Parametry dla przeskalowanego równania Smoluchowskiego

Klasyczne bezwymiarowe równanie Smoluchowskiego (3.27) lub odpowiednio (3.26), charak-teryzuj ˛a bezwymiarowe parametry x, s, T0, k0, α, p oraz xe:

– Parametr x = φ/φ0 jest przeskalowanym całkowitym strumieniem magnetycznym;

– Parametr s = t/τ₀ jest przeskalowanym czasem, gdzie τ₀ = R/L;

– Bezwymiarowa temperatura jest równa T₀ = T /T^∗, gdzie T^∗jest charakterystyczn ˛a tem-peratur ˛a w układzie. Współczynniki Fouriera pr ˛adu trwałego płyn ˛acego w pier´scieniu, wygaszaj ˛a si˛e eksponencjalne z temperatur ˛a jak exp(−nT /T^∗). Dla T < T^∗ pr ˛ady nie s ˛a czułe na zmiany temperatury dla niskich harmonicznych n. Gdy T  T^∗ pierwsza harmoniczna n = 1 daje dobre przybli˙zenie do pr ˛adów płyn ˛acych w pier´scieniu. Cha-rakterystyczna temperatura T^∗ jest temperatur ˛a przej´scia pomi˛edzy wysoko a nisko tem-peraturowym re˙zimem. Parametr T^∗ mo˙zna dobra´c z eksperymentu lub z teorii np. jako przerw˛e energetyczn ˛a na poziomie Fermiego T^∗ ∼ ∆F/kB;

– Iloczyn parametrów k0T₀ = k_BT /2E_m jest przeskalowan ˛a intensywno´sci ˛a szumu w układzie, gdzie k₀ = k_BT^∗/2E_m jest stosunkiem dwóch charakterystycznych energii w układzie. Elementarna energia magnetyczna Em = φ²₀/2L oznacza jak ˛a ilo´s´c energii mo˙ze zmagazynowa´c pier´scie´n o współczynniku samoindukcji L. Definiuj ˛ac pr ˛ad I0

przez wyra˙zenie

I₀ = k_BT^∗

φ₀ , (3.58)

parametr k0 mo˙zna równie˙z zapisa´c jako k0 = Lk_BT^∗/φ²₀ = LI₀/φ₀;

– Parametr α = Li₀/φ₀ mówi nam jaki maksymalny pr ˛ad i₀ mo˙ze płyn ˛a´c w pier´scieniu o współczynniku samoindukcji L. Wpływa on na stabilno´s´c potencjału (3.18), poprzez si-nusoidaln ˛a cz˛e´s´c zwi ˛azan ˛a z pr ˛adami koherentnymi. Wydaje si˛e, ˙ze najtrudniej jest osza-cowa´c współczynnik samoindukcji pier´scienia mezoskopowego. Klasycznie współczyn-nik samoindukcji L pier´scienia o promieniu r, wykonanego z drutu o promieniu a, mo˙zna oszacowa´c z klasycznego wzoru

gdzie µ0 jest przenikalno´sci ˛a magnetyczn ˛a pró˙zni. Klasycznie współczynnik samoin-dukcji L zale˙zy tylko od geometrii pier´scienia. Z drugiej strony, gdyby porówna´c am-plitudy pr ˛adów trwałych wyprowadzonych na gruncie kwantowej teorii mezoskopowych obwodów elektrycznych φ0/2πL, relacja (2.30) z wyra˙zeniem j0 = evF/l, relacja (2.26), to otrzymamy wyra˙zenie na współczynnik samoindukcji dla jednokanałowego pier´scienia

L ∼ h

3 Model dwu-cieczowy dla nienadprzewodz ˛acych pier´scieni mezoskopowych

Wówczas wida´c, ˙ze współczynnik samoindukcji L (3.60) zale˙zy od geometrii pier´scienia l, jak równie˙z od pr˛edko´sci elektronów na poziomie Fermiego v_F. Porównuj ˛ac wzory (3.59) z (3.60) wida´c, ˙ze oba wzory na współczynnik samoindukcji ró˙zni ˛a si˛e. St ˛ad mo˙zna przypuszcza´c, ˙ze klasycznego wyra˙zenia na współczynnik samoindukcji (3.59) nie mo˙zna stosowa´c dla układów mezoskopowych;

– Rozwa˙zmy iloraz α/k₀. Dla tego samego pier´scienia o współczynniku samoindukcji L mo˙zemy zapiszmy go jako α/k0 = i₀/I₀. Wtedy iloraz α/k0 = i₀/I₀ okre´sla włas-no´sci fizyczne pier´scienia mezoskopowego. Wykorzystuj ˛ac teori˛e zwi ˛azan ˛a z pier´scieni-ami mezoskopowymi, relacj˛e pomi˛edzy parametrpier´scieni-ami α/k₀mo˙zna rozumie´c nast˛epuj ˛aco.

W nienadprzewodz ˛acych pier´scieniach mezoskopowych, amplituda pr ˛adu jest okre´slona przez odległo´sci mi˛edzy poziomami energetycznymi E₁ ≡ ~vF/l (separation of energy level) [29]. Dla nieoddziałuj ˛acych elektronów, w wielokanałowym pier´scieniu mezosko-powym w re˙zimie balistycznym, energia E1 ∼ N_⊥∆ [29]. Wówczas pr ˛ad krytyczny i0

zwi ˛azany z energi ˛a E₁ jest równy

i₀ = E₁

φ₀ ∼ N⊥∆

ϕ₀ . (3.61)

Dla pier´scienia wielokanałowego, gdy nieporz ˛adek jest małym zaburzeniem, tzn. gdy l_e  N⊥l [74], amplituda pr ˛adów płyn ˛acych w pier´scieniu i0 zwi˛eksza si˛e o czynnik

√N⊥w stosunku do pr ˛adu j₀niesionego prze pojedynczy kanał [39]. Wybieraj ˛ac charak-terystyczn ˛a temperatur˛e jako T^∗ ∼ ∆F/kB, wówczas

α k₀ ∼p

N⊥. (3.62)

W re˙zimie balistycznym w pier´scieniu jest N⊥ kanałów. W re˙zimie dyfuzyjnym liczba kanałów N⊥jest zast˛epowana przez efektywn ˛a liczb˛e kanałów, których jest rz˛edu g [29, 36]. Wtedy w równaniu (3.61) N⊥∆ zast˛epujemy przez g∆. Wykorzystuj ˛ac wzór (2.13), otrzymujemy E₁ ∼ g∆ ∼ E_c. Wówczas maksymalny pr ˛ad i₀ płyn ˛acy w pier´scieniu w re˙zimie dyfuzyjnym jest okre´slony przez energi˛e E1 ∼ Ec, co daje

i₀ = E1

Wybieraj ˛ac znowu charakterystyczn ˛a temperatur˛e w układzie jako T^∗ ∼ ∆_F, wówczas α

k₀ ∼ l_e

l. (3.64)

St ˛ad wida´c, ˙ze dla pier´scieni wielokanałowych w re˙zimie balistycznym stosunek parame-trów α/k₀ jest wi˛ekszy od 1, natomiast mniejszy od 1 w re˙zimie dyfuzyjnym;

– Parametr p oznacza z jakim prawdopodobie´nstwem w układzie płyn ˛a pr ˛ady paramagne-tyczne i diamagneparamagne-tyczne. Zało˙zenie to jest słuszne dla czystych pier´scieni. Dla

pier-´scieni z nieporz ˛adkiem według obecnej wiedzy dla nieoddziałuj ˛acych elektronów znak pr ˛adu trwałego zale˙zy od realizacji nieporz ˛adku w układzie. Dlatego parametr p mo˙zna równie˙z uto˙zsami´c z tym jak został przygotowany pier´scie´n ze wzgl˛edu na konfiguracj˛e nieporz ˛adku w układzie;

3.4 Kwantowe równanie Smoluchowskiego dla nienadprzewodz ˛acego pier´scienia mezoskopowego

– Parametr xejest przeskalowanym zewn˛etrznym strumieniem magnetycznym przechodz ˛ a-cym przez pier´scie´n.

Wpływ kropki kwantowej

Dla pier´scienia z kropk ˛a kwantow ˛a dochodz ˛a dodatkowo dwa parametry tF, δF. Parametr tF

oraz δ_F s ˛a odpowiednio amplitud ˛a i faz ˛a współczynnika przej´scia. Gdy w czystym pier´scie-niu umie´scimy dodatkow ˛a bramk˛e, która zawiera potencjał w kształcie schodu o wysoko´sci eV_add  E_F i długo´sci a, to pojawia si˛e dodatkowa zale˙zno´s´c od parametru δF. Natomiast gdy umie´scimy dodatkowo w pier´scieniu kropk˛e kwantow ˛a to pojawia si˛e zale˙zno´s´c od parametru tF. Pier´scie´n jest wtedy układem z poziomem rezonansowym. Taki układ b˛edziemy nazywa´c pier´scieniem z kropk ˛a kwantow ˛a. Gdy współczynnik transmisji tF = 1, oznacza to, pier´scie´n bez kropki kwantowej (δ_F = 0). Natomiast je´sli t_F = 1 i δ_F 6= 0, oznacza to, ˙ze rozwa˙zamy pier´scie´n bez kropki kwantowej, ale z bramk ˛a. Nale˙zy zwróci´c uwag˛e na to, ˙ze zmniejszanie parametru tF mo˙ze powodowa´c zmian˛e innych parametrów modelu, np. pr ˛adu krytycznego i0, który mo˙ze płyn ˛a´c w pier´scieniu z kropk ˛a kwantow ˛a, co wpływa na parametr α. Wtedy mog ˛a zacz ˛a´c odgrywa´c rol˛e efekty „inercyjne”. Dynamik˛e strumienia magnetycznego płyn ˛acego w pier´scieniu z kropk ˛a kwantow ˛a b˛edzie mo˙zna dalej traktowa´c jako układ przetłumiony, ale w znacznie w˛e˙zszym zakresie parametrów. Wyniki dotycz ˛ace pier´scienia z kropk ˛a kwantow ˛a nale˙zy raczej traktowa´c jako tendencj˛e układu do pewnego zachowania przy zmianie parame-trów modelu.

Kwantowe równanie Smoluchowskiego

Dla kwantowego równania Smoluchowskiego (3.51) pojawiaj ˛a si˛e dodatkowe parametry mo-delu, zwi ˛azane z poprawk ˛a kwantow ˛a λ, takie jak λ₀ i :

– Nat˛e˙zenie kwantowych fluktuacji termicznych w układzie jest regulowane przez parametr λ. Najwi˛ekszy wpływ na poprawk˛e kwantow ˛a λ ma parametr λ₀ = R/(2π²R), który jest˜ stosunkiem oporu pier´scienia R i charakterystycznego oporu ˜R. Czym opór pier´scienia R jest wi˛ekszy, tym wi˛eksza jest poprawka kwantowa λ. Parametr λ₀mo˙zna równie˙z za-pisa´c jako λ₀ = 1/2π²g. Wtedy λ₀zale˙zy odwrotnie proporcjonalnie do bezwymiarowej przewodno´sci g. Jak wspomnieli´smy w podrozdziale 2.2, bezwymiarow ˛a przewodno´s´c elektryczn ˛a g mo˙zna traktowa´c jak parametr, który mierzy nieporz ˛adek w układzie. Czym wi˛ekszy jest nieporz ˛adek w układzie, tym mniejsze jest g (2.14). Dlatego dla pier´scieni z wi˛ekszym nieporz ˛adkiem, parametr λ₀ jest wi˛ekszy;

– Kwantowa poprawka λ zale˙zy równie˙z słabo, bo logarytmicznie, od temperatury T₀oraz parametru . Parametr  jest zwi ˛azany z pojemno´sci ˛a elektryczn ˛a pier´scienia, który wydaje si˛e by´c bardzo mały w pier´scieniu bez kropki kwantowej. Warto´s´c parametru

 = (~/2πCR)/kBT^∗ mo˙zna równie˙z zapisa´c jako  = 2π²g(e²/2C)/k_BT^∗. Wtedy  jest stosunkiem energii zwi ˛azanej z pojemno´sci ˛a elektryczn ˛a pier´scienia (charging en-ergy) e²/2C oraz energii k_BT^∗ pomno˙zonym przez 2π²g. Czym pojemno´s´c elektryczna pier´scienia jest mniejsza, tym parametr  jest wi˛ekszy;

3 Model dwu-cieczowy dla nienadprzewodz ˛acych pier´scieni mezoskopowych

– Nale˙zy pami˛eta´c, aby współczynnik dyfuzji Dr/d(x) był dodatni dla wszystkich warto´sci x. Oprócz tego zdefiniujmy funkcje d(x) jako

d(x) = λβ1 + αB_r/d⁰⁰ (x) . (3.65) Wtedy wykorzystuj ˛ac relacj˛e (3.65) wyra˙zenie (3.43) mo˙zna zapisa´c jako

D_r/d(x)

k₀T₀ = 1

1 − d(x) (3.66)

Wida´c wówczas, ˙ze gdy np. d(x) = 0.3 dla x = x0, oznacza to, ˙ze kwantowy współczyn-nik dyfuzji D_r/d(x) zwi˛ekszył si˛e o 30% w punkcie x = x₀, w stosunku do klasy-cznego współczynnika dyfuzji k₀T₀. Chodzie˙z samo wyprowadzenie kwantowego równa-nia Smoluchowskiego nie narzuca nam, aby d(x) było „małe” to wydaje si˛e, ˙ze poprawka do klasycznej dyfuzji powinna by´c mała.

Równowagowy rozkład prawdopodobie´nstwa P (x), równanie (3.52) dla λ = 0, nie zale˙zy od oporu pier´scienia R. W przypadku kwantowym λ 6= 0 równowagowy rozkład prawdopodobie´nstwa P (x), równanie (3.52), zale˙zy od oporu pier´scienia R poprzez D_r/d(x) (2.3). Wpływ kwan-towego charakteru fluktuacji termicznych reguluje poprawka kwantowa λ, do której główny wkład pochodzi od 1/g, czyli nieporz ˛adku w układzie.

Dla jednego pier´scienia mezoskopowego mo˙zemy zmienia´c temperatur˛e T₀ oraz zewn˛etrzny strumie´n magnetyczny x_e. Zmiana innych parametrów p, α, k₀, , λ₀oznacza zmian˛e pier´scieni mezoskopowych o innych własno´sciach fizycznych, okre´slonych np. przez opór pier´scienia R, współczynnik samoindukcji L, pr ˛ad krytyczny i₀ lub pojemno´s´c elektryczn ˛a pier´scienia C.

4 Analiza stanów stacjonarnych

4.1 Zagadnienie ´sredniego czasu ˙zycia cz ˛ astki Browna w stanie stacjonarnym

Rozwa˙zmy sytuacj˛e pokazan ˛a na rys. 4.1. Chcemy wiedzie´c, ile ´srednio czasu cz ˛astka Browna, której poło˙zenie opisane jest przez rozkład prawdopodobie´nstwa zgodnie z równaniem Fokkera-Plancka, pozostaje w przedziale [a, b], wokół stanu x = x_s (przypadek i oraz ii na rys. 4.1).

Oznacza to, ˙ze w czasie t = 0 cz ˛astka jest w poło˙zeniu x = xs. Nast˛epnie mierzymy czas, w którym cz ˛astka Browna osi ˛agn˛eła pierwszy raz granic˛e obszaru w punkcie a lub b ( przy-padek i) lub granic˛e obszaru w punkcie a (przyprzy-padek ii). Gdy cz ˛astka osi ˛agnie granic˛e zostaje pochłoni˛eta. Jest to równoznaczne z tym, ˙ze usuwamy cz ˛astk˛e z układu. Nast˛epnie powtarzamy eksperyment od pocz ˛atku. Po sko´nczonej liczbie prób mo˙zna wyliczy´c ´sredni czas osi ˛agni˛ecia przez cz ˛astk˛e granicy obszaru. Czas ten mo˙zna zinterpretowa´c jako ´sredni czas ˙zycia cz ˛astki Browna w obszarze [a, b] wokół punktu x = xs.

Mo˙zemy równie˙z zada´c pytanie, ile ´srednio czasu zajmie cz ˛astce doj´scie z jednego stanu stacjonarnego x = x_s1 do drugiego stanu stacjonarnego x = x_s2 (przypadek iii oraz iv na rys.

4.1). W czasie t = 0 cz ˛astka jest w poło˙zeniu x = xs1 i mierzymy czas, w którym cz ˛astka osi ˛agnie granic˛e obszaru w punkcie b. Powtarzaj ˛ac do´swiadczenie n - razy, mo˙zemy policzy´c

´sredni czas. Warunki brzegowe zadano tak jak pokazano na rys. 4.1. Odbijaj ˛acy warunek brzegowy w punkcie a oznacza, ˙ze prawdopodobie´nstwo tego, ˙ze cz ˛astka Browna przekroczy granic˛e obszaru w punkcie a jest równe zeru. Natomiast, gdy cz ˛astka Browna osi ˛agnie granic˛e obszaru w punkcie b, gdzie zadano absorbuj ˛acy warunek brzegowy, jest to równoznaczne z tym, ze usuwamy cz ˛astk˛e z układu.

Nast˛epnie rozwa˙zmy przypadek, gdy cz ˛astk˛e Browna opisuje rozkład prawdopodobie´nstwa zgodnie z kwantowym równaniem Smoluchowskiego (3.51). Problem ´sredniego czasu ˙zycia cz ˛astki Browna oraz problem ´sredniego czasu przej´scia z jednego stanu do drugiego stanu stacjonarnego mo˙zna opisa´c wykorzystuj ˛ac teori˛e zwi ˛azan ˛a z zagadnieniem pierwszego ´sred-niego czasu wyj´scia z obszaru (mean first passage time). Wtedy pierwszy ´sredni czas wyj´scia T (x) = hT i mo˙zna wyliczy´c z równania ró˙zniczkowego, którego posta´c jest nast˛epuj ˛aca [52]

A(x)dT (x) dx + 1

2B(x)d²T (x)

dx² = −1, (4.1)

gdzie funkcje A(x) i B(x) maj ˛a posta´c

A(x) = −V_r/d⁰ (x)

B(x) = 2D_r/d(x) (4.2)

Absorbuj ˛acy warunek brzegowy w punkcie a równania (4.1) okre´slony jest przez relacj˛e

T (x)|_x=a= 0, (4.3)

4 Analiza stanów stacjonarnych

Rysunek 4.1: Rysunki pokazuj ˛a cz ˛astk˛e Browna poruszaj ˛ac ˛a si˛e w układzie opisanym rów-naniem Fokkera-Plancka. ´Sredni czas ˙zycia cz ˛astki Browna w dowolnym stacjonarnym stanie x = xs, mo˙zna wyliczy´c jako ´sredni czas wyj´scia cz ˛astki Browna τ (x_s, a, b) z przedziału [a, b], przypadek i oraz ii. Zakładamy, ˙ze x_s ∈ [a, b]. W przypadku i prawy i lewy warunek brzegowy zadany jest jako absorbu-j ˛acy, odpowiednio w punktach a i b. W przypadku ii, gdy cz ˛astka napotyka z prawej strony na „wysok ˛a” barier˛e potencjałów, tzn. wiemy, ˙ze du˙zo bardziej prawdopodobne jest, ˙ze cz ˛astka „pójdzie” w lewo, to prawy warunek brzegowy zadajemy jako odbijaj ˛acy w punkcie b. Absorbuj ˛ace warunki brzegowe ustaw-iamy nieco poza maksimum potencjałów, aby by´c pewnym, ˙ze cz ˛astka na pewno przejdzie przez barier˛e potencjałów. Przypadki iii oraz iv pokazuj ˛a sytuacj˛e kiedy chcemy wiedzie´c ile ´srednio czasu τ (xs1 → xs2) zajmie cz ˛astce przej´s-cie z jednego stanu stabilnego xs1 do drugiego stanu stabilnego xs2. Wa˙zne, jest aby absorbuj ˛acy warunek brzegowy zada´c poza maksimum potencjału, aby by´s pewnym, ˙ze cz ˛astka „wpadnie” do stanu xs2 oraz aby xs1 ∈ [a, b]. W przypadku iii oraz iv absorbuj ˛acy warunek brzegowy zadano w punkcie b = xs2, natomiast odbijaj ˛acy w punkcie a = x_s1. Absorbuj ˛acy warunek brzegowy oznaczony jest jako abs., natomiast odbijaj ˛acy jako odb..

4.1 Zagadnienie ´sredniego czasu ˙zycia cz ˛astki Browna w stanie stacjonarnym

natomiast odbijaj ˛acy przez równo´s´c

dT (x)

dx |_x=a = 0. (4.4)

Dobieraj ˛ac odpowiednio warunki brzegowe równania, rys. 4.1, mo˙zemy zdefiniowa´c ´sredni czas ˙zycia cz ˛astki Browna w danym stanie stacjonarnym oraz ´sredni czas przej´scia z jednego stanu stacjonarnego do drugiego stanu stacjonarnego. W j˛ezyku pier´scieni mezoskopowych opisanych równaniem (3.51) oznacza to odpowiednio ´sredni czas ˙zycia strumieni magnety-cznych¹ w danym stanie stacjonarnym oraz ´sredni czas jaki upłyn ˛ał, kiedy strumie´n magne-tyczny płyn ˛acy w jednym stanie stacjonarnym „przejdzie” i zacznie płyn ˛a´c w innym stanie stacjonarnym.

4.1.1 Analiza stanów stacjonarnych dla nienadprzewodz ˛acego pier ´scienia