Index of /rozprawy2/10812

Pełen tekst

(1)Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie Wydział Elektrotechniki Automatyki Informatyki i Inżynierii Biomedycznej Katedra Metrologii i Elektroniki. Rozprawa doktorska. Próbkowanie przypadkowe sygnałów w pomiarach wartości definiowanej przez operację uśredniania i całkowania. mgr inż. Jakub Kowalski. Promotor: dr hab. inż. Andrzej Bień prof. AGH. Kraków, 2014.

(2) Strona |2. PODZIĘKOWANIA. W tym miejscu chciałem złożyć serdeczne podziękowania mojemu promotorowi, profesorowi Andrzejowi Bieniowi, za trud włożony w opiekę naukową, okazaną życzliwość oraz poświecony czas. Podziękowania kieruję również w stronę pracowników Katedry Metrologii i Elektroniki, w szczególności do doktora Andrzeja Wetuli, doktora Dariusza Borkowskiego i doktora Jerzego Nabielca, za ciągłe wspieranie mnie oraz owocne dyskusje i życzliwą pomoc. Dziękuję również mojej rodzinie i przyjaciołom za mobilizowanie mnie do działania oraz za wszystko to czego słowa nie są w stanie opisać..

(3) Strona |3. Praca powstała przy współudziale środków pochodzących z projektu „Doctus – Małopolski fundusz stypendialny dla doktorantów” współfinansowanego ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego..

(4) Strona |4. Spis Treści Zestawienie oznaczeń i skrótów używanych w tekście .............................................................. 7 Rozdział 1. Wprowadzenie...................................................................................................... 9. 1.1. Motywacja ................................................................................................................... 9. 1.2. Cel pracy..................................................................................................................... 10. 1.3. Kształt rozprawy......................................................................................................... 10. Rozdział 2 2.1. Pomiar wartości definiowanych przez uśrednianie ............................................ 12. Wartość średnia sygnału ............................................................................................ 13. 2.1.1. Definicja .............................................................................................................. 13. 2.1.2. Implementacje .................................................................................................... 15. 2.2. Wartość skuteczna ..................................................................................................... 15. 2.2.1. Definicja .............................................................................................................. 15. 2.2.2. Implementacje .................................................................................................... 17. 2.3. Ograniczenia przy próbkowaniu równomiernym ...................................................... 20. 2.3.1. Twierdzenie o próbkowaniu ............................................................................... 21. 2.3.2. Rekonstrukcja sygnałów pasmowych ................................................................. 22. Rozdział 3. Próbkowanie losowe .......................................................................................... 26. 3.1. Metoda losowego próbkowania ................................................................................ 26. 3.1.1. Minimalny czas pomiędzy próbkami MinCPP .................................................... 28. 3.1.2. Parametry MaxCPP, RLos, LAP............................................................................ 28. 3.2. Dotychczasowe wykorzystanie .................................................................................. 29. 3.3. Ograniczenia metody próbkowania pseudolosowego .............................................. 30. 3.3.1 3.4. Możliwość pomiaru i charakteryzowania obwodów wejściowych .................... 32. Generatory Liczb losowych ........................................................................................ 33. 3.4.1. Generatory fizyczne ............................................................................................ 33. 3.4.2. Generator pseudolosowy oparty o generator fizyczny ...................................... 34. 3.4.3. Generatory programowe .................................................................................... 35. 3.4.4. Inne metody........................................................................................................ 40. 3.4.5. Najpopularniejsze generatory ............................................................................ 40. Rozdział 4. Badania modelowe ............................................................................................. 42.

(5) Strona |5 4.1. Wstęp ......................................................................................................................... 42. 4.2. Zastosowane sygnały testowe ................................................................................... 42. 4.3. Metodyka badań na przykładzie jednej częstotliwości ............................................. 45. 4.4. Wpływ parametru LAP ............................................................................................... 49. 4.4.1. Badania dla sygnału sinusoidalnego ................................................................... 49. 4.4.2. Badania dla pozostałych sygnałów ..................................................................... 53. 4.5. Wpływ parametru MaxCPP ........................................................................................ 57. 4.5.1. Badania dla sygnału sinusoidalnego ................................................................... 57. 4.5.2. Badania dla pozostałych sygnałów ..................................................................... 65. 4.6. Wpływ parametru RLos ............................................................................................. 67. 4.6.1. Badania dla sygnału sinusoidalnego ................................................................... 67. 4.6.2. Badania dla pozostałych sygnałów ..................................................................... 69. 4.7. Podsumowanie .......................................................................................................... 71. Rozdział 5 5.1. Eksperymenty rzeczywiste ................................................................................. 72. Stanowisko pomiarowe z platformą PXI .................................................................... 73. 5.1.1. Budowa stanowiska ............................................................................................ 73. 5.1.2. Platforma PXI ...................................................................................................... 74. 5.1.3. Karty pomiarowe ................................................................................................ 74. 5.1.4. Środowisko programistyczne ............................................................................. 75. 5.1.5. System operacyjny.............................................................................................. 75. 5.1.6. Generator sygnałowy ......................................................................................... 76. 5.1.7. Oprogramowanie................................................................................................ 76. 5.1.8. Aplikacja karty FPGA ........................................................................................... 77. 5.1.9. Aplikacja działająca w systemie RT ..................................................................... 78. 5.1.10. Wątek wyzwalania przetwarzania A/C ............................................................... 79. 5.1.11. Wątek akwizycji .................................................................................................. 79. 5.1.12. Wątek zapisu do pliku......................................................................................... 80. 5.1.13. Wątek interfejsu użytkownika ............................................................................ 80. 5.1.14. Wątek komunikacji ............................................................................................. 81. 5.1.15. Aplikacja na komputerze PC ............................................................................... 81. 5.2. Stanowisko pomiarowe z mikrokontrolerem ............................................................ 83. 5.2.1. Budowa płyty z mikroprocesorem...................................................................... 83.

(6) Strona |6 5.2.2. Współpraca elementów stanowiska .................................................................. 84. 5.2.3. Oprogramowanie płyty ewaluacyjnej................................................................. 84. 5.3. Wyznaczenie wartości skutecznej ............................................................................. 86. 5.3.1. Zastosowane pasmo częstotliwościowe............................................................. 86. 5.3.2. Eksperyment z kartą pomiarową PXI-7833R ...................................................... 86. 5.3.3. Eksperyment z mikrokontrolerem STM .............................................................. 90. 5.3.4. Wyniki ................................................................................................................. 92. 5.4. Charakterystyka obwodów wejściowych ................................................................... 94. 5.4.1. STM32 ................................................................................................................. 94. 5.4.2. PXI - NI7833 ........................................................................................................ 95. 5.4.3. PXI - NI7853 ........................................................................................................ 96. Rozdział 6. Podsumowanie ................................................................................................... 97. 6.1. Oryginalność tematyki ............................................................................................... 97. 6.2. Osiągnięte wyniki ....................................................................................................... 97. 6.3. Perspektywa dalszych badań ..................................................................................... 98. Bibliografia ................................................................................................................................ 99 Spis Rysunków..................................................................................................................... 105 Spis Tabel ............................................................................................................................ 106.

(7) Strona |7. Zestawienie oznaczeń i skrótów używanych w tekście - wartość średnia sygnału T - okres sygnału - wartość średnia sygnału okresowego - wartość średnia sygnału spróbkowanego - wartość skuteczna - wartość średniokwadratowa - odchylenie standardowe - częstotliwość próbkowania - częstotliwość sygnału - widmo sygnału x(t) MinCPP – Minimalny czas pomiędzy próbkami przy próbkowaniu pseudolosowym MaxCPP – Maksymalny czas pomiędzy próbkami przy próbkowaniu pseudolosowym RLos – Rozdzielczość losowania pseudoprzypadkowego LAP – Liczba analizowanych próbek – dla algorytmu losowania pseudoprzypadkowego – Najmniejszy możliwy odstęp czasowy pomiędzy dwoma próbkami. – losowa częstotliwość próbkowania (f) – Największa bezwzględnie wartość estymaty z 1000 realizacji dla danej częstotliwości dla sygnałów symulowanych lub z 5 realizacji dla sygnałów rzeczywistych.

(8) Strona |8 (f) – Średnia wartość estymaty z 1000 realizacji dla danej częstotliwości dla sygnałów symulowanych lub z 5 realizacji dla sygnałów rzeczywistych (f) - Odchylenie standardowe estymaty z 1000 realizacji dla danej częstotliwości dla sygnałów symulowanych lub z 5 realizacji dla sygnałów rzeczywistych - największa bezwzględnie wartość parametru JEkst w całym rozpatrywanym paśmie - - największa bezwzględnie wartość parametru JŚred w całym rozpatrywanym paśmie - największa bezwzględnie wartość parametru JStd w całym rozpatrywanym paśmie SSin – sygnał symulowany sinusoidalny o amplitudzie 1 i składowej stałej 1 STroj - sygnał symulowany trójkątny o amplitudzie 1 i składowej stałej 1 S3Sin0 - sygnał symulowany sinusoidalny o amplitudzie 1 i składowej stałej 1 wraz z 3 harmoniczną o amplitudzie 0.3 będącą w fazie z częstotliwością podstawową . S3SinP - sygnał symulowany sinusoidalny o amplitudzie 1 i składowej stałej 1 wraz z 3 harmoniczną o amplitudzie 0.3 przesuniętą o π względem częstotliwości podstawowej. SSinSz - sygnał symulowany sinusoidalny o amplitudzie 1 i składowej stałej 1 wraz 5% szumem białym. SSinN - sygnał symulowany sinusoidalny o amplitudzie 1 i składowej stałej 1 o częstotliwości niewymiernej względem częstotliwości losowego próbkowania. SinR - sygnał rzeczywisty sinusoidalny o amplitudzie 1 i składowej stałej 1 lub amplitudzie 2 i składowej stałej 2 TrojR - sygnał rzeczywisty trójkątny o amplitudzie 1 i składowej stałej 1 lub amplitudzie 2 i składowej stałej 2.

(9) Wprowadzenie. Strona |9. Rozdział 1 Wprowadzenie 1.1. Motywacja. W praktyce inżynierskiej często konieczne jest wyznaczanie pewnych parametrów mierzonego sygnału. Do niektórych zastosowań nie jest konieczny pełny jego opis. Przykładowo dla wyznaczenia wartości maksymalnej sygnału jego kształt nie jest potrzebny. Istnieją dobrze zrealizowane rozwiązania analogowe pomiaru większości parametrów sygnałów przy pomocy między innymi wzmacniaczy operacyjnych[1][2].Estymowany parametr jako sygnał analogowy, jest następnie podawany na przetwornik analogowo cyfrowy. Przetwornik ten może pracować z częstotliwością próbkowania niezależną od częstotliwości występujących w sygnale, ale z częstotliwością odświeżania estymowanego parametru. Współcześnie istnieje jednak tendencja do realizowania możliwie jak największej części algorytmu pomiarowego w części cyfrowej urządzenia. Algorytm jest realizowany po spróbkowaniu badanego przebiegu przez przetwornik analogowo cyfrowy. Ma to związek zazwyczaj z łatwiejszą i powtarzalną realizacją algorytmu cyfrowego, niż jest to możliwe do osiągnięcia w technice analogowej. W przypadku układów opartych o mikrokontroler czy układ FPGA zmiana funkcjonalności czy nastaw jest możliwa na drodze programowej. W większości przypadków taka zmiana w układzie analogowym musi być zrealizowana przez wymianę elementów elektronicznych bądź przestrojenie układu, co z perspektywy prototypowania oraz produkcji może być uciążliwe. Przy wyznaczaniu parametru sygnału za pomocą algorytmu cyfrowego metodyka realizacji jest przeważnie następująca: sygnał jest próbkowany równomiernie z częstotliwością spełniającą twierdzenie o próbkowaniu (podrozdział 2.3.1.), próbki sygnału są kwantowane, następnie wyznaczany jest z nich szukany parametr, który jest transmitowany, rejestrowany bądź wyświetlany. W przypadku sygnałów, których pasmo częstotliwościowe jest szerokie, wymusza to stosowanie wysokiej częstotliwości próbkowania. W wyniku tego podnosi się koszt aparatury, ze względu na konieczność użycia szybkich przetworników..

(10) Wprowadzenie. S t r o n a | 10. Dla sygnałów systemu elektroenergetycznego, często pojawia się potrzeba analizy ich w szerokim paśmie, pomimo stosunkowo niskiej częstotliwości podstawowej. Przykładowo sygnał otrzymywany z falownika, mimo że przybliża sinusoidę o częstotliwości około 50Hz, jest syntezowany z częstotliwością nawet kilkudziesięciu kiloherców. Klasyczne podejście do estymacji wartości skutecznej takiego sygnału wymaga zastosowania bardzo szybkiego przetwornika oraz przetworzenia dużej ilości danych. Pomiar wartości opartych na uśrednianiu próbek niekoniecznie musi być zrealizowany na podstawie próbek rejestrowanych w sposób równomierny, tj. ze stałą częstotliwością. Zaproponowana w pracy metoda opiera się uśrednianiu próbek pobranych w losowych chwilach czasu. Możliwe dzięki niej jest estymowanie parametrów sygnału przy użyciu tańszych rozwiązań układowych, z pominięciem nadmiarowej informacji o kształcie sygnału.. 1.2. Cel pracy. Ze względu na coraz częściej występującą konieczność estymacji parametrów sygnałów zawierających w swoim widmie składowe wysokich częstotliwości, uznano za pożądane opracowanie metody, która umożliwiałaby taki pomiar bez konieczności stosowania szybkich przetworników analogowo-cyfrowych. Celem niniejszej pracy jest zbadanie właściwości i analiza błędów występujących przy zastosowaniu metody próbkowania losowego. Przeprowadzone wstępne badania pozwoliły na postawienie następującej tezy: „Realizacja pomiaru wielkości definiowanej przez uśrednianie, za pomocą próbkowania pseudo-przypadkowego, może być wykorzystana do budowy przyrządów pomiarowych o szerokim paśmie sygnałów wejściowych i poprawnych parametrach metrologicznych” Prawdziwość tej tezy została wykazana, na przykładzie wartości skutecznej sygnału, w dalszej części tej rozprawy. Cząstkowe wyniki badań zostały przedstawione w [3][4][5][6][7][8][9][10]oraz wystąpieniach na konferencjach krajowych.. 1.3. Kształt rozprawy. W rozdziale drugim przedstawiono właściwości parametrów definiowanych przez operację uśredniania. Jako najpopularniejszy z nich omówiono parametr wartości skutecznej sygnału. Przedstawione zostały najpopularniejsze rozwiązania pomiaru wartości skutecznej. Przedstawiono również ograniczenia, którym podlegają sygnały spróbowane. W rozdziale trzecim przedstawiono proponowaną metodę losowego próbkowania. Wytypowano charakterystyczne jej parametry oraz przedstawiono jej ograniczenia. Opisano najczęściej stosowane generatory liczb losowych. Wykonano przegląd dotychczas istniejących rozwiązań. W rozdziale 4 przedstawione zostały badania symulacyjne proponowanej metody. Omówiony został wpływ poszczególnych parametrów metody na dokładność estymaty wartości skutecznej. W rozdziale 5 zaprezentowano wyniki badań laboratoryjnych.

(11) Wprowadzenie. S t r o n a | 11. eksperymentalnych na fizycznych sygnałach. Przedstawiono zbudowane przez autora stanowiska pomiarowe oraz zasadę działania oprogramowania realizującego pomiar proponowaną metodą. Rozdział 6 jest rozdziałem podsumowującym wyniki badań. Przedstawione zostały również w nim perspektywy dalszych prac..

(12) Pomiar wartości definiowanych przez uśrednianie. S t r o n a | 12. Rozdział 2 Pomiar wartości definiowanych przez uśrednianie Mierzony sygnał można opisywać na wiele różnych sposobów. Jedną z możliwości jest opis oparty o zbiór wartości chwilowych sygnału. Sposób ten jest niepraktyczny, lecz zawiera wszystkie informacje o sygnale. Przechowywanie takiego sygnału zabiera dużo miejsca w pamięci czy dysku twardym. Każdy sygnał można również opisać za pomocą parametrów związanych z pewną jego cechą istotną dla potrzeb sterowania, pomiaru czy diagnostyki. Opis całego sygnału za pomocą jednego bądź wielu parametrów sprawia, że przechowywane, bądź analizowane są wyłącznie dane istotne. Z punku wiedzenia analizy sygnałów elektroenergetycznych definiuje się następujące parametry[11]:          . Wartość skuteczna Wartość szczytowa Wartość średnia przebiegu wyprostowanego Wartość średnia – średnia arytmetyczna Wartość międzyszczytowa Współczynnik szczytu Współczynnik kształtu Częstotliwość napięcia zasilającego Widma amplitudowe i fazowe Współczynnik odkształcenia THD. W tej grupie znajdują się parametry których wyznaczanie wymaga uśrednienia pewnej liczby próbek. Do najważniejszych z nich należy wartość średnia, wartość skuteczna, moc czynna, moce bierne wg niektórych definicji[12]..

(13) Pomiar wartości definiowanych przez uśrednianie. 2.1. S t r o n a | 13. Wartość średnia sygnału. 2.1.1 Definicja Istnieje kilka definicji powiązanych z wartością średnią sygnału x(t). Najbardziej ogólną jest wartość średnia całego sygnału (1) (1). Parametr ten jest rzadko używany ze względu na niemożliwość jego uśrednienia w nieskończonym przedziale czasu. Częściej używanym parametrem jest wartość średnia w przedziale wyrażająca się wzorem (2) (2). Dla sygnałów okresowych przedział analizy można sprowadzić do okresu sygnału T, wyznaczając wartość średnią przebiegu okresowego (3) (3). Sygnały występujące w systemie elektroenergetycznym są najczęściej przemienne, a ich wartość średnia wynosi 0. Z tego powodu do opisu takich sygnałów wprowadzona została wartość średnia półokresowa(4). (4). Liczbowo wartość średnia półokresowa, dla t0 będącego miejscem zerowym sygnału monoharmonicznego, jest równa średniej wartości bezwzględnej sygnału. Interpretacja fizyczna takiej wartości może być przedstawiona na przykładzie przebiegu prądu. Wartość średnia prądu będzie taką wartością prądu stałego odpowiadającą przepływowi takiego samego ładunku jak w przypadku prądu badanego..

(14) Pomiar wartości definiowanych przez uśrednianie. S t r o n a | 14. Rys. 2-1 Interpretacja fizyczna wartość średniej wyprostowanej. Wartość średnia półokresowa jest bardzo często wykorzystywana w tanich miernikach cyfrowych, jako estymator wartości skutecznej sygnału sinusoidalnego. Wykorzystywana jest do tego celu zależność współczynnika kształtu WK. (5). Dla przebiegu sinusoidalnego WK jest stały i wynosi w przybliżeniu 1.111[13]. Wyznaczenie wartości średniej jest łatwiejsze do realizacji fizycznej od realizacji pomiaru wartości skutecznej. Dla przebiegu sinusoidalnego przemnożenie wartości średniej wyprostowanej przez współczynnik kształtu w wyniku daje wartość skuteczną. W praktyce jest to duże przybliżenie. Obecnie przebieg napięcia w sieci jest odkształcony od sinusoidy, nie tylko w rejonach, w których występuje duże zagęszczenie odbiorów przemysłowych, ale także poprzez koncentrację odbiorników impulsowych w każdym gospodarstwie domowym[14][15][16]. Najczęściej wykorzystywaną wartością średnią jest średnia bieżąca(6) (6). Stosowana jest ona w przypadku agregacji danych (np. średnia wartość skuteczna prądu, napięcia), występuje też często w sytuacji, gdy estymujemy wartość średnią okresową bez wykrywania przejść przez zera sygnału. Sygnał jest uśredniany za wiele okresów. Bez wykrywania przejścia przez zero zawsze nastąpi błąd polegający na uśrednieniu niecałkowitej ilości okresów. Przyjmuje się, że jeżeli czas uśredniania będzie obejmował dostatecznie dużo okresów błąd ten będzie mały i można go pominąć..

(15) Pomiar wartości definiowanych przez uśrednianie. S t r o n a | 15. 2.1.2 Implementacje W praktyce najczęstszą implementacją wartości średniej w dziedzinie analogowej jest filtr dolnoprzepustowy. Wartość średnia sygnału to nic innego jak jego składowa stała. Filtr dolnoprzepustowy powinien być tak dobrany, aby z jednej strony nie przenosić składowych niskiej częstotliwości obecnych w sygnale, natomiast z drugiej strony, urządzenie powinno wystarczająco szybko reagować na zmiany wartości średniej w czasie. Realizacja algorytmu z definicji w dziedzinie cyfrowej jest z pozoru prosta(7), wystarczy tylko zsumować wszystkie wartości i podzielić je przez ich ilość, napotkać tu można jednak na problemy. (7). W praktyce często wartość średnia jest wyliczana z dużej ilości próbek. Może powodować to problemy zarówno z szybkością samych obliczeń, jak i z przekroczeniami zakresów reprezentacji liczb. Z tego powodu stosowana jest często średnia biegnąca lub średnia z wykładniczym zapominaniem. Algorytm średniej biegnącej (running average), polega na tym, że średnia wyliczana jest za każdym razem z takiej samej liczby próbek. Suma wszystkich próbek jest przechowywana w pamięci urządzenia. Kolejne wyliczenie nowej wartości średniej polega na odjęciu od sumy najstarszej próbki, następnie dodaniu najnowszej i podzieleniu przez liczbę próbek. Metoda z wykładniczym zapominaniem opiera się na rekurencyjnym wzorze(8), do którego można przekształcić wzór(7) (8). Każda następna estymata wartości średniej jest wyliczana z estymaty poprzedniej. W przypadku dużych zmian wartości średniej obserwowanego sygnału, metody będą zwracały różne wartości, ze względu na różną pamięć wartości poprzednich.. 2.2. Wartość skuteczna. 2.2.1 Definicja Definicja wartości skutecznej wykorzystuje pojęcie wartości średniokwadratowej(9). (9). Wartość średniokwadratowa charakteryzuje moc całego sygnału(intensywność). Uwzględnione są zarówno składowe stałe opisywane przez wartość średnią i zmienne opisywane przez wariancję . Związek pomiędzy nimi przedstawiony jest we wzorze (10) [17]..

(16) Pomiar wartości definiowanych przez uśrednianie. S t r o n a | 16 (10). Wartość skuteczna przebiegu jest definiowana przez (11) (11). Wzór ten jest nierealizowalny fizycznie. Nie można uśrednić sygnału w nieskończenie długim okresie. Dla przebiegów okresowych wzór (11) można uprościć do (12) (12). Interpretację fizyczną wartości skutecznej można przedstawić jako wartość prądu stałego przepływającego przez stałą rezystancję, która w okresie T spowoduje wydzielenie na nim takiej samej ilości ciepła, co prąd okresowo zmienny w tym samym czasie.[13] Wartość skuteczna sygnałów występujących w systemie energetycznym jest wyliczana dla dwóch podstawowych czasów uśredniania: . 10-cio okresowego napięcia sieciowego 50Hz, dla którego wyliczana jest na podstawie 0.2s (13). (13). . 150-cio okresowego napięcia sieciowego 50Hz, dla którego wyliczana jest podstawie 3s (14) [18]. na. (14). gdzie: wartość napięcia w chwili i N – liczba zagregowanych próbek w czasie 200ms/3000ms w zależności od częstotliwości próbkowania Takie podstawowe wartości następnie są agregowane do przedziałów 10 minutowych (15) oraz 2 godzinnych(16) (15).

(17) Pomiar wartości definiowanych przez uśrednianie. S t r o n a | 17. (16). [18][14] 2.2.2 Implementacje Podobnie jak w przypadku wyznaczania wartości średniej sygnału, wartość skuteczną wyznacza się za pomocą dwóch głównych grup metod. Pierwsza z nich opiera się na obliczeniach cyfrowych i implementowana jest w układach programowalnych (mikrokontrolery, układy FPGA) gdzie operacje pierwiastkowania czy mnożenia nie są problematyczne. Schemat takiego układu przedstawiono na Rys. 2-2. Rys. 2-2 Schemat układu do pomiaru wartości skutecznej z definicji. Obowiązują tutaj podobne ograniczenia jak opisane dla wartości średniej w rozdziale 2.1.2. Drugą grupą, historycznie starszą, są implementacje analogowe. Do tej pory są one stosowane przez możliwość pracy dla częstotliwości nieosiąganych dla układów cyfrowych. Metody analogowe są dla pomiaru wartości skutecznej trudniejsze do implementacji, ze względu na występowanie nieliniowych operacji takich jak mnożenie, pierwiastkowanie. Pierwszą z nich jest metoda oparta bezpośrednio na definicji Rys. 2-2 realizowana za pomocą układów analogowych. Operacja całkowania jest tożsama z operacją uśredniania. Do wyznaczenia całki wykorzystuje się filtr dolnoprzepustowy. Największym problemem w takim wyznaczaniu wartości skutecznej jest nieliniowa i trudna do implementacji operacja pierwiastkowania. Innym podejściem jest wykorzystanie wzmacniacza różnicowego. Jest to jedna ze stosowanych w praktyce metod realizacji pierwiastka. Realizacja jest oparta o mnożarkę wraz z wzmacniaczem różnicowym Rys. 2-3. Układ ten ma szerokie pasmo, natomiast jest stosowany przy zmianach wartości skutecznej sięgającej maksymalnie 20 dB. Ten układ jest stosowany między innymi w układzie scalonym do pomiaru wartości skuteczniej firmy Analog Devices AD8361[19][20][21].. Rys. 2-3 Schemat układu do pomiaru wartości skutecznej z szerokim pasmem.

(18) Pomiar wartości definiowanych przez uśrednianie. S t r o n a | 18. Układ realizowany jest w oparciu o równania: (17). skąd (18). I ostatecznie (19). Dla odpowiednio małych współczynników wzmocnienia k można pominąć człon równaniu (19), otrzymując wzór na wartość skuteczną sygnału.. w. Inną realizacją układu w pełni analogowego jest realizacja przedstawiona na Rys. 2-4. Układ działa na tej samej zasadzie co układ z Rys. 2-3 natomiast inne są jego właściwości dynamiczne. Na wejściu filtru dolnoprzepustowego nie występują tak szybkie zmiany napięcia poprzez zastosowanie bloku realizującego dzielenie. W porównaniu do układu z Rys. 2-3 możliwy jest pomiar wartości skutecznej o większej dynamice, kosztem węższego pasma wejściowego [20][1][22].. Rys. 2-4 Schemat układu do pomiaru wartości skutecznej z dużą dynamiką. Działanie układu można opisać za pomocą równania (20) (20). skąd (21). Równanie (21) realizuje operację pierwiastkowania. Do pomiaru wartości skutecznej można zastosować układy oparte o logarytmowanie. Przykładowy układ przedstawiono na Rys. 2-5..

(19) Pomiar wartości definiowanych przez uśrednianie. S t r o n a | 19. Rys. 2-5 Schemat układu do pomiaru wartości skutecznej oparty na układach logarytmujących. Układ logarytmujący jest stosunkowo prosty do wykonania w oparciu o wzmacniacz operacyjny. Układ taki nadaje się raczej do pomiaru ustalonej lub wolnozmiennej wartości skuteczniej. [20][23] (22) Skąd (23). Metodą stosowaną do sygnałów o szerokim paśmie jest metoda termiczna Sygnał mierzony jest wykorzystywany do podgrzania grzejnika. Grzejnik jest połączony z rezystancyjnym czujnikiem temperatury, sterowanym za pomocą źródła prądowego. Do układu dołączony jest drugi taki sam człon w którym źródłem podgrzewającym grzejnik jest wyjście ze wzmacniacza różnicowego. Oba źródła prądowe są łatwe do zrealizowania w oparciu o układ lustra prądowego. Krytyczny natomiast jest dobór termoelementów, tak żeby ich charakterystyki były takie same. Układ jest trudny do wykonania, lecz dla sygnałów wysokoczęstotliwościowych jest często wykorzystywany. Schemat działania układu przedstawiono na Rys. 2-6. Układ o podobnej zasadzie działania można też stosować do pomiaru mocy[24].. Rys. 2-6 Schemat układu do pomiaru wartości skutecznej za pomocą metody termicznej.

(20) Pomiar wartości definiowanych przez uśrednianie. 2.3. S t r o n a | 20. Ograniczenia przy próbkowaniu równomiernym. Wyznaczając wartość skuteczną przebiegów okresowych należy zebrać próbki przypadające na całkowitą wielokrotność długości okresu badanego sygnału. Prawidłowe wyznaczenie będzie możliwe tylko wtedy, gdy sygnał jest próbkowany synchronicznie tj (24). gdzie. to częstotliwość próbkowania sygnału,. podstawowa częstotliwość sygnału.. Próbkowanie synchroniczne przedstawione jest na Rys. 2-7a. W rzeczywistych pomiarach okres sygnału wykrywany jest poprzez detekcję przejścia sygnału przez zero. Ostatnia próbka przetwarzana, w większości przypadków, będzie albo przed punktem przejścia przez zero albo za nim Rys. 2-7b.. Rys. 2-7 Błąd wynikający z próbkowania niesynchronicznego. Tym samym obliczona wartość skuteczna będzie odpowiednio za mała albo za duża. Przy dużej częstotliwości próbkowania w stosunku do sygnału różnica nie będzie duża. Przy mniejszej częstotliwości problem ten rozwiązywany jest po przez uśrednianie nie po okresie ale po kilku – kilkunastu okresach badanego sygnału. W takim przypadku dynamika układu do pomiaru wartości skutecznej spada..

(21) Pomiar wartości definiowanych przez uśrednianie. S t r o n a | 21. 2.3.1 Twierdzenie o próbkowaniu Twierdzenie o próbkowaniu jest zależnością, według której dobierana jest częstotliwość próbkowania dla mierzonego sygnału o określonej maksymalnej częstotliwości, występującej w jego widmie. Twierdzenie to tyczy się możliwości odtworzenia kształtu sygnału. W przypadku pomiarów niewymagających odtworzenia kształtu sygnału, tak jak w przypadku proponowanej metody próbkowania pseudolosowego, twierdzenie jest istotne ze względu na aliasing i jego wpływ na wynik pomiaru. Równomierne próbkowanie może być przedstawione jako suma przesuniętych impulsów Diraca . Sygnał analogowy x(t) po spróbowaniu będzie miał postać (24). (25). gdzie. to okres próbkowania.. Widmo częstotliwościowe będące transformatą Furiera przykładowego sygnału przedstawione jest na Rys. 2-8a. Widmo sygnału (t) jest sumą poprzesuwanych widm sygnału x(t) Rys. 2-8b. Odtworzenie sygnału w dziedzinie cyfrowej odbywa się po przez zastosowanie filtru odtwarzającego na sygnale . Przykładowym filtrem może być okno prostokątne.. Rys. 2-8 Widmo sygnałów po próbkowaniu.

(22) Pomiar wartości definiowanych przez uśrednianie. S t r o n a | 22. Pierwszym warunkiem prawidłowej rekonstrukcji sygnału jest warunek ograniczoności jego widma częstotliwościowego (25)[25]. (26). Ponadto częstotliwość próbkowania musi być tak dobrana żeby kolejne odbicia widm występujące w sygnale nie nałożyły się na siebie (26). (27). Za mała częstotliwość próbkowania spowoduje powstanie zniekształconego widma jak na Rys. 2-8c. W takim przypadku nie można odtworzyć pierwotnego widma , a wynikiem jest błędne odtworzenie widma Rys. 2-8.d [26]. Takie błędne odtworzenie sygnału spowodowane nałożeniem się widm nazywane jest aliasingiem. Teoretycznie możliwe jest odtworzenie sygnału przy częstotliwości próbkowania dwukrotnie większej niż najwyższa częstotliwość występująca w sygnale(częstotliwość Nyquista). W pomiarach rzeczywistych jest to praktycznie nierealizowalne. Nie ma możliwości obserwowania sygnału o nieskończonym czasie trwania. Sygnał jest zawsze analizowany w skończonym przedziale czasu – czyli jest mnożony przez okno czasowe. W tym przypadku będzie to prostokątne okno czasowe . (28). o widmie (29). gdzie to czas pomiaru. Widmo częstotliwościowe takiego sygnału będzie splotem widma prawidłowego sygnału mierzonego, o nieskończonej długości, z widmem okna czasowego. Sygnał rzeczywisty, w praktyce, będzie zawierał w sobie szum. Obecność szumu może fałszować wynik pomiaru przy ograniczonej liczbie próbek na okres mierzonego sygnału. Dlatego w praktyce pomiarowej stosowane częstotliwości próbkowania są co najmniej kilkukrotnie wyższe od częstotliwości Nyquista. 2.3.2 Rekonstrukcja sygnałów pasmowych Możliwe jest prawidłowe odtworzenie sygnału, który jest próbkowany, z częstotliwością mniejszą niż wynikałaby z (29), pod warunkiem że wszystkie składowe częstotliwościowe sygnału zawierają się w ograniczonym paśmie:. (30). gdzie częstotliwość.. to odpowiednio największa i najmniejsza występująca w sygnale.

(23) Pomiar wartości definiowanych przez uśrednianie. Dla sygnału pasmowego można dobrać tak częstotliwość próbkowania jego widma nie nałożyły się.. S t r o n a | 23 (30) żeby odbicia. (31). Filtr odtwarzający jest ustawiony tak, żeby z sygnału znajdujące się w przedziale. wybrać odbicie widma. ,. . Odtwarzanie sygnału pasmowego w dziedzinie. częstotliwości przedstawiono na Rys. 2-9. Rys. 2-9 Możliwość odtworzenia sygnału pasmowego. Przy. próbkowaniu. sygnałów. pasmowych,. konieczna. jest. znajomość. zakresu. , w którym znajduje się sygnał. Jeżeli takiej wiedzy nie ma rekonstrukcja sygnału z jego próbek jest operacją niejednoznaczną, więc prawidłowy kształt sygnału nie może być odtworzony. Błędne odtworzenie sygnału pasmowego przedstawiono na Rys. 2-10. Niejednoznaczność rekonstrukcji sygnału również nazywana jest aliasingiem[25].. Rys. 2-10 Aliasing jako niejednoznaczność sygnału. Próbkowanie pasmowe jest często wykorzystywane w przesyłaniu sygnałów zmodulowanych amplitudowo(AM). Sygnał użyteczny zmodulowany z sygnałem nośnym o dużej.

(24) Pomiar wartości definiowanych przez uśrednianie. S t r o n a | 24. częstotliwości powoduje przesunięcie widma sygnału w zakres wysokich częstotliwości. W odbiorniku sygnału (demodulatorze) częstotliwość próbkowania jest dobierana tak aby odtworzyć sygnał na podstawie jego odbitego widma Rys. 2-9. Szczególnym przypadkiem aliasingu jest sytuacja gdy częstotliwość sygnału mierzonego jest całkowitą wielokrotnością połowy częstotliwości próbkowania(32). (32). W zależności od fazy sygnału mierzonego wynik odtworzenia będzie inny. Dla oraz przebiegu mierzonego o fazie równej zero , odtworzenie sygnału odbędzie się z dwóch próbek na okres, z czego obie trafiają w zero przebiegu sinusoidalnego. Wynik algorytmu pomiarowego będzie równy zero. Dla wynik będzie proporcjonalny do fazy sygnału mierzonego. Przykładowe błędne odtworzenia sygnału przedstawiono na Rys. 2-11. Rys. 2-11 Szczególny przypadek aliasingu. W rzeczywistych pomiarach efekt ten wystąpi nie tyko dla częstotliwości próbkowania równej częstotliwości mierzonego sygnału. Do zobrazowania takiej sytuacji wykonano eksperyment symulacyjny. Estymowano wartość skuteczną sygnału sinusoidalnego (33). Zmienną dla każdej realizacji eksperymentu była częstotliwość próbkowania , z którą pobierane były próbki sygnału(32). Częstotliwość próbkowania była zmieniana z krokiem 0.002Hz. Wyniki eksperymentu przedstawiono na Rys. 2-12..

(25) Pomiar wartości definiowanych przez uśrednianie. S t r o n a | 25. Rys. 2-12 Aliasing ujawniający się dla różnych fp. Estymowana wartość skuteczna tego samego sygnału, przy różnych częstotliwościach próbkowania, jest generalnie taka sama. Dla częstotliwości próbkowania bliskiej podwielokrotności podwojonej częstotliwości sygnału (100Hz, 50Hz, 33,33Hz, 25Hz itd) estymowana wartość skuteczna wynosi 0 - z powodu występowania zjawiska aliasingu. W przypadku tego eksperymentu mierzony sygnał sinusoidalny miał zerową fazę względem początkowego czasu pomiaru. W zależności od wartości fazy, estymata mogłaby przyjmować wartości z zakresu od 0 do napięcia szczytowego. Ze względu na to, że rozdzielczość częstotliwościowa symulacji jest wysoka, można zauważyć, że aliasing występuje nie tylko dla jednej częstotliwości będącej dokładnie podwielokrotnością podwojonej częstotliwości próbkowania ale również dla częstotliwości jej bliskich.[27][25][26] ..

(26) Próbkowanie losowe. S t r o n a | 26. Rozdział 3 Próbkowanie losowe 3.1. Metoda losowego próbkowania. Estymacja parametrów sygnałów opartych o uśrednianie (realizowane w części cyfrowej urządzenia pomiarowego) składa się z kilku kroków. Pierwszym z nich jest zebranie zadanej liczby próbek z przetwornika analogowo-cyfrowego do pamięci. Następnie próbki (bądź zmodyfikowane próbki) są uśredniane. Ostatnim krokiem jest normowanie, bądź przetwarzanie obliczonej średniej. Zazwyczaj próbki uzyskane są poprzez równomierne próbkowanie analogowego sygnału wejściowego. Nie jest to jednak jedyna możliwość. Operacja uśredniania gubi informację o kształcie sygnału, więc równie dobrze próbki mogą być zebrane w sposób kształtu nie zachowujący. Jednym z takich sposobów może być zbieranie próbek z losowymi odstępami czasowymi pomiędzy kolejnymi próbkami. Metoda ta jest przedmiotem niniejszej rozprawy. W przypadku pomiarów sygnałów losowych oraz losowych pomiarów znanego sygnału (jak w proponowanej metodzie), z racji tego, że każda realizacja algorytmu będzie się różniła od poprzedniej, każdy pomiar będzie estymacją. Nie jest możliwe uzyskanie w pełni poprawnego wyniku. Zawsze będzie występować pewna niedokładność. Ze względu na fizyczną realizowalność układu, nie jest możliwe zastosowanie próbkowania losowego. Losowość zawsze będzie przybliżona pseudolosowością. Odstęp czasowy pomiędzy dwoma próbkami nie może być nieskoczenie mały ze względu na skończony czas przetwarzania A/C oraz ograniczenia pozostałych układów (np. układów licznikowych). Nie może być również za duży, ponieważ wynik uśredniania powinien być obliczony w skończonym, niedługim czasie. Wymienione poniżej ograniczania metody przedstawione są na Rys. 3-1:.

(27) Próbkowanie losowe. S t r o n a | 27. Rys. 3-1 Parametry metody losowego próbkowania.    . Minimalny czas pomiędzy próbkami – MinCPP Maksymalny czas pomiędzy próbkami – MaxCpp Rozdzielczość losowania - RLos Liczba analizowanych próbek - LAP. Korzystając z metody próbkowania pseudolosowego, estymowana wartość oparta na uśrednianiu, wyznaczana jest z pewną niedokładnością. Parametry metody można tak dobrać (Rozdział 4), żeby dla określonego przedziału częstotliwościowego sygnałów mierzonych można było estymować wynik z określonym błędem. Metodę można stosować dla każdego zakresu częstotliwości. Ze względu na niepewności będące przeważnie większe niż przy próbkowaniu równomiernym ma to jednak sens tylko dla sygnałów, których dany przetwornik analogowo-cyfrowy nie może, zgodnie z twierdzeniem o próbkowaniu, prawidłowo przetworzyć. Tylko wtedy zastosowanie metody próbkowania pseudo przypadkowego przyniesie nadmiarową w stosunku to próbkowania równomiernego informacje. Zasadniczo proponowana metoda używana będzie do estymacji parametrów, opartych o uśrednianie szybkozmiennych sygnałów, tj. takich dla których nieekonomiczne jest stosowanie wysokiej częstotliwości próbkowania, ze względu na znaczny koszt przetworników A/C. Metoda ta, ze względu na dość długi czas uśrednienia, nadaje się do estymacji wolno zmieniających się parametrów wysokoczęstotliwościowych przebiegów zawierających w sobie wiele harmonicznych..

(28) Próbkowanie losowe. S t r o n a | 28. 3.1.1 Minimalny czas pomiędzy próbkami MinCPP Każdy z przetworników analogowo-cyfrowych ma określony minimalny czas konwersji, czyli czas, po którym na wyjściu pojawi się ważny wynik pomiaru napięcia na przetworniku w postaci cyfrowej. Czas ten przyjęto za dolne ograniczenie zakresu losowania – MinCPP. Możliwe jest dobranie parametru MinCPP, jako czasu dłuższego, ogranicza to jednak niepotrzebnie pasmo pomiaru - główną zaletę metody. Tak samo jak w przypadku próbkowania równomiernego, im mniejszy okres próbkowania, tym dokładniej można opisać przebieg o wyższej częstotliwości. Wybór parametru MinCPP sprowadza się więc do wyboru rozwiązania sprzętowego. Im większa częstotliwość próbkowania, tym dokładniej (w tym samym czasie uśrednienia) można estymować parametr przy pomocy próbkowania pseudoprzypadkowego. Parametr MinCpp przyjęto za ograniczenie sprzętowe, nie badano jego wpływu na dokładność estymacji.. 3.1.2 Parametry MaxCPP, RLos, LAP Parametr MinCPP jest parametrem związanym ze sprzętem. Pozostałe trzy parametry metody można przyjąć dowolnie. Wiąże się to z konkretnym kosztem w postaci węższego, możliwego pasma oraz dłuższym pomiarem, ale i zyskiem, jak mniejsza niepewność esytmaty. Zgrubnie, wpływ parametrów można określić jak poniżej. Dokładny wpływ parametrów, zbadany w eksperymentach symulacyjnych przedstawiono w Rozdziale 4. MaxCPP – Maksymalny czas pomiędzy próbkami, nie może być nieskończenie długi. Musi być dostatecznie krótki, by możliwe było zarejestrowanie zmienności estymowanego parametru. Z drugiej strony powinien być wystarczająco długi, aby możliwe było poszerzenie pasma częstotliwości badanych sygnałów, w stosunku do próbkowania równomiernego. RLos – Niemożliwe jest wyzwolenie próbkowania z dowolną rozdzielczością losowania RLos. Pierwszą z przyczyn jest dokładność reprezentacji numerycznej cyfr w urządzeniu pomiarowym. Rozdzielczość losowania jest również determinowana przez rodzaj sprzętowych układów licznikowych, służących do wyzwalania przetwornika. W większości kart pomiarowych jedynymi możliwościami odbioru danych jest akwizycja ciągła z ustaloną częstotliwością próbkowania, akwizycja zadanej wcześniej ilości próbek również z określoną wcześniej częstotliwością próbkowania, oraz akwizycja 1 próbki. Budowa układu próbkowania pseudolosowego na takiej karcie wymaga użycia ostatniego sposobu. Wadą takiego rozwiązania jest sterowanie czasem pomiędzy próbkowaniem przez system operacyjny. W przypadku standardowych desktopowych systemów operacyjnych typu Windows czy niespecjalizowanych dystrybucji systemu Linux, możliwość programowego wyzwalania zdarzeń ma dokładność 1ms. Tym samym RLos wyniesie 1ms. LAP - Nie jest możliwe pobranie przez urządzenie nieskończenie dużej liczby próbek (LAP), które później będą uśredniane. LAP jest parametrem uśredniania metody, podobnie jak MaxCPP, wpływa na możliwość estymacji dynamiki zmian badanego parametru sygnału..

(29) Próbkowanie losowe. S t r o n a | 29. Ograniczeniami może być też skończona dostępna pamięć urządzenia, oraz dłuższy czas wyliczania estymaty z dużej ilości próbek. Rozwiązania sprzętowe są podobne jak dla wyznaczania wartości średniej przy próbkowaniu równomiernym, dla dużej ilości próbek, omawiane już w rozdziale 2.1.2.. 3.2. Dotychczasowe wykorzystanie. Pojęciem losowe próbkowanie określane są w literaturze różne metody. Metoda opisana w roz. 3.1 jest tyko jedną z możliwych, znanych pod taką samą nazwą. Jedną z pierwszych metod tak nazwanych jest metoda opisana w latach 50 ubiegłego wieku w [28]. Metoda w tej publikacji była wykorzystana do sposobu efektywniejszego wykorzystania kanałów częstotliwościowych, przy nadawaniu radiowym. Przedstawiona jest możliwość odtworzenia kształtu sygnału za pomocą próbek zebranych równomiernie z małym losowym kołysaniem częstotliwości próbkowania. Dużą popularność uzyskała inna metoda oparta o losowe napięcie odniesienia przetwornika A/C, bądź komparatora [29][30]. Analiza wyników jest przeprowadzana bez konieczności przechowywania czasu, w którym nastąpiło próbkowanie. Zasada działania metody przedstawiona jest na Rys. 3-2. Losowy sygnał napięcia odniesienia jest porównywany z mierzonym sygnałem, jeżeli jest o niego bezwzględnie mniejszy to losowa próbka jest uwzględniania w obliczeniach. Metoda ta może być wykorzystana do odtwarzania kształtu sygnału.. Rys. 3-2 Metoda z losowym napięciem odniesienia.

(30) Próbkowanie losowe. S t r o n a | 30. Większość publikowanych prac tyczy odtwarzania kształtu sygnałów. W większości przypadków, korzystających z próbkowania losowego, konieczna jest analiza, która wymaga wiedzy o dokładnym czasie próbkowania losowego. Metodę dla sygnałów, których każdy punkt można przedstawić jako szereg Furiera o niewielu wyrazach(locally Fourier sparse LFS) przedstawiona jest w [31]. Odtwarzanie sygnałów cyfrowych w oparciu o jitter czasu przedstawiono w [32] i [33]. Do zwiększenia dopuszczalnej częstotliwości mierzonych sygnałów wykorzystywana jest również analiza danych pochodzących z wielu torów pomiarowych próbkujących, mierzących ten sam sygnał. Okresy próbkowania tych torów mogą być inne, dla każdego toru [34][35], bądź zależność pomiędzy okresami próbkowania w poszczególnych torach może być losowa [36][37]. Do przesunięcia punktu aliasingu może być wykorzystany jitter naturalnie występujący pomiędzy torami pomiarowymi [38]. Przeprowadzane są próby estymacji parametrów obszarowych (np średnie zużycie energii na danym terenie wyliczane z wielu liczników) na podstawie wskazań uzyskanych z kilku losowo wybranych urządzeń [39]. Metoda próbkowania pseudolosowego bywa wykorzystywana do określania nieliniowości przetworników A/C, przy zastosowaniu sygnału sinusoidalnego jako źródła[40]. Pomiar charakterystyki częstotliwościowej przetwornika A/C na bazie podobnej metodyki został przedstawiony w Rozdz. 5.4. Wykorzystywana jest także do zagadnień analizy i przechowywania dużej ilości danych, zmierzonych za pomocą próbkowania równomiernego (datamining)[41]. Najważniejsze z punktu widzenia tego opracowania są metody próbkowania pseudolosowego w sensie próbkowania przedstawionego w Rozdz. 3.1. W [42][43] przedstawione jest wykorzystane metody do pomiaru sygnału wąskopasmowego o bardzo dużej częstotliwości. W [44][45] próbkowanie przypadkowe wykorzystane jest do odtworzenia sygnału o bardzo małej częstotliwości, zakłóconego szumem wysokiej częstotliwości. Odtworzenie takiego wyniku przy za niskiej, w stosunku do szumu, częstotliwości może być przekłamane przez nałożenie się odbicia widma szumu na sygnał użyteczny. Przy odtwarzaniu kształtu sygnału, można tak dobrać parametry próbkowania pseudolosowego, że jego wpływ na kształt sygnału będzie pomijalny, natomiast będzie możliwe przesunięcie punktu aliasingu tak aby sygnały sie nie nałożyły. Najważniejsze wnioski z publikowanych badań potwierdzają możliwość wykorzystania metody próbkowania pseudolosowego do estymacji parametrów sygnałów wąskopasmowych, w publikowanych badaniach nie przeprowadzono analizy dla sygnałów o częstotliwościach z szerokiego zbioru. Taka analiza została w niniejszym opracowaniu podjęta.. 3.3. Ograniczenia metody próbkowania pseudolosowego. Metoda oprócz ograniczeń zawartych lub związanych z parametrami MinCPP, MaxCPP, RLos i LAP, zawiera jeszcze dwa główne ograniczenia. Pierwsze z nich to jakość generatora liczb losowych zastosowanego w urządzeniu. Programowy generator liczb losowych zawsze ma swój określony okres, w którym liczby przez niego generowane zaczną się powtarzać. Przy projektowaniu urządzenia nie można dopuścić do takiej sytuacji, żeby podczas pobierania.

(31) Próbkowanie losowe. S t r o n a | 31. próbek do jednej realizacji wyznaczenia estymowanego parametru, okres ten się ujawnił. Szczegółowo tematyka generatorów przedstawiona została w rozdziale 3.4. Drugim głównym ograniczeniem metody próbkowania pseudolosowego są obwody wejściowe zastosowanego urządzenia. Znakomita większość elektronicznych urządzeń pomiarowych ma charakter dolnoprzepustowy. Wynika to nie tylko ze sposobu zaprojektowania, ale i z charakterystyk zastosowanych elementów elektronicznych np. wzmacniaczy operacyjnych. Większość z urządzeń czy modułów pomiarowych ma wbudowany dolnoprzepustowy filtr antyaliasingowy. Ma on na celu tłumienie wszystkich wyższych częstotliwości, które mogłyby zniekształcić widmo sygnału mierzonego (Rozdz. 2.3.1). Typowa charakterystyka łączna obwodów wejściowych, w tym obwodów przetwornika A/C, oraz filtra antyaliasingowego pokazana jest na Rys. 3-3.. Rys. 3-3 Typowa charakterystyka czestotliwościowa obwodów wejściowych. Charakterystyka filtra jest dostosowana do przetwornika analogowo-cyfrowego. Przeważnie do jego maksymalnej częstotliwości próbkowania. Zdarzają się jednak rozwiązania z kilkoma filtrami, z możliwością ich przełączania w zależności od potrzeb. Prezentowana na Rys. 3-3 charakterystyka jest zmierzoną charakterystyką obwodów wejściowych karty MyDaq. Maksymalna częstotliwość próbkowania wynosi 200ksps. Poziom 3dB występuje dla częstotliwości około 450 kHz. Jest on tak dobrany by sygnał wejściowy o częstotliwości powyżej 200kHz, poprzez odbicie widma, nie został błędne zmierzony jako sygnał o mniejszej częstotliwości. Z punktu widzenia wykorzystania metody losowego próbkowania, dolnoprzepustowość obwodów wejściowych, jest górnym ograniczeniem możliwego odtworzenia pasma. Rozbieżność pomiędzy maksymalną częstotliwością próbkowania a 3dB pasmem może być bardzo duża. Przykładowo scalony przetwornik analogowo-cyfrowy Max1162 [46] przy próbkowaniu 200ksps ma pasmo 4,5MHz. Producent układu przewiduje, że projektant.

(32) Próbkowanie losowe. S t r o n a | 32. urządzenia dobierze odpowiednio filtr antyaliasingowy. W przypadku odtwarzaniu sygnałów pasmowych (Rozdz. 2.3.2) filtr (pasmowy) musi być dobrany do sygnału, a nie częstotliwości próbkowania. We wszystkich elementach czy układach, gdzie częstotliwość próbkowania jest mała w stosunku do pasma przenoszenia układu opłaca się stosować próbkowanie pseudolosowe dla estymacji parametrów uśrednianych. Zakres możliwych sygnałów mierzonych ograniczony będzie przez pasmo urządzenia. 3.3.1 Możliwość pomiaru i charakteryzowania obwodów wejściowych Filtr antyaliasingowy oraz dolnoprzepustowość obwodów wejściowych są czynnikami ograniczającymi metodę próbkowania pseudolosowego dla estymacji parametrów opartych o uśrednianie. Dla sygnałów spoza pasma urządzenia wynik estymaty będzie zafałszowany przez tłumienie odwodów. Jeżeli jednak podany sygnał jest sygnałem sinusoidalnym o znanej i stałej amplitudzie możliwe jest odtworzenie charakterystyki wejściowej takich obwodów. Metoda ta jest znana i często stosowana w przypadku kiedy jest dostęp do sygnału wchodzącego na przetwornik analogowo-cyfrowy Rys. 3-4. Możliwy jest pomiar tłumienia sygnału pomiędzy znanym sygnałem wejściowym a wejściem przetwornika.. Rys. 3-4 Przykładowa realizacja obwodów wejściowych. W praktyce rzadko taki sygnał jest dostępny. W gotowych urządzeniach czy kartach pomiarowych, taki sygnał nie jest wyprowadzony. Tym bardziej nie jest wyprowadzony w mikrokontrolerach, gdzie cały blok przetwornika często łącznie z filtrem antyaliasingowym znajduje się w jednej strukturze krzemowej. W niektórych urządzeniach może być stosowana zmienna struktura części analogowej, w zależności od np. algorytmu pracującego w części cyfrowej. Wyznaczanie charakterystyki całości obwodów dla konkretnej, równomiernej częstotliwości próbkowania jest zafałszowane zjawiskiem aliasingu. Dla wysokich częstotliwości aliasing będzie się ujawniał w coraz większej liczbie punktów charakterystyki Rys. 2-12 w rozdziale 2.3.1. Charakterystyka karty myDaq z Rys. 3-3 przy takiej metodzie wyznaczania będzie wyglądała jak na Rys. 3-5..

(33) Próbkowanie losowe. S t r o n a | 33. Rys. 3-5 Aliasing przy badaniu obwodów wejściowych. W odróżnieniu od charakterystyki z Rys. 3-3 widoczne są punkty nieciągłości spowodowane występującym aliasingiem. Stosując metodę próbkowania pseudolosowego wpływ aliasingu można wyeliminować, wyznaczając charakterystykę wejściową odwodów bez błędów spowodowanych aliasingiem. Charakterystyka z Rys. 3-3 została zmierzona przy zastosowaniu próbkowania pseudolosowego. Badania charakterystyk innych urządzeń pomiarowych tą metodą przedstawione są w rozdziale 5.. 3.4. Generatory Liczb losowych. Generatory liczb losowych są procedurami zrealizowanymi jako programy lub urządzenia elektroniczne w których zwracany jest ciąg losowych liczb. Jedną z możliwych klasyfikacji generatorów, jest klasyfikacja poprzez sposób generacji. Generatory dzielą się na generatory fizyczne i generatory programowe. Generatory fizyczne opierają się na naturalnych zjawiskach, które można w pewnych warunkach uznać za losowe. Generatory programowe opierają swoje działanie o teorię liczb. Można także wydzielić grupę której działanie łączy ciągi liczb wygenerowanych fizycznie z późniejszym przetworzeniem ich przez generator programowy. 3.4.1 Generatory fizyczne Generatory fizyczne działają w oparciu o rzeczywiste procesy stochastyczne. Przykładem tutaj może być ruletka, kostki do gry, szum złącza P-N półprzewodnika, lub też ilość cząstek wypromieniowanych przez izotop promieniotwórczy. Trudno wykorzystać monetę jako generator działający w rzeczywistym urządzeniu. Możliwe jest stosowanie wprost zjawisk fizycznych do generowania liczb losowych, tak jak ma to miejsce podczas korzystania z szumu półprzewodnikowego czy też metod radiowych lub neonówek. Niestety, generatory.

(34) Próbkowanie losowe. S t r o n a | 34. te bardzo silnie zależą od czynników środowiskowych, są też mało stabilne. Wykorzystanie ich wymaga użycia procedur weryfikacyjnych, komplikujących ich użycie, oraz dostosowanie ich działania do warunków panujących w miejscu użytkowania urządzenia. Trudno również wykryć uszkodzenie lub nieprawidłową pracę generatora. W czasach gdy duża moc obliczeniowa nie była szeroko dostępna były używane powszechnie, obecnie używa się ich tylko w szczególnych zastosowaniach. 3.4.2 Generator pseudolosowy oparty o generator fizyczny Możliwe jest wykorzystanie generatora fizycznego nie wprost. Seria liczb losowych wygenerowanych przez generator jest jednokrotnie zapisywana w pamięci docelowego urządzenia – generatora pseudolosowego. Jego działanie sprowadza się tylko do odczytania ze swojej pamięci kolejnej liczby losowej i przesłania jej dalej, tak jakby była w tym momencie losowana. Często, aby wyeliminować powtarzalność liczb przy starcie generatora pseudolosowego, wprowadza się procedury inicjujące. Przykładem może być wybór indeksu startowej komórki pamięci uzależniony od bieżącego czasu uruchomienia urządzenia. Wadą takiego rozwiązania jest duża ilość pamięci konieczna do przechowywania dostatecznie długiego ciągu liczb losowych. Zaletą jest to, że ciąg liczb losowych można bardzo dokładnie sprawdzić statystycznie. Obliczeniowo jest to rozwiązanie korzystne, ponieważ czas „generowania” liczby jest tak szybki, jak dostęp do komórki pamięci. Rozwiązanie takie często jest wykorzystywane wspólnie z przekształceniami numerycznymi ciągu. Ograniczają pamięć potrzebną do przechowywania ciągu, kosztem mocy obliczeniowej potrzebnej do ich zrealizowania. Najczęściej stosowane jest zwielokrotnianie długości ciągu z połączenia dwóch ciągów losowych: Niech pierwszy z nich będzie złożony z n1, a drugi z n2 liczb losowych. Konstruujemy teraz ciąg, cyklicznie powtarzając n1 wyrazów pierwszego ciągu. Podobnie postępujemy z drugim. Suma modulo obu tych ciągów daje właściwy ciąg. Jeśli żaden z początkowych ciągów nie jest ciągiem okresowym oraz n1 i n2 są względnie pierwsze to ciąg utworzony z sumy modulo możemy traktować jako n1*n2 elementowy ciąg liczb losowych. Przykładowo: Ciąg a1 = {7,2,2}; a2 = {4,6,4,0,5} a1 7 2 2 7 2 2 7 2 2 7 2 2 7 2 2 7 2 a2 4 6 4 0 5 4 6 4 0 5 4 6 4 0 5 4 6 b=(a1+a2)mod10 1 8 6 7 7 6 3 6 2 2 6 8 1 2 7 1 8 Ciąg a1 jest 3 elementowy ciąg, a2 jest 5 elementowy. Wynikowy ciąg b ma długość 3*5 elementów. Ilość ciągów można zwiększać [47]..

(35) S t r o n a | 35. Próbkowanie losowe. 3.4.3 Generatory programowe Najczęściej wykorzystywanymi generatorami losowymi są generatory oparte na teorii liczb. Odpowiednie manipulacje: mnożenie, dzielenie modulo mogą utworzyć ciągi liczb które dobrze spełniają właściwości statystyczne. Nie są one jednak w pełni losowe, stąd nazywane są generatorami pseudolosowymi. Wykorzystywane są często, ze względu na swoją stabilność i możliwość precyzyjnego określenia właściwości statystycznych. Najczęściej spotykanym rozkładem generowanych liczb losowych jest rozkład równomierny.. 3.4.3.1 Generatory oparte o liczby niewymierne. Pierwszą możliwością jest wykorzystanie własności liczb niewymiernych. Jako kolejną zwracaną przez generator liczbę przyjmuje się kolejną cyfrę rozwinięcia dziesiętnego liczby niewymiernej. Przykładowo: π ≈ 3,14159265358979323846264 a1. 3 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9 3 2. Ciąg oparty na liczbach niewymiernych dobrze spełnia właściwości statystyczne. Natomiast jest bardzo trudny do zastosowania w rzeczywistym urządzeniu. Aby otrzymać kolejną cyfrę rozwinięcia dziesiętnego liczby konieczne jest dzielenie, które wymaga wszystkich poprzednich liczb zawartych w rozwinięciu dziesiętnym. Złożoność pamięciowa takiego algorytmu jest zbyt wysoka, zwłaszcza że istnieją rozwiązania szybsze i skuteczniejsze od wyżej wymienionego. W praktyce są niewykorzystywane [47]. 3.4.3.2 Generatory kwadratowe von Neumana Historycznie pierwszym generatorem jest generator kwadratowy zaproponowany przez von Neumana w 1949 roku. Używano go między innymi na komputerze ENIAC [47]. Opierał się na następującym wzorze: (34). Gdzie xn jest kolejną liczbą losowaną przez generator, M jest systemem w którym zapisywana jest liczba, natomiast m jest ilością cyfr generowanej liczby. oznacza funkcję podłoga czyli część całkowitą liczby[47],[48] Opisowo można przedstawić algorytm w postaci: liczbę m cyfrową podnosimy do kwadratu a następnie usuwamy m/2 pierwszych cyfr z początku liczby oraz z jej końca otrzymując kolejną liczbę m cyfrową..

(36) S t r o n a | 36. Próbkowanie losowe. Przykład: X0 = 1761. (X0)2 = 03101121. X0 = 187623. (X0)2 = 035202390129X1 = 035202390129 = 202390. X1 = 03101121 = 1011. Generator ten posiada bardzo dobre własności statystyczne. Generator dla liczb binarnych o 6 cyfrach (dziesiętnie od 0 – 63) można opisać za pomocą wzoru: (35). Wszystkie możliwości generacji liczb przedstawione są na Rys. 3-6. 59. 27. 7. 6. 4. 51. 37. 13. 19. 57. 5. 43. 21. 45. 22. 3. 39. 55. 61. 60. 1. 62. 58. 36. 17. 2. 0. 32. 16. 34. 28. 15. 63. 48. 30. 42. 46. 47. 23. 9. 10. 12. 33. 36. 52. 18. 40. 8. 56. 50. 20. 41. 24. 31. 44. 54. 29. 14. 53. 49. 11. 26. 25 35. Rys. 3-6 Możliwe kombinacje liczb z generatora von Neumana[49]. Gdy liczbą inicjującą będzie liczba 59 otrzymamy ciąg liczb 59,51,5,3,1,0,0,0…. Z rysunku wynika że ciągi są bardzo krótkie. Kolejnym problemem, przy generatorze von Neumanna, jest zależność długości losowego ciągu od liczby inicjującej. Jak wynika z rysunku np. dla liczby 27 długość losowego ciągu wynosi 1 (cały czas ta sama liczba), natomiast dla liczby 19 maksymalny ciąg wynosi 10 (19,45,61,17,36,28,34,16,32,0,0…). Aby uniknąć powtarzających się serii liczb przy każdym uruchomieniu generatora, konieczne jest inicjalizowanie go różną liczbą przy każdym starcie. W przypadku generatora von Neumana prowadzi to do różnych długości ciągu. Jest to czynnik praktycznie dyskwalifikujący go jako generator. Istnieją rozwiązania omijające ten problem, tj pamiętające wszystkie liczby do jest pory wygenerowane, jednak zwiększa to znacząco objętość pamięciową programu. Pomimo że sam generator von Neumana jest praktycznie niewykorzystywany, to wywodzi się z niego sporo generatorów opartych na podobnej zasadzie [49]..

(37) Próbkowanie losowe. S t r o n a | 37. 3.4.3.3 Generatory liniowe Generatory liniowe działają w oparciu o ogólny wzór (36). są liczbami całkowitymi stanowiącymi parametry generatora, c jest wyrazem wolnym. Generator oparty o wzór(35) z niezerowym c jest znany w literaturze pod nazwą ogólny generator liniowy.. 3.4.3.4. Generator multiplikatywny (37). Generator ten jest generatorem okresowym. W przypadku generowania mniejszej ilości liczb niż wynosi jego okres oraz przy odpowiednim doborze parametrów, generator ten można traktować jako wystarczająco losowy. Okresowość tego generatora jest pożądana. Uniezależnia ona długość generowanego ciągu od liczby inicjującej, jak to miało miejsce w przypadku generatora von Neumana. Tylko niektóre wartości parametrów mogą służyć do generacji liczb pseudolosowych. Przykładowo generator o i był używany jako standardowa procedura RAND na komputerach IBM360/370 [49]. Oczywistym jest, że generator powinien pracować zawsze w części aperiodycznej generowanego ciągu. Rozważając generator liczb binarnych (m = 2M ) można wykazać [3], że maksymalny okres generatora jaki można uzyskać wynosi 2M-2 . Warunkiem uzyskania takiego okresu jest nieparzystość liczby inicjującej x0 oraz spełnienie przez warunku: lub . Wybór modułu Moduł określa górne ograniczenie wartości liczb, które będą generowane. Jeżeli nie zachodzi taka potrzeba to nie należy sztucznie ograniczać tego zakresu. W urządzeniach elektronicznych mamy przeważnie do czynienia z liczbami zapisanymi w pamięci w systemie dwójkowym od 8 bitowych dla małych mikrokontrolerów po 64 bitowe dla komputerów. Przyjęto że jest największą możliwą do zapisania liczbą w danym układzie (dla 8 bitowego mikrokontrolera = 256). Najprostszą do zaimplementowania możliwością jest przyjęcie za moduł . W takim przypadku operacja modulo wykonana zostanie, gdy zignorujemy bit przeniesienia liczby przy operacji mnożenia. Okazuje się jednak, że obserwując zachowanie się poszczególnych bitów, można zauważyć, że najmniej znaczące bity są dużo mniej losowe niż te bardziej znaczące. Aby poprawić.

(38) S t r o n a | 38. Próbkowanie losowe. właściwości statystyczne tego generatora, można jako moduł przyjąć wartość . Rozważając ograniczamy zakres generowanych liczb o jedna liczbę. W przypadku generator może zwrócić liczbę , której nie można zapisać w założonym układzie liczbowym. Jednym z możliwych rozwiązań jest jej odrzucenie i powtórna generacja. Otrzymujemy, tak jak w pierwotnym algorytmie liczby z zakresu . Dużo lepsze wyniki, pod względem statystycznym, otrzymać można przyjmując za moduł liczbę pierwszą. Najlepszym wyborem jest największa liczba pierwsza mniejsza od liczby . Wadą takiego rozwiązania jest znaczący wzrost złożoności obliczeniowej takiego algorytmu [50]. Wybór mnożnika Wybór mnożnika przy ustalonym module determinuje długość niepowtarzającego się ciągu liczb losowych. W przypadku generatora multiplikatywnego, nie jest możliwy taki dobór mnożnika, żeby wszystkie liczby z zakresu ograniczonego przez moduł występowały w ciągu generowanych liczb. Maksymalny możliwy okres aperiodyczny dla generatora multiplikatywnego gdy będą zachodzić następujące warunki:  . wystąpi. jest względnie pierwsze z jest elementem pierwotnym modulo. Elementem pierwotnym modulo nazywamy każdą wartość o największym możliwym rzędzie modulo m. Z kolei rząd modulo m jest najmniejszą liczbą całkowitą , dla której , gdzie jest względnie pierwsze z . Długość maksymalnego okresu. G o ow ż og generowanego. Mimo tego, j [50].. przy tych założeniach wynosi:. c o. w go c o c go ok go jc ę c j tosowanym w praktyce generatorem.

(39) S t r o n a | 39. Próbkowanie losowe. 3.4.3.5. Generator mieszany. (38). Generator mieszany jest generatorem okresowym. Można uzyskać, w przeciwieństwie do generatora multiplikatywnego, okres generacji równy m. Warunki aby generator tak pracował są następujące:   . b musi być liczbą pierwszą względem m dla każdego czynnika pierwszego p liczby m jeżeli 4 jest dzielnikiem liczby m. Okazuje się, że generatory mieszane, mimo potencjalnie dłuższych okresów generowanych liczb, mają gorsze własności statystyczne od generatorów multiplikatywnych. Istnieje implementacja generatora, przy odpowiednim doborze współczynnika , w której nie występuje mnożenie a przesunięcie bitowe. Niestety ten generator mimo niewielkiej koniecznej mocy obliczeniowej jest pod względem statystycznym jedną z gorszych możliwości generowania liczb pseudolosowych[48]. 3.4.3.6 Generatory addytywne Najprostszym, historycznie pierwszym Fibonacciego, opisany wzorem. generatorem. addytywnym. jest. generator. (39). Ogólnie generatory addytywne opisane są wzorem (40). Ciągi generowanych liczb mają rozkłady dobrze równomierne, niestety nie spełniają testów niezależności oraz serii. Istnieją modyfikacje tego algorytmu, które są pozbawione tej wady:. (41). Niestety przy tej modyfikacji dużo lepsze pod względem złożoności obliczeniowej są generatory multiplikatywne[49][50]..

(40) S t r o n a | 40. Próbkowanie losowe. 3.4.4 Inne metody Powszechnie wykorzystywane są metody łączenia generatorów losowych ze sobą. W większości wypadków dają one gorsze rezultaty niż w przypadku zastosowania dobrego generatora pojedynczego [50]. Istnieją rozwiązania które w szczególnych przypadkach są jednak lepsze [48]. Poza wymienionymi metodami stosuję się metody tasowania wcześniej wylosowanych liczb. Koniecznym jest jednak sprawdzenie czy działanie konkretnej metody tasującej nie spowoduje pogorszenia właściwości statystycznych końcowego ciągu.. 3.4.5 Najpopularniejsze generatory Przykładowe, znane w literaturze generatory liczb losowych, multiplikatywne oraz mieszane, o dobrych właściwościach statystycznych przedstawiono w Tab. 3-1. Wszystkie prezentowane w tabeli generatory osiągają swoje maksymalne okresy. a 69069 16807 630360016 397204094 40692 1099087573 68909602460261. c 0 1 0 0 0 0 0 0. m. Źródło [49] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [56]. Tab. 3-1 Najpopularniejsze multiplikatywne i mieszane generatory liczb losowych. Dobre właściwości statystyczne osiągają również poniższe generatory addytywne [57].. (42). (43). (44). (45).

(41) Próbkowanie losowe. S t r o n a | 41. W standardowych bibliotekach wielu środowisk programistycznych zaimplementowane są procedury generatorów losowych. Najczęściej są to generatory multiplikatywne. Takie generatory zaimplementowane są np. w środowiskach wykorzystujących język C [50] oraz w LabVIEW. W przypadku środowiska LabVIEW zastosowany generator ma okres 6.95 * 10^12 [58] [59]. Jednym z popularniejszych obecnie generatorów jest generator Mersenne-Twister. Jest to generator oparty o bardziej skomplikowaną zależność niż w przypadku generatorów multiplikatywnych [60][61]. Jest on stosowany np. w środowisku Matlab [62]. Wykazano, że można uzyskać generator multiplikatywny, o porównywalnych właściwościach statystycznych oraz mniejszej złożoności obliczeniowej [63]..

(42) Badania modelowe. S t r o n a | 42. Rozdział 4 Badania modelowe 4.1. Wstęp. Na potrzeby weryfikacji zaproponowanej metody wyznaczenia wartości skutecznej przeprowadzone zostały badania symulacyjne. Pozwoliły one zbadać wpływ poszczególnych parametrów metody na dokładność pomiaru, przy wyeliminowaniu czynników niezależnych, występujących w badaniach rzeczywistych. Zakresy zmienności tych parametrów zostały dobrane z uwzględnieniem późniejszej możliwości ich realizacji fizycznej na układach elektronicznych. Przeprowadzono badania wpływu parametrów metody takich jak:   . LAP MaxCPP RLos. Metodyka przeprowadzenia eksperymentów opierała się na modyfikacji wybranego parametru metody przy ustalonych wartościach pozostałych parametrach. Dla zadanego przebiegu wejściowego, o znanych parametrach, obliczano jego wartość skuteczną uzyskaną za pomocą metody próbkowania pseudolosowego a następnie porównywano wynik z wartością rzeczywistą. Badania zostały przeprowadzone z wykorzystaniem środowiska Matlab firmy Mathworks.. 4.2. Zastosowane sygnały testowe. Do przeprowadzenia symulacji zastosowano kilka testowych sygnałów.    . Sygnał sinusoidalny - SSin Sygnał trójkątny - STroj Sygnał sinusoidalny razem z 3 harmoniczą S3Sin0 Sygnał sinusoidalny razem z 3 harmoniczą z przesuniętą fazą S3SinP.

(43) S t r o n a | 43. Badania modelowe.  . Sygnał sinusoidalny razem z szumem SSinSz Sygnał sinusoidalny próbkowany o niewymiernej częstotliwości SSinN. Pierwszym sygnałem testowym jest sygnał sinusoidalny o amplitudzie równej 1 oraz składowej stałej również równej 1. Sygnał sinusoidalny jest najprostszym sygnałem, który dobrze nadaje się do analiz częstotliwościowych. Duża grupa przetworników analogowocyfrowych nie może pracować w trybie różnicowym. Cały sygnał musi być większy od zera. Dodana składowa stała umożliwia późniejsze porównanie wyników pochodzących z symulacji z wynikami eksperymentów na sygnałach rzeczywistych. Drugim sygnałem jest sygnał trójkątny przedstawiony na Rys. 4-1. Sygnał ten wykorzystany został do badań nad możliwością estymacji wartości skutecznej sygnału poliharmonicznego.. Rys. 4-1 Sygnał trójkątny. Zastosowanie sygnału trójkątnego podyktowane było jego bogatym widmem częstotliwościowym. Najbogatsze widmo z popularnych sygnałów testowych ma sygnał prostokątny. Nie został on jednak zastosowany ze względu na to, że posiada praktycznie tylko dwie wartości. Zachodziło podejrzenie uzyskania fałszywie poprawnych wyników. Trzecim i czwartym sygnałem testowym jest sygnał sinusoidalny razem z jego trzecią harmoniczną z dwiema różnymi wartościami przesunięcia fazowego względem harmonicznej podstawowej (46,47) (46). (47).