Der vollwandige Bogen mit drei Gelenken

§ 23.

Belastung durch beliebig gerichtete Kräfte.

108. Stützenwiderstände. Auf einen einfach gekrümmten Stab, welcher außer den festen Auflagergelenken J. und B noch ein (in der Eegel im Scheitel angeordnetes) Gelenk G besitzt, und dessen Mittel­

linie wir, der kürzeren Ausdrucksweise wegen, in einer lotrechten Ebene (der Stabebene) annehmen wollen, mögen beliebig gerichtete, in dieser Ebene liegende Lasten P 15 P 2, P3 . . . . wirken. Fig. 162. Die Mittelkraft der links von G angreifenden Lasten sei R x. diejenige der Lasten rechts von G sei J?2; beide Kräfte können in der bekannten W eise mit Hilfe von Seilpolygonen, welche in der Fig. 162 mit den beliebigen Polen Ox und 0 2 gezeichnet wurden, bestimmt werden.

Hm die in A und B angreifenden Stützenwiderstände (Kämpfer­

drücke) K x und K 2 zu ermitteln, nehme man zunächst an, es sei R 2 — 0 und bestimme die durch R x allein hervorgerufenen Kämpferdrücke K' und K " . Am Bogenstücke GB greift jetzt nur K " an. Soll Gleich­

gewicht bestehen, so muß die Kraft K " durch das Gelenk G gehen, da sich sonst das Bogenstück GB um G drehen würde; ferner müssen sich die drei Kräfte K \ R1 und K " in einem und demselben Punkte schneiden. Verbindet man also den Punkt in welchem R x von der Geraden B G getroffen wird, mit A, so gibt A Tx die Bichtung von K ' an, und man erhält nach Ziehen von E L || TXA (Fig. 162b) und J L \ \ B G die von R x herrührenden Kämpferdrücke: K ’ = L F und K" = J L .

Ganz ebenso findet man diejenigen Kämpferdrücke K'" und K"'\

welche im Falle R x = 0 durch die rechts von G angreifenden Lasten hervorgerufen werden. Man bringt die Gerade A G in T2 mit R 2 zum Schnitt, verbindet T2 mit B und zieht J S || G A und H S || B T 2. Man erhält: K'" = S J und K"” = H S.

Zeichnet man jetzt das Parallelogramm J L O S und zieht die Ge­

raden O F und HO, so stellt die Strecke O F nach Größe, Bichtung

Dreigelenkbogen. Mittelkraftslinie. 177 und Sinn den Kämpferdruck K 1 vor und die Strecke H 0 den Kämpfer- druck A'2; denn es ist K x die Mittelkraft aus den in A angreifenden Kräften K ' und K " \ während Ä'2 die Mittelkraft aus K" und K"" ist.

F i g . 1 6 2 .

Wegen der Wichtigkeit der vorliegenden Aufgabe mögen noch zwei andere Verfahren, Ä \ und K2 zu bestimmen, mitgeteilt werden.

Das eine ist in Fig. 163 dargestellt; die Form der beiden ebenen Scheiben, aus denen der Dreigelenkbogen besteht, ist gleichgültig.

Nachdem die Lasten links von G auf die bekannte Weise mit Hilfe eines Seilpolygons zur Mittelkraft CD vereinigt worden sind und

M ü l l e r - B r e s l a u , Graphische Statik. I. 1 2

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die Lasten rechts von G zur Mittelkraft D E . werden durch A und G Parallelen zu CD gezogen. Avelche die äußersten Seiten des ersten Seil­

polygons in Ä und G' schneiden, ferner durch G und B Parallelen zu D E . welche die äußersten Seiten des zweiten Seilpolygons in G nnd B ' treffen. Nach Eintragung der Schlußlinien ■s1s2 und nach Ziehen der Geraden: O ^ l l «i und Or J || s2 erhält man in den Strecken C F und F D die zu CD parallelen, in A und G angreifenden Seiten­

kräfte der Mittelkraft CD. Ebenso stellen die Strecken D J und J E die zu D E parallelen, in G bezw. B wirksamen Seitenkräfte der Mittel­

kraft D E vor. Man darf jetzt die beiden Scheiben, aus denen der Bogenträger besteht, durch Stäbe A G und B G ersetzt denken, auf welche nur in den Knoten Lasten wirken. In G greift die Mittel­

kraft F J aus den beiden Kräften F D und D J an. Zieht man F O || GA und J O || G B . so stellen O F und J O die in den Stäben A G und GR

F i g . 1 6 3 .

hervorgerufenen Spannkräfte (Drücke) vor. Da nun im Punkte *1 der Kämpferdruck A': mit der Spannkraft F 0 und der in J. angreifenden Last C F im Gleichgewichte sein muß. so gibt die Strecke 0 C nach Größe. Richtung und Sinn den Kämpferdruck K 1 au. und ebenso findet man, daß E O = Ks ist. Zeichnet man zu den Lasten J \. P2, — mit dem Pole 0 ein durch den Punkt .1 gehendes Seilpolygon, so geht dieses auch durch die Punkte G imd B.

In Fig. 164 ist noch der besondere Fall paralleler Lasten dar­

gestellt worden. Es wurde ein Seilpolygon A ’G 'B ' mit dem be­

liebigen Pole 0 ' gezeichnet. Nach Eintragung der Schlußlinien und s2 wurden gezogen: O 'E |j O 'F || s,; E O || G A , F O \ \ B G .

Ein drittes Verfahren ist schließlich in Fig. 165 vorgeführt worden.

R t und R 2 sind die Mittelkräfte der auf die Scheiben A G und GB

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180

109. Mittelkraftslinie (Drucklinie), Längskraft, Querkraft, Moment.

Wählt man nach Bestimmung der Kämpferdrücke und Ä2 den

sprechende Mittelkraftslinie genannt (auch die Drucklinie, falls nämlich sämtliche Seilkräfte Drücke sind*). Diese Linie gestattet, sofort die Lage der Mittelkraft der auf irgend einen Teil des Bogens wirkenden äußeren Kräfte anzugeben, während die Größe und der Sinn der gesuchten Mittelkraft aus dem Kräftepolygone entnommen werden können.

Es werde nun der Bogen an irgend einer Stelle durch einen zur Mittellinie senkrechten Schnitt ss in zwei Teile getrennt, beispielsweise

an einer Stelle C zwischen

Dreigelenkbogen, Mittelkraftslinie. 181

gegen ist Q negativ. Schneidet die Drucklinie die Mittellinie des Bogens, so ist an der Schnittstelle M = 0 . In Fig. 162 ist für alle Quer­

schnitte zwischen A und G das Moment M positiv und für alle Quer­

schnitte zwischen G und II negativ.

110. Spannungen; Einführung der Kernlinien. Durch das Mo­

ment M und die Längskraft N werden im Querschnitte des Bogens Xormalspannungen a hervorgerufen, während die Querkraft Q Schub­

spannungen erzeugt; letztere dürfen stets vernachlässigt werden, und für die ersteren gelten mit hinreichender Annäherung die im Ab­

handelnden ebenen Bogenträgern stets erfüllt sind.

Bedeuten nun

F und J den Inhalt und das auf die wagerechte Schwerachse des Querschnitts bezogene Trägheitsmoment des Querschnitts, ex und e2 die Abstände des untersten und des obersten Quer­

schnittspunktes (L l u. L 2) von jener Schwerachse, (Fig. 166b).

so ergeben sich nach Gleich. 17 Seite 62 für die Spannungen und c2

Wx und W2 nennt man die Widerstandsmomente des Querschnitts.

*) Ist D die Mittelkraft der rechts von C wirksamen äußeren Kräfte, so ist das links drehende Moment M positiv, desgleichen die nach der hohlen Seite des Bogens gerichtete Querkraft.