V₃(x) odpowiadaj ˛a ekstremom P (x), które mog ˛a by´c inter-pretowane jako stabilne i meta - stabilne stany stacjonarne. Ponadto mo˙zna interpretowa´c pogl ˛ a-dowo potencjał V₃(x) jako potencjał, w którym porusza si˛e „pomocnicza” cz ˛astka Browna.

Na rys. 4.2 pokazane s ˛a obszary wyst˛epowania bistabilno´sci (multistabilno´sci). Ciemne obszary oznaczaj ˛a mo˙zliwo´s´c wyst˛epowania pr ˛adów samopodtrzymuj ˛acych si˛e w pier´scieniu w klasycznym re˙zimie Smoluchowskiego. Zmian˛e parametru α na rys. 4.2 nale˙zy interpretowa´c jako wybór pier´scieni o ró˙znych własno´sciach fizycznych, okre´slonych przez pr ˛ad krytyczny i₀ oraz współczynnik samoindukcji L pier´scienia.

Zastanówmy si˛e, jak poprawka kwantowa wpływa na kształt rozkładu prawdopodobie´nstwa P (x) w zale˙zno´sci od parametru p. Na rys. 4.3, pokazany jest wpływ poprawki kwantowej na rozkłady prawdopodobie´nstwa P (x) dla całkowitego strumienia magnetycznego przechodz ˛ a-cego przez pier´scie´n x oraz kształt współczynnika dyfuzji D_r(x)/k₀T₀. Kwantowy współczyn-nik dyfuzji jest wi˛ekszy w stosunku do klasycznego współczynwspółczyn-nika dyfuzji k₀T₀ za wyj ˛atkiem miejsc, gdzie nast˛epuje obni˙zenie jego warto´sci (pojawienie si˛e minimów), rys. 4.3. Miejsca wyst˛epowania minimów we współczynniku dyfuzji D_r(x) mo˙zna interpretowa´c jako lokalne

1Poprzez relacj˛e I = (φ − φ_e)/L mo˙zna tak˙ze otrzyma´c ´srednie czasy ˙zycia pr ˛adów. St ˛ad wymiennie b˛edzie u˙zywany termin pr ˛ad i strumie´n magnetyczny.

4 Analiza stanów stacjonarnych

obni˙zenie efektywnej temperatury w układzie. To z kolei wpływa na powstanie pików w rozkładach prawdopodobie´nstwa P (x), które s ˛a interpretowane jako stany stacjonarne.

Dla p = 0 minima we współczynniku dyfuzji Dr(x) wyst˛epuj ˛a w x = 0.5 ± n, gdzie n = 0, 1, 2, 3..., co jest zwi ˛azane z periodyczno´sci ˛a pr ˛adów koherentnych dla p = 0. Dla p = 1 minima wyst˛epuj ˛a w x = n. Miejsca pojawienia si˛e minimów we współczynniku dyfuzji D_r(x) dla po´srednich warto´sci p jest zwi ˛azane z tym, ˙ze pr ˛ady koherentne s ˛a kombinacj ˛a liniow ˛a pr ˛adów koherentnych dla warto´sci parametru p = 1 oraz p = 0.

Rysunek 4.2: Rysunki pokazuj ˛a obszary multistabilno´sci w zale˙zno´sci od parametru α oraz temperatury T₀ dla trzech warto´sci parametru p, bez zewn˛etrznego strumienia magnetycznego, xe = 0. Monostabilno´s´c wyst˛epuje w obszarze nieza-kreskowanym. Zakreskowany obszar oznacza miejsce wyst˛epowania bistabil-no´sci (multistabilbistabil-no´sci). Parametr k₀ = 0.1.

Ustalmy parametr p = 0.5. Przeanalizujmy wpływ kwantowych fluktuacji termicznych na stany stacjonarne.

Uwzgl˛edniaj ˛ac tylko klasyczne fluktuacje termostatu, z rys. 4.4 wida´c, ˙ze klasyczny potenc-jał Vr(x) posiada dwa minima, którym opowiadaj ˛a stabilne stany stacjonarne dla ±xs2 6= 0.

Oznacza to mo˙zliwo´s´c płyni˛ecia pr ˛adów samopodtrzymuj ˛acych si˛e w pier´scieniu.

Uwzgl˛ednienie kwantowego charakteru fluktuacji termicznych powoduje powstanie dodat-kowego stanu stabilnego dla xs1 = 0, który efektywnie niszczy pr ˛ady samopodtrzymuj ˛ace si˛e w pier´scieniu. Nale˙zy zwróci´c uwag˛e, ˙ze uogólnione potencjały termodynamiczne Ψ(x) oraz

4.1 Zagadnienie ´sredniego czasu ˙zycia cz ˛astki Browna w stanie stacjonarnym

Rysunek 4.3: Stacjonarne rozkłady prawdopodobie´nstwa P (x) dla strumienia magnetycznego x przechodz ˛acego przez pier´scie´n dla p równego 0, 0.25, 0.5, 0.75, 1, bez zewn˛etrznego strumienia magnetycznego, xe = 0. Przerywana linia oznacza klasyczny rozkład λ₀ = 0, a ci ˛agła rozkład prawdopodobie´nstwa z poprawk ˛a kwantow ˛a równ ˛a λ = 0.0042 (λ₀ = 0.0004). Parametr d(0[0.5]) = 0.92, d(0.5[0]) = 0.11 dla p = 1[0], d(0[0.25]) = 0.14, d(0.25[0]) = 0.11 dla p = 0.25[0.75] oraz d(0) = 0.4, d(0.25) = 0.11 dla p = 0.5. Na rysunkach wida´c równie˙z kształt współczynnika dyfuzji D_r(x)/k₀T₀. Warto´sci pozostałych parametrów s ˛a nast˛epuj ˛ace T = 0.05 , k0 = 0.8, α = 0.05, ε = 1000.

.

4 Analiza stanów stacjonarnych

Ψ(x) ró˙zni ˛˜ a si˛e od siebie. Pojawienie si˛e dodatkowych stanów stacjonarnych ma odzwierciedle-nie tylko w potencjale ˜Ψ(x). Porównuj ˛ac uogólnione potencjały termodynamiczne Ψ(x) oraz Ψ(x) z rozkładem prawdopodobie´nstwa P (x) wida´c, ˙ze pogl ˛˜ adowo efektywnym potencjałem, w którym porusza si˛e kwantowa cz ˛astka Browna jest potencjał ˜Ψ(x).

Rysunek 4.4: Górny rysunek pokazuje rozkład prawdopodobie´nstwa P (x) dla całkowitego stru-mienia magnetycznego x przechodz ˛acego przez pier´scie´n w przypadku klasy-cznym λ0 = 0 oraz w przypadku kwantowym dla λ0 = 0.0004. ´Srodkowy rys.

pokazuje klasyczny potencjał V_r(x)/k₀T₀ oraz uogólnione potencjały termody-namiczne Ψ(x) oraz ˜Ψ(x). Dolny rysunek pokazuje kształt współczynnika dy-fuzji Dr(x)/k0T0. Parametry modelu s ˛a nast˛epuj ˛ace xe = 0, α = 0.5, k0 = 0.5,

 = 1000, p = 0.5, T = 0.4. Parametr |d(0)| = 0.07, |d(0.25)| = 0.03, a warto´s´c przeskalowanej poprawki kwantowej wynosi λ = 0.003.

Sytuacja si˛e zmienia, gdy obni˙zymy temperatur˛e w układzie, rys. 4.5. Wtedy wpływ kwan-towych fluktuacji termicznych powoduje pojawienie si˛e dodatkowych stanów stacjonarnych dla

±x_s3 6= 0, w których mog ˛a płyn ˛a´c pr ˛ady samopodtrzymuj ˛ace si˛e. Pojawia si˛e równie˙z stan stacjonarny w xs1 = 0, dla którego pr ˛ady nie płyn ˛a. Na rys. 4.5 s ˛a jeszcze widoczne stany stacjonarne ±x_s2 6= 0 przy czym x_s3 > x_s2. Stany ±x_s3 6= 0 s ˛a zwi ˛azane z samopotrzymu-j ˛acymi si˛e pr ˛adami, ale o wi˛ekszej amplitudzie i dłu˙zszym czasie ˙zycia ni˙z stany ±x_s2 6= 0.

Najdłu˙zej ˙zyj ˛acym stanem stacjonarnym jest stan xs1= 0. Natomiast pr ˛ady samopotrzymuj ˛ace si˛e, które pojawiły si˛e dla stanów stacjonarnych w x_s3 6= 0 s ˛a pr ˛adami krótko˙zyciowymi. Czas

˙zycia tych pr ˛adów jest rz˛edu 0.01, co przykładowo dla L ∼ 10⁻⁹H oraz R = 100Ω, oznacza rzeczywisty czas ˙zycia tych pr ˛adów rz˛edu 10⁻¹¹s.

Dla pierwotnego kwantowego równania Smoluchowskiego oznaczonego jako A, potencjał

4.1 Zagadnienie ´sredniego czasu ˙zycia cz ˛astki Browna w stanie stacjonarnym

V_{ef f}^r (x), w którym porusza si˛e cz ˛astka Browna zawierał dodatkowy wyraz zwi ˛azany z poprawk ˛a kwantow ˛a. Dla bezwymiarowego kwantowego równania Smoluchowskiego (3.18) miał on nast˛epuj ˛ac ˛a posta´c

V_{ef f}^r (x) = V_r(x) + 1

2λαB_r⁰⁰(x). (4.5)

Rysunek 4.5: Górny rys. pokazuje rozkład prawdopodobie´nstwa P (x) dla całkowitego stru-mienia magnetycznego x przechodz ˛acego przez pier´scie´n w przypadku klasy-cznym λ₀ = 0 oraz w przypadku kwantowym dla λ₀ = 0.0004. ´Srodkowy rys.

pokazuje klasyczny potencjał Vr(x)/k0T0 oraz uogólnione potencjały termody-namiczne Ψ(x) oraz ˜Ψ(x). Dolny rysunek pokazuje kształt współczynnika dy-fuzji D_r(x)/k₀T₀. Parametry modelu s ˛a nast˛epuj ˛ace x_e = 0, α = 0.5, k₀ = 0.5,

 = 1000, p = 0.5, T = 0.05. Parametr |d(0)| = 7.9, |d(0.25)| = 0.34, a warto´s´c przeskalowanej poprawki kwantowej wynosi λ = 0.004.

W poprawionej wersji kwantowego równania Smoluchowskiego, oznaczonego jako B, po-tencjał V_{ef f}^r (x) został zredukowany do V_r(x), relacja (3.18). W wersji A kwantowego równania Smoluchowskiego, poprawka kwantowa była brana podwójnie: w potencjale V_{ef f}^r (x), relacja (4.5), oraz we współczynniku dyfuzji D_r(x), relacja (3.43). To powodowało, np. przeszacow-anie czasów ˙zycia stanów stacjonarnych. Wtedy czasy ˙zycia takich stanów były du˙zo wi˛eksze ni˙z czas charakterystyczny w układzie. Gdy ´sredni czas ˙zycia stanów stacjonarnych jest du˙zo wi˛ekszy ni˙z charakterystyczny czas w układzie, wtedy istnieje mo˙zliwo´s´c wykorzystania takich

4 Analiza stanów stacjonarnych

Rysunek 4.6: Na lewych rysunkach pokazane s ˛a rozkłady prawdopodobie´nstwa P (x) dla stru-mienia magnetycznego przechodz ˛acego przez pier´scie´n x dla wersji A i B kwan-towego równania Smoluchowskiego. Na prawym górnym rysunku pokazany jest kształt uogólnionego potencjału termodynamicznego ˜Ψ(x) dla dwóch wer-sji kwantowego równania Smoluchowskiego oraz potencjał V_r(x). Prawy dolny rysunek pokazuje zale˙zno´s´c współczynnika dyfuzji D_r(x)/k₀T₀od x. Jest on taki sam w obu wersjach kwantowego równania Smoluchowskiego. Warto´s´c funkcji

|d(0)| = 8.5 oraz |d(0.25)| = 0.92. Pozostałe parametry s ˛a nast˛epuj ˛ace x_e = 0, T₀ = 0.04,  = 10, α = 0.1, p = 0.5, k₀ = 0.5, λ₀ = 0.002.

układów do budowania np. qutritów². W pracy [27] zasugerowano zastosowanie pier´scieni me-zoskopowych w kwantowym re˙zimie Smoluchowskiego, dla których pojawiaj ˛a si˛e efektywnie trzy długo˙zyj ˛ace stany stacjonarne jako qutritów. Niestety kiedy praca [27] si˛e ukazała nie było jeszcze wiadomo, ˙ze kwantowe równania Smoluchowskiego zawiera bł ˛ad. Dlatego odpowied-nie obliczenia zostan ˛a powtórzone dla poprawionej wersji kwantowego równania Smoluchow-skiego. Parametry dla pier´scienia, który był kandydatem na qutrit s ˛a nast˛epuj ˛ace x_e = 0, T₀ = 0.04,  = 10, α = 0.1, p = 0.5, k₀ = 0.5, λ₀ = 0.002 [27].

Porównanie odpowiednich ´srednich czasów obliczonych na podstawie kwantowego równia Smoluchowskiego w wersji A i B, zostało pokazane w poni˙zszych tabelach. Punkty dla których zostały okre´slone warunki brzegowe, zostały odczytane z uogólnionego potencjału termody-namicznego ˜Ψ(x), którego kształt pokazano na rys. 4.6.

´sredni czas ˙zycia cz ˛astki wersja A wersja B warunki brzegowe τ (0, −0.0172, 0.0172) 10⁴ 0.023 abs. abs.

τ (0.5, 0.488, 0.52) 5 × 10³ 0.018 abs. odb.

τ (1, 0.988, 1.02) 2 ×10³ 0.011 abs. odb.

2Układy trój-stanowe nazywamy qutritami, w odró˙znieniu od układów dwu - stanowych, czyli kubitów.

4.1 Zagadnienie ´sredniego czasu ˙zycia cz ˛astki Browna w stanie stacjonarnym

´sredni czas przej´scia cz ˛astki wersja A wersja B warunki brzegowe

τ (0.5 → 0) 2 × 10⁵ 1.33 abs. odb.

τ (1 → 0.5) 3 ×10⁴ 0.55 abs. odb.

τ (0 → 0.5) 9 × 10⁵ 4.77 odb. abs

τ (0.5 → 1) 2 × 10⁷ 50.72 odb. abs.

Porównuj ˛ac odpowiednie ´srednie czasy wida´c, ˙ze zostały one przeszacowane, gdy były czone z wersji A kwantowego równania Smoluchowskiego. Poniewa˙z ´srednie czasy ˙zycia obli-czone na podstawie poprawionego kwantowego równania Smoluchowskiego s ˛a mniejsze od charakterystycznego czasu w układzie τ₀, to wydaje si˛e, ˙ze argumentacja dotycz ˛ac ˛a zastosowa-nia takich pier´scieni jako qutritów nie jest ju˙z wa˙zna. Niestety nie da si˛e raczej dobra´c parame-trów modelu, aby uzyska´c czasy ˙zycia stanów stacjonarnych dłu˙zszych od charakterystycznego czasu w układzie τ₀.

Rysunek 4.7: Górny rys. pokazuje rozkład prawdopodobie´nstwa P (x) dla całkowitego stru-mienia magnetycznego x przechodz ˛acego przez pier´scie´n w przypadku klasy-cznym λ₀ = 0 oraz w przypadku kwantowym dla λ₀ = 0.0002. ´Srodkowy rys.

pokazuje klasyczny potencjał V_r(x)/k₀T₀ oraz uogólnione potencjały termody-namiczne Ψ(x) oraz ˜Ψ(x). Dolny rys. pokazuje kształt współczynnika dyfuzji D_r(x)/k₀T₀. Parametry modelu s ˛a nast˛epuj ˛ace x_e = 0, α = 0.01, k₀ = 0.1,

 = 100000, p = 0.5, T = 0.05. Parametr |d(0)| = 0.019, |d(0.25)| = 0.61, a warto´s´c przeskalowanej poprawki kwantowej wynosi λ = 0.003.

Czas ˙zycia stanów stacjonarnych w pier´scieniu z rys. 4.6 dla xs1 = 0, x_s2 = 0.5 oraz x_s3 = 1 wynosz ˛a odpowiednio 0.023, 0.018 oraz 0.011. Gdy cz ˛astka Browna znajduje si˛e

4 Analiza stanów stacjonarnych

w stanie stacjonarnym w xs1 = 0, to ´sredni czas jaki jej zajmie doj´scie do stanu w x_s2 =

±0.5 oraz ze stanu w x_s2 = ±0.5 do stanu w x_s3 = ±1 wynosi odpowiednio 4.77 i 50.72.

Natomiast gdy cz ˛astka Browna zostanie wzbudzona do stanu w xs2 = ±0.5, to doj´scie do stanu w xs1 = 0 zajmie jej ´srednio 1.33, natomiast ze stanu w x_s3 = ±1 do stanu w x_s1 = 0.5

´srednio 0.55. Porównuj ˛ac te czasy wida´c, ˙ze układ jest efektywnie trój-stanowy. Oznacza to,

˙ze w układzie mog ˛a zosta´c wzbudzone krótko˙zyciowe pr ˛ady samopotrzymuj ˛ace si˛e, natomiast najdłu˙zej ˙zyj ˛acym stanem stacjonarnym jest stan w xs1 = 0, dla którego pr ˛ady w pier´scieniu nie płyn ˛a.

Wpływ poprawki kwantowej na kształt rozkładów prawdopodobie´nstwa mo˙zna równie˙z trak-towa´c jako rodzaj lokalizacji elektronów. Wpływ poprawki kwantowej powoduje powstanie stanu najdłu˙zej ˙zyj ˛acego w ³ x_s = 0 , dla którego pr ˛ady w pier´scieniu nie płyn ˛a. Dobrze to wida´c na rys. 4.7. St ˛ad uwzgl˛ednienie kwantowego charakteru fluktuacji termicznych powoduje, ˙ze pr ˛ady w pier´scieniu „wol ˛a” nie płyn ˛a´c. Wida´c równie˙z, ˙ze fluktuacje pr ˛adów w pier´scieniu s ˛a mniejsze, wokół x = 0, gdy uwzgl˛ednimy kwantowy charakter fluktuacji ter-micznych.

4.1.2 Analiza stanów stacjonarnych dla nienadprzewodz ˛acego pier ´scienia z