Badania dla sygnału sinusoidalnego

Przeprowadzono badania symulacyjne dla zakresu częstotliwości od 1kHz do 30kHz z krokiem 1kHz. Zastosowana została tutaj metodyka opisana w Rozdz. 4.3.

Parametry metody:

 LAP – zmieniana w zakresie 120 – 2100 z krokiem 20

 MaxCPP – 21ms

 MinCPP – 1ms

 RLos – 200

Wykres błędu maksymalnego JEkst dla sygnału sinusoidalnego przedstawiono na Rys. 4-7.

Rys. 4-7 Wpływ parametru LAP na JEkst

Charakter uzyskanych wyników, dla większości rozpatrywanych częstotliwości, nie różni się znacząco od siebie. Im większa LAP tym wartość uzyskiwanego błędu estymaty mieści się w mniejszym przedziale. Wartość błędu JEkst zmienia się z charakterem wykładniczym.

Dla częstotliwości będących wielokrotnością 5kHz (5,10,15kHz...) niezależnie od LAP uzyskano wynik znacznie różniący się od pozostałych. Zamiast wartości skutecznej około 1,2245 V uzyskano wartość praktycznie równą 1V. Dla każdego otrzymanych punktów charakterystyki wykonano test statystyczny Kołmogorowa. Jedyne punkty dla których hipoteza o tym że rozkład wyników jest normalny została odrzucona to wszystkie punkty wielokrotności częstotliwości 5kHz. Rozkłady wyników w tych punkach są praktycznie jednopunktowe. Sugeruje to wystąpienie szczególnego przypadku aliasingu opisanego w Roz. 2.3.2. Próbkowanie odbywa sie dokładnie dla punktu odpowiadającego przejściu przez zero przebiegu sinusoidalnego. Zastosowany sygnał testowy posiada składową stałą równą 1 więc przy wystąpieniu aliasingu właśnie ta wartość będzie wynikiem estymacji.

Uzyskane wyniki są zgodne z teorią. Rozdzielczość czasowa próbkowania pseudolosowego wynosi dla tego eksperymentu:

(53)

Okres czasu pomiędzy dwoma próbkami przy próbkowaniu pseudolosowym można przedstawić jako sumę MinCPP i pseudolosowej wielokrotności KrokT. Można zdefiniować losową częstotliwość próbkowania jako:

(54)

Dla przedstawianego eksperymentu losowa częstotliwość próbkowania wynosiła 10kHz. Dla sygnałów o częstotliwości będącej wielokrotnością połowy tej częstotliwości wystąpi aliasing. Ponieważ faza sygnału względem początku pomiaru jest znana i wynosi zero wynik dla tych częstotliwości będzie równy składowej stałej sygnału.

Poprzez zastosowanie próbkowania losowego możliwe było zwiększenie częstotliwości sygnału dla której wystąpi aliasing. Gdyby sygnał był próbkowany równomiernie z częstotliwością 1kHz( najwyższą możliwą częstotliwością próbkowania w tym eksperymencie) aliasing wystąpił by już dla częstotliwości 500Hz. W eksperymencie częstotliwość ta jest dziesięciokrotnie większa. Przy zastosowaniu próbkowania pseudoprzypadkowego możliwa jest estymacja sygnałów o większym paśmie częstotliwościowym.

W całym rozpatrywanym paśmie częstotliwościowym, podobnie jak dla 1kHz, wartości błędu JEkst wahają się wokół zera. Zbadano wartość średnią JŚred dla każdego punktu charakterystyki. Rezultat przedstawiono na Rys. 4-8.

Rys. 4-8 Wpływ parametru LAP na JŚred

W całości badanego zakresu, gdzie nie występuje aliasing, wartość średnia błędu JŚred jest oscyluje wokół zera. Znana jest rzeczywista wartość wartości skutecznej. Można domniemywać, że zastosowany estymator próbkowania pseudolosowego jest nieobciążony. W dalszej części rozdziału przedstawiono wyniki estymacji parametrycznej, która potwierdziła że estymator jest nieobciążony[17].

Porównując wykresy Rys. 4-7 oraz Rys. 4-8 w całym zakresie częstotliwościowym można stwierdzić, że wartość średnia JŚred jest kilka rzędów mniejsza niż wartość błędu maksymalnego JEkst. Nie jest zatem dominującym czynnikiem odpowiadającym za błąd estymaty. Uwzględniając testy rozkładów statystycznych można przyjąć, że do opisu zmienności przebiegu lepszą miarą jest odchylenie standardowe JStd. Odchylenie standardowe jest często stosowane przez producentów aparatury jako parametr opisujący ich dokładność[64].

Wykres odchylenia standardowego JStd przedstawiony jest na Rys. 4-9. Im więcej próbek pobranych do algorytmu tym większa dokładność wyznaczenia estymaty. Przyrost ten, wraz z liczbą próbek, jest jednak coraz mniejszy. Na podstawie takiej zmienności przebiegu można powiedzieć, że estymator jest zgodny[17].

Rys. 4-9 Wpływ parametru LAP na JStd

Ostatecznie, na potrzeby porównania wpływu parametrów pomiędzy sobą, wykreślono charakterystykę błędu w zależności od czasu pomiaru. Większa LAP powoduje, że większy jest czas potrzebny na wykonanie algorytmu. Zależność średniej długości czasu, uśrednionej zarówno po realizacjach jak i po częstotliwości sygnału wejściowego przedstawiono na Rys. 4-10.

Dobór parametru LAP powinien być przeprowadzony z uwzględnieniem zmienności obserwowanej wartości. Jeżeli zmienność jest duża to LAP musi być mała, co pogarsza dokładność estymacji wartości skutecznej. Dla przetwornika pracującego z maksymalną częstotliwością próbkowania 1kHz całkowite czasy pomiaru są rzędu kilkunastu sekund. W praktyce maksymalna częstotliwość próbkowania na poziomie 1kHz jest częstotliwością bardzo małą. Czas całego pomiaru przy realnych wartościach częstotliwości próbkowania na poziomie 100kHz i wyżej będzie dużo niższy co pozwala na zastosowanie metody nie tylko do sygnałów stacjonarnych ale i do wolnozmiennych.

Możliwy jest taki dobór parametrów metody, aby nie występowało zjawisko aliasingu. Konieczny jest wtedy odpowiedni dobór parametrów RLos oraz MaxCPP. Przykładowym zestawem parametrów będzie:

 MaxCPP – 5ms

 MinCPP – 1ms

 RLos – 250

KrokT dla takich parametrów metody wynosi

(55)

Skąd losowa częstotliwość próbkowania:

(56)

Najniższa częstotliwość dla której wystąpi aliasing wynosi flos/2=31,25kHz. Dla takiego doboru parametrów algorytmu, dla żadnej częstotliwości z rozpatrywanego przedziału 1kHz – 30kHz nie wystąpi aliasing.