dowolnej ilości punktów tej prostej.
Prosta a i promień b (rys. 24), rzucający dowolny jej punkt B na płaszczyznę n, w yznaczają (ust. 4) płaszczyznę y,
która przecina płaszczyznę jt w pro
stej a'. Ponieważ na płaszczyźnie tej, którą nazyw am y płaszczyzną r z u c a j ą c ą , leżą wszystkie promienie, rzuca
jące punkty prostej a, więc prosta a' jest miejscem geom etrycznem rzutów w szystkich punktów prostej a, jest tedy rzutem prostej a. Widoczne stąd, że r z u t l i nj i p r o s t e j j e s t w o g ó l n o ś c i p ro s tą . P r o s t ą w y z n a c z a j ą d w a p u n k t y ; znajom ość więc rzutów dwóch punktów i ich cech, określa jednoznacznie po
16 § 1. ZR SR D Y RZUTÓW CECHOWANYCH
łożenie prostej w przestrzeni, w odniesieniu do danej rzutni.
Jeżeli np. płaszczyznę tej kartki uważam y za rzutnię, to w od
niesieniu do niej, określone jest jednoznacznie położenie pro
stej a, której rzuty cechowane dwóch punktów, a mianowicie A i B są dane, j e ś l i p r z y t e m p o d a n a j e s t j e d n o s t k a m i a r y , w k t ó r e j c e c h y t y c h p u n k t ó w w y r a ż a m y . N apis „J—l cmu na rys. 25 oznacza, że przyjętą dla tego ry
sunku jednostką długości jest centym etr_
12. P o d zia łk a ry su n k u . Odcinek A' B ' w rys. 25, wyraża prawdziwą odległość rzutów punktów A i B; rysunek wyko
nany jest w p o d z i a ł c e (wielkości) n a t u r a l n e j , co zazna
czam y na rysunku literami n. w. Jeżeli jednak jednostka dłu
gości, w stosunku do płaszczyzny rysunku, jest za wielka, to wówczas rysunek wykonać m usim y — w stosunku do
prawdzi-Rys. 25
i os o 2m
=J
Rys. 27
wych wymiarów — w pewnem p o m n i e j s z e n i u , w pewnej p o d z i a ł c e p o m n i e j s z o n e j . W tym wypadku, obok je
dnostki długości np.: „J—l m “ (rys. 26) podać m usim y na ry sunku stosunek jego wymiarów do wymiarów naturalnych, czyli
„ p o d z i a ł k ę “. Napis „ P o d z i a ł k a 1 : 100“ (rys. 26) rozumieć należy w ten sposób, że 1 cm na rysunku oznacza 100 cm w rzeczywistości, że w celu otrzym ania n a t u r a l n e j , p r a w d z i w e j , długości odcinka A 'B ', należy odcinek A !B ' = 1.55cm powiększyć sto razy.
Notowanie na rysunku rodzaju przyjętej jednostki długo
ści i stosunku pomniejszenia, względnie powiększenia, zastępu
jem y zazwyczaj umieszczeniem na tym że rysunku pojedynczej lub podwójnej linji prostej, na której odm ierzam y pewną ilość w żądanym stosunku p o m n i e j s z o n y c h lub p o w i ę k s z o n y c h jednostek długości, pisząc obok ostatniej m i a n o je
dnostki naturalnej.
W r y s u n k u 27 jednostkę długości m e t r , w yraziliśm y również centym etrem ; stosunek więc wymiarów rysunku do
13. KŁHD PR O STEJ 17 bedące wierzchołkami trapezu, którego / A" 0> ^ trzy boki i dwa kąty są znane. Bokami
Jeśli rysunek wykonany jest w podziałce pom niejszającej, to długość odcinka A B równa jest ilorazowi z długości jego kładu A°B° i wykładnika stosunku pomniejszenia.
14. K ąt n a ch y len ia p ro ste j do p ła sz c z y z n y rzu tó w . S iad
18 § I . ZASADY RZUTÓW CECHOWANYCH
dąca k ł a d e m prostej b, z prostą b', równy jest kątowi 9, bez względu na podziałkę, w jakiej wyko
nany jest rysunek. W istocie bowiem, gdy podziałka rysunku wynosi np. 1: n, to boki A B° Hb B ' są proporcjonalne do • boków trójkąta wyrażonego rysu n kiem ; oba trójkąty są więc podobne, a zatem kąty ich są równe.
Poprowadźmy przez punkt A° pro
stą b równoległą do b', to kąt 9 t°, jaki tworzą proste b° i b ^ , równy jest oczywiście kątowi 90, a więc i kątowi 9, jaki prosta b zawiera z płaszczyzną poziomą. Prostą b ^ po
służym y się w wypadku, gdy punkt Hb przecięcia się pro
stych b' i b'\ nie leży w obrębie rysunku. .
Punkt Hb, którego wysokość (cecha) równą jest zeru, jest punktem przebicia się prostej b z płaszczyzną rzutów, a więc elementem wspólnym prostej b i rzutni i nazywa się ś l a d e m p o z i o m y m tej prostej. _ _____
Oznaczm y odcinek A 'B ' = .A0. ^ 0 literą d, zaś różnicę wysokości punktów A i B równą odcinkowi B ° B j® literą A, to stosunek:
Rys. 29
d = tg 9 = I
nazyw am y n a c h y l e n i e m prostej b.
Jeżeli cechy dwóch punktów, w yznaczających prostą, są równe, to cechy każdego dowolnego punktu tej prostej są równe, a prosta jest r ó w n o l e g ł ą do płaszczyzny rzutów.
15. P od ział o d cin k a Obierzmy na danej prostej, w yzna
czonej punktami A (A', a) i B (B ', b) punkt C, którego cecha wynosiłaby c jednostek długości, w podziałce rysunku. W tym celu (rys. 30) wykonamy klad A°B° odcinka A B , a następnie odm ierzym y od punktu B', w podziałce rysunku, odcinek B 'Ń = c.
Prosta wykreślona z punktu N, równolegle do p ', przecina pro
stą p° w punkcie C°; prostopadła z C° do p ' przecina tę osta
tnią w punkcie "C, który jest szukanym rzutem punktu C o cesze c. Na rysunku 30, wykonanym w podziałce 1 : 100, przy przyjętej jednostce m iary równej 1 m, (1 cm na rysunku wyraża 1 m w rzeczywistości) obrano : a = 0-8 m, b — 2'3 m, c = 1'65 m.
16. PŁASZCZYZNY RÓWNOLEGŁE 19
Ponieważ A ^ C " : C°B° — A 'C ': C'B', więc punkt C' dzieli odcinek A 'B ' w tym sam ym stosunku, w jakim punkt C dzieli odcinek A 0~B°, R ponieważ odcinek A ^ B 0, jako kład odcinka A B leżącego w przestrzeni, w yraża jego prawdziwą długość i poło
żenie względem swego rzutu, w ięc: s t o s u n e k p o d z i a ł u o d c i n k a w p r z e -
s t r z e n i n i e z m i e n i a s i ę w s k u t e k c, ° ! j v r z u t u t e g o o d c i n k a .
Innemi słow y: p o d z i e l i w s z y . ^ / f “ o d c i n e k w p r z e s t r z e n i w p e w - j
n y m s t o s u n k u , a w i ę c t a k ż e n a _ J _______
p e w n ą i l o ś ć c z ę ś c i i r z u c i w s z y A',a> p ' G'lc- Btb>
p u n k t y p o d z i a ł u n a r z u t t e g o i 0-5 o 1 zm o d c i n k a , p o d z i e l i m y t e n r z u t T"r4 ' ' 1 w t y m s a m y m s t o s u n k u , w z g l ę - Rys- 30 d n i e n a t ę s a m ą i l o ś ć c z ę ś c i .
W szczególności, punktowi połowiącemu odcinek w przestrzeni, odpowiada punkt środkowy rzutu odcinka, jako rzut tego punktu połowiącego.
I w zajem nie: Z proporcji A°C° : C°B° = A ' C : C 'B ' wynika, że p u n k t y d z i e l ą c e w p e w n y m s t o s u n k u , albo na pewną ilość części, r z u t o d c i n k a , s ą r z u t a m i p u n k t ó w , d z i e l ą c y c h w t y m s a m y m s t o s u n k u , wzglę
dnie na tę sam ą ilość części, o d c i n e k w p r z e s t r z e n i .
16. P ła sz c z y z n y ró w n o le g łe i k ła d p ro s ty c h n a nie.
Płaszczyzny równoległe do rzutni poziomej nazyw am y p ł a s z c z y z n a m i w a r s t w o w e m i albo p o z i o m e m i. Przez w y s o k o ś ć płaszczyzny poziomej rozum iem y oddalenie jej od płasz
czyzny rzutów, którą w odniesieniu do pierw szych nazyw am y płaszczyzną p o r ó w n a w c z ą . Płaszczyzny warstwowe, których wysokości są liczbami całemi, nazyw am y g ł ó w n e m i, inne p o ś r e d n i e m i .
Jeżeli cechy końcowych punktów odcinka są duże, to w ykonanie jego kładu, ze względu na ograniczoną płaszczyznę rysunku, natrafia na trudności, albo też jest naw et niewyko
nalne. W tych wypadkach kład odcinka w ykonujem y na płasz
czyznę warstwową, przechodzącą przez jeden z punktów koń
cowych, zazwyczaj przez punkt o cesze mniejszej.
Rys. 31 podaje konstrukcję kładu prostej [A (A ', a = 18), B ( B r, b = 19.8)] na płaszczyznę warstwową, przechodzącą przez
2*
20 § 1. ZASADY RZUTÓW CECHOWANYCH prostej, danej cechowanemi rzutami dwóch punktów A (A', a) i B (B', b), sprowadza się do znalezienia punktu C', dzielącego odcinek A' B ' w sto całemi, to zestopniowanie prostej wykonać można zapomocą
17. STO PN IO W A NIE I M ODUŁ PRO STEJ 21
podziałki milimetrowej, dzieląc dany odcinek na części, których ilość rów na się różnicy cech.
Odległość rzutów poziomych dwóch punktów prostej, któ
rych różnica wysokości, a więc i różnica cech, równa jest jednostce, stanowi j e d n o s t k ę podziałki nachylenia i nazywa się m o d u ł e m (p) prostej. Mo przyjętej miary; to według określenia powyżej podanego, d stanie się modułem p prostej, czyli:
2 2 § 1. ZASADY RZUTÓW CECHOWANYCH
Położenie prostej w przestrzeni, w odniesieniu do płasz
czyzny rzutów, jest w zupełności wyznaczone, gdy prócz jej rzutu i cechy jednego jej punktu, znany jest jej moduł i w skazany (strzałką) k i e r u n e k jej nachylenia, przez który rozum iem y kierunek następstwa punktów prostej, o cechach m alejących.
W dalszym ciągu wyznaczać będziemy prostą przeważnie jej p o d z i a ł k ą n a c h y l e n i a , czyli jej zestopniowanym rz u tem. Liczby podziałki nachylenia nazywam y w s k a ź n i k a m i tejże podziałki.
18. D w ie proste przecinające się. Przez każdy punkt P prostej a, wyznaczonej np. podziałką nachylenia o module p.u przechodzi dowolna ilość prostych, które prostą a p r z e c i n a j ą w punkcie P. A by określić położenie jednej z nich, np. b (rys. 35), m usim y dowolnie przyjętym modułem p.2 zestopnio- wać prostą b', przeprowadzoną dowolnie przez punkt P (8),
Podziałką 1:100.
Rys. 35 Rys, 36
który jest punktem wspólnym prostych a i b. Proste, łączące jednakowe wskaźniki prostych a' i b', są do siebie równoległe i odwrotnie: jeżeli p r o s t e , ł ą c z ą c e r ó w n o w a r t o ś c i o w e w s k a ź n i k i r z u t ó w d w ó c h p r o s t y c h , t w o r z ą p ę k r ó w n o l e g ł y — t o r z u t y o w e w y r a ż a j ą d w i e p r o s t e p r z e c i n a j ą c e s i ę .
19. D w ie proste skośne. Jeżeli punkt przecięcia się M rzutów a’ i b' dwóch prostych, uważany za rzut punktu prostej b, m a inną cechę, aniżeli uw ażany za rzut punktu prostej a, to pro
ste a i b nie posiadają punktu wspólnego, nie przecinają s ię ; ich wzajemne położenie określam y jako s k o ś n e lub w i c h r o w a t e . Przez k ą t n a c h y l e n i a d w ó c h p r o s t y c h s k o ś n y c h rozum iem y kąt, jaki otrzymamy, jeśli przez dowolny punkt
2?. WYZNACZENIE PŁASZCZYZN 23
P' w przestrzeni poprowadzimy proste równolegle do danych prostych skośnych.
20. D w ie p ro ste rów noległe. Rzuty prostych równoległych są prostemi równoległemi, o zgodnych kierunkach nachylenia i o równych modułach, gdyż proste równoległe nachylone są
21. Z adanie. Wyznaczyć rzut prostej q, równoległej do danej prostej p, a przechodzącej przez dany punkt P ( P / 9'4) (rys. 37). w przestrzeni, w odniesieniu do płaszczyzny rzutów, wyznacza
jego rzut cechowany, a więc również p u n k t opatrzony cechą.
Względne położenie p r o s t e j w przestrzeni w yznacza jej zesto- pniowany rzut, czyli również p r o s t a . Położenie trzeciego za
sadniczego elementu geometrji t. j. płaszczyzny, wyznaczone jest położeniem dwóch prostych przecinających się, lub równole
głych, prostej i punktu, względnie trzech dowolnych punktów.
Mówimy, że dwie proste przecinające się, dwie proste równoległe, względnie trzy dowolne punkty w y z n a c z a j ą płaszczyznę, w tern rozum ieniu tego w yrażenia, że:
1) istnieje jedna jedyna płaszczyzna, przechodząca równo
cześnie przez obie proste, względnie przez trzy punkty, że:
2) znając położenie dwóch prostych przecinających się, lub równoległych, względnie trzech punktów, znam y położenie płaszczyzny elementami temi wyznaczonej i że:
i ,
2 4 , § 1. ZASADY RZUTÓW CECHOWANYCH
3) znajom ość położenia dwóch prostych przecinających się, lub równoległych, względnie trzech punktów, dozwala na wyznaczenie położeń każdej dowolnej ilości punktów i prostych płaszczyzny, elementami owemi określonej.
Ponieważ prostą wyznaczają dwa jej punkty, więc g d y d w a p u n k t y p r o s t e j l e ż ą n a p ł a s z c z y ź n i e , t o p r o s t a — a więc zbiór wszystkich jej punktów, l e ż y n a p ł a s z c z y ź n i e .
Proste a' i b' (rys. 38) są rzutami dwóch prostych przeci
nających się, wyznaczają więc po
łożenie pewnej płaszczyzny, którą oznaczmy literą e.
Połączmy wskaźnik 2 prostej a! ze wskaźnikiem 1 prostej b', to otrzym ana prosta m' jest rzutem prostej m, przecinającej zarówno prostą a, jak i b, a więc leżącej na płaszczyźnie e, wyznaczonej prostemi a i b.
Na szczególną uwagę zasłu gują proste, leżące na płaszczyźnie a równoległe do rzutni. Rzuty Oe,
Rys. 38 h , 2 e, 3e , .. . tych prostych otrzy
mamy, łącząc punkty o jednako
wych cechach prostych a' i b'. 'Proste te, leżące na płaszczy
źnie s, a równoległe do płaszczyzny poziomej, są linjami łączą- cemi punkty przebicia się prostych a i b z głównemi płaszczy
znam i warstwowemi, a więc także linjami przecięcia się tych płaszczyzn z płaszczyzną s. Proste Oe, h , 2 e. . . nazywam y l i n j a m i w a r s t w o w e m i albo linjami poziomu, r z u t y zaś tych linij w a r s t w i c a m i płaszczyzny s.
Linja warstwowa Oe = hs leży na rzutni poziomej (płasz
czyźnie porównawczej), jest prostą przecięcia się płaszczyzny e z tą rzutnią i nazywa się ś l a d e m p o z i o m y m płaszczy
zny e. Ślad poziomy płaszczyzn oznaczać będziemy stale literą h.
Płaszczyzna prostopadła do rzutni, czyli t. zw. płaszczyzna rzucająca (ustęp 11), wyznaczona będzie swoim śladem pozio
mym, z którym schodzą się rzuty wszystkich punktów i prostych,
J alm
Podziałka 1:75.
23. PROSTA PR O STO PA D ŁA DO PŁASZCZYZNY 25
leżących na tej płaszczyźnie, która tym sposobem r z u c a je w swój ślad.
23. P ro sta p ro sto p a d ła do p ła szc zy zn y . Przyjm ijm y na płaszczyźnie jt (rys. 39) trzy proste a, b, c, przechodzące przez punkt M, w którym to punkcie wyprowadźmy prostą p prostopadłą zarówno do pro
stej a, jak i b. Niechaj do
wolnie na płaszczyźnie jt przyjęta prosta q, przecina proste a, b i c w punktach A, B i C. Obierzm y na
stępnie na prostej p punkty P i i P 2, przycezm niech P x M = P 2 M i połączmy je
z punktami A, B i C. Z ry- Rys- 39 sunku 39 czytam y:
A A M P l ~ A Ą M P , i A B M P ^ A B M P2
więc P 1 A —P 2 A, P t B —P 2 B jako odpowiednie boki w trój
kątach przystających. N astępnie m am y:
A A B P x ^ A A B P2 więc
■$-P1 A P = - £ P2 A B jako odpowiednie kąty w trójkątach przy
stających. Z kolei otrzym ujem y:
A A C P , ^ .A A C P 2, a więc P x C = P 2 C.
R w reszcie:
' A M C P t ~ A M C P 2, zatem
•fc C M P X= ^ C M P 2, a ponieważ kąty te są kątami przyle- głemi, więc skoro oba są równe, to każdy z nich musi b y ć a kątem prostym czyli: p i c . Tym sposobem dowiedliśmy na
stępującego tw ierdzenia: Jeżeli prosta p, przechodząca przez punkt przecięcia się dwóch prostych, je st do nich prostopadłą, to wówczas je st prostopadłą do każdej prostej przechodzącej przez ten punkt, a leżącej na płaszczyźnie jt, wyznaczonej przez owe dwie proste. Mówimy, że prosta p jest p r o s t o p a d ł ą albo n o r m a l n ą do płaszczyzny Innem i słow y: gdy pro
sta jest norm alną do dwóch prostych w ich punkcie prze
cięcia się, to jest norm alną 3o płaszczyzny temi prostemi wy
znaczonej.
Przez dowolny punkt Aft płaszczyzny x (rys. 39) popro
wadzim y proste Cj // c i p L // p. Kąt, jaki zawierają proste
26 § 1. ZflSHDY RZUTÓW CECHOWANYCH
skośne p i c it równy kątowi jaki tworzą proste p i i c n jest kątem prostym (ust. 19), a ponieważ prosta p jest prostopadłą do każdej prostej, przechodzącej przez punkt M, a leżącej na płaszczyźnie jt, więc jest prostopadłą do każdej prostej płasz
czyzny jt. C zy li: gdy prosta jest prostopadłą do płaszczyzny, to je st prostopadłą do wszystkich prostych, leżących na tej płaszczyźnie.
24. R zut k ą ta prosteg o . T w i e r d z e n i e : Rzut kąta pro
stego na płaszczyzną jest kątem prostym, gdy jedno jego ramią jest równoległe do płaszczyzny rzutów.
Przyjm ijm y ramię a kąta prostego, jaki tworzą proste a i b, równolegle do płaszczyzny rzutów jt (rys. 40), to rzut a' jest równoległy do prostej a. Ponieważ promień rzucający p jest 1 do prostej a, a ta znowu 1 do prostej b, zatem prosta a jest ± równocześnie do prostych 40 b i p, a więc prostopadła do płasz
czyzny p, prostemi temi w yzna
czonej. U le z ustępu poprzedniego wiemy, że gdy prosta jest norm alną do płaszczyzny, to jest norm alną do każdej prostej, leżącej na tej płaszczyznę; prosta tedy a jest prostopadłą do prostej b', która leży na płaszczyźnie fi = (p, b) i jest rzutem pro
stej b na płaszczyznę ;r. Ponieważ wkońcu prosta a’ jest równo
ległą do prostej a, więc i a' jest i do b '— co było do wykazania.
25. L inja sp ad u p łaszczy zn y . Prosta U, leżąca na płasz
czyźnie e a pro
stopadła do jej linij warstwo
wych, nazywa się l i n j ą n a j - w i ę k s z e g o s p a d u , lub kró
cej 1 i n j ą s p a- d u tej
płaszczy-zn y (ry s.4 1 ).P o - Rys_ 4, meważ lin je war
stwowe są równoległe do płaszczyzny porównawczej, więc na podstawie ustępu poprzedniego r z u t / Y l i n j i n a j w i ę k s z e g o
26. Z H D H N I« 27
s p a d u / e j e s t p r o s t o p a d ł y d o w a r s t w i c p ł a s z c z y z n y (rys. 42). Kąt nachylenia 1 in j i s p a d u płaszczyzny s do płasz
czyzny rzutów nazyw am y kątem nachylenia płaszczyzny s do płaszczyzny rzutów.
Prosta U jest 1 do he, podobnie jak l'& i lu — a ponieważ h E jest prostą wspólną (przecięcia się) płaszczyzn e i n n — więc ogólnie powiedzieć m ożem y: p r z e z k ą t n a c h y l e n i a d w ó c h , p ł a s z c z y z n r o z u m i e m y k ą t , j a k i t w o r z ą d w i e p r o s t e t y c h p ł a s z c z y z n , p o p r o w a d z o n e w d o - w o l n y m p u n k c i e p r o s t o p a d l e d o w s p ó l n e j p r o s t e j o b u p ł a s z c z y z n .
Podziałkę nachylenia rzutu / ' e , linji spadu płaszczyzny s, nazyw am y p o d z i a ł k ą n a c h y l e n i a p ł a s z c z y z n y , mo
duł linji spadu płaszczyzny — modułem tej płaszczyzny. N aj
częściej w yznaczać będziemy położenie płaszczyzny jej po
działką nachylenia, którą rysujem y jako dwie blisko siebie leżące równoległe proste. W skaźniki podziałki są oczywiście liczbami całemi, a odcinek ograniczony dwiema liczbami po- rządkowemi' jest modułem p ła szc zy zn y ; odwrotną wartość mo
dułu nazyw am y n a c h y l e n i e m płaszczyzny. Im większy jest więc moduł, tem m niejsze nachylenie płaszczyzny, czyli tern m niejszą jest styczna trygonom etryczna kąta, jaki uważana płaszczyzna zam yka z płaszczyzną porównawczą (rzutów).
W dalszym ciągu wykładu używać będziemy zwrotów: dana jest linja spadu, w ykreślić linję spadu i t. p., rozum iejąc zawsze przez linję spadu jej rzut.
Płaszczyzna ± do rzutni wyznaczona jest swoim śladem poziomym t. j. prostą przecięcia się z rzutnią; położenie płasz
czyzny, równoległej do rzutni, wyznacza cecha jednego, do
wolnego, jej punktu.
26. Z a d a n ia : 1. Wykreślić po
działką nachylenia płaszczyzny e, wyznaczonej prostą a i punktem A (rys. 43).
N a prostej a szukam y punktu
M o cesze punktu A. Prosta A M — 1. P * jako równoległa do płaszczyzny po
równawczej i leżąca na płaszczy
źnie, której linji spadu szukam y, jest warstwicą tej płaszczyzny.
W ten sposób linja spadu i jej podziałka są wyznaczone.
28 § 1. ZASADY RZUTÓW CECHOWANYCH
2. Wyznaczyć płaszczyzną, przechodzącą przez prostą a, której podziałka nachylenia a' jest dana (rys. 44).
Przez prostą przechodzi dowolna ilość płaszczyzn; proste równoległe Oe, h , . . . , przechodzące przez wskaźniki podziałki nachylenia a', są warstwicami jednej z tych płaszczyzn. Rzu
tem linji spadu tej płaszczyzny jest prosta l'E prostopadła do tych warstwie. Punkty przecięcia się linij l'E z warstwicami są w skaźnikam i podziałki nachylenia płaszczyzny e.
Rys. 44 Rys. 45
3. Wyznaczyć podziałką nachylenia płaszczyzny e, wyzna
czonej trzema punktami A (A', 5), B (B', 9), C (C , 6) (rys. 45).
Z trzech prostych, wyznaczonych danemi punktami, weźmy pod uwagę dwie np. a = (A B) i b ~ ( B C), które przecinają się w punkcie B. Z estopniujm y'obie proste — to linje łączące równoliczbowe wskaźniki są warstwicami płaszczyzny e i wy
znaczają na prostopadłej l'E podziałkę nachylenia.
4. Wykreślić rzut pięciokąta płaskiego, leżącego dowolnie w przestrzeni.
Rozróżniamy wielokąty p ł a s k i e od p r z e s t r z e n n y c h , zwanych także s k o ś n e m i . Wielokąt, którego wszystkie wierzchołki, — a więc i boki, leżą na płaszczyźnie, nazywamy płaskim ; dowolna, ponad trzy, ilość punktów przestrzeni połą
czona prostemi daje wielokąt, którego nie można położyć na płaszczyźnie, który nazyw am y wielokątem s k o ś n y m .
Ponieważ trzy dowolne punkty w yznaczają płaszczyznę, więc trójkąt jest utworem płaskim.
Z pięciu wierzchołków żądanego wielokąta trzy, np.
A (A', 3), B ( B j 7) i C (C j 9) (rys. 46), przyjm iem y dowolnie, dwa dalsze t. j. D i E obrać m usim y na płaszczyźnie, wyzna
27. PRZEN IK H N IE SIĘ PŁRSZCZYZN 29
czonej trzem a pierwszemi. W tym celu zestopniujm y prostą A' B ' i dwa dowolne wskaźniki np. 5 i 6 połączmy prostemi p ' i q' z punktem C '. Proste p i q,
wyznaczone rzutam i p ' i q', leżą na płaszczyźnie trójkąta A B C , gdyż m ają z tą płaszczyzną po dwa punkty wspólne.
Zatem każde dwa punkty tych prostych, np. D (Dr 4) i E (E', 3), leżą na płaszczyźnie trójkąta i mo
gą być przyjęte za dalsze wierz
chołki pięciokąta płaskiego A B C D E,
27. P rzen ik a n ie się dw óch
p ła szc zy zn . Dwie płaszczyzny przenikają się w linji prostej, którą nazyw am y k r a w ę d z i ą tych płaszczyzn. Ponieważ prostą w yznaczają dwa jej punkty, a krawędź jest prostą le
żącą równocześnie na dwóch płaszczyznach — więc dwa punkty, leżące równocześnie na obu płaszczyznach, wyznaczają ich krawędź.
Dowolna płaszczyzna warstwowa przecina dwie płasz
czyzny a i p w dwóch warstwicach, których punkt przecięcia się leży równocześnie na obu płasz
czyznach, a więc jest punktem szu
kanej krawędzi.
Krawędź dwóch płaszczyzn określić więc można jako miejsce geom etryczne punktów przecięcia się linij warstwowych obu płasz
czyzn, leżących w tych sam ych wysokościach, a więc na wspól
nych płaszczyznach warstwowych J - i w (rys. 47). Punkt przecięcia się
śladów poziomych obu płaszczyzn Hys. 47 jest śladem poziomym Hk krawędzi,
której rzut oznaczyliśm y literą W.
P rz y k ła d y : 1. Obie płaszczyzny zamykają z poziomem jednakowe kąty. W tym przypadku rzut E krawędzi jest dwu
sieczną kąta, jaki tworzą warstwice danych płaszczyzn. W
isto-jD’(4) B ’<7)
Rys. 46
30 § 1. ZHSHDY RZUTÓW CECHOWANYCH
cie bowiem niechaj w rys. 48 e i 9 uzmysławiają nam dwie płaszczyzny, nachylone pod jednakowym kątem do płaszczy
zny rzutów jt, czyli ta
kie dwie płaszczyzny, których lin je spadu za
wierają z płaszczyzną n te same kąty a. Proste Ae i A<p są śladami po
ziomem i danych płasz
czyzn. Rzućmy punkt A, obrany na krawędzi k, na płaszczyznę n i otrzy-
Rys 48 m any punkt A' połączmy
z punktem //* , śladem poziomym krawędzi k. Prosta P = (A- Hk) jest rzutem pozio
m ym krawędzi k. Płaszczyzna, przechodząca przez prostą A A' i ± do As, przecina płaszczyznę e w linji spadu U, a płaszczy
znę n w prostej l'e, będącej rzutem prostej l e. Podobnie płasz
czyzna, przechodząca przez prostą A A' i 1 do A<P, wyznacza linję spadu Ap płaszczyzny <p i rzut l\p tejże linji. Weźmy pod uwagę trójkąty prostokątne A A' M i A A' N — to ponieważ bok A A ' jest wspólny, kąty - Ź A M A ' i A N A ',’ będące kątami nachylenia obu płaszczyzn s i 9, według założenia równe — więc oba uw ażane trójkąty są przystające. Wobec tego A' M —A' N, a ponieważ 1'ei Ae zaś l'<p _L Aq>, więc
punkt A' jest równo oddalony od śla
dów obu płaszczyzn, leży zatem na dwusiecznej kąta, jaki owe ślady ze sobą zawierają.
2. Podziałki nachylenia obu płasz
czyzn są równoległe (rys. 49). War- stwice obu danych płaszczyzn e i 9 , są wzajemnie równoległe. Ponieważ krawędź określiliśm y jako miejsce ge
ometryczne punktów przecięcia się warstwie dwóch płaszczyzn, więc wo
bec wzajemnej równoległości warstwie, Rys. 49
w yznaczają te ostatnie tylko jeden punkt w odległości nie- ograniczenie dalekiej, czyli kierunek krawędzi, równoległy do warstwie. Połączm y dwa punkty np. A / ( l ) i B ^ (2 ) prostej
28. PUNKT PRZEBICIH SIĘ PROSTEJ Z PŁ 5SZC ZY ZN Ą 31
1'b z punktami A 2' i B 2' o tych sam ych cechach na prostej Vcp — to, wskutek zachodzącej proporcjonalności odcinków, każda prosta, przechodząca przez punkt M, wyznacza na po- działkach l'e i /'<P punkty o jednakowych cechach. Prosta więc k', przechodząca przez punkt M i równoległa do warstwie, jest rzutem krawędzi płaszczyzn e i cp.