Wpływ parametru MaxCPP

4.5.1 Badania dla sygnału sinusoidalnego

Przeprowadzono badania symulacyjne dla zakresu częstotliwości od 1kHz do 30kHz z krokiem 1kHz. Parametry metody:

 LAP – 800

 MaxCPP – zmieniany w zakresie 2ms – 200ms z krokiem 2ms

 MinCPP – 1ms

 RLos – 250

Wykres maksymalnego błędu JEkst dla sygnału sinusoidalnego przedstawiono na Rys. 4-12.

Rys. 4-12 Wpływ parametru MaxCPP na JEkst

Podobnie jak przy badaniach parametru LAP sprawdzony został rozkład we wszystkich punktach uzyskanej charakterystyki. Wynik estymacji wartości skutecznej za pomocą zaproponowanej metody w prawie całym zakresie częstotliwościowym jest podobny i waha się w zakresie +/-5% wartości teoretycznej. Dla parametru MaxCPP równego 83 ms, dla niektórych częstotliwości estymata jest błędna Rys. 4-13.

Rys. 4-13 Punkty w których rozkład wyników nie jest rozkładem normalnym

Estymata dla tych punktów wynosi około 1. Wartość ta jest liczbowo równa składowej stałej przebiegu sinusoidalnego. Rozkłady wyników w tych miejscach są punktowe, ich odchylenia standardowe są równe 0. Obliczona została losowa częstotliwość próbkowania dla parametru MaxCPP = 83 : (65)

Dla parametru MaxCPP wystąpi aliasing dla częstotliwości będących wielokrotnością połowy częstotliwości losowego próbkowania. W tym eksperymencie aliasing ujawnił się tylko w punkach będących blisko wielokrotności częstotliwości próbkowania. Rozdzielność częstotliwościowa eksperymentu (1kHz) była za mała, żeby zaobserwować inne punkty. Warto podkreślić, że nie dla wszystkich punktów, w których mógłby wystąpić aliasing można go zaobserwować. Przykładowo, dla MaxCPP=51ms zgodnie z (65) losowa częstotliwość próbkowania wynosi 5kHz. Dla wielokrotności połowy tej częstotliwości wpływ aliasingu nie jest obserwowany. Jest to możliwe dla takiej fazy sygnału, względem początku próbkowania dla której próbkowanie wsytąpi dla wartości bliskiej wartości skutecznej sygnału.

Odchylenie standardowe JStd poza punktami, w których wystąpił aliasing jest praktycznie stałe w całym rozpatrywanym paśmie. Podobnie wartość średnia z próby – JŚred, która jest bliska wartości teoretycznej. Możliwe jest zatem takie dobranie parametrów metody, by otrzymany wynik estymacji w zakładanym paśmie częstotliwościowym miał podobną niepewność.

Wyznaczony został wpływ parametru MaxCPP na całość pomiaru. Rezultat przedstawiono na Rys. 4-14.

Rys. 4-14 Wpływ parametru MaxCPP na czas pomiaru

Im większy MaxCPP tym dłuższy pomiar. W badanym zakresie zmienności parametr ten nie ma wyraźnego wpływu na dokładność estymaty. Dobór parametru MaxCPP powinien być możliwie mały.

Eksperymenty zostały powtórzone dla mniejszych wartości MaxCPP w zakresie 1kHz – 30kHz przy zmniejszonym kroku częstotliwości do 250Hz.

Parametry metody:

 LAP – 800

 MaxCPP – zmieniany w zakresie 0.2 ms – 20ms z krokiem 0.2ms

 MinCPP – 1ms

 RLos – 250

Rys. 4-15 Wpływ parametru MaxCPP na JEkst dla małych wartości

Podobnie jak w przypadku Rys. 4-12, można zauważyć ze prawie w całym zakresie rozpatrywanych częstotliwości oraz parametrów MaxCPP, błąd ekstremalny JEkst znajduje sie w zakresie +/-5% wartości teoretycznej, podobnie jak dla poprzedniego eksperymentu. Nie można zaobserwować znaczących zmian tego zakresu w zależności od częstotliwości i parametru tak jak miało to miejsce w przypadku badania wpływu parametru LAP. Można jednak zauważyć, że dla małych wartości MaxCPP oraz małych częstotliwości sygnału zwiększa się wartość błędu JEkst. Tendencja ta jest lepiej widoczna na wykresie odchylenia standardowego JStd Rys. 4-17. Zjawisko to występuje także w przypadku próbkowania równomiernego. Gdy estymowany parametr szybko próbkowanego sygnału będzie wyznaczany na podstawie zbyt małej ilości próbek, w stosunku do okresu tego sygnału estymacja będzie błędna - Rozdz. 2.3.

Rys. 4-16 Wpływ parametru MaxCPP na JŚred dla małych wartości

Wykres wartości średniej JŚred przedstawiono na Rys. 4-16. Uśrednienie po realizacjach spowodowało, że na przebiegu nie można zaobserwować zwiększenia wartości błędu dla niskich częstotliwości. Wartość średnia JŚred jest praktycznie bliska zero i utrzymuje się w stałym przedziale za wyjątkiem dwóch wartości MaxCPP: 1ms oraz 17,6ms . W pierwszym przypadku jest to sytuacja próbkowania równomiernego (zakres losowania wynosi <1ms,1ms>), dla każdej rozpatrywanej częstotliwości występuje aliasing. Losowa częstotliwość próbkowania flos dla MaxCPP=17.6ms wynosi(65) 15kHz. Punkty widoczne na wykresie występują dokładnie w wielokrotnościach połowy losowej częstotliwości próbkowania.

Rys. 4-17 Wpływ parametru MaxCPP na JStd dla małych wartości

W porównaniu do wykresu błędu maksymalnego JEskt z Rys. 4-15, na wykresie wyeksponowane są punkty dla niskich częstotliwości oraz pewne grupy punktów umiejscowione w symetryczny sposób. Są to punkty, które mają wyraźnie inne odchylenie standardowe JStd od większości pozostałych, ale mniejsze niż dla punktów zidentyfikowanych jako punkty, w których wystąpił aliasing. Wpływ zjawiska które powoduje zwiększenie odchylenia standardowego dla takich parametrów algorytmu jest wyeliminowany poprzez uśrednienie kilku realizacji algorytmu Rys. 4-16. Wszystkie punkty, które mają odchylenie standardowe bezwzględnie większe niż 9% przedstawiono na Rys. 4-18.

Rys. 4-18 Punkty różniące się o 9% od średniej parametru JEkst

Widoczne punkty układają się w wyraźną hiperbolę. Do łuku należą również punkty które zostały wcześniej zidentyfikowane jako punkty, w których występuje aliasing.

Maksymalną wartością parametru MaxCpp, dla której losowa częstotliwość próbkowania nie spowoduje wystąpienia aliasingu, dla zadanego przedziału badanych częstotliwości, wynosi:

(66)

Punkty należące do większego łuku występują wtedy, gdy częstotliwość sygnału mierzonego jest bliska losowej częstotliwości próbkowania. Punkty należące do mniejszego łuku występują, gdy częstotliwość losowego próbkowania jest blisko dwa razy większa od częstotliwości estymowanego sygnału. Gdy częstotliwość próbkowania niewiele różni się od częstotliwości badanego sygnału odtworzony sygnał będzie sygnałem o małej częstotliwości Rys. 2-10 ze strony 23. Im mniejsza ta różnica, tym częstotliwość sygnału odtworzonego mniejsza. Przy małej częstotliwości sygnału istnieje ryzyko zebrania zbyt małej liczby próbek (w stosunku do okresu sygnału) potrzebnej do prawidłowej estymacji szukanego parametru Rozdz. 2.3. W taki sposób można wytłumaczyć powstanie obu łuków. Różnica częstotliwości sygnału estymowanego oraz częstotliwości próbkowania flos jest bardzo mała, odtworzony sygnał ma więc małą częstotliwość. Na tyle małą, że pojedyncza realizacja algorytmu spowoduje pobranie za dużej lub za małej liczby próbek w stosunku do okresu

podstawowego sygnału. Estymowana wartość skuteczna będzie w jednej realizacji za duża, w kolejnej realizacji za mała.

Wykres zależności błędu względnego od różnicy pomiędzy częstotliwością sygnału, a częstotliwością próbkowania oraz połową częstotliwości próbkowania przedstawiono na Rys. 4-19. Jest to przypadek dla próbkowania równomiernego sygnału sinusoidalnego o amplitudzie =1 oraz składowej stałej =1.:

(67)

gdzie: to estymowana wartość sygnału, a jego wartość rzeczywista.

Rys. 4-19 Aliasing dla połowy fp oraz dla fp

Dla wielokrotności połowy częstotliwości próbkowania, niebędącymi wielokrotnościami częstotliwości próbkowania, błąd występuje dla dwukrotnie węższego zakresu różnic częstotliwości niż dla całkowitych wielokrotności.

Przykładowo, próbkując sygnał o częstotliwości fs z częstotliwością fp, błąd spowodowany małą różnicą(fs - fp) wystąpi dla dwa razy szerszego zakresu częstotliwości wokół fp, niż błąd spowodowany małą różnicą (fs -0.5 fp) wokół 0.5fp. Dla przedstawionego eksperymentu możliwe jest, w przypadku skończonej rozdzielczości częstotliwościowej jak i parametru MaxCPP, zaobserwowanie wpływu błędów tylko dla punktów będących wielokrotnością częstotliwości próbkowania.

4.5.2 Badania dla pozostałych sygnałów

Przeprowadzono dwie serie pomiarów na sygnałach testowych. W eksperymencie badano wpływ maksymalnego czasu pomiędzy próbkami na dokładność wyznaczenia estymaty wartości skutecznej.

Wyniki dla eksperymentu pierwszego ze zmiennym parametrem MaxCPP – 2ms – 200ms z krokiem 2ms przedstawiono w Tab. 4-4, Tab. 4-5, Tab. 4-6

2 4 48 50 84 100 102 150 198 SSin 7,01 6,84 7,37 7,12 18,34 7,15 7,54 7,43 6,93 STroj 7,23 6,42 7,43 6,80 100,00 6,38 6,80 6,19 6,47 S3Sin0 7,06 6,87 6,72 6,91 19,53 7,18 7,66 7,29 7,53 S3SinP 7,40 8,03 8,98 8,58 19,53 7,95 7,85 8,08 7,40 SSinSz 6,78 7,66 7,37 7,65 17,94 6,70 7,43 6,90 6,63 SSinN 7,83 7,11 7,10 6,61 6,59 7,08 7,05 7,23 6,90

Tab. 4-4 Wpływ parametru MaxCPP na MaxJEkst

2 4 48 50 84 100 102 150 198 SSin 0,13 0,12 0,12 0,15 18,34 0,12 0,10 0,09 0,14 STroj 0,12 0,14 0,14 0,09 100,00 0,11 0,11 0,13 0,10 S3Sin0 0,12 0,12 0,14 0,17 19,53 0,12 0,10 0,09 0,13 S3SinP 0,13 0,12 0,14 0,14 19,53 0,12 0,11 0,14 0,12 SSinSz 0,16 0,19 0,18 0,18 17,73 0,17 0,17 0,16 0,18 SSinN 0,13 0,11 0,12 0,14 0,13 0,09 0,12 0,32 0,16

Tab. 4-5 Wpływ parametru MaxCPP na MaxJŚred

2 4 48 50 84 100 102 150 198 SSin 1,78 1,84 1,79 1,82 1,78 1,79 1,81 1,82 1,80 STroj 1,67 1,62 1,64 1,67 1,24 1,66 1,66 1,69 1,67 S3Sin0 1,79 1,82 1,81 1,83 1,76 1,80 1,80 1,82 1,78 S3SinP 1,94 1,97 1,91 1,92 1,76 1,91 1,91 1,90 1,93 SSinSz 1,79 1,80 1,76 1,78 1,74 1,84 1,78 1,80 1,78 SSinN 1,83 1,76 1,77 1,80 1,78 1,90 1,79 1,79 1,76

Tab. 4-6 Wpływ parametru MaxCpp na MaxJStd

Otrzymane wyniki znacząco nie różniły się od siebie. Można zauważyć że estymata dla sygnałów mających harmoniczne jest mniej dokładna, ale nie jest to regułą. Dla wszystkich sygnałów testowych, podobnie jak dla sygnału sinusoidalnego, dla parametru MaxCPP równego 84ms występuje opisana wczesnej znaczna rozbieżność spowodowana prawdopodobnie aliasingiem.

Wyniki dla eksperymentu ze zmiennym parametrem MaxCPP – 0.2 ms – 20ms z krokiem 0.2msprzedstawiono w Tab. 4-7, Tab. 4-8, Tab. 4-9.

7 9.8 10 12.2 14,8 16 17,6 19 SSin 8,26 10,71 8,46 7,93 10,27 7,82 18,34 7,48 STroj 11,69 10,08 12,20 7,07 6,98 11,90 100,00 12,36 S3Sin0 14,48 9,39 14,54 7,77 8,35 14,68 19,53 15,54 S3SinP 15,51 11,21 16,49 7,97 7,88 16,15 19,53 15,51 SSinSz 8,28 11,16 7,34 7,53 7,80 8,57 17,86 7,95 SSinN 8,38 8,08 8,00 13,00 7,42 7,86 7,66 12,06

Tab. 4-7 Wpływ parametru MaxCPP na MaxJEkst

7 9.8 10 12.2 14,8 16 17,6 19 SSin 0,16 0,14 0,15 0,15 0,14 0,14 18,34 0,21 STroj 5,91 0,22 6,07 0,16 0,24 6,13 100,00 6,07 S3Sin0 10,22 0,14 10,25 0,16 0,14 10,18 19,53 10,26 S3SinP 9,30 0,14 9,25 0,14 0,18 9,34 19,53 9,34 SSinSz 0,19 0,24 0,18 0,15 0,16 0,21 17,72 0,18 SSinN 0,14 0,20 0,17 0,29 0,19 0,15 0,12 0,55

Tab. 4-8 Wpływ parametru MaxCPP na MaxJŚred

7 9.8 10 12.2 14,8 16 17,6 19 SSin 1,80 3,08 2,00 1,83 1,83 1,86 1,83 2,06 STroj 1,75 2,74 1,88 1,65 1,69 1,88 2,23 1,92 S3Sin0 1,80 2,99 1,97 1,82 1,80 1,85 1,81 2,01 S3SinP 1,94 3,09 2,12 1,92 1,94 2,11 2,18 2,12 SSinSz 1,81 3,06 1,93 1,78 1,78 1,83 1,80 2,04 SSinN 1,81 1,86 1,86 3,69 1,83 2,02 1,85 3,11

Tab. 4-9 Wpływ parametru MaxCPP na MaxJStd

Większość wyników otrzymanych w eksperymencie była podobna do wyników otrzymanych w eksperymencie poprzednim. W tabelach przedstawiono przykładowe przebiegi różniące się od najczęściej występujących.

Występujące błędy estymacji obserwować można dla sygnałów o większych częstotliwościach. Najwięcej jest ich dla sygnału testowego trójkątnego. W dalszej kolejności dla sygnałów z trzecią harmoniczną. Tutaj błędy wstępują dla takich samych wartości parametru MaxCPP. Potwierdzałoby to, że głównym czynnikiem wpływającym na błędy dla sygnałów poliharmonicznych jest aliasing wyższych harmonicznych, a nie kształt sygnału. Najmniej błędnych wyników estymaty otrzymano dla sygnału sinusoidalnego o niewymiernej częstotliwości SSinN. Dla takiego sygnału w przypadku symulacji jest najmniejsza szansa trafienia w punkt aliasingu. Punkt taki jest widoczny we wszystkich 3 przebiegach. Zauważyć można również wpływ małej różnicy pomiędzy częstotliwością próbkowania a częstotliwością sygnału. Takie wstąpienie nie jest widoczne dla wykresu JŚred, najlepiej widać je w przebiegu JStd. Poprawny dobór parametru MaxCPP musi być przeprowadzony z uwzględnieniem obu tych zjawisk.Na potrzeby dalszych analiz dobrano wartość MaxCPP równą 5ms jako stosunkowo małą, więc umożliwiającą szybki pomiar. Jest ona na tyle duża, że dla sygnałów niskoczęstotliwościowych nie występują dla niej błędy związane z uśrednianiem niecałkowitej części okresu sinusa. Dla takiej wartości parametru MaxCPP w całym rozpatrywanym paśmie nie wystąpi aliasing.