Własności pierścieni mezoskopowych w kwantowym reżimie Smoluchowskiego

(1)

Rozprawa doktorska

Własno´sci pier´scieni mezoskopowych w kwantowym re˙zimie Smoluchowskiego

Szymon Rogozi ´nski

Uniwersytet ´Sl ˛aski Zakład Fizyki Teoretycznej

Katowice, 2009

Promotor: Prof. dr hab. Jerzy Łuczka

(2)

(3)

Spis tre ´sci

1 Wst ˛ep 5

2 Układy mezoskopowe 9

2.1 Charakterystyczne wielko´sci w układzie mezoskopowym . . . . 9

2.2 Przewodno´s´c elektryczna w układzie . . . . 11

2.3 Słaba lokalizacja . . . . 13

2.4 Pr ˛ady trwałe w nienadprzewodz ˛acych pier´scieniach . . . . 15

2.4.1 Czysty jednowymiarowy pier´scie´n . . . . 15

2.4.2 Kwantowa teoria dla mezoskopowych obwodów elektrycznych . . . . 16

2.4.3 Wpływ temperatury . . . . 16

2.4.4 ´Srednie pr ˛ady trwałe . . . . 17

2.4.5 Pier´scienie wielokanałowe . . . . 17

2.4.6 Pr ˛ady trwałe w pier´scieniach z nieporz ˛adkiem . . . . 17

2.4.7 Efekt oddziaływania kulombowskiego na ´srednie pr ˛ady trwałe . . . . . 18

2.5 Pr ˛ady trwałe dla pier´scienia mezoskopowego z kropk ˛a kwantow ˛a . . . . 21

3 Model dwu-cieczowy dla nienadprzewodz ˛acych pier ´scieni mezoskopowych 23 3.1 Nienadprzewodz ˛acy pier´scie´n mezoskopowy . . . . 23

3.2 Nienadprzewodz ˛acy pier´scie´n z kropk ˛a kwantow ˛a . . . . 25

3.3 Bezwymiarowe równanie Langevina . . . . 26

3.3.1 Przypadek przetłumiony (ruchu silnie tłumionego) . . . . 26

3.3.2 Przypadek niedotłumiony (ruchu słabo tłumionego) . . . . 28

3.4 Kwantowe równanie Smoluchowskiego dla nienadprzewodz ˛acego pier´scienia mezoskopowego . . . . 29

3.4.1 Bezwymiarowe kwantowe równanie Smoluchowskiego dla nienadprzewodz ˛acego pier´scienia mezoskopowego . . . . 30

3.4.2 Parametry dla przeskalowanego równania Smoluchowskiego . . . . 33

4 Analiza stanów stacjonarnych 37 4.1 Zagadnienie ´sredniego czasu ˙zycia cz ˛astki Browna w stanie stacjonarnym . . . 37

4.1.1 Analiza stanów stacjonarnych dla nienadprzewodz ˛acego pier´scienia . . 39

4.1.2 Analiza stanów stacjonarnych dla nienadprzewodz ˛acego pier´scienia z kropk ˛a kwantow ˛a . . . . 46

5 Pr ˛ady trwałe w mezoskopowym pier ´scieniu 49 5.1 ´Srednie pr ˛ady płyn ˛ace w nienadprzewodz ˛acym pier´scieniu . . . . 49 5.2 ´Srednie pr ˛ady płyn ˛ace w nienadprzewodz ˛acym pier´scieniu z kropk ˛a kwantow ˛a 60

(4)

Spis tre´sci

6 Zako ´nczenie 65

7 Dodatek 69

7.1 Klasyczne oraz kwantowe równanie Smoluchowskiego . . . . 69

Bibliografia 77

(5)

1 Wst ˛ep

Elektrony nadprzewodz ˛ace silnie reaguj ˛a na zewn˛etrzne pole magnetyczne indukuj ˛ac pr ˛ad wypy- chaj ˛acy pole z wn˛etrza nadprzewodnika. Zjawisko to jest znane jako efekt Meissnera. W układach o geometrii pier´scienia strumień magnetyczny jest skwantowany w jednostkach ϕ₀ = h/2e [1–5], gdzie h jest stał ˛a Plancka, a e - elementarnym ładunkiem elektrycznym. Wielko´sć ładunku 2e odnosi si˛e do ładunku pary Coopera. Kwantowanie strumienia magnetycznego jest podstaw ˛a do budowy magnetometru, tzw. SQUIDu (Superconducting Quantum Interference Device), który składa si˛e z p˛etli nadprzewodz ˛acej z dwoma zł ˛aczami Josephsona. Maksymalny super-pr ˛ad płyn ˛acy w takiej p˛etli jest bardzo czuły na strumień magnetyczny przechodz ˛acy przez p˛etl˛e.

Problem transportu ładunku w normalnym (tzn. nienadprzewodz ˛acym) pier´scieniu wymaga osobnej analizy. Pr ˛ad płyn ˛acy w takim pier´scieniu do´swiadcza niezerowego oporu. Makro- skopowo spodziewamy si˛e wygasania pr ˛adu w czasie rz˛edu czasu relaksacji, który wynosi

∼ 10⁻¹³s. Jednak gdy pier´scień jest dostatecznie mały i osi ˛aga skal˛e mezoskopow ˛a oraz zostanie schłodzony do odpowiednio niskiej temperatury, zaczynaj ˛a objawiać si˛e efekty zwi ˛a- zane z kwantowa koherencj ˛a elektronów. Poniewa˙z elektrony zachowuj ˛a koherencj˛e fazow ˛a, pr ˛ad indukowany przez zewn˛etrzny strumień magnetyczny jest pr ˛adem trwałym o własno´sciach równowagowych, tzn. nie zanika dopóki do pier´scienia jest przyło˙zony zewn˛etrzny strumień magnetyczny [6]. Istnienie równowagowych pr ˛adów trwałych w metalicznych pier´scieniach zostało po raz pierwszy przewidziane przez Hunda [7] w 1938 roku . W 1965 roku F. Bloch [8]

i nast˛epnie w 1970 roku I. O. Kulik [9] potwierdzili przewidywania Hunda stosuj ˛ac metody kwantowo - mechaniczne. Ale dopiero praca Büttikera, Imryego i Landauera [6] z 1983 roku, w której pokazano, ˙ze pr ˛ady trwałe mog ˛a płyn ˛a´c nawet w obecno´sci elastycznych rozprosze´n, wzbudziła zainteresowanie tym tematem.

Pr ˛ady trwałe płyn ˛ace w normalnych pier´scieniach zostały po raz pierwszy zaobserwowane prawie 20 lat temu [10, 11, 13]. Pomiary odpowiedzi magnetycznej poszczególnego pier´scienia s ˛a trudne z powodu bardzo małego stosunku sygnału do szumu. Metoda zredukowania szumu rozpocz˛eła pionierskie pomiary wykonane przez grup˛e Chandrasekhara [10] i Maillyego [11]

na pocz ˛atku lat dziewi˛e´cdziesi ˛atych, a nast˛epnie przez grup˛e Jariwala [12] i Rabauda w 2001 roku [15]. Pierwsze pomiary na dyfuzyjnym metalicznym pier´scieniu [10] pokazały, ˙ze amplituda pr ˛adów trwałych jest du˙zo wi˛eksza ni˙z przewiduje teoria. Pomiary na półprzewod- nikowych próbkach w re˙zimie pomi˛edzy dyfuzyjnym a balistycznym [11, 15] zgadzaj ˛a si˛e z grubsza z teori ˛a. Wyniki pó´zniejszych pomiarów dla metalicznych próbek [12] były wi˛eksze od teorii o czynnik 2 − 3. W eksperymentach tych wykorzystano raczej monolityczne przygo- towanie eksperymentu, gdzie SQUID był wytwarzany razem z próbk ˛a. Nie było mo˙zliwo´sci przenoszenia detektora z jednego pier´scienia do innego lub z dala od niego.

Najnowsza technika skaningowania SQUID-em [17] pozwala na pomiar wielu ró˙znych pier-

´scieni, jeden po drugim. Daje ona równie˙z mo˙zliwo´s´c pomiaru sygnału pochodz ˛acego od tła.

Metoda ta została wykorzystana w najnowszym eksperymencie w 2009 roku na metalicznych

(6)

1 Wst˛ep

pier´scieniach w re˙zimie dyfuzyjnym [18]. Pozwoliła ona dokona´c pomiarów, które w ko´ncu zgadzaj ˛a si˛e, nie tylko jako´sciowo, ze wszystkimi aspektami teorii [19].

Obecnie, według teoretycznego rozumienia pr ˛adów trwałych dla nieoddziałuj ˛acych elek- tronów, ich znak zale˙zy od realizacji nieporz ˛adku w pier´scieniu. W re˙zimie dyfuzyjnym jego typowa amplituda [29, 40, 63] jest rz˛edu (e/~)Ec, gdzie E_c jest energi ˛a Thoulessa, a periody- czno´sć w zewn˛etrznym strumieniem magnetycznym ma okres dany przez jednoelektronowy kwant strumienia magnetycznego φ₀ = h/e. Pr ˛ady trwałe powinny si˛e wygaszać wraz ze wzrostem temperatury T i zanikać eksponencjalnie dla temperatury T E_c/k_B, gdzie k_Bjest stał ˛a Boltzmanna.

We wcze´sniejszych eksperymentach [10–16] nie było mo˙zliwo´sci mierzenia pr ˛adów poszcze- gólnych pier´scieni. Pomiary dokonywano na zbiorze nominalnie identycznych pier´scieni, np.

miedzianych [13], złotych [12] czy srebrnych [16]. Dla ka˙zdego zbioru pier´scieni, podstawowy pr ˛ad o okresie h/e powinien ´srednio wynosi´c zero (u´srednienie jest ze wzgl˛edu na konfiguracje nieporz ˛adku), a przetrwa´c powinien tylko pr ˛ad o „harmonicznej” h/2e. W do´swiadczeniu [13]

zmierzono ´sredni ˛a wielko´s´c harmonicznej h/2e, która była rz˛edu energii Thoulessa E_c/φ₀. Nie mo˙zna było tego wytłumaczy´c na gruncie teorii dla nieoddziałuj ˛acych dyfuzyjnych elektronów.

W tym przypadku wielko´s´c ´srednich pr ˛adów jest mniejsza o prawie kilka rz˛edów. Jednak˙ze oszacowanie oddziaływania elektron-elektron dało wynik teoretyczny mniejszy o czynnik 5 ni˙z eksperyment [20, 21]. Dlatego nale˙zy zwróci´c uwag˛e, ˙ze oddziaływania elektron-elektron jest kluczowe dla u´sredniania pr ˛adów po zbiorze realizacji nieporz ˛adku w pier´scieniu. Odpowied´z układu dla słabego strumienia magnetycznego jest diamagnetyczna co jest w zgodzie z teori ˛a, która uwzgl˛ednia oddziaływanie elektron-elektron. W pracy [22] pokazano, ˙ze uwzgl˛ednienie domieszek magnetycznych w metalach znacznie zwi˛ekszyło amplitud˛e pr ˛adów trwałych.

Pr ˛ady trwałe mog ˛a płyn ˛ać w pier´scieniu, gdy obwód pier´scienia jest mniejszy ni˙z pewna charakterystyczna długo´sć, która zale˙zy od temperatury. Długo´sci ˛a t ˛a jest tzw. długo´sć koherencji fazowej Lϕ. Odgrywa ona kluczow ˛a rol˛e w opisie efektów koherentnych w układach zło˙zonych, takich jak pier´scień mezoskopowy. Na odległo´sciach rz˛edu L_ϕelektrony zachowuj ˛a koherencj˛e fazow ˛a. Utrata koherencji fazowej przez elektrony jest zwi ˛azana z procesami nieodwracal- nymi. ´Zródłem takich procesów jest oddziaływanie elektronów z otoczeniem, które składa si˛e ze stopni swobody, z którymi elektron mo˙ze oddziaływać. Mog ˛a to być np. termiczne drgania sieci czyli fonony, nieczysto´sci maj ˛ace swoje wewn˛etrzne stopnie swobody lub oddziaływanie z innymi elektronami. Opis takich procesów jest niezmiernie trudny.

Jednym z podej´sć do analizy takiego problemu jest wykorzystanie tzw. modelu dwu-cieczowego [23]. W modelu tym dynamika strumienia magnetycznego przechodz ˛acego przez pier´scień jest opisana przez klasyczne równanie Langevina i odpowiadaj ˛ace mu rów- nanie Smoluchowskiego na ewolucj˛e g˛esto´sci rozkładu prawdopodobieństwa. Własno´sci pier´s- cienia opisane s ˛a przez makroskopowe parametry takie jak opór elektryczny R (przewodno´sć G ) pier´scienia, maksymalny pr ˛ad jaki mo˙ze płyn ˛ać w pier´scieniu i₀, czy intensywno´sć szumu termicznego k_BT /R. Dysypacja energii w układzie jest ´sci´sle zwi ˛azane z fluktuacjami ter- micznymi. Wielko´sci te ł ˛aczy twierdzenie fluktuacyjno - dysypacyjne. W modelu tym istnieje mo˙zliwo´sć analizowania doj´scia układu do stanu równowagi termodynamicznej, jak równie˙z badanie stanów nierównowagowych układu. Wpływ klasycznych fluktuacji termicznych opisany jest zgodnie z klasyczn ˛a teori ˛a ruchów Browna. Nale˙zy wspomnieć, ˙ze w odpowiednich re˙zi- mach model dwu-cieczowy bardzo dobrze sprawdza si˛e w opisie, np. własno´sci transportowych

(7)

zł ˛acz Josephsona [24].

Głównym celem rozprawy doktorskiej jest zbadanie wpływu kwantowych fluktuacji termicznych na: (1) stany stacjonarne strumienia magnetycznego przechodz ˛acego przez pier´scie´n mezoskopowy oraz (2) charakterystyk˛e pr ˛adów płyn ˛acych w pier´scieniu. Podstaw ˛a bada´n teo- retycznych b˛edzie kwantowe równanie Smoluchowskiego [25–27].

W rozdziale 2 zostan ˛a przedstawione podstawowe informacje i poj˛ecia na temat teorii pier-

´scieni mezoskopowych, które wykorzystuje si˛e w dalszej cz˛e´sci rozprawy. W rozdziale 3, ł ˛acz ˛ac teori˛e pr ˛adów trwałych w pier´scieniach mezoskopowych z teori ˛a ruchów Browna, zostanie przedstawiony model dwu-cieczowy dla nienadprzewodz ˛acego pier´scienia mezoskopowego oraz dla pier´scienia z kropk ˛a kwantow ˛a. W pierwszym kroku opis dynamiki strumienia magnetycznego przechodz ˛acego przez pier´scień mezoskopowy b˛edzie uwzgl˛edniać tylko klasyczny charakter fluktuacji termicznych. W nast˛epnym kroku, uwzgl˛edniaj ˛ac kwantowy charakter fluktuacji termicznych, zostanie wprowadzone kwantowe równanie Smoluchowskiego. W rozdziale 4 zostanie dokonana analiza stacjonarnych rozkładów prawdopodobieństwa dla strumienia magnetycznego przechodz ˛acego przez pier´scień oraz dla pier´scienia z kropk ˛a kwantow ˛a. Analizuj ˛ac uogólnione potencjały termodynamiczne, zbadamy stabilno´sć stanów stacjonarnych oraz czasy

˙zycia pr ˛adów samopodtrzymuj ˛acych si˛e, tzn. pr ˛adów płyn ˛acych bez zewn˛etrznego strumienia magnetycznego. W rozdziale 5 zostanie przeanalizowany wpływ klasycznych oraz kwantowych fluktuacji termicznych na amplitud˛e równowagowych pr ˛adów trwałych płyn ˛acych w pier´scieniu mezoskopowym oraz w pier´scieniu z kropk ˛a kwantow ˛a. W zakończeniu 6 zawarte s ˛a konkluzje i podsumowanie. W dodatku 7 przedstawiono elementy teorii klasycznych i kwantowych uogól- nionych równań Langevina (równań ró˙zniczkowo - całkowych) oraz ich przybli˙zeń przez rów- nania Newtona - Langevina (równań ró˙zniczkowych). Stanowi ˛a one podstaw˛e do konstrukcji równania Langevina dla strumienia magnetycznego w modelu dwu - cieczowym oraz uwzgl˛ed- nienia poprawek kwantowych w re˙zimie Smoluchowskiego pochodz ˛acych od fluktuacji termicznych

(8)

1 Wst˛ep

(9)

2 Układy mezoskopowe

2.1 Charakterystyczne wielko ´sci w układzie mezoskopowym

W układzie fizycznym, który zamierzamy badać, nale˙zy okre´slić charakterystyczne wielko´sci i skale takie jak: charakterystyczna długo´sć, charakterystyczny czas, charakterystyczna energia. Wielko´sci te mog ˛a definiować ró˙zne re˙zimy fizyczne do analizy których nale˙zy stosować odpowiednie modele i teorie fizyczne. Dla nienadprzewodz ˛acych pier´scieni mezoskopowych naturaln ˛a charakterystyczn ˛a długo´sci ˛a jest obwód pier´scienia l. Istniej ˛a tak˙ze inne charakterystyczne długo´sci takie jak długo´sć koherencji fazowej L_ϕ, ´srednia droga swobodna l_e, dłu- go´sć fali Fermiego λF. Na odległo´sciach przekraczaj ˛acych długo´sć koherencji fazowej (the phase coherence length) L_ϕ zale˙zn ˛a od temperatury, własno´sci transportowe w układzie mo˙zna zrozumieć na gruncie quasi-klasycznej teorii kinetycznej lub teorii Boltzmanna [28]. Jednak˙ze na długo´sci mniejszej ni˙z Lϕ, elektrony zachowuj ˛a koherencj˛e fazow ˛a co diametralnie wpływa na dynamik˛e układu.Układ nazywany jest mezoskopowym, gdy jego rozmiar jest mniejszy od L_ϕ. Mezoskopowa fizyka odkrywa nowy obszary pomi˛edzy mikroskopow ˛a a makroskopow ˛a fizyk ˛a. W tej skali pojawiaj ˛a si˛e nowe zjawiska fizyczne pochodz ˛ace od kwantowej koherencji fazowej elektronów [29, 30]. Zdefiniujmy wi˛ec precyzyjnie wy˙zej wymienione charakterystyczne wielko´sci [29, 31–34]:

– Najbardziej oczywiste charakterystyczne skale długo´sci zwi ˛azane s ˛a z rozmiarem układu l. W trójwymiarowej przestrzeni rozmiar układu jest opisany przez trzy liczby l_i, (i = x, y, z);

– Długo´s´c fali Fermiego λ_F (the Fermi wave vector) jest zdefiniowana przez równo´s´c λ_F = 2π

k_F, (2.1)

gdzie k_F jest wektorem falowym Fermiego. W zerowej temperaturze, elektrony ob- sadzaj ˛a tylko stany okre´slone przez wektor falowy k, który spełnia relacj˛e |k| ≤ k_F. Porównuj ˛ac rozmiar układu l_i z długo´sci ˛a fali Fermiego λ_F, mo˙zemy okre´sli´c efektywny wymiar układu [34]:

• λ_F l_x < l_y < l_z: wymiar 3D

• λ_F ∼ l_x < ly < lz: wymiar quasi -2D (cienkie warstwy)

• lx < λF ly < lz: wymiar 2D (heterostruktury)

• l_x < l_y ∼ λ_F l_z: wymiar quasi- 1D (kwantowe druty)

• l_x < l_y < λ_F l_z: wymiar 1D

• l_x < l_y < l_z < λ_F: wymiar 0D (kropki kwantowe);

(10)

2 Układy mezoskopowe

– Istnienie statycznego nieporz ˛adku w układzie¹pochodz ˛acego np. od defektów sieci, nie powoduje niszczenia koherencji fazowej elektronów oraz nie indukuje procesów nieodwracalnych. Jednak˙ze mo˙zliwe symetrie w kwantowym układzie s ˛a łamane i układu dalej nie da si˛e opisać za pomoc ˛a liczb kwantowych. Istnieje jednak mo˙zliwo´sć scharakteryzowania nieporz ˛adku w układzie przez charakterystyczn ˛a długo´sć: ´sredni ˛a drog˛e swobodn ˛a le (the elastic mean free path) . ´Srednia droga swobodna jest zdefiniowana jako

´srednia odległo´s´c mi˛edzy dwoma elastycznymi rozproszeniami elektronów. W wystar- czaj ˛aco niskiej temperaturze, transport jest okre´slony przez elektrony o energii E ∼ E_F, gdzie E_F jest energi ˛a Fermiego. Wówczas ´srednia droga swobodna wyra˙za si˛e przez relacje

l_e = v_Fτ_e, (2.2)

gdzie v_F jest pr˛edko´sci ˛a Fermiego, a τ_eczasem relaksacji (relaxation time);

– Je˙zeli elektron porusza si˛e na długo´sci mniejszej ni˙z ´srednia droga swobodna le to jego ruch jest ruchem balistycznym, natomiast gdy porusza si˛e na długo´sci wi˛ekszej ni˙z l_eto jego ruch jest dyfuzyjny, rys. 2.1. Ruch dyfuzyjny elektronów jest scharakteryzowany

Rysunek 2.1: Trajektorie elektronów w układzie dwuwymiarowym w re˙zimie a) dyfuzyjnym (l_e < l_x, l_y), b) quasi-balistycznym (l_y < l_e < l_x) c) balistycznym (l_e > l_x, l_y), gdzie lx jest długo´sci ˛a układu, ly jego szeroko´sci ˛a, a le ´sredni ˛a drog ˛a swobodn ˛a [35].

przez współczynnik dyfuzji D, który w d wymiarowej przestrzeni ma posta´c D = v_Fl_e

d = v_F²τ_e

d . (2.3)

Ogólniejsze wyra˙zenie na współczynnik dyfuzji definiuje wyra˙zenie Kubo [31]

D = 1 d

Z ∞ 0

hv(t) · v(0)idt, (2.4)

1W j˛ezyku matematycznym nieporz ˛adek w układzie mo˙zna modelowa´c przez potencjał losowy.

(11)

2.2 Przewodno´s´c elektryczna w układzie

które ł ˛aczy dyfuzj˛e z pr˛edko´sciami elektronów przed i po rozpraszaniu poprzez funkcje korelacyjn ˛a, gdzie h...i oznacza ´sredni ˛a po wszystkich mo˙zliwych realizacjach pr˛edko´sci v, której warto´s´c pocz ˛atkowa wynosi v(0).

Dla układu o obj˛eto´sci Ω = l^d, warunki brzegowe mog ˛a odgrywa´c bardzo wa˙zn ˛a rol˛e.

Wprowad´zmy charakterystyczny czas

τ_D = l²

D, (2.5)

zwany czasem dyfuzji lub czasem Thoulessa (diffusive time, Thouless time). Dany jest on przez czas, w którym cz ˛astka dyfunduje z jednego brzegu próbki do drugiego. Je´sli t τ_D to cz ˛astka nie „czuje” brzegów i wtedy mówimy o dyfuzji swobodnej. Z drugiej strony, gdy t τ_D, cz ˛astka porusza si˛e poprzez bł ˛adzenie przypadkowe po całej ob- j˛eto´sci próbki. Wówczas cz ˛astka jest w tzw. re˙zimie ergodycznym. Charakterystyczn ˛a energi ˛a zwi ˛azan ˛a z czasem Thoulessa jest energia Thoulessa, która jest odwrotno´sci ˛a czasu dyfuzji przez próbk˛e o długo´sci l i wyra˙za si˛e przez relacj˛e²

E_c = ~D l² = ~

τ_D; (2.6)

– Długo´s´c koherencji fazowej L_ϕ opisuje utrat˛e koherencji fazowej przez elektrony w wyniku procesów nieodwracalnych (dekoherencja), np. poprzez rozpraszanie elektronów na innych elektronach lub fononach. Długo´s´c koherencji fazowej w re˙zimie dyfuzyjnym zdefiniowana jest przez wzór [34]

L_ϕ =pDτ_ϕ = l_e q

τ_ϕ/τ_e, (2.7)

gdzie τϕ jest fazowym czasem relaksacji (the phase relaxation time). W metalach koher- entna długo´s´c fazowa jest malej ˛ac ˛a funkcj ˛a temperatury.

Je˙zeli le L_φ, wówczas elektrony mog ˛a si˛e propagować w układzie z nieporz ˛adkiem na odległo´sci du˙zo wi˛ekszej ni˙z l_eutrzymuj ˛ac koherencj˛e fazow ˛a tak długo, a˙z nie przekrocz ˛a długo´sci L_ϕ. Utrata koherencji fazowej przez elektrony nie jest zwi ˛azana z nieporz ˛adkiem w układzie lecz z istnieniem innych mechanizmów prowadz ˛acych do dekoherencji (np. wymiana energii z otoczeniem). Nale˙zy rozró˙znić poj˛ecie zło˙zono´sci zwi ˛azanych z rozproszeniami elastycznymi scharakteryzowanymi przez długo´sć l_eoraz rozproszeniami nieelastycznymi i innymi procesami dekoherencji wpływaj ˛acymi na wielko´sć Lφ;

– Ze skalami czasu w układzie mezoskopowym zwi ˛azane s ˛a charakterystyczne energie.

Skale energetyczne dla ró˙znych re˙zimów s ˛a pokazane na rys. 2.2.

2.2 Przewodno ´s ´c elektryczna w układzie

Elektryczna przewodno´s´c wła´sciwa σ₀dana przez tzw. relacj˛e Einsteina [33]

σ₀ = se²Dρ₀(E_F), (2.8)

2Nale˙zy pami˛eta´c, ˙ze czasem energia Thoulessa jest definiowana jako Ec= h/τDlub Ec= ~π²/τD.

(12)

Rysunek 2.2: Charakterystyczne skale energetyczne okre´slaj ˛ace ró˙zne re˙zimy w układzie, gdzie ∆ jest ´sredni ˛a odległo´sci ˛a mi˛edzy poziomami energetycznymi, E_cenergi ˛a Thoulessa, τ_e czasem relaksacji i E_F energi ˛a Fermiego.

gdzie s jest spinem, e ładunkiem elektronu, a ρ₀(E) = n(E)d/2sE jest g˛esto´sci ˛a stanów (den- sity of state) dla swobodnych elektronów, wyra˙zon ˛a przez g˛esto´s´c elektronów (electronic den- sity) n. Z powy˙zszego wzoru (2.8) oraz (2.3) wynika wyra˙zenie na przewodno´s´c wła´sciw ˛a, zwane relacj ˛a Drudego

σ₀ = ne²τ_e

m , (2.9)

gdzie m jest mas ˛a elektronu.

´Srednia przewodno´s´c G dana jest przez uogólnione prawo Ohma

G = σ₀l^d−2. (2.10)

Relacja (2.10) jest uogólnieniem w d wymiarach relacji G = σ0S/l, dla próbki o długo´sci l i przekroju poprzecznym S.

Przewodno´sć elektryczna jest proporcjonalna do współczynnika dyfuzji D (2.8), dlatego przewodno´sć mo˙zna powi ˛azać z energi ˛a Thoulessa Ec. G˛esto´sć stanów na jednostk˛e obj˛eto´sci Ω jest równa 1/(Ω∆), gdzie ∆ jest ´sredni ˛a odległo´sci ˛a mi˛edzy poziomami energetycznymi (av- erage level spacing). Wykorzystuj ˛ac relacj˛e (2.6), relacj˛e Einsteina (2.8) i prawo Ohma (2.10) otrzymujemy

G = se²

~ E_c

∆, (2.11)

gdzie e²/h jest kwantem przewodno´sci elektrycznej o warto´sci (25.8kΩ)⁻¹. Definiuj ˛ac bezwymi- arow ˛a przewodno´s´c jako

g = G

e²/h, (2.12)

otrzymujemy

g = 2πsE_c

∆ (2.13)

jako stosunek dwóch charakterystycznych energii w układzie.

Relacja k_Fl_e 1 odpowiada przypadkowi słabego nieporz ˛adku w układzie, w którym funkcja falowa jest dobrze opisana przez fale płaskie, słabo zaburzone przez potencjał losowy opisuj ˛acy nieporz ˛adek w układzie. Ta granica odpowiada dobremu przewodnikowi.

Innym sposobem scharakteryzowania własno´sci przewodnictwa jest wykorzystanie bezwymiarowej przewodno´sci g. Z relacji (2.3), relacji Einsteina (2.8), prawa Ohma (2.10) oraz (2.16) otrzymujemy

g ∝ k_Fl_e(k_Fl)^d−2. (2.14)

(13)

2.3 Słaba lokalizacja

Dla d = 2, 3, granica kFl_e 1 odpowiada g 1, czyli dobremu przewodnikowi. W przeci- wnym przypadku k_Fl_e 1, bezwymiarowa przewodno´s´c g 1 odpowiada izolatorowi. W tym re˙zimie prawo Ohma (2.10) nie jest dalej spełnione, a elektrony s ˛a zlokalizowane. St ˛ad parametr, jakim jest bezwymiarowa przewodno´sci g, mierzy nieporz ˛adek w układzie [33].

Interesuj ˛ace jest powi ˛azać przewodno´sć elektryczn ˛a z ilo´sci ˛a kanałów, tzn. poziomów ener- getycznych pochodz ˛acych od poprzecznego kierunku układu. Dla próbki o długo´sci l i przekroju poprzecznym S = W^d−1, ´srednia przewodno´sć dana jest za pomoc ˛a prawa Ohma G = σ0S/l.

U˙zywaj ˛ac relacji Einsteina (2.8) otrzymujemy

G = se²ρ0DW^d−1

l . (2.15)

G˛esto´s´c stanów ρ₀na poziomie Fermiego dana jest przez relacj˛e ρ₀ = dA_d

(2π)^d

mk_F^d−2

~²

, (2.16)

gdzie funkcja A₃ = 4π/3, A₂ = π oraz A₁ = 2. W trzech wymiarach d = 3, z relacji (2.15) otrzymujemy [33]

G^3d = se² h

k_F²l_e 3π

S

l = se² h

4N_⊥ 3

l_e

l, (2.17)

gdzie liczba kanałów wynosi N⊥ = k²_FS/4π. Odpowiednio dla d = 1 oraz d = 2 otrzymujemy relacj˛e

G^1d = se² h

2l_e

l oraz G^2d = se² h

πN⊥

2 l_e

l , (2.18)

gdzie dla d = 2 ilo´s´c kanałów wynosi k_FW/π.

W re˙zimie dyfuzyjnym efektywna liczba kanałów jest rz˛edu [36]

N⊥ef f ∼ N⊥

l_e

l ∼ g. (2.19)

2.3 Słaba lokalizacja

Rozwa˙zmy dyfuzyjny ruch elektronów w układzie. Amplituda prawdopodobie´nstwa G(r, r’, t) przej´scia cz ˛astki z punktu r do punktu r’ w czasie t mo˙ze by´c przedstawiona w postaci [31]

G(r, r’, t) =X

i

A_ie^iϕⁱ, (2.20)

gdzie wska´znik i odnosi si˛e do i -tej mo˙zliwej trajektorii dyfunduj ˛acego elektronu o amplitudzie A_i i fazie ϕ_i. Z kolei prawdopodobie´nstwo przej´scia cz ˛astki z r do r’ w czasie t ma posta´c

P (r, r’, t) = |G(r, r’, t)|² =X

i

A²_i + 2X

i6=j

A_iA_jcos(ϕ_i − ϕ_j). (2.21)

Pierwszy wyraz opisuje klasyczny wkład do dyfuzji, drugi za´s kwantowy, który jest zwi ˛azany z interferencj ˛a funkcji falowych elektronów. Je´sli u´srednimy drugi wyraz wyra˙zenia (2.21) po

(14)

nieporz ˛adku w układzie³ to istniej ˛a pary trajektorii i 6= j, na których elektrony nie trac ˛a koherencji fazowej. Wtedy wkład do dyfuzji od drugiego wyrazu wyra˙zenia (2.21) jest niezerowy i nie mo˙ze by´c dalej zaniedbywany. Wkład ten jest kluczowy w kwantowej dyfuzji, poniewa˙z jest ´zródłem ró˙znych koherentnych efektów takich jak słaba lokalizacja (weak localization) czy uniwersalne fluktuacje przewodno´sci (universal conductance fluctuations) [33].

Wkład do słabej lokalizacji pochodzi od konstruktywnej interferencji pomi˛edzy funkcjami falowymi elektronów koherentnych poruszaj ˛acych si˛e wzdłu˙z czasowo odwrotnych trajektorii.

Wi ˛a˙ze si˛e to ze zwi˛ekszeniem prawdopodobie´nstwa powrotu elektronu do poło˙zenia pocz ˛at- kowego. To prowadzi do tendencji, ˙ze elektron „woli” zosta´c tam, gdzie jest powoduj ˛ac, np.

redukcj˛e przewodno´sci w układzie.

Słab ˛a lokalizacj˛e mo˙zemy równie˙z rozumieć nast˛epuj ˛aco. W wyprowadzeniu wyra˙zenia Drudego (2.9) na przewodno´sć elektryczn ˛a, fundamentalnym zało˙zeniem było, ˙ze ka˙zde roz- proszenie całkowicie niszczyło informacj˛e o pocz ˛atkowej pr˛edko´sci elektronu. W kwantowym j˛ezyku oznacza to, ˙ze „pami˛eć” elektronu o fazie zostaje niszczona po ka˙zdym rozprosze- niu. Jednak˙ze elektrony zachowuj ˛a koherencj˛e fazow ˛a podczas elastycznych rozpraszań na długo´sci mniejszej ni˙z Lϕ. Zachowanie koherencji fazowej przez elektrony wprowadza ko- relacje pomi˛edzy pr˛edko´sciami dla czasu wi˛ekszego od τ_e i mniejszego od τ_ϕ. To wpływa na współczynnik dyfuzji poprzez relacj˛e Kubo (2.4), a nast˛epnie na przewodno´sć poprzez relacj˛e Einsteina (2.8). St ˛ad korekta do przewodno´sci Drudego w zjawisku słabej lokalizacji.

Zastanówmy si˛e, jaki jest wpływ słabej lokalizacji na dyfuzj˛e w układzie. Prawdopodobie´n- stwo p×(τ_D) tego, ˙ze w czasie τ_D nast ˛api przeci˛ecie dwóch par dyfuzyjnych trajektorii ⁴ jest odwrotnie proporcjonalny do bezwymiarowej przewodno´sci [33]

p×(τD) ' 1

g. (2.22)

Parametr g pozwala oszacowa´c kwantow ˛a poprawk˛e do klasycznego zachowania si˛e elektronów.

W granicy słabego nieporz ˛adku k_Fl_e 1, przewodno´s´c g jest du˙za (2.14). St ˛ad prawdopodobie´nstwo przeci˛ecia si˛e trajektorii oraz zwi ˛azane z tym efekty koherentne jak słaba lokalizacja jest małe.

Teraz spróbujmy oszacować wpływ słabej lokalizacji na przewodno´sć w układzie pochodz ˛ac ˛a od jednej trajektorii przecinaj ˛acej si˛e. Rozwa˙zmy transport elektronów wzdłu˙z próbki o dłu- go´sci l. Poprawka do przewodno´sci Drudego G_cl (2.9) zwi ˛azana z pojedynczym przeci˛eciem jest rz˛edu 1/g, ale zale˙zy równie˙z od prawdopodobieństwa P_cl(r, r, t) tego, ˙ze elektron powróci do pocz ˛atkowej pozycji. Prawdopodobieństwo po(τ_D) tego, ˙ze w próbce nast ˛api przeci˛ecie si˛e kwantowych trajektorii jest równe [33]

p0(τD) ∼ 1 g

Z τD

0

Z(t)dt

τ_D, (2.23)

gdzie funkcja Z(t) =R drP_cl(r, r, t). Przykładowo dla dyfuzji swobodnej, tzn. przy zaniedba- niu efektów brzegowych, w czasie t > 0 oraz dla układu o obj˛eto´sci Ω i wymiarze d funkcja Z(t) jest równa Z(t) = Ω/(4πDt)^d/2.

3Nieporz ˛adek w układzie mo˙zna opisa´c za pomoc ˛a potencjału losowego zwi ˛azanego z nieczysto´sciami w układzie. U´srednienie po nieporz ˛adku oznacza u´srednienie po ró˙znych realizacjach potencjału losowego.

4Główny wkład do słabej lokalizacji pochodzi od trajektorii przecinaj ˛acych si˛e.

(15)

2.4 Pr ˛ady trwałe w nienadprzewodz ˛acych pier´scieniach

Odpowiednia poprawka do ´sredniej przewodno´sci ∆G = G − Gcl jest proporcjonalna do

G ∼ (1 − p₀(τ_D))G_cl. (2.24)

St ˛ad wida´c, ˙ze uwzgl˛ednienie wkładu do dyfuzji pochodz ˛acego od trajektorii przecinaj ˛acych si˛e powoduje redukcj˛e ´sredniej przewodno´sci w układzie. Jest to tak zwana poprawka do przewodno´sci pochodz ˛aca od słabej lokalizacji (weak localization correction).

2.4 Pr ˛ady trwałe w nienadprzewodz ˛acych pier ´scieniach

Poni˙zej przedstawimy krótki przegl ˛ad teorii pr ˛adów trwałych płyn ˛acych w nienadprzewodz ˛a- cych pier´scieniach.

2.4.1 Czysty jednowymiarowy pier ´scie ´n

Rozwa˙zmy jednowymiarowy „czysty” (tzn. bez nieporz ˛adku) pier´scie´n o obwodzie l umiesz- czony w zewn˛etrznym polu magnetycznym B⁵, rys. 2.3.

Rysunek 2.3: Jednowymiarowy pier´scie´n w zewn˛etrznym strumieniu magnetycznym φ.

Wyra˙zenie na pr ˛ady trwałe dla takiego pier´scienia jest nast˛epuj ˛ace [33]

I(φ) = 2 πj0

∞

X

n=1

1 n

cos nkFl −sin nk_Fl nk_Fl

sin

2πn φ

φ₀

, (2.25)

gdzie

j0 = ev_F

l (2.26)

jest pr ˛adem trwałym zwi ˛azanym z pojedynczym poziomem energetycznym o energii równej energii Fermiego E_F, v_F = ~kF/m jest pr˛edko´sci ˛a Fermiego, e - elementarnym ładunkiem elektronu o masie m. Dla du˙zej liczby elektronów, tzn. kFl 1, otrzymujemy [33, 37]

I(φ) = 2 πj₀

∞

X

n=1

cos nk_Fl

n sin

2πnφ

φ₀

. (2.27)

5Dla pier´scienia o powierzchni S strumie´n magnetyczny φ jest zwi ˛azany z wektorem indukcji magnetycznej B relacj ˛a φ =R

SB · dS.

(16)

Rozwa˙zmy sytuacj˛e kiedy liczba elektronów w układzie N jest ustalona. W tym przypadku wektor falowy Fermiego k_F jest równy

k_F = N π/l (2.28)

i wyra˙zenie na pr ˛ady trwałe przyjmuje posta´c

I(φ) = 2 πj₀

∞

X

n=1

(−1)^nN n sin

2πnφ

φ₀

. (2.29)

St ˛ad wida´c, ˙ze pr ˛ady trwałe płyn ˛ace w pier´scieniu zale˙z ˛a silnie od parzysto´sci liczby elektronów N w pier´scieniu.

2.4.2 Kwantowa teoria dla mezoskopowych obwodów elektrycznych

W pracy [38] zostało przedstawione wyra˙zenie na pr ˛ady trwałe dla stanu podstawowego bazuj ˛ac an kwantowej teorii dla mezoskopowych obwodów elektrycznych. Jest to nietypowe podej´scie do problemu pr ˛adów trwałych. Otrzymane wyra˙zenia na pr ˛ady trwałe dla pojedynczego mezoskopowego pier´scienia ma posta´c

I(φ) = φ₀ 2πLsin

2π φ

φ₀

, (2.30)

gdzie L jest współczynnikiem samoindukcji pier´scienia.

2.4.3 Wpływ temperatury

W niezerowej temperaturze, ka˙zda harmoniczna pr ˛adu I(φ) (2.27) płyn ˛acego w pier´scieniu jest mno˙zona przez funkcje charakteryzuj ˛ac ˛a efekt temperaturowy dla gazu Fermiego [33]

h(T /Tn) = T T_n

2 exp(−T /Tn)

1 − exp(−2T /T_n) = T /Tn

sinh T /T_n. (2.31)

Oscylacje pr ˛adu ze wzgl˛edu na φ s ˛a eksponencjalnie wygaszane z charakterystyczn ˛a temperatur ˛a Tn = ∆_F/2nπ²dla ka˙zdej harmonicznej n, gdzie ∆F = 2π~vF/l jest odległo´sci ˛a mi˛edzy poziomami energetycznymi na powierzchni Fermiego (level spacing at the Fermi surface) . Całkowity pr ˛ad

I(φ, T ) = 2 πj0

∞

X

n=1

h(T /Tn)

n cos(kFln) sin

2πn φ

φ₀

(2.32)

zanika w przybli˙zeniu eksponencjalnie, kiedy energia fluktuacji termicznych kBT jest rz˛edu

∆_F.

Wybieraj ˛ac charakterystyczn ˛a temperatur˛e w układzie jako pierwsz ˛a harmoniczn ˛a charak- terystycznej temperatury kBT₁ = k_BT^∗ = ∆_F/2π², otrzymujemy wyra˙zenie na pr ˛ady trwałe płyn ˛ace w pier´scieniu w temperaturze T znane z pracy [37].

(17)

2.4.4 ´Srednie pr ˛ady trwałe

Rozwa˙zmy zbiór N izolowanych pier´scieni, w którym mierzony jest sumaryczny pr ˛ad. Dziel ˛ac ten pr ˛ad przez całkowit ˛a liczb˛e pier´scieni, mo˙zemy zdefiniowa´c ´sredni pr ˛ad płyn ˛acy w pojedynczym pier´scieniu.

U´sredniaj ˛ac wyra˙zenie (2.29) po N , tzn. po liczbie pier´scieni z ró˙zn ˛a liczb ˛a elektronów, otrzymujemy wyra˙zenie na ´sredni pr ˛ad trwały płyn ˛acy w jednym pier´scieniu [33]

I(φ) = 1 πj₀

∞

X

n=1

1 nsin

4πnφ

φ₀

. (2.33)

Okres tego pr ˛adu wynosi φ₀/2.

2.4.5 Pier ´scienie wielokanałowe

W celu opisania sytuacji bardziej realistycznej ni˙z idealny jednowymiarowy pier´scie´n, musimy wzi ˛a´c pod uwag˛e przekrój poprzeczny pier´scienia. W takim przypadku otrzymujemy dodatkowe poziomy energetyczne pochodz ˛ace z poprzecznego kierunku pier´scienia, tzw. kanały. Dla przykładu rozwa˙zmy cylinder o obwodzie l i wysoko´sci W . Całkowity pr ˛ad otrzymany z (2.27) jest sum ˛a niezale˙znych wkładów od ka˙zdego kanału [39]

I(φ) = 2 πj0

N⊥

X

m=1

∞

X

n=1

k_x k_F

cos nk_xl

n sin

2πnφ

φ₀

, (2.34)

gdzie k²_x = k_F² − k_z², transwersalny wektor falowy k_z = n_zπ/W , n_z ∈ N. Liczba kanałów jest równa N⊥ = k_FW/π.

Jak pokazano w pracy [39], warto´s´c typowego pr ˛adu dla pier´scienia wielokanałowego jest proporcjonalna do√

N⊥, a temperatura skaluje si˛e do T^∗ ∼ ∆_F/kB. 2.4.6 Pr ˛ady trwałe w pier ´scieniach z nieporz ˛adkiem

Rozwa˙zmy quasi-jednowymiarowy pier´scie´n, którego przekrój poprzeczny wynosi S. Załó˙zmy,

˙ze ruch elektronów jest w trzech wymiarach, rys. 2.4.

Rysunek 2.4: Wielokanałowy quasi-jednowymiarowy pier´scie´n z nieporz ˛adkiem w zewn˛etrznym strumieniu magnetycznym φ.

(18)

Wariancja δI²rozkładu pr ˛adu trwałego jest zdefiniowana przez relacj˛e δI² = I²− I². Wiel- ko´s´c δI²^1/2jest nazywana typowym pr ˛adem (typical current) i oznaczana jako Ityp. Wyra˙zenie na n-t ˛a harmoniczn ˛a pr ˛adu trwałego dla quasi-jednowymiarowego pier´scienia w re˙zimie dyfuzyjnym w temperaturze T = 0 ma posta´c [33]

I_n² = 384 n³

E_c φ₀

2"

1 + n l L_φ +n²

3

l L_φ

2#

e^−nl/L^φ. (2.35)

W granicy l L_φtypowy pr ˛ad ma warto´s´c I_typ = 8√

6E_c φ₀ sin

2π φ

φ₀

. (2.36)

Poniewa˙z energia Thoulessa E_c = ~/τD jest odwrotnie proporcjonalna do czasu dyfuzji przez próbk˛e o długo´sci l, wi˛ec pr ˛ad trwały w re˙zimie dyfuzyjnym mo˙zna interpretowa´c jako pr ˛ad wytworzony przez jeden elektron, który okr ˛a˙zył pier´scie´n dyfuzyjnie w czasie τD [40]. Ampli- tuda typowego pr ˛adu jest proporcjonalna do

Ityp' e

τ_D. (2.37)

Porównuj ˛ac ten wynik z wynikiem dla amplitudy pr ˛adów płyn ˛acych w czystym pier´scieniu j₀ = ev_F/l (2.26) wida´c, ˙ze nieporz ˛adek w pier´scieniu redukuje pr ˛ad w stosunku do j₀jak

I_typ j₀ ' l_e

l (2.38)

W niezerowej temperaturze T , wyra˙zenie na n-t ˛a harmoniczn ˛a typowego pr ˛adu ma posta´c I_n²(T ) = I_n²(0)f²(T ), (2.39) gdzie

f²(T ) = 4 3√ π

Z ∞ 0

e^−1/xH² πT n²x 4E_c

dx

x^7/2 (2.40)

i H(x) = x/ sinh x.

2.4.7 Efekt oddziaływania kulombowskiego na ´srednie pr ˛ady trwałe

Bior ˛ac pod uwag˛e oddziaływanie elektron-elektron, przybli˙zone wyra˙zenie na ´srednie pr ˛ady trwałe w temperaturze T = 0 jest równe [41]

Iee ' 16λef f

Ec

φ₀ sin

2π φ

φ₀

, (2.41)

gdzie parametr λ_{ef f} opisuje efektywne oddziaływanie.

W niezerowej temperaturze T , wyra˙zenie dla typowego pr ˛adu, uwzgl˛edniaj ˛ac kulombowskie oddziaływanie elektron - elektron, ma posta´c

I_ee(T ) = I_ee(0)g(T ), (2.42)

(19)

gdzie

g(T ) = 2

√π Z ∞

0

e^−1/xH² πT n²x 4E_c

dx

x^5/2 (2.43)

i H(x) = x/ sinh x. Wyra˙zenie g(T ) mo˙zna z dobrym przybli˙zeniem aproksymowa´c przez funkcj˛e

g(T ) = e^{−T /3E}^c. (2.44)

Rysunek 2.5: Zale˙zno´s´c amplitudy pr ˛adów trwałych od temperatury dla czystego pier´scienia (2.31) - górny rysunek oraz dla pier´scienia z nieporz ˛adkiem (2.40) i oddziały- waniem elektron -elektron (2.43) - dolny rysunek. Temperatura T0 = 2π²T /∆F i T_E = T /E_c. Dla typowych warto´sci ∆F ∼ 10K oraz E_C ∼ 20mK, temperatura T = 10mK odpowiada przeskalowanej temperaturze T₀ ∼ 0.02 oraz T_E ∼ 0.5.

Eksperyment

Pomiary pr ˛adów trwałych płyn ˛acych w pier´scieniach mezoskopowych aktualnie dokonuje si˛e za pomoc ˛a pomiaru momentu magnetycznego u˙zywaj ˛ac SQUID-u. Sygnał jest bardzo słaby, wi˛ec eksperyment musi by´c przeprowadzony bardzo starannie. Amplituda pr ˛adu typowego i

´sredniego jest rz˛edu E_c/φ₀, co daje e/τD lub ∼ evFl_e/l². To odpowiada momentowi magnety- cznemu M rz˛edu ev_Fl_e, który w jednostkach magnetonu Bohra µ_B= e~/2m ' 9 · 10⁻²⁴J/T , co daje

M ' µ_Bk_Fl_e. (2.45)

W metalach kFl_e jest pomi˛edzy 10 -100, wi˛ec moment magnetyczny na pier´scie´n jest bardzo mały i trudny do zmierzenia.