Anmerkung zur Berechnung von Eisenbahnbrücken. Auf welche Weise die Bestimmung der Grenzwerte gewisser Unbekannten

Z mit Hilfe von Einflußlinien erfolgt, wurde bereits im § 14 aus­

einandergesetzt, und es möge an dieser Stelle nur noch hervorge­

hoben werden, daß es bei den Trägern von Eisenbahnbrücken nicht immer möglich ist, ausschließlich die positiven oder ausschließlich die negativen Einfluß flächen zu belasten, ohne auf Unwahrscheinlichkeiten zu stoßen. So kann es z. B. Vorkommen, daß das Moment maiM für den Querschnitt K des Balkens in Fig. 155 bei der in dieser Figur angegebenen Stellung einer Lokomotive nebst Tender entsteht, und es leuchtet ein, daß in diesem und in ähnlichen Fällen die Länge der den Träger belastenden Fahrzeuge eine bei weitem größere Rolle spielt, als beispielsweise bei der Berechnung eines einfachen Balkens (Abschnitt IY). Eine kürzere, wenn auch leichtere Lokomotive nebst entsprechendem Tender kann bei kurzer positiver oder negativer Beitragstrecke ein größeres Maximum oder Minimum der fraglichen Unbekannten bedingen, als längere und schwerere Fahrzeuge, und es erscheint hiernach nötig, den Einfluß verschiedenartig zusammenge­

setzter Lastenzüge zu prüfen. Dabei wäre auch zu beachten, daß ein entlastend wirkender Tender nicht gefüllt angenommen werden darf. Will man diese umständlichen Yergleichungen vermeiden, also nur mit einem Lastenzuge rechnen und trotzdem genügend sicher geheu, so vernachlässige man bei der Ermittelung des Maximums die Belastung der negativen Beitragstrecken und bei der Bestimmung des Minimums die Belastung der positiven Strecken.*)

*) Ist eine Beitragstrecke allerdings so kurz, daß sie nicht einmal die Auf­

stellung von drei Lokomotivachsen ermöglicht, so liefert das oben vorgeschlagene

Gerbersclier Balken. Einflußlinien. 169 Entscheidet man sich für dieses Verfahren. so kann man die Querkräfte. Momente und Stützenwiderstände der Gelenkbalken auch sehr schnell auf dem folgenden Wege mit Hilfe von Seilpolygonen bestimmen. Dabei sei vorausgesetzt, daß im Falle mittelbarer Be­

lastung über allen Stützen und Gelenken Querträger liegen; auch möge daran erinnert werden, daß die Berechnung der Momente nur für die bei Querträgern geführten Querschnitte zu erfolgen braucht.

Yergl. Seite 142.

b.

Wir knüpfen an die in No.. 82 gelehrte Bestimmung der Momente für die Querschnitte eines einfachen Balkens an. Es wurde dort ein Seilpolygon für einen hinreichend langen Lastenzug gezeichnet, hierauf der Balken in verschiedene Stellungen gegen den Zug gebracht und für jede Stellung die Schlußlinie eingetragen. Auf gleiche Weise werden die Momente der Koppelträger des Gelenkbalkens bestimmt, und das hierbei benutzte Seilpolygon kann dann auch für die nach­

stehenden Untersuchungen (No. 100 bis 103) verwendet werden.

Im allgemeinen ist jede dieser Untersuchungen (wie schon in der An­

merkung auf Seite 140 hervorgehoben wurde) zweimal durchzuführen, indem zunächst zwei der drei Lokomotiven mit ihren Vorderteilen gegeneinander zu stellen sind, wahrend zweitens alle drei Lokomotiven vorwärts fahrend angenommen werden. Die gefährlichsten Zugstelluugen werden am zweckmäßigsten durch Probieren bestimmt.*)

100. Momente für einen

156-Verfahren allzu ungünstige Grenzwerte. Man nehme dann eine Lokomotive mit besonders stark belasteter Mittelachse an (zweckmäßig ohne Tender) und berück­

sichtige auch den Einfluß der etwa über den angrenzenden Strecken stehenden Achsen dieser Lokomotive.

*) In Xo. 100 bis 103 handelt es sich nur um den Einflnß der Verkehrslast.

Den Zeiger p haben wir der Kürze wegen fortgelassen.

170

Hierauf trägt man die zu A B gehörige Schlußlinie ab ein, und ver­

längert sie über b hinaus bis zu ihrem Schnittpunkte k mit der Senk­

rechten durch K, welche letztere das Seilpolygon in k' treffen möge.

Nach Messung der Strecke kk' — y erhält man M = — H y. Auf gleiche Weise findet man auch das Stützenmoment M c = — H yc. In Fig. 156 wurde vorausgesetzt, daß M c bei derselben Zugstellung den größten Wert annimmt wie das Moment M für den Querschnitt K \ es ist dies häufig, aber nicht immer der Fall. Das Stützenmoment Md = — H y D wird ebenso bestimmt wie Mc.

101. Querkraft für einen Querschnitt K des Auslegers B C . Man stellt den Träger so unter den Lastenzug, daß im Falle un­

mittelbarer Belastung der Querschnitt K in der Nähe der schwersten

n

Fig. 157 a. Fig. 157 b.

Lasten liegt und eine schwere Last sich unmittelbar links von K befindet, Fig. 157.*) Stehen dann beispielsweise zwischen B und K drei Lasten (P 15 P 2, P 3) und auf dem Teile A B die Lasten P4 bis P 8, so ist Q = P , -|- P 2 -)- P 3 -f- P , wo B den von den Lasten P4 bis P 8 herrührenden Druck bedeutet, welchen der Koppelträger auf das Gelenk B ausübt. Trägt man nun die zu A B gehörige Schluß­

linie s ein, zieht in Fig. 157 b (welche den hier in Betracht kommen­

den Teil des Kräftepolygons darstellt) zu s die Parallele O S , so findet man B = S R , wo R den Endpunkt des Seilstrahles bezeich­

net, welcher die Kräfte P3 und P 4 trennt. Hieraus folgt die Quer­

kraft Q = —■ ST.

102. Momente und Querkräfte für die Querschnitte zwischen den Stützen C und D (Fig. 158). Es ist nach Seite 161 für einen Querschnitt K im Abstand x von C

*) Ist die Belastung eine mittelbare, so tritt in Fig. 157 an die Stelle von K der diesem Querschnitte auf der linken Seite benachbarte Querträger.

Gelberscher Balken. Einzelkosten. 171

M = Mn Q = Q 0

Mc x ' l “r Md — Mc

l

Md x

und

wo M0 und Q0 das Moment und die Querkraft für den Querschnitt K eines einfachen Balkens CD bedeuten; sie werden nach § 18 be­

stimmt. Die Stützenmomente Mc und MD sind negativ; sie wurden in No. 100 in der Form gefunden: M c = — H y c und MD = — H y Dl und es folgt somit

m„ M = M0*)

rVcX - \ - y 0 x**) l

IJc l He i '

Trägt man in C und D die Ordinaten CC' = y c und D D ' = y D auf, Fig. 158.

und zieht die Gerade C 'D \ so liefern deren Ordinaten y die Momente minM = — H y.

103. Stützenwiderstand C (Fig. 159).

stellt man den Balken so unter den Zug, daß die schwersten Lasten in der Nähe von B liegen, daß eine schwere Last in B selbst angreift

Um maxC zu erhalten,

und der Träger, wenn möglich, rechts von D unbelastet bleibt. Be­

findet sich, wie in der Fig. 159, rechts von D die Achse eines Fahr­

*) Es wird jetzt nur der Balkenteil CD belastet angenommen.

**) Es wird nun CD unbelastet gedacht.

172

zeuges, dessen übrige Achsen links von D liegen, so wird sie zweckmäßig vernachlässigt. Nun trägt man die Schlußlinie s1 des schwebenden Teiles A B ein, bringt sie in c mit der Senkrechten durch C zum Schnitt, verbindet c mit dem Punkte d, in welchem das Seilpolygon von der Senkrechten durch I) getroffen wird, und zieht vom Pole aus Parallelen zu Sj und a2. Diese schneiden auf dem Kräftezuge den Stützenwiderstand maxC ab.

Um minC zu finden, denke man die Balkenteile D E und E F (Fig. 152) so belastet, daß das größte (negative) Moment MD — — HtjD entsteht, und vernachlässige die hierbei etwa links von D angreifenden Lasten, nehme also die Strecke A D unbelastet an. Man erhält dann aus der Bedingung Cl = M D den Wert

Ganz ebenso werden die Grenzwerte des Stützenwiderstandes D bestimmt.

Anmerkung. Zu den in No. 100 bis 103 ermittelten, von den verschiebbaren Einzellasten hervorgerufenen Momenten M und Kräften Q und C sind noch die durch die ständige Belastung erzeugten M, Q, C zu addieren. Die Bestimmung der letzteren soll im folgenden Paragraph gezeigt werden.

104. Momente. Werden die einzelnen Öffnungen ¿¡, /3 . . . . eines Gelenkbalkens gleichmäßig belastet und zwar mit z 2, . . . . f. d. Längeneinheit, vergl. Fig. 160, so sind die einfachen

Mo-sind. Nach Aufzeichnung dieser Parabeln bestimmt man die wirk­

lichen Momentenflächen am schnellsten- nach dem in No. 92 mit­

geteilten Verfahren. In der Fig. 160 ist die fragliche Aufgabe für einen Balken mit 4 Öffnungen gelöst worden: der Schlußlinienzug ist durch die den Gelenken ö x, G2. G3 entsprechenden Parabelpunkte 9i, 9 ih bestimmt.

Aus den im § 21 gezeichneten Einflußlinien geht hervor, daß man die Grenzwerte für sämtliche Momente M durch Untersuchung von zwei Belastungsfällen erhält. In dem einen Falle werden die durch ungerade Zeiger gekennzeichneten Belastungen x gleich p -f- <j — q

an-Alj)____jj f/i,

§ 22.

Gleichmäßige Belastung.

mentenlinien Parabeln, deren Pfeile gleich — O

genommen und die % mit geraden Zeiger gleich g\ im zweiten Ealle

Gerberscher Balken. Gleichmäßige Belastung. 173

j j j p

mente M hervorgerufen; einzelnen Querschnitten können in dem einen Falle positive, in dem anderen negative Momente entsprechen.

Die Querschnitte der Koppelträger Gx G2 und G3 E werden nur durch positive, diejenigen der Ausleger B Gl: G2C , D G 3 nur durch negative Momente beansprucht, und zwar ergehen sich für alle diese Momente die kleinsten oder die größten Werte, je nachdem der erste oder der zweite Belastungszustand eintritt.

Werden die von der ständigen Belastung (g) allein hervorgerufenen Momente Mg gesucht, so setze man xx = x2 = x3 — x4 = g.

Ist die Belastung eine mittelbar wirkende, und liegen über sämt­

lichen Gelenken und Stützen Querträger, so werden die in der Fig. 160 gezeichneten Parabeln durch einbeschriebene Polygone ersetzt. Die Ecken dieser Polygone liegen ;tuf den Senkrechten durch die Quer­

träger. Bei ganz beliebiger "Verteilung der Querträger (Fig. 155) empfiehlt es sich, die Momente mit Hilfe von Einflußlinien zu ermitteln.

105. Querkraft für einen Querschnitt 2£ eines Auslegers. Bei der Bestimmung der Querkräfte setzen wir im Falle mittelbarer Be­

lastung voraus, daß über allen Gelenken und Stützen Querträger liegen.

Die als einfache Balken aufzufassenden Koppelträger werden genau wie im § 17 (No. 76 und 78) behandelt, und es genügt daher, die Ermittelung der Querkräfte Q für einen Balkenteil mit überragenden Enden zu zeigen.

174

Gehört der fragliche Quer­

schnitt K dem Ausleger B C an, so ist Q stets negativ; es wird am größten bei voller Belastung der Strecke A K \ Lasten rechts von K sind ohne Einfluß auf Q.

Man erhält

Fig. 161.

wobei das erste Glied den Druck des Koppelträgers A B auf das Ge­

lenk B vorstellt. Hiernach ist Q gleich der Ordinate einer Geraden B' C' (Fig. 161 a), welche gegeben ist durch

B B ' = — q und C C ’ = — q ----

\-Bei mittelbarer Belastung (Fig. 161b) ist Q für alle Querschnitte innerhalb eines Feldes \ konstant und gleich der der Feldmitte ent­

sprechenden Ordinate der Geraden B 'C '. Die Belastung p \ dieses Feldes übt nämlich auf den das Feld links begrenzenden Querträger

woraus dann (J = — q --- qx folgt.

¿i

Handelt es sich nur um die durch die ständige Belastung g her­

vorgerufene Querkraft Q, so ersetzt man in der vorstehenden Unter­

suchung q durch g.

106. Querkraft für einen Querschnitt K zwischen den Stützen C und D, Fig. 154. Es ist nach Gleich. (1) uud (2) auf Seite 162 den D r u c k ---q \ aus, und es ist deshalb die Summe der auf das

u

Balkenstück B K wirkenden Kräfte

Q — Qo und man erhält

tnax

max J m a x Q o |

(2 )

Gerbersclier Balken. Gleichmäßige Belastung. 175 wobei maxQ0 und Q0 die nach No. 76 und 78 zu bestimmenden Grenz­

werte der Querkraft Q für den Querschnitt K eines einfachen Balkens CD bedeuten. MD und M c sind die negativen Stützenmomente, ihre Grenzwerte ergeben sich bei der Durchführung der in No. 104 be­

schriebenen Untersuchung, und man wird natürlich in die vorstehende Gleichung (1) den kleinsten Wert von MB und den größten Wert von Mc einführen, in die Gleichung (2) hingegen den größten Wert von Mn und den kleinsten von M c.

Der Einfluß der ständigen Belastung g ist für sich allein

MDg und MCj, sind die Stützenmomente infolge der ständigen Belastung und Q0g die durch diese Belastung für den Querschnitt K eines einfachen Balkens hervorgebrachte Querkraft; letztere wird nach No. 74 auf Seite 130 bestimmt.

107. Stützenwiderstand C. Der Inhalt des positiven Teiles der Einflußfläche für C ist mit den in der Figur 152 angegebenen B e­

zeichnungen ^ und wegen B B ' — 1

& = -l- B B ' -A D = (¿ + 0 ( H - e ' + O ui

und der Inhalt des negativen Teiles ist ^wegen E E ' = 1 Z ^ - E E ' . D F = 6' {e" + n -Setzt man zur Abkürzung

(/ + e ) (l + e - f l') _ h , e" (e" + /' ) _ 7,„

21 21

so erhält man

ma*C= q%2 — g f a = q h ’ — gh"

min C = g%2 — gfit = gh' — qh".

Infolge der ständigen Belastung allein entsteht C„ = g Qi

—

h ’ und h " lassen sich leicht durch Zeichnung bestimmen. Macht man nämlich in Fig. 152 : C L = (l -j- e ) und D R = e" und zieht

u u

die Geraden D L und CR, so schneiden deren Yerlängerungen'auf den Senkrechten durch ^4‘und F die Strecken h ' und h " ab.

176

VII. Abschnitt.