2. Wykreślić rzu
ty kwadratu, leżącego na danej płaszczyźnie a (ha Va) (rys. 236).
Punkt V, obrany na śladzie pionowym Va,
Rys. 236 obrócimy około h a
122 § 5. OBROTY, KŁRDY I ICH ZHSTOSOW flNIH
jako osi na rzutnię poziomą i otrzym any punkt V" połączy
my z Xa prostą Va", będącą kładem śladu pionowego płasz czyzny a. Boki a° i c° kwadratu 4° B° C° D ° przecinają prostą i>a" w punktach Va° i Vc", które podniesione padną na Va jako punkty Va i Vc. Punkt Hd jest śladem pozio
mym prostej a, której rzut poziomy a' przechodzi przez ten punkt i przez rzut poziomy W śladu pionowego Va. Ślady po
ziome płaszczyzn obrotu, przechodzące przez punkty A ° i B ° ,
prostopadle do ha, przecinają prostą a' w punktach4' i B', które odniesione na prostą (V a Ha" ) = a", w yznaczają na niej rzuty pionowe wierzchołków A i B kwadratu. Punkt H b , ślad poziomy prostej b, łączym y z B', otrzym ując rzut poziomy b', a na nim punkt C'; podobnie za pośrednictwem punktu Hd otrzym am y bok d!
i punkt D ' . W ten sposób rzut poziomy A ' B' C' D ' kwadratu, który będzie równoległobokiem, jest wykreślony. Punkt H / ' łą
czym y z A ' ' , a na otrzym aną prostą odniesiemy punkt
D ' , otrzym ując
punkt D " ; c" bę
dzie równoległe do a " i przejdzie przez punkt Vc, oczywi
ście, że b" będzie równoległe do d".
Rys. 237 przed
stawia rozwiązanie tego samego zada
nia, z tą zmianą, że oba ślady płasz
czyzny przedsta
wiają jedną prostą, a . wierzchołek kwadratu leży na rzutni poziomej. Najpierw dokonano kładu płaszczyzny a na rzutnię poziomą (porównaj z rys. 227), a następnie! podniesiono bok a kwadratu, otrzy
mując jego rzuty a', a", i rzuty B ', B " drugiego wierzchołka kwadratu. Wobec zupełnej analogji z rys. 236, studjum dalszej konstrukcji pozostawiamy czytelnikowi.
3.]Wyznaczyc odległość dwóch prostych równoległych. Rys. 238 a podaje rozwiązanie zadania metodą rzutów cechowanych. Po
78. Z ftD flN Jfl 123
Rys. 238 a Rys. 238 b
nieważ proste a i b są równoległe, więc linje Sa, 9*, 1 0 a ..., łączące punkty tych prostych o tych sam ych cechach, tworzą pęk promieni równoległych i są warstwicami płaszczyzny a, . wyznaczonej te-
mi prostemi. — Około war stwicy 10a obróciliśmy punkt A pro
stej a na płasz
czyznę warstwo
wą Jtl0 i otrzy
m any punkt A"
połączyli z punk
tem 10 prostej a'.
Prosta a° jest kładem prostej a, prosta ba//u0 kładem prostej b na płaszczyznę ir10. Odcinek n, prostopadły do obu otrzym a
nych prostych, wyraża odległość pro
stych równoległych a i b.
To samo zadanie, rozwiązane w rzutach prostokątnych na dwie płaszczyzny, widzimy na rys. 238b.
Znaleźliśmy ślad poziomy h a płasz
czyzny a, wyznaczonej prostemi a i b, a następnie wykonali kład tej płasz
czyzny. W tym celu przyjęliśm y na prostej a (a' a ") punkt A (A' A") i obrócili go około h a na poziomą.
Punkt A", połączony ze śladem Ha pro
stej a, daje prostą a(); prosta b0 przej
dzie przez ślad Hb równolegle do a0.
4. Z danego punktu A poprowa
dzić prostą, przecinającą daną prostą a i do niej prostopadłą.
a) R z u t c e c h o w a n y . Jeżeli
punkt A ' (rys. 239a) m a cechę 5 , to prosta 5 a, łącząca ten punkt z punk
tem 5 prostej a', jest warstwicą płaszczyzny a, wyznaczonej prostą a i punktem A. Punkt
B ( B r 6 ) obróciliśmy około 5 a tak, aż padł na płaszczyznę
warstwową jrB, a w ten sposób otrzym aliśm y kład prostej a.
Rys. 239 a i b
124 § 5. OBROTY, KŁHDY I ICH ZHSTOSOW flNIR
Z punktu A' w ykreślim y prostopadłą do a°, którą następnie podnie
siem y na płaszczyznę a. W tym celu rzucim y punkt P w kie
runku prostopadłym do 5a_na prostą a' i otrzym any punkt P ’ połączym y z A'. Odcinek A' P ’ jest rzutem odcinka, prostopa
dłego do prostej a i przecinającego tę prostą. Odcinek A' ~P°
w yraża odległość punktu A od prostej a.
b) R z u t y M o n g e ’a (rys. 239 b). Przez dany punkt A (A' A ") kreślim y prostą c ( ć c"), równoległą do danej prostej a (a' a").
Szukam y śladu pionowego Va płaszczyzny a = (a c) i wyko
nam y jej kład, otrzym ując punkt A ' i proste c° i a°. Z punktu A"
kreślim y prostopadłą do a°, a odcinek Au P> równy jest odle
głości punktu A od prostej a. Prostopadła wykreślona z P°
do Va przecina a"
w punkcie P ' , który odniesiemy na a' J a ko P . Odcinek A P
A " P ' ) roz
wiązuje zadanie.
78. Kąt nachyle
nia dwóch prostych.
a) Proste przeci
nające się. Jeżeli dane są proste a (a' a")
Rys. 240 a Rys. 240 b 1 b ( b ' b " ) ( T S - 2 4 0 a )>
to po wykonaniu kła
du płaszczyzny a, wyznaczonej temi prostemi, na jedną z rzutni, albo na płaszczyznę równoległą do rzutni, otrzym amy prawdziwą wielkość kątów, jakie proste te two
rzą. W yznaczyw szy ślad poziomy Aa płaszczyzny a, obrócimy około nie go punkt P ( P P ') , aż padnie na rzutnię poziomą. Proste a° i b°, łączące punkt P 0 ze śladami Hä i Hbi tworzą kąt cp rozwiązujący zadanie.
W rys. 240 b w ykonaliśm y kład prostych a i A na płaszczyznę J/, równoległą do rzutni pionowej. Osią obrotu jest w tym przypadku prosta
m (m m ), będąca krawędzią płasz- •••’ 1 ■>— 1— 1 czyzny 'k i płaszczyzny a = (a b). Rys. 241
80. ĆWICZENIA 125
Rozwiązanie zadania w rzutach cechowanych podaje rys. 241, gdzie kład prostych a i b w ykonaliśm y na płaszczyznę warstwową n 2. Osią obro
tu jest warstwica 2a, a odcinek P ' P x równy jest trzem jednostkom dłu
gości.
b) Proste skośne. Przez kąt na
chylenia dwóch prostych skośnych ro
zum iem y kąt, jakie tworzą dwie pro
ste, przechodzące przez dowolnie obrany punkt w przestrzeni, równolegle do da
nych prostych skośnych. Jeżeli na je
dnej prostej np. a (a' a ') (rys. 242) obierzemy punkt A (A' A"), przez który
poprowadzimy prostą c ( ć c") równoległą do drugiej pro
stej b (b' b"), to kąt cp, jaki tworzą proste a. i c, rozwią
zuje zadanie.
80. Ć w iczenia.
1. Wyznaczyć kąt nachylenia dwóch prostych skośnych a i b, które mają następujące położenia:
a) a dowolne, b/ / ^; b) a//.-rt , b/l jts ; c) a j _au b dowolne; d) a dowolne, b = x.
2. Na pionowo-rzucającej płaszczyźnie a (ha v a ) dany jest punkt S (S' S"), jako środek sześciokąta umiarowego, leżącego na tej płaszczyźnie; wyznaczyć rzuty tego wielokąta, jeśli długość boku jest dana.
3. Wykreślić rzuty trójkąta równobocznego, leżącego na płaszczyźnie a, jeżeli:
a) <xj_:t,, b) aJ_irj, c) a / / * , d) a = 5 ; , e) a = 5 / / .
4. Wyznaczyć rzuty pięciokąta umiarowego, leżącego na płaszczyźnie a, która zajmuje położenie określone w zadaniu poprzedniem.
5. Dane są rzuty trójkąta, leżącego na płaszczyźnie a (h a Da ); wyzna
czyć prawdziwą wielkość tego trójkąta, jeżeli
a) a / / * , b) a / / 5 ¡, c) a j . * , d) a //5 ;p , e) a = 8 / , 1) a = Sw.
g) a przechodzi przez x i punkt P (P' P"), leżący w drugiej, trzeciej lub czwartej części przestrzeni.
6. Na płaszczyźnie a (h a Da ) leży czworokąt A B C D , którego rzut pionowy jest dany (rys. 110 a — 1, str. 59). Wykreślić drugi rzut tego czworo
kąta, a następnie wyznaczyć jego prawdziwą wielkość.
7. Na płaszczyźnie a (ha Da )> nachylonej do obu rzutni, leży trójkąt A B C , którego rzut poziomy jest dany. Wykreślić rzut pionowy i rzuty p u n k t ó w o s o b l i w y c h tego trójkąta.
126 § 5. OBROTY, KŁADY I ICH ZASTOSOWANIA
U w a g a . Punkt przecięcia się wysokości, środek ciężkości i środek kola opisanego leża na jednej prostej.
8. Wyznaczyć kąt nachylenia dwóch prostych'przecinających się l i m i rzuty dwusiecznych tych kątów, jeżeli:
a) / // irj, m dowolna;
b) I II -tj, m c) l / f jt„ m I/ x-, d ) l / / jTj, m i * .
9. Rozwiązać zadanie poprzednie, jeżeli punkt przecięcia się A pro
stych / i m leży w II, III i IV części przestrzeni, a także gdy leży na 5/, 5//.
10. Dana jest płaszczyzna a (ha ua ) i płaszczyzna P = (i m); na kra
wędzi obu płaszczyzn wyznaczyć punkty równo oddalone od prostych l i ml 11. Dana jest płaszczyzna a (ha Da ), oraz trzy punkty A (A' A"), B (Br B") i C (C' C"), nie leżące na tej płaszczyźnie. Wyznaczyć na płasz
czyźnie a punkt równo oddalony od tych trzech punktów.
12. Dane dwie proste l // m. Wyznaczyć rzuty takich prostych p równo
ległych do danych, aby odległość prostych l i p wynosiła 5 cm, a prostych m i p 3 cm. Ile rozwiązań ma -zadanie?
13. Na danej prostej l (/' l") wyznaczyć punkty, oddalone od danego punktu A (A ' A") o daną odległość.
81. K ąt n a c h y len ia p ro stej z p łaszczy zn ą. W określeniu kąta nachylenia prostej z płaszczyzną, podanym w ust. 14, m ieszczą sig dwa sposoby rozwiązania zadania.
1. S p o s ó b . W yznaczym y kąt <p, jaki prosta p zawiera ze swoim rzutem p^ na daną płaszczyzng s. W tym celu wy
znaczym y punkt przebicia sig P (rys. 243) prostej p z s, a nastgpnie rzut prostokątny dowolnego punk
tu Q na płaszczyzng e. Prosta p u łącząca punkty P i Q lt jest rzutem prostokątnym prostej p na płaszczy
zng e i tworzy z nią kąt cp, który nazyw am y kątem nachylenia pro
stej p z płaszczyzną s. Rozwiązanie zadania w rzutach prostokątnych na dwie płaszczyzny podaje rys. 244. Prosta p (p' p " ) przebija płaszczyzng s (h E v e) w punkcie P (P ' P " ), który znaleźliśm y przy pomocy płaszczyzny pionow o-rzucającej a (ha. va).
TL punktu Q (Q' Q ") prostej p wyprowadziliśmy prostopadłą q (q‘ q ") do płaszczyzny s i znaleźli jej punkt przebicia sig Q i (Q i Q i"X Prosta p l (p x ' p ”), łącząca punkty P i Q lt jest
81. KHT n a c h y l e n i a p r o s t e j Z.PŁASZCZYZN A 127
rzutem prostej p na płaszczyznę e. Około śladu pionowego Vy płaszczyzny y, wyznaczonej prosterrii p i q, dokonaliśmy kładu
Rys. 244
tej płaszczyzny, a w szczególności kładu prostych p i p x.
Kąt cp, zawarty między p0 i p t n, rozwiązuje zadanie.
2. S p o s ó b . Z do
wolnego punktu- Q pro
stej p (rys. 245) pro
wadzimy prostą q pro
stopadłą do płaszczy
zny s, a kąt cp, uzupeł
niający kąt 'jr zawarty między prostemi p i q, jest szukanym kątem. — W rysunku 245 wy
konaliśm y kład płasz
czyzny y, przechodzą
cej przez proste p i q, na rzutnię pionową, a otrzym any kąt Ąr uzu
pełnili do 90°, otrzy
m ując kąt cp. R ys. 245
128 § 5. OBROTY, KŁADY I ICH ZASTOSOWANIA
82. Zadania.
1. Wyznaczyć kąt, jaki płaszczy na a(haVa) zawiera z osiąx.
1. S p o s ó b . Dowolny punkt A osi x (rys. 246a) rzućm y prostopadle na płaszczyznę a, a otrzym any punkt A l ( A j A j ' )
Rys. 246 a Rys. 246 b
połączmy z punktem X a prostą m (rri m "). Prosta ta jest rzu
tem osi x na płaszczyznę a, a kąt, jaki tworzy z tą osią, rozwiązuje zadanie.
Celem wyznaczenia prawdziwej wielko
ści tego kąta wyko
naliśm y kład m ° pro
stej m około x na rzu tnię pionową, otrzy
m ując cp = * m x.
2. S p o só b . Zdo- wolnego punktu A osi rzutów prowa
dzimy prostopadłą P (P' P ") do płasz
czyzny a (ha. va) (rys. 246 b) i znaj
dziemy kąt, jaki ona zawiera z osią rzu
tów. W tym celu obró
cimy dowolny punkt
Rys. 247
P prostej p około osi x na rzutnię pionową. Kąt cp, uzupełnia
jący do 90° otrzym any kąt ']/, jest szukanym kątem.
2. Wyznaczyć kąt, ja ki dowolna prosta m (nć m”) zawiera z płaszczyzną dwusieczną 6// . W yznaczmy rzut boczny m " danej
84. K ą t N flC H Y LEN Ifl DWÓCH PŁHSZCZYZN 129 pod względem konstrukcyjnym znacznie uprościć.
1. S p o s ó b . W punkcie A krawędzi k płaszczyzn a i p (rys. 249), poprowadzona płaszczyzna prostopadła e, przecina płaszczyznę a w prostej (A, M), zaś płaszczyznę P w prostej
130 § 5. OBROTY, KŁADY I ICH ZASTOSOW ANIA
stopadłą do krawędzi k i do śladu h E; w istocie k, jako prosto
padła do s, jest prostopadłą do A P, a ślad fie prostopadły do k' jest prostopadły do płaszczyzny rzucającej H k A P , a więc
i do prostej A P .
Przystąpm y do rozwią
zania zadania w rzutach pro
stokątnych (rys. 250 a). Wy
znaczm y rzut poziomy W krawędzi k danych płasz
czyzn a i ¡3, a w punkcie do
wolnym Z3 wykreślmy h e l k ', jako ślad poziomy płaszczy
zny prostopadłej do kraw ę
dzi k. W ykonajm y kład k x krawędzi Arna rzutnię pozio
mą (porównaj rys. 249 z rys.
250 a) i w ykreślm y z punktu P prostą (P, A x) l k x, a otrzym any punkt A x przenieśm y łukiem koła o środku P na k'. Punkt A°
połączym y z punktam i M i N, a kąt M Aa N = * <p rozwiązuje
Rys. 249
Rys. 250 a Rys. 250 b
zadanie. Rzuty kąta cp otrzymamy, gdy znajdziem y rzuty A' \ A "
jego wierzchołka A. Prostopadła w ykreślona z A x do k ' prze
cina ją w punkcie A', który jest wierzchołkiem rzutu poziomego kąta cp, którego ram iona przechodzą przez M i N. Punkt A' od
niesiony na k " i połączony z punktami M " i N " wyznacza kąt M " A " N " , będący rzutem pionowym kąta cp, jaki tworzą płaszczyzny a i fl.
85. ZH D rtN IH 131
W ykreślm y dwusieczną s° kąta cp (rys. 250 b) i połączmy punkt przecięcia się B = (s°, h E) z punktem Hk. O trzym ana prosta ha jest śladem poziomym płasz
czyzny d w u s i e c z n e j a, której ślad pionowy przejdzie przez punkt Vk.
2. S p o s ó b : Z dowolnego punktu M prowadzimy prostopadłe p x i p 2 do danych płaszczyzn a i fj (rys. 251).
Proste te w yznaczają płaszczyznę s prostopadłą do obu danych, a więc i prostopadłą do ich krawędzi k. O znacz
m y proste przecięcia się płaszczyzny Rys. 251
e z a i ę przez a i b, to kąt cp, jaki two
rzą te proste, przecinające się w punkcie A, jest kątem da
nych płaszczyzn.
Z Rys. 251 czytam y:
cp + >]/ = 180° i cp, + ■»)/ = 180°
a stąd cp, = <p, to znaczy, że wielkość kąta dwóch płaszczyzn' wyraża kąt, którego wierzchołkiem 'jest dowolny punkt przestrzeni, a , którego ramiona są prostopadłe do tych płaszczyzn.
Rozwiązanie zadania w rzu«
tach Monge’a podaje rys. 252.
W ykreśliwszy z dowolnie przy- . jętego punktu M (M! M ") prostopadłe p x (p x p t " ) i p 2 (p2r p 2" ) do płaszczyzn a ( h a V a ) i ę (hę, vę), wykonaliśmy kład płasz
czyzny & = (p x, p 2) około jej śladu pionowego ve na rzutnię pionową, otrzym ując szukany kąt cp, = cp.
85. Z adania.
1. Obrócić dany punkt A (A' A ") około osi m (m' m ") tak, aby padł na daną płaszczyzną a (ha Va). Poprowadźmy przez punkt A (rys. 253) płaszczyznę s (he Ve) prostopadłą do pro
stej m i w yznaczm y punkt przebicia się 5 (S ' S ”) tej prostej z s, a J a k ż e krawędź k (M k " ) płaszczyzn a i e. Jeżeli promieniem 5 A ze środka obrotu 5 zakreślim y koło, to punkty przecięcia się A x i tego koła z krawędzią k rozwiązują zadanie. W celu otrzym ania tych punktów wykonaliśm y kład płaszczyzny s
132 § 5. OBROTY, KŁADY I ICH ZASTOSOW ANIA
wraz z punktami A , 5 i prostą k na rzutnię pioziomą, gdzie promieniem S d A° zakreślim y kolo, które przecięło prostą k°
w punktach A L° i A 2°. P unkty te od
niesione na prostą k (k! k ") dają rzu
ty V i A / ' , A 2' i A 2" punktów .Aj i A 2, spełniających żądany warunek.
Jeżeli prosta A: prze
cina koło, to zada
nie posiada d w a rozw iązania rze
czywiste, jeżeli pro
sta k jest styczną do koła to otrzy
m am y jedno roz
wiązanie, a gdy prosta k nie prze
cina koła w punk
tach rzeczywistych, to nie posiadam y rzeczywistych roz
wiązań.
2. Między dwie
proste a i b wsta
wić dany odcinek m, równoległy do danej płaszczyzny e. P rzy puśćmy, że żądany odcinek m = M N wstawiliśmy między proste a i b (rys. 254), przyczem jest m // s. Poprowadźmy pro
stą (N, P) II a, to płaszczyzna prze
chodząca przez proste b i (N, P) jest równoległą do prostej a i przecina da
ną płaszczyznę s w prostej q. Oczy
wiście, że P P t = M N — m. Zadanie rozwiążemy więc w sposób następu
jący : W yznaczywszy punkt przebicia się P l prostej a z płaszczyzną e, za
kreślim y z niego jako środka, promie
niem równym danem u odcinkowi m, Rys. 254 Rys. 253
85. ZflD H N IH 133
koło, a przez prostą b poprowadzimy płaszczyznę równo
ległą do a. Płaszczyzna ta przetnie płaszczyznę s w pro
stej q, a ta znowu koło w punktach P i Q. Równoległe do a, wyprowadzone z punktów P i Q, przetną prostą b w punk
tach N i N t . Prosta, wyprowadzona z punktu N równole
gle do P P t , przecina a w punkcie M, przyczem odcinek M N = m rozwiązuje zadanie. Podobnie prosta, wyprowadzona
z N t równolegle do P t Q, przecina prostą a w punkcie M, przyczem odcinek M i N l = m stanowi drugie rozwiązanie zadania.
Przeprowadzenie konstrukcji w rzutach prostokątnych podaje rys. 255, którego studjum pozostawiamy czytelnikowi.
Zauw ażym y tylko, że dla wyznaczenia płaszczyzny, prze
chodzącej przez prostą b (b' b") równolegle do a (a' a"), wzię
liśm y pod uwagę prostą c ( ć c") // a (a' a ") a przecinającą b (b' b ) w punkcie B (B ' B "), przyczem przyjęliśm y c ' ~ a ' .
134 § 5. OBROTY, KŁADY I ICH ZASTOSOW ANIA
m B
Prosta c przebija płaszczyznę e (h e V e ) w punkcie C (C' C"), a prostą b w punkcie P 2 (P 2' P 2"). Punkty te w yznaczają prostą qf (qr q").
Jeżeli prosta q nie przecina koła zakreślonego z punktu P t promieniem m, to zadanie nie ma rozwiązań rzeczywistych, odcinek m jest za krótki. Jeżeli prosta q jest styczną do k o ła ,.
to wówczas otrzym amy tylko jedno rozwiązanie.
3. Przez punkt P płaszczyzny jt wykreślić na niej prostą, równo oddalonych od dwóch danych punktów w przestrzeni, a mia
nowicie A i B. Przedewszystkiem rozważm y sprawę następu
jącą: Przyjąw szy proste skośne m i p (rys. 256), a na pierw
szej punkty A i B, odpowiedzmy na pytanie, kiedy i pod jakimi w arunkami punkty A i B będą równo oddalone od prostej p. W tym celu poprowadźmy przez prostą p płaszczyznę j t, rów
noległą do prostej m i znajdźm y rzut prostokątny m x prostej m na tę płasz
czyznę, a to przez wyznaczenie rzu
tów A v i punktów A i B. Rzuć
my jeszcze punkty A i B prostopadle na prostą p i połączmy otrzym ane punkty C i D, pierwszy z A u dru
gi z B t . Niechaj M M t jest wspólną prostopadłą do prostych m i p i niechaj A M = M B , to wów
czas i4, M 2 = M y B ,, A t Ć ~ B t D a także A Ć = B D, trójkąty bowiem A A 1 C i B B XD będą przystające. Ponieważ odcinki A Ć i B D są oddaleniami punktów A i B od prostej p, więc widzimy, że: aby dwa punkty A i B, prostej m, były równo oddalone od innej prostej p, to potrzeba i wystarcza, aby punkty te były równo oddalone od wspólnej prostopadłej obu prostych.
I nawzajem, skoro dwa punkty prostej m są równo oddalone od prostej p, to wspólna prostopadła tych prostych przecina prostą m w środku M odcinka A B.
W ten sposób zadanie nasze w ykreślenia na danej płasz
czyźnie jt, przez dany punkt P, prostej równo oddalonej od dwóch danych punktów A i B w przestrzeni, sprowadza się do wyznaczenia na płaszczyźnie a takiej prostej p przechodzącej przez punkt P, aby wspólna prostopadła do p i m ^ ( A B ) prze
szła przez środek odcinka A B .
Rys. 256
85. ZH DHNIH 135
W tym celu poprowadźmy przez środek-M odcinka A B (rys. 257) płaszczyznę s prostopadłą do niego i wyznaczm y krawędź k płaszczyzn s i jr.
R zućm y następnie punkt M prostopadle na płaszczy
znę jt, a na średnicy M l P zakreślm y koło. P rostep ip u łączące punkt P z punktami przecięcia się N i kra
wędzi k z tym kołem, spełniają żądany w arunek i rozwiązują zadanie. W isto
cie bowiem prosta (M, N),
jako leżąca na płaszczy- Rys. 257
źnie e ( e L A B ) , jest pro
stopadłą do A B ; następnie prosta p jest prostopadła do N M lt gdyż P N M t wspiera się na średnicy, a nadto p jest
pro-stopadłą do M M t, gdyż M M l jest prostopadłą do n.
Wobec tego pro
sta p jest prosto
padłą do płaszczy
zny M M l N, a za
tem i do prostej M N . Ta ostatnia jest wspólną pro
stopadłą do pro
stych (A, B) i p, a ponieważ prze
chodzi przez śro
dek M odcinka A B, więc prosta p jest równo oddaloną od punktów A B i rozwiązuje zada-
Rys. 258 nie. Z tych sam ych
powodów p ro s ta /?!
czyni również zadość postawionemu warunkowi.
Jeżeli prosta k byłaby styczną do koła, to zadanie posia
136 § S. OBROTY, KŁADY I ICH ZASTOSOW ANIA
Rozwiązanie omawianego zadania w rzutach prostokątnych podaje rys. 258, gdzie punkt B (B' B " ) przyjęliśm y w czwartej względem dwóch pierwszych; wyznaczyć prostą, która przecina wszystkie trzy dane, a jest równoległą do rzutni poziomej (Przez punkt przebicia się P pro
czyzny a. Płaszczyzny dwusieczne Yi i Yj kąta, jaki dana płaszczyzna a tworzy
87. RZUTY W IELOŚCI HNÓW 137
z rzutnią poziomą, przecinają się z płaszczyznami p, i pa w żądanych prostych.
8. Dana jest prosta a i trzy punkty R, B, C; obrócić punkt R około prostej a tak, aż będzie równo oddalony od B i C. fPrzez R poprowadzimy płaszczyznę a prostopadłą do a i wyznaczymy punkt przebicia się S = a . a . Promieniem S R zakreślimy na a koło i znajdziemy krawędź płaszczyzny a z płaszczyzną symetrji odcinka B C. Punkty przecięcia się tej krawędzi z ko
łem rozwiązują zadanie).
87. R zuty w ielo ścian ó w . Poznanie metody obrotów i k ła
dów umożliwia nam zajęcie się pewną grupą utworów p r z e s t r z e n n y c h , jakimi są, znane nam z nauki stereometrji, w i e l o ś c i a n y. Wiadomo, że przestrzeń, ograniczona ze wszech stron płaszczyznam i, stanowi wielościan. Prostą przecięcia się dwóch płaszczyzn ograniczających wielościan, nazyw am y k r a w ę d z i ą tego wielościanu. Krawędzie te tworzą wielokąty, ograniczające wielościan i tworzące jego ściany. Do najprost
szych wielościanów należą ostrosłupy i graniastosłupy.
Wielościan ograniczony dowolnym wielokątem i trójką
tami, mającemi jeden wierzchołek wspólny, nazyw am y o s t r o s ł u p e m . ó w wielokąt nazyw a się podstawą, a boki tego wie
lokąta krawędziami podstawy. W spomniane wyżej trójkąty sta
nowią ś c i a n y b o c z n e ostrosłupa, a ich boki, z wyjątkiem tych, które stanowią krawędzie podstawy, nazyw am y k r a w ę d z i a m i b o c z n e m i . Wszystkie krawędzie boczne schodzą się w punkcie, który nazyw am y w i e r z c h o ł k i e m ostrosłupa.
Odległość wierzchołka od podstawy nazyw am y w y s o k o ś c i ą ostrosłupa. Ostrosłup, którego wszystkie krawędzie boczne są równej długości, określać będziemy mianem p r o s t y , w od
różnieniu od u k o ś n e g o , który w arunku tego nie spełnia.
Ilość ścian bocznych ostrosłupa nadaje mu m iano; mówimy tedy o ostrosłupie trójściennym, czworościennym i t. d., za
leżnie od tego, czy trójkąt, czworokąt, czy też inny wielokąt stanowi jego podstawę. Podstawa i wierzchołek wyznaczają ostrosłup, stwarzają bowiem warunki, umożliwiające w yznacze
nie brakujących krawędzi i ścian bocznych.
Wielościan ograniczony dwoma przystającem i wieloką
tami i równoległobokami, których ilość równa jest ilości boków wielokąta, nosi nazwę g r a n i a s t o s ł u p a. Owe dwa przysta
jące wielokąty stanowią podstawy, a równoległoboki ściany boczne graniastosłupa. Boki wielokątów podstawowych nazy
w am y krawędziami podstawy, a boki równoległoboków, nie
138 § 5. OBROTY, KŁHDY I ICH ZflSTOSO W flN IH
schodzące się z bokami podstaw, krawędziami bocznemi gra- niastosłupa. Odległość płaszczyzn podstawowych nazyw am y w y s o k o ś c i ą graniastosłupa. G raniastosłup, którego krawędzie boczne są prostopadłe do płaszczyzny podstawy, określać bę
dziemy jako p r o s t y ; inaczej graniastosłup jest u k o ś n y .Ś c ia n y boczne graniastosłupa prostego są prostokątami, graniastosłupa ukośnego równoległobokami. Zależnie od ilości ścian bocznych, mówimy o graniastosłupie trójściennym, czworościennym i t. d.
Z określenia graniastosłupa wynika, że jedna podstawa i jedna krawędź boczna, wyznaczają go w zupełności. Graniastosłup, którego jedna tylko podstawa i ściany boczne są dane, nazy
wać będziemy nieograniczonym.
W eźmy pod uwagę dowolny wielościan, np. ostrosłup czworościenny, którego podstawa znajduje się na rzutni pozio
mej i wiązkę promieni prostopadłych do tej rzutni. Pewne promienie wiązki przebiją ostrosłup i te będziemy nazywali s i e c z n e m i , inne leżeć będą zewnątrz ostrosłupa, a wreszcie będą i takie, które przecinać będą jedynie krawędzie ostro
słupa i te nazywać będziemy s t y c z n e m i . Każda styczna wyznacza z krawędzią, którą przecina, p ł a s z c z y z n ę s t y c z n ą wielościanu. W szystkie te płaszczyzny styczne utworzą
graniastosłup, którego ściany przechodzą przez pewne krawę
dzie wielościanu. Krawędzie te stanowią zawsze z a m k n i ę t ą linję łam aną w przestrzeni, czyli wielokąt przestrzenny, który nazyw am y z a r y s e m albo konturem uważanego wielościanu.
Na zarys wielościanu składa;ą się więc takie jego krawędzie, których płaszczyzny rzucające nie przecinają wielościanu.
W odniesieniu do rzutni pionowej otrzym am y drugi kontur wielościanu, podobnie jak w odniesieniu do rzutni bocznej.
Wiadomo (ust 53), że rzut poziomy jest widokiem z góry z od
ległości nieograniczenie dalekiej, że rzut pionowy jest obrazem przedmiotu, na który patrzym y w kierunku prostopadłym do
ległości nieograniczenie dalekiej, że rzut pionowy jest obrazem przedmiotu, na który patrzym y w kierunku prostopadłym do