§ 20.
Beliebige ständige Belastung.
91. Jeder durchgehende Balken mit n Stützpunkten kann nach No. 61. Seite 114. durch (/; — 2) Mittelgelenke statisch bestimmt ge
macht werden. Einen solchen Gelenk-Balken (auch, nach dem Erfinder, (zerfterscher Balken genannt) zeigt die Fig. 14S: er besteht aus den gestützten Teilen A B G t und Gi C D G 3. welche wir als Balken m it Auslegern bezeichnen wollen*), und aus den Koppelträgern Gl G3
*} Die Balkenstücke CG% und D G t fuhren neben der Bezeichnung Ausleger auch noch den Xamen Kragarm. Man nennt deshalb die G<rr6ersehen Balken vielfach Auslegerbaiien oder K ra g tr ä g e r; auch die amerikanische Bezeich
nung Cant ihrer hat sich in Deutschland leider eingebürgert.
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und G3E. Die letzteren verhalten sich genau wie einfache Balken und können mit Hilfe der im vorigen Abschnitte entwickelten Gesetze be
handelt werden. Dabei ergeben sich auch die Drücke, welche die Koppel träger auf die in je zwei Punkten gestützten Teile ausüben, und es läßt sich somit die Untersuchung des Gelenkbalkens stets auf
A B C D E
c — * - 5 — r - 1 — *■
Fig. 148.
diejenige eines Balkens mit überstehenden Enden zurückführen, Fig. 149.
Wir setzen nur senkrechte Lasten voraus, zeichnen mit der beliebigen Polweite H nach den bekannten Regeln das Seilpolygon J, II, I I I . . . . nnd schließen es durch eine Gerade s, welche die Punkte c und d verbindet, in denen die Auflagersenkrechten durch die nach innen verlängerten äußersten Polygonseiten ( i u. V II ) geschnitten werden.
Eine durch den Pol 0 gelegte Parallele zur Schlußlinie s bestimmt die Stützenwiderstände C und D; der erstere ist im Punkte c mit den Seilkräften I und s im Gleichgewichte, der letztere im Punkte d mit den Seilträften V II und s.
Zieht man durch irgend einen Querschnitt K eine Senkrechte und bestimmt die auf dieser Geraden vom Seilpolygon und von der Schlußlinie abgeschnittene Strecke k r = y , so erhält man nach dem in No. 15 bewiesenen Satze (vergl. auch die ähnliche Untersuchung in No. 71) das Moment für den Querschnitt K
3 1 = H y .
Bei dem in der Fig. 149 benutzten hängenden Seilpolygon
Allgemeines über den Gerberschen Balken. 161 ist M positiv oder negativ, je nachdem y unterhalb oder oberhalb der Schlußlinie cd liegt.
Die Querkraft Q für den Querschnitt K ist die Mittelkraft der links von K angreifenden äußeren Kräfte. Es ergibt sich Q — C — f \ — P 2 — P 3 = Strecke L J , und zwar bildet Q im Kräfteplane ein Dreieck mit den Seilstrahlen (s und IV ), welche parallel zu den vom Schnitte K getroffenen Seilpolygonseiten sind.
92. Andere Darstellung von M und Q. Um mit den Werten M und Q eine für die Folge nützliche Umformung vorzunehmen, bringen wir in Fig. 149 die Auflagersenkrechten in c und d' mit dem Seilpolygon zum Schnitt, ziehen die Gerade c d ', welche die Senkrechte durch K in k' trifft, bezeichnen
mit y 0 die Länge der Strecke k ’r,
„ x und x die Abstände des Querschnittes K von den Stützen,
„ l die Stützweite
und setzen H y = H y 0 -— H k k ’. Beachten wir jetzt, daß kk' = --- 2) / --- OC
cc ~y dd' — ist*), imd daß ferner die Momente für die über den Stützen C und 1) gelegenen Balkenquerschnitte die Werte M c = — H cc und Md = — H d d ’ annehmen, so erhalten wir
H y = H y 0 + Mc ~ + MD j ■
Xun ist aber H y 0 das Moment für den Querschnitt K eines ein
fachen Balkens CD, auf welchen nur die Lasten P 3, P 4, P 5 wirken;
bezeichnen wir dasselbe mit M0, so erhalten wir die wichtige Beziehung (1) M = M 0 + M o ? f + MB 1 }
-Die Momente Mc und MD nennt man die Stütxenmomente und die vom Seilpolygon e r d ’ und von der Schlußlinie c d ’ begrenzte Fläche die einfache Momentenfläche des Balkenstückes C D ; ist letztere gegeben, und kennt man außerdem die Stützenmomente, so sind durch die Gleich. (1) die wirklichen Momente für alle zwischen C und D ge
legenen Querschnitte bestimmt.
Um eine ähnliche Gleichung für Q abzideiten, ziehen wir c i || cd und O L' || c d ’ und finden dann L ' J = Q0= Querkraft für den Quer
*) Die Richtigkeit dieser Gleichung übersieht man am schnellsten, indem man in Fig. 149 die Gerade c d ' einträgt und die Strecken bestimmt, in welche k 'k durch diese Gerade zerlegt wird.
M ü l l e r - B r e s l a u , Graphische Statik. I. 11
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schnitt K eines einfachen (mit P3, P 4, P5 belasteten) Balkens CD.
Jetzt folgt aus der Ähnlichkeit der Dreiecke c i d ' und L OL L L ' : d T i = H : l
und hieraus
(w egen L L ' = Q — Q0 und d 'i = c c — d d = ---- ^ -f-(2) Q = Q 0 + MD- X c '
Liegt nun ein beliebiger durchgehender Balken A B C D E vor, Fig. 150, so kann man jeden zwischen zwei aufeinander folgenden Stützen gelegenen Teil desselben, z. B. den Teil C D, als einen Balken mit überstehenden Enden und 2 Stützpunkten (Cu. D) auffassen; man hat nur nötig, die Widerstände der übrigen Stützpunkte (A, B, E ) als Lasten zu betrachten, die natürlich negativ zu setzen sind, sobald sie von unten nach oben wirken. Kennt man dann die Stützenmomente
Fig. 150.
M c und MD, so erhält man die wirkliche Momentenfläche, indem man zu der einfachen Momentenfläche C S D ein Trapez C C 'D 'D addiert, für welches (mit H = 1) C C ’ = Mc und D D ' = MD is t In der Eig. 150 wurden Mc und MD negativ angenommen; es ist dann die schraffierte Fläche zwischen den Senkrechten C C ’ und DZ)' die wirkliche Momenten
fläche für den Teil CD. Wendet man das gleiche Verfahren auf die Teile A B , BC, D E an, so gelaugt man zu der in der Fig. 150 dar
gestellten Momentenfläche für den durchgehenden Balken A E . Das Polygon A B ' C 'D 'E , dessen Ordinaten B B ', CC', D D ' die Stützen
momente Mb, Mc, Md angeben, nennt man den Schlußlinienzug und darf dann aussprechen:
Die Momentenfläche eines durchgehenden Balkens (mit oder ohne Gelenke) ist nach Aufzeichnung der einfachen Momenten- polygone bestimmt. sobald der Schlußlinienzug gegeben ist.
Da nun, falls Gleichgewicht bestehen soll, jedem Gelenke das Mo
ment M = 0 entsprechen muß, so muß jeder senkrecht über einem Gelenke G befindliche Punkt g des einfachen Momentenpolygons auch ein Punkt des Schlußlinienzuges sein, und hieraus folgt, daß es
mög-Allgemeines übor den Gerberschen Balken. 163 lieh ist, durch eine genügende Anzahl von Gelenken jenem Linienzuge Auch leuchtet ein, daß zwischen eine bestimmte Lage vorzuschreiben.
zwei benachbarten Stützpunkten höchstens zwei Gelenke angeordnet werden dürfen, und daß die Gesamtzahl der erforderlichen Gelenke — n — 2 ist, sobald der Bal
ken auf n Stützen ruht.
Mit Hilfe des beschriebenen Verfahrens wurde in der Fig. 151a die Momentenfläche für einen Balken mit eingetragen. Die schraffierte Fläche ist die gesuchte Momentenfläche. Für irgend einen Querschnitt K er des Seilpolygons Gleichgewicht besteht, so sind die Kräfte A und E gleich den Widerständen der Stütz
164 s2 gezogenen Parallelen abschneiden. In gleicher Weise werden C und D gefunden. Bei den in der Fig. 151 angewandten hängenden
hörigen Seilkräfte gesucht und deren Mittelkraft bestimmt; die letztere ist = Q. Für den Querschnitt K in Fig. 151 findet man z. B.:
Q = - \ - L J und zwar ist Q positiv, weil der Strahl s3 unterhalb des Strahles 10 liegt.
§ 21.
Einflußlinien. Belastung durch ein verschiebbares System von Einzellasten.