Querkräfte und Angriffsmomente für den einfachen Balken
82. Momente. Als veränderliche Belastung sollen Güterzug
lokomotiven angenommen werden, von denen zwei mit ihren Vorder
teilen gegeneinander gekehrt sind; vor und hinter dieselben werden Lastwagen gestellt.*) dem fraglichen Querschnitte liegt. Hierauf wurden die Auflagersenk
rechten in a und b mit dem Seilpolygon zum Schnitt gebracht und die Funkte a und b durch die Schlußlinie -s, verbunden. Die auf der Senkrechten durch 1 von dem Seilpolvgon und der Geraden s, abge
schnittene Strecke ypX gibt mit II multipliziert das Moment Mpl. Man überzeugt sich leicht, daß dieses Moment verkleinert wird, sobald man
*) Wir beschränken uns hier auf diesen Fall. Zuweilen kommt es vor, daß drei vorwärtsgehende Maschinen etwas größere Momente erzeugen, so daß es im allgemeinen nötig ist, die folgenden Untersuchungen zweimal durchzuführen.
**) Im allgemeinen empfiehlt es sich, für H eine bequeme Zahl zu wählen;
doch werden wir später auch Aufgaben zu lösen haben, bei denen es besser ist, H als ein Vielfaches der Feldweite anzunehmen. Um dann Tafel I benutzen zu können, wurde die obige Wahl getroffen.
Verschiebbares System von Einzellasten. 141 den Träger nach links oder nach rechts gegen den Zug verschiebt, daß also das gewonnene Moment das größte ist, welches für den Quer
schnitt 1 entsteht. Wenn man nämlich die Lasten links von irgend einem Querschnitte C zur Mittelkraft P„ vereinigt, Fig. 129, und die Lasten rechts von C zur Mittelkraft P 4, während man mit P ' die in C angreifende Last bezeichnet, so erzeugt Pa an der rechten Stütze den Widerstand P»-y. und daher für C das Moment Pa j x ', ähnlich
v L
l) 'Xf'Xy
Pb das Moment Pb — x und P ' das Moment P ——, so daß M = Phb + - Paa + x x P ’
T
wird. Verschiebt man nun den Zug um die unendlich kleine Streck | nach links, so geht M über in
M + d M = y 1\ (b + ^ Pa (a - $ ) + X'r P {x - $
= J f + | (P . + P ) ]
und es muß, wenn der Zuwachs d M des Momentes negativ sein soll, x P b < x (P . - f P )
werden, d. h.
® j £ r < i
-Ebenso folgt, daß einer Verschiebimg nach rechts
(3) ' ■ - j;
entsprechen muß. Ist nun (Fig. 128) E E ' gleich der Summe der auf dem Träger A B befindlichen Lasten (d. i. hier gleich der Summe der Lasten 6 bis 20) und zieht man E F = l = 36m, macht auf dieser Geraden E J — x — 32,4”***), verbindet F mit E ’ und zieht J N || F E \ so muß J N die über dem fraglichen Querschnitte liegende Last P ' treffen. Es ist nämlich dann E G — Ph, G K = P \ K E ' = P„ und es folgt:
*) Am einfachsten verfährt man, statt die nachfolgende Betrachtung anzu
stellen, dem Träger verschiedene Lagen gegen den Zug zuzuweisen, für diese Lagen y pi zu ermitteln und die Ergebnisse zu vergleichen.
**) In Fig. 128 wurde E F = \ l und E J = - - x ' gemacht.
o o
142 Figur 130 als Ordinaten des Momentenpolygons aufgetragen.
Zu den Werten yp sind die der ständigen Belastung (g) ent
Yerbindet man die Endpunkte der Ordinaten y durch gerade Linien und sieht davon ab, daß ein Teil der ständigen Belastung, nämlich das Eigengewicht des Balkens, unmittelbar wirkend ist, so erhält man für alle zwischen den Querträgern gelegenen Querschnitte etwas zu große Momente. Für den Querschnitt C (Fig. 130) zwischen 3 und 4
143
schnitte wurde bereits in No 82 erledigt (vergl. die Berechnung von M u M2 . . . .). Wird aber das größte aller Maximalmomente gesucht, so muß ein anderer W eg eingeschlagen werden, da die Lage des Quer
schnitts, welchem dieses Moment entspricht, zunächst unbekannt ist, und weil ferner die veränderliche und die ständige L ast nicht mehr getrennt behandelt werden dürfen.
In Fig. 132 haben wir, der größeren Deutlichkeit wegen, ange
nommen, daß es sich um einen kurzen Träger mit einer verhältnis
mäßig großen gleichförmigen Belastung g handelt, und daß nur zwei verschiebbare Einzellasten I \ und P 2 in Betracht kommen. CI) ist größer als die Stützweite A B des Trägers. Die gleichförmige
Be-Fig. 132.
lastung wurde durch senkrechte, mit den Einzellasten zusammenfallende Schnitte in drei Streifen zerlegt, deren Gewichte Gx, 6r2, Gs sein mögen;
sodann wurde zu den Einzellasten , P j, G2, P 2, G3 mit der beliebigen Polweite H das Seilpolygon C 'G D ' gezeichnet. Rundet man dessen
Ecken C 'E F , F G J , J K D durch Parabelbögen ab, welche die jene Ecken bildenden Seilpolygonseiten in den Punkten C \ F, J, IV berühren, so bilden diese Bögen (vergl. Seite 32) das Seilpolygon für die aus der gleich
mäßigen Belastung und den Einzel
lasten zusammengesetzte Belastung.
Die Parabelbögen bestimmt man am zweckmäßigsten mit Hilfe von Tan
genten nach dem in der Fig. 133 dargestellten Yerfahren. Die Seiten F G und G J der abzurundenden Ecke wurden in gleiche Teile zerlegt
Fig. 133.
Verschiebbares System von Einzelnsten. 145 und die gleich bezeichneten Teilpunkte durch gerade Linien verbunden.
Diese Geraden sind Tangenten an die gesuchte Parabel.
Nach Aufzeichnung des Seilpolygons gibt man dem zu unter
suchenden Balken verschiedene Stellungen gegen das Lastensystem und bestimmt die zugehörigen Schlußlinien sowie die von diesen umhüllte Linie U Ist dann y max der größte senkrechte Abstand der Linie U vom Seilpolygon, so erhält man das größte Maximalmoment:
M
= ////„„.
c. Berechnung der Stutzenwiderstände und Momente infolge der Belastung durch einen Eisenbahnzug mit Hilfe von Tabellen.
8 5 . Stützenw iderstand A m ■ Es sei ein Eisenbahnzug vom Auflager B
aus bis zu irgend einem Querschnitte (Knotenpunkte) m vorgerückt (Fig. 134).
Die Lasten seien mit P„ P2...P „ bezeichnet, ihre Abstände von B mit b u b t . . . . b » und die Abstände der Lasten von der letzten Last mit ct, c2 . . . ■ Der "Widerstand der linken Stütze wird:
l l
und mit der kurzen Bezeichnung:
2P = ^ „ , i p c = 5 „ :
i i
— ( iß„ bn + ©»)•
Die Werte und S„ können für einen bestimmten Lastenzug ein für allemal berechnet werden. Dazu beachte man, daß zwischen den statischen Momenten
und @„+i die Beziehung
©„ + i = ©» + ?„«„
besteht, wobei en den Abstand der Last P „ von der Last P „ +1 bedeutet.
M ü l l e r - B r e s l a u , Graphische Statik. I. 10
146
stellung die gefährlichste sein soll,
n r
2 P •< 2 P
1 l \
sein, d. h.
— (i) - % - < — ■4^r X m
Ebenso findet man, daß infolge einer kleinen Verschiebung des Eisenbahnzuges nach rechts abnimmt, sobald
— * (ii) > - L
4-V - 1 X m
ist. Die beiden Ungleichungen (I) und (II) müssen also erfüllt sein, wenn die Zugstellung den größten Wert sDi„, hervorbringen soll. Es lassen sich im all
gemeinen verschiedene Zugstellungen angeben, welche die Bedingungen I und II befriedigen; doch weichen dann die Ergebnisse SDim nur wenig voneinander ab.
Verschiebbares System von Einzellasten. 147
[£[ äKnotenpunkt fi.Jj Die zweite Maschine wird vorwärts fahrend angenommen, die , Kg'. 137, Tabelle
Knotenpunkt 4, Fig. 138, Tabelle II.
n = 28 r = 6
.___ J&8 = 368 J_ = 4
100 X i
% 8 __368
" H56 - 84
in = 2,4m, © , 8 = 14296, ©v = 442,8 93?4 = - 1 (368 • 2.4 + 14 296) — 442,8 = 3352i”*.
4
- ¿ t -
t
irr i m u i i i . H 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 fl
--- ____
(iz) F ig . 135.
111 1111 111 U l H 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ^
--- J5ln--- *(?)
(27/\
'.VT
(to) Fig. 136.
(27) I
*
J O “
( 7) (8)
Fig. 137.
83
(2Sl I 111 1 1 I 1 1 1 1 1 I. 1 1 1 1 i T
U --- ; w - - - —
h--- ^
Ü L
Fig. 138.
(W
F lg . 139.
(V (30) \
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 1 1 1 1 1 1 1
Verschiebbares System von Einzellasten. 149 Knotenpunkt 3, Eig. 139, Tabelle II.
n = 30 r = 6
$3o _ _392^ , J_ _ 16
$6 84 **-3 3
$ 29 *) = 380 16
$ B 6 8 3
b„ = 0,2m, ©go = 16 540, ©6 = 342,0
5Dfs = ~ (392 • 0,2 + 16540) — 342,0 = 2774"”.
10
Knotenpunkt 2, Fig. 140, Tabelle ü .
Knotenpunkt 1, Fig. 141, Tabelle II. Der Tender der ersten Maschine hat die Brücke verlassen.
n = 30 r = 4
bn = 2,8”, @30 = 16 540, © 4 = 198,0
3K2 = 4 - (392 • 2,8 + 16540) — 198,0 = 2007"".
8
n = 33 r = 5, $ 3 3 = 428, $ s = 6 8, $ 3 = 36
$3 3- $ , _392 l _
$ 5 - $ 8 32
bn = 0, ©„ = 20176
A l = 2 0 176 — 36 • 81,7 = 17 234.8""
W t = A x — 16 • 1,2 = — 17 234,8 — 19,2 = 1058"”
*) Die letzte Achse liegt so nahe am Auflager B. daß sie infolge einer kleinen endlichen Verschiebung des Zuges nach rechts den Träger verläßt.
150
T e o i W i B B S -r s a n i t u e Ez l k ü s s s l 1 5 1
Tabelle III.
Tender I Lokomotive Tender Lokomotive Güterwagen
Tonnen 1 2 — 1 2 — 1 2 16 — 16 — 16 — 16 1 2 — 12 — 12 16 — 16 — 16 — 16 12 — 12 | 12 —
Verschiebbares System von Einzellasten. 153 87. F ortsetzung. Überschreitet die Abscisse x des Querschnitts bei einem Balken von größerer Stützweite einen bestimmten Wert, so liegt bei der das Moment m«xMm erzeugenden Laststellung eine Güterwagenachse über m. Man erhält in diesem Falle für maxMm einen besonders einfachen Ausdruck, wenn man die Güterwagen durch eine gleichförmige Belastung p, welche etwa 2,5”* hinter der letzten Lokomotivachse beginnt, ersetzt.
Mit den aus Fig. 142 ersichtlichen Bezeichnungen findet man nach dem auf Seite 141 zur Berechnung von M angegebenen Verfahren
e f y
M wird ein Maximum, sobald \ den festen, von der Lage des Querschnitts m unabhängigen Wert
2 P (1) ^ = — annimmt; es entsteht
(2) + (s p} - S J > « ) Für die von uns gewählte Zuganordnung (Tabelle III) ist
1 P = 200', ¡ö = 1 ^ - = 4,07m, £ = 50-”,
woraus zunächst folgt, daß x ^ 5 0 m sein muß, damit Formel (2) angewendet werden darf. Ferner ist
S P e = © 14 + $ u 2,5 = 2345,6 + 200 • 2,5 = 2845,6""
S P - ---- ~ZPe = 5000 — 2845,6 = 2154,4"”, 2
und es ergibt sich daher die einfache Gleichung maxM = 2 x x ’-\- 2154,4
Als Beispiel wählen wir eine Brücke von 140”* Spannweite und 5 m Feldweite.
Wir erhalten
maxM = 2 x x ' - j - 15,4 x '
154
bringen läßt. Unseren Belastungsannahmen entspricht insbesondere
„ 538,6 , . . . . ____. Lokomotivgewichte und Belastungen p schnell miteinander verglichen werden sollen. Nimmt man z. B. zwei rückwärtsfahrende Lokomotiven mit den in Fig. 113 Berechnung des größten Momentes für unmittelbare Belastung verlangt, so dürfen Yerkehrslast und Eigenlast nicht getrennt behandelt werden. Für weitgespannte Brücken ist also nicht der durch Gleich. (2) gegebene Wert M, sondern, wegen
m g x x ' der Wert 2
M„ ( i . + r t ^ + 4 ( s p j - S P . )