Analiza stanów stacjonarnych dla nienadprzewodz ˛ acego pier´scienia z

Wpływ bariery potencjału zwi ˛azanej z kropk ˛a kwantow ˛a na kształt klasycznych (kl) oraz kwan-towych (kw) rozkładów prawdopodobie´nstwa P (x) pokazany jest na rys. 4.8. Zmniejsze-nie parametru tF powoduje przej´scie z bistabilno´sci na monostabilno´s´c klasycznego rozkładu prawdopodobie´nstwa P (x). Zanika wtedy mo˙zliwo´s´c płyni˛ecia krótko˙zyciowych pr ˛adów sa-mopodtrzymuj ˛acych si˛e. Poprawka kwantowa, powoduje natomiast zwi˛ekszenie zlokalizowa-nia rozkładu prawdopodobie´nstwa wokół x = 0. Wtedy fluktuacje termiczne strumiezlokalizowa-nia mag-netycznego x wokół x = 0 s ˛a mniejsze ni˙z w przypadku klasycznym.

3Parametr k0wpływa na kształt rozkładów prawdopodobie´nstwa P (x) podobnie jak temperatura T0. Zwi˛eksze-nie parametru k0powoduje rozmywanie rozkładu prawdopodobie´nstwa P (x). Gdy parametr k0jest dostate-cznie mały to rozkład prawdopodobie´nstwa jest dostatedostate-cznie skupiony wokół x = 0 (dla x_e = 0), ˙ze efekty-wnie pojawia si˛e tylko jeden stan stacjonarny dla xs= 0.

4.1 Zagadnienie ´sredniego czasu ˙zycia cz ˛astki Browna w stanie stacjonarnym

Rysunek 4.8: Rozkłady prawdopodobie´nstwa P (x) dla całkowitego strumienia magnetycznego x przechodz ˛acego przez pier´scie´n z kropk ˛a kwantow ˛a dla ró˙znych warto´sci t_F. Ci ˛agła linia oznacza klasyczny rozkład prawdopodobie´nstwa (kl), tzn. dla λ₀ = 0, natomiast przerywana linia kwantowy (kw) dla λ₀ = 0.0003. Dodatkowo pokazano zale˙zno´s´c współczynnika dyfuzji D_d(x)/k₀T₀. Pozostałe parametry s ˛a nast˛epuj ˛ace k0 = 0.1, α = 0.1 T = 0.15,  = 1000, p = 0.5, δ_F = 0.

4 Analiza stanów stacjonarnych

5 Pr ˛ ady trwałe w mezoskopowym pier ´scieniu

5.1 ´ Srednie pr ˛ ady płyn ˛ ace w nienadprzewodz ˛ acym pier ´scieniu

Pr ˛ady koherentne dla przeskalowanego strumienia magnetycznego x oraz przeskalowanej tem-peratury T₀wynosz ˛a

I_koh(x)

i₀ = B_r/d(x, T₀). (5.1)

Przeskalowane pr ˛ady koherentne mo˙zna otrzyma´c ze wzoru i_koh = Ikoh(x)

φ₀/L = αB_r/d(x, T₀). (5.2)

Porównuj ˛ac przeskalowane ´srednie pr ˛ady i do przeskalowanych pr ˛adów koherentnych i_koh mo˙zna łatwo przeanalizowa´c wpływ fluktuacji termicznych na amplitud˛e pr ˛adów koherentnych płyn ˛acych w pier´scieniu.

Dla jednego ustalonego pier´scienia mezoskopowego mo˙zemy zmienia´c temperatur˛e T₀ oraz zewn˛etrzny strumie´n magnetyczny x_e. Natomiast zmian˛e parametrów k₀, α, p, , λ₀ nale˙zy rozumie´c jako zmian˛e pier´scieni o innych własno´sciach fizycznych zwi ˛azanych z pr ˛adem kry-tycznym i₀ jaki mo˙ze płyn ˛a´c w układzie, współczynnikiem samoindukcji L pier´scienia, jego oporem R i pojemno´sci ˛a elektryczn ˛a C.

Na rys. 5.1 przedstawiamy ´srednie pr ˛ady i oraz pr ˛ady koherentne ikoh płyn ˛ace w pier´scieniu w zale˙zno´sci od zewn˛etrznego strumienia magnetycznego x_edla pi˛eciu parametrów p równych 0; 0.25; 0.5; 0.75; 1. Parametr p wpływa na znak, amplitud˛e oraz okresowo´s´c pr ˛adów płyn ˛acych w pier´scieniu. ´Sredni pr ˛ad płyn ˛acy w pier´scieniu ma okres równy 1 dla wszystkich warto´sci p za wyj ˛atkiem p = 0.5, gdzie okres pr ˛adu jest równy 0.5. Odpowied´z układu dla małych warto´sci zewn˛etrznego strumienia magnetycznego x_ejest diamagnetyczna dla p = 0 oraz para-magnetyczna dla p ∈ [0.5, 1]. Dla parametru p ∈ (0, 0.5) odpowied´z układu na małe warto´sci zewn˛etrznego strumienia magnetycznego x_e zale˙zy od warto´sci parametrów k₀ i T₀, rys. 5.2, 5.3. Poprawka kwantowa powoduje obni˙zenie amplitudy ´srednich pr ˛adów płyn ˛acych w

pier-´scieniu, rys. 5.1.

Na rys. 5.4 pokazano wpływ parametru k₀ na amplitud˛e klasycznych ´srednich pr ˛adów i płyn ˛acych w pier´scieniu dla p = 0.5. Parametr T₀ ma warto´s´c 0.05. Zwi˛ekszenie parametru k₀ powoduje obni˙zenie amplitudy ´srednich pr ˛adów, podobnie jak zwi˛ekszenie temperatury w układzie T₀. Iloczyn parametrów k₀T₀jest przeskalowan ˛a intensywno´sci ˛a szumu w pier´scieniu.

Rozwa˙zmy nast˛epnie, jak fluktuacje termiczne wpływaj ˛a na warto´s´c ´srednich pr ˛adów i płyn ˛ a-cych w pier´scieniu, gdy zmieniamy parametr α, tzn. wybieramy wiele pier´scieni, w których mog ˛a płyn ˛a´c ró˙zne pr ˛ady krytyczne i₀. Ustalmy parametry k₀, p oraz wybierzmy warto´s´c zewn˛etrznego strumienia magnetycznego, np. x_e= 0.125.

Z rys. 5.5 wida´c, ˙ze amplituda ´srednich pr ˛adów i wygasza si˛e szybciej wraz ze wzrostem temperatury T₀, ni˙z amplituda pr ˛adów koherentnych i_koh. Ponadto wraz ze wzrostem parametru

5 Pr ˛ady trwałe w mezoskopowym pier´scieniu

Rysunek 5.1: Zale˙zno´s´c klasycznych ´srednich pr ˛adów i od zewn˛etrznego strumienia mag-netycznego x_e dla λ₀ = 0 oraz z uwzgl˛ednieniem poprawki kwantowej dla λ₀ = 0.0002. Dla porównania narysowano pr ˛ady koherentne ikoh. Wykresy zostały narysowane dla pi˛eciu parametrów p równych 0; 0.25; 0.5; 0.75; 1. Po-zostałe parametry s ˛a nast˛epuj ˛ace T = 0.05, k₀ = 0.1, α = 0.05, ε = 100.

5.1 ´Srednie pr ˛ady płyn ˛ace w nienadprzewodz ˛acym pier´scieniu

α (lub ilorazu parametrów α/k₀) amplituda ´srednich pr ˛adów i płyn ˛acych w pier´scieniu wygasza si˛e szybciej w stosunku do pr ˛adów koherentnych i_koh. W tych re˙zimach parametrów wpływ klasycznych fluktuacji termicznych jest najwi˛ekszy.

Zwi˛ekszenie ilorazu parametrów α/k0 jest równoznaczne z tym, ˙ze dobieramy pier´scienie mezoskopowe, w których mog ˛a płyn ˛a´c wi˛eksze pr ˛ady krytyczne i₀ (patrz podrozdział (3.4.2)).

St ˛ad wida´c, ˙ze dla pier´scienia, w których mo˙ze płyn ˛a´c wi˛ekszy pr ˛ad krytyczny i₀, wpływ klasy-cznych fluktuacji termiklasy-cznych na amplitudy ´srednich pr ˛adów staje si˛e wi˛ekszy. Dzieje si˛e tak od pewnej krytycznej warto´sci α/k₀.

Rysunek 5.2: Zale˙zno´s´c ´srednich klasycznych pr ˛adów i od zewn˛etrznego strumienia magnety-cznego x_e dla α = 0.1, p = 0.52 - górne rys. oraz α = 0.1, p = 0.48 - dolne rys.. Na lewych rysunkach pokazano zale˙zno´s´c ´srednich klasycznych pr ˛adów i od zewn˛etrznego strumienia magnetycznego x_edla ró˙znych parametrów k₀, równych 0.08, 0.1, 0.12 w temperaturze T₀ = 0.5, natomiast na prawych rysunkach dla ustalonego parametru k0 = 0.08 oraz ró˙znych parametrów T0 równych 0.5, 0.6 i 0.8. Górne rysunki s ˛a równowa˙zne dolnym je´sli x_e przesuniemy o 0.5.

Na rys. 5.6 ´srednie pr ˛ady w pier´scieniu i rosn ˛a, gdy ro´snie α. Od pewnej krytycznej warto´sci α ´srednie pr ˛ady ju˙z nie rosn ˛a, tylko osi ˛agaj ˛a stał ˛a warto´s´c (wysycaj ˛a si˛e), rys. 5.7. Na rys.

5.7 wida´c, ˙ze gdy α/k₀ < 1, to ´srednie pr ˛ady rosn ˛a w przybli˙zeniu liniowo, gdy zwi˛ekszamy iloraz parametrów α/k0. Natomiast dla α/k0 > 1 zwi˛ekszanie liniowo ilorazu parametrów α/k₀powoduje, ˙ze ´srednie pr ˛ady rosn ˛a w przybli˙zeniu jak√

α, po czym osi ˛agaj ˛a stał ˛a warto´s´c.

5 Pr ˛ady trwałe w mezoskopowym pier´scieniu

Na rys. 5.7 pokazano równie˙z warto´sci√

α i α. Parametr α mo˙zna traktowa´c jako iloraz dwóch charakterystycznych pr ˛adów: pr ˛adu krytycznego i₀oraz pr ˛adu φ₀/L. St ˛ad wida´c, ˙ze parametry i =< I > /(φ0/L) oraz α = i0/(φ0/L) s ˛a skalowane do tego samego pr ˛adu φ0/L.

Wiemy, ˙ze w pier´scieniach mezoskopowych w re˙zimie balistycznym typowy pr ˛ad ro´snie jak

√N⊥, relacja (3.61), gdzie N⊥jest liczb ˛a kanałów w pier´scieniu. Jak było wcze´sniej wspomni-ane, gdy α  k0relacja (3.62) oznacza, ˙ze pier´scie´n jest w re˙zimie balistycznym. Uwzgl˛ednie-nie klasycznych fluktuacji termicznych powoduje jednak, ˙ze ´sredUwzgl˛ednie-nie pr ˛ady i płyn ˛ace w pier´scie-niu od pewnej krytycznej warto´sci α/k₀ nie rosn ˛a ju˙z jakpα/k₀, lecz osi ˛agaj ˛a stał ˛a warto´s´c (wysycaj ˛a si˛e).

Rysunek 5.3: Na rysunkach pokazano obszar wyst˛epowania diamagnetycznych ´srednich pr ˛adów w zewn˛etrznym strumieniu magnetycznym równym x_e = 0.05 -zakreskowany obszar. Na prawo od obszaru zakreskowanego pr ˛ady nie płyn ˛a, a na lewo odpowied´z układu na zewn˛etrzny strumie´n magnetyczny jest param-agnetyczna. Wykresy zostały wykonane dla p = 0.25 oraz p = 0.48. Kształt wykresu słabo zale˙zy od parametru α, który został ustawiony na 0.1.

Natomiast, gdy α  k0, relacja (3.64), to pier´scie´n jest w re˙zimie dyfuzyjnym. Zmniejszaj ˛ac liniowo parametr α/k0 amplituda ´srednich pr ˛adów i równie˙z maleje liniowo, co jest zgodne z relacj ˛a (2.38). Parametr α jest zwi ˛azany z własno´sci fizycznymi pier´scieni mezoskopowych poprzez pr ˛ady krytyczne i0 i współczynnik samoindukcji L. Porównuj ˛ac go do parametru k0

mo˙zna okre´sli´c re˙zim (balistyczny czy dyfuzyjny), w którym znajduje si˛e pier´scie´n. Dla tego samego pier´scienia iloraz parametrów α/k₀zale˙zy tylko od i₀.

Na rys., na których uwzgl˛edniono poprawk˛e kwantow ˛a, ´srednie klasyczne pr ˛ady płyn ˛ace w pier´scieniu i dla λ = 0 oznaczono jako i_kl, natomiast ´srednie kwantowe pr ˛ady i dla λ 6= 0 oz-naczono jako i_kw. Obliczaj ˛ac warto´s´c (i_kl−i_kw)/i_klwiemy jaka jest korekta do ´srednich pr ˛adów i_kl płyn ˛acych w pier´scieniu, natomiast obliczaj ˛ac (ikl − i_kw)/i_koh wiemy jaka jest korekta do pr ˛adów koherentnych i_koh płyn ˛acych w pier´scieniu.

Na rys. 5.8 pokazana jest poprawka kwantowa do pr ˛adów ikl − i_kw płyn ˛acych w pier´scie-niu dla zewn˛etrznego strumienia magnetycznego równego x_e = 0.125 (p = 0.5), skalowana

5.1 ´Srednie pr ˛ady płyn ˛ace w nienadprzewodz ˛acym pier´scieniu

Rysunek 5.4: Zale˙zno´s´c klasycznych ´srednich pr ˛adów i od zewn˛etrznego strumienia magnety-cznego x_e. Dla porównania narysowano pr ˛ady koherentne i_koh. Wykresy zostały narysowane dla trzech parametrów k0równych 0.1; 0.05; 0.01. Pozostałe parame-try s ˛a nast˛epuj ˛ace p = 0.5, T = 0.05, α = 0.05.

do i_kl oraz i_koh. Warto´sci wzgl˛ednej poprawki kwantowej do pr ˛adów (i_kl − i_kw)/i_kl oraz (i_kl − i_kw)/i_koh zwi˛ekszaj ˛a si˛e z obni˙zeniem warto´sci parametrów T₀ oraz α. Nale˙zy zwró-ci´c uwag˛e, ˙ze amplituda ´srednich klasycznych pr ˛adów i maleje wskutek wpływu klasycznych fluktuacji termicznych, gdy parametry T₀ i α rosn ˛a, rys. 5.5. St ˛ad wida´c, ˙ze klasyczne i kwan-towe fluktuacje termiczne najbardziej wpływaj ˛a na amplitud˛e ´srednich pr ˛adów i_kl dla innych zakresów parametrów T0 i α. Uto˙zsamiaj ˛ac znowu stosunek parametrów α/k0 z re˙zimem (dy-fuzyjny czy balistyczny) w pier´scieniu, wida´c ˙ze wpływ klasycznych fluktuacji termicznych jest najwi˛ekszy dla α  k₀, tzn. w re˙zimie balistycznym, natomiast kwantowy charakter fluktuacji termicznych najwi˛ekszy jest dla α  k0, tzn. w re˙zimie dyfuzyjnym, rys. 5.8 i 5.9.

Na rys. 5.10 pokazana jest temperaturowa zale˙zno´s´c wzgl˛ednej poprawki kwantowej do pr ˛adów (i_kl − i_kw)/i_kl oraz (i_kl − i_kw)/i_koh dla ró˙znych warto´sci parametru . Zwi˛ekszanie parametru  mo˙zna powi ˛aza´c z tym, ˙ze badany pier´scie´n ma mniejsz ˛a efektywn ˛a pojemno´sci ˛a elektryczn ˛a. Dla pier´scieni mezoskopowych z mniejsz ˛a pojemno´sci ˛a elektryczn ˛a C, wpływ kwantowych fluktuacji termicznych na amplitud˛e ´srednich pr ˛adów i_kl oraz pr ˛adów koherent-nych ikoh jest wi˛ekszy. Nale˙zy zwróci´c uwag˛e, ˙ze warto´s´c funkcji d(x) wzrosła, gdy wzrósł parametr . Warto´s´c funkcji d(0.25) = 0.3 oznacza, ˙ze kwantowy współczynnik dyfuzji został zmieniony w punkcie x = 0.25 o 30%.

Najwi˛ekszy wpływ na wielko´s´c wzgl˛ednej poprawki do pr ˛adów (ikl − i_kw)/i_kl oraz (i_kl− i_kw)/i_koh ma parametr λ₀, rys. 5.11. Zwi˛eksza on równie˙z zasadniczo warto´s´c funkcji d(x). Dlatego nale˙zy by´c ostro˙zny z dobieraniem parametru λ₀ (równie˙z ), aby nie przesza-cowa´c poprawki kwantowej do pr ˛adów.

Podsumowuj ˛ac mo˙zna by si˛e zastanowi´c czy wpływ kwantowych fluktuacji termicznych na amplitud˛e pr ˛adów w pier´scieniu nie mo˙zna powi ˛aza´c ze słab ˛a lokalizacj ˛a elektronów. Po pierwsze, wzi˛ecie pod uwag˛e kwantowego charakteru fluktuacji termicznych jest kontrolowane przez parametr λ. Zale˙zy on najsilniej od odwrotno´sci bezwymiarowej przewodno´sci w układzie

5 Pr ˛ady trwałe w mezoskopowym pier´scieniu

1/g, która kontroluje nieporz ˛adek w układzie. Gdy nieporz ˛adek w układzie jest wi˛ekszy, to wpływ kwantowego charakteru fluktuacji termicznych jest wi˛ekszy na amplitud˛e ´srednich pr ˛adów płyn ˛acych w pier´scieniu. Z podrozdziału 2.3 wiemy, ˙ze kwantowy dyfuzyjny ruch elektronów prowadzi do pojawiania si˛e trajektorii przecinaj ˛acych si˛e, które daj ˛a wkład do słabej lokalizacji elektronów. Wkład do słabej lokalizacji elektronów od pojedynczego przeci˛ecia si˛e kwantowej trajektorii elektronów jest rz˛edu 1/g. Po drugie poprawka kwantowa powoduje efektywnie zwi˛ekszenie g˛esto´sci prawdopodobie´nstwa P (x) w otoczeniu x = 0 (xe = 0) co oznacza, ˙ze pr ˛ady w pier´scieniu nie płyn ˛a. Jest to rodzaj lokalizacji elektronów w pier´scie-niu. Po trzecie obserwuje si˛e obni˙zenie amplitudy ´srednich pr ˛adów płyn ˛acych w pier´scieniach, gdy uwzgl˛ednimy poprawk˛e kwantow ˛a. Mo˙zna to powi ˛aza´c z poprawk ˛a do przewodno´sci elek-trycznej pochodz ˛acej od słabej lokalizacji elektronów. Po czwarte, poprawka kwantowa do pr ˛adów ro´snie, gdy w układzie zwi˛ekszamy nieporz ˛adek poprzez odpowiednie dobranie ilorazu parametrów α/k0.

Rysunek 5.5: ´Srednie klasyczne pr ˛ady i płyn ˛ace w pier´scieniu dla warto´sci zewn˛etrznego stru-mienia magnetycznego równego x_e = 0.125. Pozostałe parametry s ˛a nast˛epuj ˛ace p = 0.5 oraz k0 = 0.1. ´Srednie klasyczne pr ˛ady i skalowane s ˛a do pr ˛adów koher-entnych ikoh.

5.1 ´Srednie pr ˛ady płyn ˛ace w nienadprzewodz ˛acym pier´scieniu

Rysunek 5.6: ´Srednie klasyczne pr ˛ady i płyn ˛ace w pier´scieniu dla warto´sci zewn˛etrznego stru-mienia magnetycznego równego xe = 0.125. Pozostałe parametry s ˛a nat˛epuj ˛ace p = 0.5 oraz k₀ = 0.1.

Rysunek 5.7: Zale˙zno´s´c ´srednich klasycznych pr ˛adów i od α dla ustalonej temperatury T0

równej 0.04. Parametr p = 0.5 oraz k₀ = 0.1. Dla porównania narysowano funkcje i =√

α oraz i = α.

5 Pr ˛ady trwałe w mezoskopowym pier´scieniu

Rysunek 5.8: Wzgl˛edna poprawka kwantowa (i_kl−i_kw)/i_kldo ´srednich klasycznych pr ˛adów i_kl płyn ˛acych w pier´scieniu dla p = 0.5, w zewn˛etrznym strumieniu magnetycznym równym xe = 0.125 -górny lewy wykres. Wzgl˛edna poprawka kwantowa (i_kl− i_kw)/i_koh do pr ˛adów koherentnych i_koh - górny prawy wykres. Dolne wykresy pokazuj ˛a warto´sci funkcji |d(0)| oraz d(0.25). Białe miejsca w górnych lewych rogach wykresów oznaczaj ˛a, ˙ze Dr(x) < 0. Pozostałe parametry maj ˛a warto´s´c k₀ = 0.1, ε = 100, λ₀ = 0.0002.

5.1 ´Srednie pr ˛ady płyn ˛ace w nienadprzewodz ˛acym pier´scieniu

Rysunek 5.9: Wzgl˛edna poprawka kwantowa (i_kl−i_kw)/i_kldo ´srednich klasycznych pr ˛adów i_kl płyn ˛acych w pier´scieniu dla p = 0.5, w zewn˛etrznym strumieniu magnetycznym równym xe = 0.125 - górny lewy wykres, wzgl˛edna poprawka kwantowa (i_kl− i_kw)/i_koh do pr ˛adów koherentnych i_koh - górny prawy wykres. Wykresy zostały narysowane dla ró˙znych parametrów α. Na wykresach jest równie˙z pokazana warto´s´c funkcji d(x) w 0 i 0.5 oraz warto´s´c poprawki kwantowej λ. Pozostałe parametry s ˛a nast˛epuj ˛ace k₀ = 0.1, λ₀ = 0.0002,  = 100.

5 Pr ˛ady trwałe w mezoskopowym pier´scieniu

Rysunek 5.10: Wzgl˛edna poprawka kwantowa (i_kl− i_kw)/i_kl do ´srednich klasycznych pr ˛adów i_kl płyn ˛acych w pier´scieniu dla p = 0.5, w zewn˛etrznym strumieniu mag-netycznym równym xe = 0.125 - lewy górny wykres. Wzgl˛edna poprawka kwantowa (i_kl− i_kw)/i_koh do pr ˛adów koherentnych i_koh - górny prawy wykres.

Parametr  ma warto´s´c równ ˛a 10, 100 oraz 1000. Na wykresach jest równie˙z pokazana warto´s´c funkcji d(x) w 0, 0.25 oraz warto´s´c poprawki kwantowej λ.

Pozostałe parametry wybrano nast˛epuj ˛aco k₀ = 0.1, α = 0.05, λ₀ = 0.0002.

5.1 ´Srednie pr ˛ady płyn ˛ace w nienadprzewodz ˛acym pier´scieniu

Rysunek 5.11: Wzgl˛edna poprawka kwantowa (i_kl− i_kw)/i_kl do ´srednich klasycznych pr ˛adów i_kl płyn ˛acych w pier´scieniu dla p = 0.5, w zewn˛etrznym strumieniu mag-netycznym równym xe = 0.125 - górny lewy wykres. Wzgl˛edna poprawka kwantowa (i_kl− i_kw)/i_koh do pr ˛adów koherentnych i_koh - górny prawy wykres.

Wykresy zostały narysowane dla ró˙znych parametrów λ₀. Na wykresach jest równie˙z pokazana warto´s´c funkcji d(x) w 0, 0.25 oraz warto´s´c poprawki kwan-towej λ. Pozostałe parametry wybrano nast˛epuj ˛aco k₀ = 0.1, α = 0.05,  = 100.

5 Pr ˛ady trwałe w mezoskopowym pier´scieniu

5.2 ´ Srednie pr ˛ ady płyn ˛ ace w nienadprzewodz ˛ acym pier ´scieniu z kropk ˛ a kwantow ˛ a

Na rys. 5.12 wida´c wpływ parametru δF na amplitud˛e, parzysto´s´c oraz znak ´srednich pr ˛adów i płyn ˛acych w pier´scieniu z kropk ˛a kwantow ˛a. Parametr δF wpływa podobnie na kształt ´srednich pr ˛adów płyn ˛acych w pier´scieniu jak parametr p dla pier´scieni bez kropki kwantowej.

Rysunek 5.12: Zale˙zno´s´c ´srednich klasycznych pr ˛adów i płyn ˛acych w pier´scieniu z kropk ˛a kwantow ˛a od zewn˛etrznego strumienia magnetycznego x_edla wybranych para-metrów δF. Górny lewy wykres - p = 0, górny prawy - p = 0.5 i dolny - p = 1.

Parametry δ_F s ˛a nast˛epuj ˛ace: 0; π/2; π dla p = 0; 1 oraz δ_F = 0; π/4; π/2 dla p = 0.5. Pozostałe parametry s ˛a nast˛epuj ˛ace k₀ = 0.1, α = 0.05 T = 0.1 Ustalmy parametr δF = 0 oraz p = 0.5. Zastanówmy si˛e jaki jest wpływ klasycznych i kwantowych fluktuacji na amplitud˛e ´srednich pr ˛adów i płyn ˛acych w pier´scieniu. Na rys. 5.13 wida´c, ˙ze zmniejszenie parametru tF powoduje zwi˛ekszenie wpływu klasycznych fluktuacji termicznych na amplitud˛e ´srednich pr ˛adów i, w odniesieniu do pier´scienia bez kropki kwan-towej, dla warto´sci T₀ wi˛ekszego od ∼ 0.01. Natomiast, gdy temperatura T₀ jest mniejsza od

∼ 0.01, to sytuacja jest odwrotna. Amplituda ´srednich pr ˛adów i maleje, gdy zmniejsza si˛e parametr tF - dolny rys. 5.13. Wi ˛a˙ze si˛e to z barier ˛a potencjału powstał ˛a z powodu umieszczenia kropki kwantowej w pier´scieniu.

Krzywe zale˙zno´sci ´srednich pr ˛adów od temperatury T₀łagodniej malej ˛a wraz ze zmniejsze-niem współczynnika transmisji tF.

Na rys. 5.14 wida´c, ˙ze poprawka kwantowa ro´snie, gdy parametr tF maleje, tzn. współczyn-nik przej´scia przez barier˛e potencjału jest mniejszy.

5.2 ´Srednie pr ˛ady płyn ˛ace w nienadprzewodz ˛acym pier´scieniu z kropk ˛a kwantow ˛a

Podobnie jak dla pier´scienia bez kropki kwantowej wzrost parametru α powoduje zwi˛eksze-nie wpływu klasycznych fluktuacji termicznych, co przekłada si˛e na zmzwi˛eksze-niejszezwi˛eksze-nie amplitudy

´srednich pr ˛adów i płyn ˛acych w pier´scieniu z kropk ˛a kwantow ˛a, rys. 5.15. Natomiast poprawka kwantowa do pr ˛adów (ikl− i_kw)/i_kloraz (ikl− i_kw)/i_kohzwi˛eksza si˛e, gdy parametr α maleje, rys. 5.15.

Rysunek 5.13: ´Srednie klasyczne pr ˛ady i płyn ˛ace w pier´scieniu z kropk ˛a kwantow ˛a, w zewn˛etrznym strumieniu magnetycznym równym x_e = 0.125 dla p = 0.5.

Górny rysunek skalowany jest do pr ˛adów koherentnych i_koh. ´Srednie pr ˛ady pokazane s ˛a dla ró˙znych współczynników transmisji tF. Pozostałe parametry s ˛a nast˛epuj ˛ace k₀ = 0.1, α = 0.05, δ_F = 0.

5 Pr ˛ady trwałe w mezoskopowym pier´scieniu

Rysunek 5.14: Poprawka kwantowa do ´srednich klasycznych pr ˛adów (ikl− i_kw)/i_klpłyn ˛acych w pier´scieniu z kropk ˛a kwantow ˛a dla p = 0.5, w zewn˛etrznym strumieniu mag-netycznym równym x_e = 0.125 - górny lewy rys.. Poprawka kwantowa do pr ˛adów koherentnych (ikl−i_kw)/i_koh- górny prawy rys. ´Srednie pr ˛ady pokazane s ˛a dla ró˙znych warto´sci t_F. Na wykresach jest równie˙z pokazana warto´s´c funkcji d(x) w 0 i 0.25. Pozostałe parametry s ˛a nast˛epuj ˛ace k₀ = 0.1, α = 0.05, λ₀ = 0.0002, ε = 100.

5.2 ´Srednie pr ˛ady płyn ˛ace w nienadprzewodz ˛acym pier´scieniu z kropk ˛a kwantow ˛a

Rysunek 5.15: Górny rys. pokazuje ´srednie klasyczne pr ˛ady i płyn ˛ace w pier´scieniu z kropk ˛a kwantow ˛a skalowane do i_koh. ´Srodkowy lewy rys. pokazuj ˛a wzgl˛edn ˛a poprawka kwantowa (ikl− i_kw)/i_kldo ´srednich klasycznych pr ˛adów iklpłyn ˛acych w

pier-´scieniu z kropk ˛a kwantow ˛a. ´Srodkowy prawy rys. pokazuje wzgl˛edn ˛a poprawk˛e kwantow ˛a (i_kl− i_kw)/i_kohdo pr ˛adów koherentnych i_koh. Pr ˛ady pokazane s ˛a dla ró˙znych warto´sci α. Na wykresach jest równie˙z pokazana warto´s´c funkcji d(x) w 0 i 0.5 - dolne rys.. Pozostałe parametry s ˛a nast˛epuj ˛ace p = 0.5, x_e = 0.125, k₀ = 0.1, t_F = 0.9, λ₀ = 0.0002, ε = 100.

5 Pr ˛ady trwałe w mezoskopowym pier´scieniu

6 Zako ´ nczenie

Celem rozprawy doktorskiej było przeanalizowanie wpływu kwantowych fluktuacji termicznych na (1) stany stacjonarne strumienia magnetycznego przechodz ˛acego przez pier´scie´n mezosko-powy oraz (2) charakterystyk˛e pr ˛adów płyn ˛acych w pier´scieniu mezoskopowym.

1) Analiza wpływu klasycznych fluktuacji termicznych na dynamik˛e strumienia magne-tycznego przeprowadzona w pracy [23, 53] pokazała, ˙ze w pewnym re˙zimie parame-trów, rozkłady prawdopodobie´nstwa P (x) dla strumienia magnetycznego x posiadaj ˛a dwa stany stacjonarne dla x_s 6= 0, (x_e = 0). Oznacza to mo˙zliwo´s´c płyni˛ecia pr ˛adów samopodtrzymuj ˛acych si˛e w pier´scieniach mezoskopowych. Pomiary na pier´scieniach mezoskopowych dokonuje si˛e w niskich temperaturach rz˛edu 10 − 100mK [12, 18].

St ˛ad wydaje si˛e naturalne uwzgl˛ednienie kwantowych fluktuacji termicznych. Zostało to dokonane w rozprawie doktorskiej. Obni˙zenie temperatury u układzie powoduje, w pewnych jej zakresach, modyfikacj˛e potencjału, która istotnie nie wpływa na dynamik˛e i stany stacjonarne strumienia magnetycznego. Jednak˙ze istniej ˛a zakresy temperatury, dla których wpływ kwantowego charakteru fluktuacji termicznych zasadniczo zmienia dy-namik˛e i stany stacjonarne strumienia magnetycznego przechodz ˛acego przez pier´scie´n.

Pojawienie si˛e najdłu˙zej ˙zyj ˛acego stanu stacjonarnego dla x_s = 0, (x_e = 0) efektywnie niszczy pr ˛ady samopodtrzymuj ˛ace si˛e w pier´scieniu. W pewnych re˙zimach parametrów istnieje mo˙zliwo´s´c płyni˛ecia pr ˛adów samopotrzymuj ˛acych si˛e, ale pr ˛ady te s ˛a krótko˙zy-ciowe, trudne do zmierzenia w eksperymencie. Pojawienie si˛e stanu stacjonarnego dla xs = 0, (xe = 0) odpowiada zwi˛ekszeniu prawdopodobie´nstwa tego, aby pr ˛ady w

pier-´scieniu nie płyn˛eły. Mo˙zna to powi ˛aza´c z pewnego rodzaju lokalizacj ˛a elektronów.

2) Uwzgl˛ednienie klasycznych fluktuacji termicznych powoduje wygaszanie si˛e ´srednich pr ˛adów w ni˙zszych temperaturach w stosunku do pr ˛adów koherentnych. Ponadto wi˛ek-szy wpływ klasycznych fluktuacji termicznych na amplitud˛e pr ˛adów obserwuje si˛e dla pier´scieni, w których mog ˛a płyn ˛a´c wi˛eksze pr ˛ady krytyczne i₀w pier´scieniu. Od pewnej krytycznej warto´sci i₀, wzrost pr ˛adów krytycznych i₀ nie powoduje wzrostu amplitudy

´srednich pr ˛adów płyn ˛acych w pier´scieniu (amplituda ´srednich pr ˛adów d ˛a˙zy do stałej warto´sci) z powodu klasycznych fluktuacji termicznych. Uwzgl˛ednienie kwantowego charakteru fluktuacji termicznych powoduje zmniejszenie amplitudy ´srednich pr ˛adów płyn ˛acych w pier´scieniu. Dla ustalonej warto´sci poprawki kwantowej λ, wi˛ekszy wpływ kwantowych fluktuacji termicznych obserwuje si˛e w ni˙zszych temperaturach oraz dla mniejszych warto´sci pr ˛adu krytycznego i₀. St ˛ad wida´c, ˙ze klasyczny i kwantowy charak-ter fluktuacji charak-termicznych ma najwi˛ekszy wpływ na amplitud˛e ´srednich pr ˛adów dla prze-ciwnych zakresów warto´sci pr ˛adu krytycznego i₀, tzn. dla pier´scieni o ró˙znych własno´s-ciach fizycznych. Porównanie pr ˛adu krytycznego do pr ˛adu zdefiniowanego przez energi˛e k_BT^∗(patrz podrozdział 3.4.2), mo˙zna okre´sli´c re˙zim w jakim znajduje si˛e pier´scie´n (dy-fuzyjny czy balistyczny). Wówczas klasyczne fluktuacje termiczne najwi˛ekszy wpływ

6 Zako´nczenie

na amplitud˛e ´srednich pr ˛adów wykazuj ˛a w re˙zimie balistycznym, natomiast kwantowe fluktuacje termiczne w re˙zimie dyfuzyjnym. Ponadto nat˛e˙zenie kwantowych fluktuacji termicznych jest regulowane przez warto´s´c poprawki kwantowej λ. Najwi˛ekszy wpływ na warto´s´c poprawki kwantowej λ ma parametr λ0, który zale˙zy odwrotnie proporcjon-alnie od bezwymiarowej przewodno´sci g. Bezwymiarowa przewodno´s´c g mo˙ze słu˙zy´c jako parametr okre´slaj ˛acy wielko´s´c nieporz ˛adku w układzie. St ˛ad zwi˛ekszaj ˛ac warto´s´c poprawki kwantowej λ wybieramy pier´scienie z wi˛ekszym nieporz ˛adkiem. Z podrozdzi-ału 2.3 wiemy, ˙ze uwzgl˛ednienie kwantowego charakteru dyfuzyjnego ruchu elektronów prowadzi, dla układów ze słabym nieporz ˛adkiem, do słabej lokalizacji elektronów. Prze-jawia si˛e to, np. zmniejszeniem przewodno´sci w układzie. Dlatego wydaje si˛e, ˙ze

na amplitud˛e ´srednich pr ˛adów wykazuj ˛a w re˙zimie balistycznym, natomiast kwantowe fluktuacje termiczne w re˙zimie dyfuzyjnym. Ponadto nat˛e˙zenie kwantowych fluktuacji termicznych jest regulowane przez warto´s´c poprawki kwantowej λ. Najwi˛ekszy wpływ na warto´s´c poprawki kwantowej λ ma parametr λ0, który zale˙zy odwrotnie proporcjon-alnie od bezwymiarowej przewodno´sci g. Bezwymiarowa przewodno´s´c g mo˙ze słu˙zy´c jako parametr okre´slaj ˛acy wielko´s´c nieporz ˛adku w układzie. St ˛ad zwi˛ekszaj ˛ac warto´s´c poprawki kwantowej λ wybieramy pier´scienie z wi˛ekszym nieporz ˛adkiem. Z podrozdzi-ału 2.3 wiemy, ˙ze uwzgl˛ednienie kwantowego charakteru dyfuzyjnego ruchu elektronów prowadzi, dla układów ze słabym nieporz ˛adkiem, do słabej lokalizacji elektronów. Prze-jawia si˛e to, np. zmniejszeniem przewodno´sci w układzie. Dlatego wydaje si˛e, ˙ze