mierzywszy B 'B x = B " B x , otrzym am y rzut poziomy B' punktu B.
51. D alsze przykłady w yznaczania kraw ędzi dw óch płaszczyzn.
1. Płaszczyzna a wyznaczona jest śladami, płaszczyzna p dwiema prostemi równoległemi a (a' a ") i b (b' b") (rys. 142).
Ponieważ krawędź dwóch płaszczyzn określić można jako miejsce geometryczne punktów przebicia się prostych jednej płaszczyzny z płaszczyzną drugą, wiec prosta k (P k " ) , łącząca punkty przebicia się A (A' A ") i B (B' B " ) prostych a i b z płaszczyzną a, jest szukaną krawędzią. Kontrolą dokładności
51. PRZYKŁADY WYZNACZANIA KRAWĘDZI PŁHSZCZYZN 71
rysunku jest to, że ślady Hk i 14 leżą na śladach ha i Va płasz
czyzny a.
2. Płaszczyzna a ( h a V a ) ma położenie dowolne, płasz
czyzna p przechodzi przez oś rzutów i przez punkt P ( P P " ) (rys. 1431. Szukana krawędź przejdzie przez punkt Xa, a za
danie nasze ogranicza się do wyznaczenia jeszcze, jednego jej
Rys. 144 Rys. 145
się tej prostej z płaszczyzną a (ha V a ) łączym y z punktem Xa, otrzym ując jedną z szukanych krawędzi, a m ianow iciek x( k v' k " ) .
Rys. 142 Rys. 143
punktu. W tym celu połączmy dowolny punkt A osi x z punk
tem P, to prosta a (a' a ") leży na płaszczyźnie p. Punkt prze
bicia się B (B' B " ) prostej a z płaszczyzną a, jest szukanym punktem krawędzi k (łć k").
3. Wyznaczyć rzuty krawędzi płaszczyzny dowolnej a (ha va) z płaszczyznami dwusiecznemi 8/ i 8//.
P i e r w s z y s p o s ó b : Na płaszczyźnie dwusiecznej 8/
przyjm ujem y prostą a (a' a”) (rys. 144), a punkt przebicia
7 2 § 3. WZHJEMNE POŁOŻENIFL PUNKTÓW, PROSTYCH I PŁHSZCZYZN
Uważajm y następnie prostą a " za złączenie rzutów b' i b"
prostej b, przyjętej na płaszczyźnie dwusiecznej 8//. Punkt ( C '= C " ) jest skupieniem dwóch rzutów punktu przebicia się prostej b z płaszczyzną 8//. Prosta (C' = C", Xa) wyraża rzuty drugiej szukanej krawędzi k 2 (k2 k 2").
D r u g i s p o s ó b : Na płaszczyźnie a przyjm ujem y prostą dowolną m (m! m ") i szukam y punktów przebicia się jej z płasz
czyznam i dwusiecznemi (patrz ust. 50 b).
K onstrukcyjne rozwiązanie zadania podaje rys. 145.
4. Ślad poziomy ha płaszczyzny a schodzi się ze śladem pionowym vp płaszczyzny p, zaś ślad pionowy va nakrywa ślad poziomy /zp.
P i e r w s z y s p o s ó b : Punkt Xa (rys. 146) jest jednym punktem szukanej krawędzi k, której kierunek znajdziem y przy pomocy płaszczyzny y (hx vx), poprowadzonej równolegle do płaszczyzny p (7?p vpj. Płaszczyzny a i y przecinają się w pro
stej a (a' a"), równoległej do krawędzi k. Ponieważ punkty Xa, V a, X r i Ha tworzą równoległobok, więc proste a' i a" są równoległe, a w następstwie tego rzuty W i k " krawędzi k zejdą się na jednej prostej. Płaszczyzny a i p przenikają się wobec tego w prostej, leżącej na płaszczyźnie dwusiecznej 8.
D r u g i s p o s ó b : Obierzm y na płaszczyźnie a ( h a V a )
prostą p (p! p " ) (rys. 147). Rzut poziomy p ’ oznaczony literą r " i rzut pionowy p " oznaczony literą r', w yznaczają prostą r, leżącą na płaszczyźnie p, ślady bowiem prostej r leżą na od
powiednich śladach płaszczyzny p. Proste p \ r przecinają się
53. O PUNKTACH WIDOCZNYCH I NIEWIDOCZNYCH 73
w punkcie A (A' = A "), który leżąc równocześnie na obu pro
stych jest punktem szukanej krawędzi k.
52. Z adania.
1. Znaleźć rzuty punktu przebicia się prostej p (p' p " ) z płaszczyzną a, wyznaczoną dwiema prostemi przecinającemi się a (a' a ") i b (b' b") (rys. 148). Przez prostą p prowadzimy płaszczyznę e, jak w naszym przykładzie, poziomo-rzucajacą.
Szukam y krawędzi k (łć k " ) płaszczyzny o. = (a, b) z płasz
czyzną e, a punkt przecięcia się P ( P P ' ) prostych k i p roz
wiązuje zadanie.
Rys. 148 Rys. 149
2. Znaleźć rzuty punktu przebicia się prostej p (p' p " ) z płaszczyzną trójkąta A (A' A"), B (B' B "), C ( C C ") (rys. 149).
Szukam y punktu przebicia się P ( P P '') prostej p z płaszczy
zną wyznaczoną dwiema prostemi A B i B C, które przecinają się w punkcie B (B' B ").
53. O p u n k ta c h „w id o cz n y ch “ i „n iew id o czn y ch “. Kie
runek rzutów jest rów
nocześnie kierunkiem, w którym patrzym y na odnośną rzutnię, z od
ległości nieograniczenie dalekiej. Na rzutnię pio
nową patrzym y więc
z p r z o d u , w kierunku »a
strzałki s , (rys. 150 a),
. . . J Rys. 150 a Rys. 150 b
na rzutnię poziomą z go- y
r y , w kierunku strzałki s 1 (rys. 150 c). Przyjm ijm y dwa punkty A i B (rys. 150 a i b) tak położone, aby ich rzuty
74 § 3 ..WZAJEMNE POŁOŻENIA PUNKTÓW, PROSTYCH I PŁASZCZYZN z góry, przy równoczesnem uwzględnieniu punktów „wido
cznych“ i „niewidocznych“, przyczynia się do podniesienia przejrzystości i pla
styki rysunku.
Zastosujm y uwagi powyższy do rozpatrywanego zadania (rys. 151).
Przyjm ijm y, że trójkąt A B C w y
konany jest z m aterjalu nieprzeźroczy
stego, to w następstwie tego założenia, rzutów pionowych tych prostych jest skupieniem rzutów pio
nowych dwóch punktów: punktu 1 (V 1"), leżącego na prostej
54. Z H D H N m 75
jest złączeniem rzutów poziomych II' i III' dwóch punktów:
punktu II, leżącego na boku Ć B i punktu III, przynależnego do prostej p. Ponieważ wysokość punktu III jest większa ani
żeli punktu II, więc w widoku z góry punkt III jest widoczny, a zatem i część prostej p, na której punkt III leży, jest w rzucie poziomym widoczna. W widoku z góry część prostej, od punktu III do P, leży nad trójkątem, więc odcinek III' P ' jest widoczny.
54. Zadania.
1. Wykreślić rzuty linji przenikania się płaszczyzny trój
kąta A (A' A "), B (B' B " ) i C (C' C") z płaszczyzną czworo
kąta I II III IV (rys. 152).
Znajdziem y punkt prze
bicia się P l (Py P " ) bo
ku I II czworokąta z płasz
czyzną trójkąta i punkt przebicia się P 2 ( P / P " ) boku B C trójkąta z płasz- czyzną_czworoboku, a od
cinek Py P 2 rozwiąże za
danie. Części niewidoczne w yznaczym y sposobem po
danym w ustępie poprze
dnim, co czytelnik niechaj przeprowadzi na rys. 152.
2. Wykreślić rzuty kra
wędzi dwóch płaszczyzn, z których jedną wyznaczają dwie proste równoległe, a drugą dwie proste przeci
nające się. Prosta, łącząca punkty przebicia się jednej pary prostych z płaszczyzną wyznaczoną przez drugę parę, rozwią
zuje zadanie.
3. W yznaczyć rzuty prostej, przechodzącej przez dany punkt P (P' P "), a przecinającej .dwie proste skośne a (a' a") i b (b' b").
P i e r w s z y s p o s ó b : Bierzemy pod uwagę plaszczyznę>
wyznaczoną przez dany punkt i jedną z prostych, szukam y punktu przebicia się M drugiej prostej z tą płaszczyzną i łączym y go z danym punktem P. Prosta M P rozwiązuje zadanie.
76 § 3. W ZAJEMNE POŁOŻENIA PUNTÓW, PROSTYCH I PŁASZCZYZN
D r u g i s p o s ó b : Szukam y krawędzi płaszczyzn, w yzna
czonych przez dany punkt i każdą z danych prostych.
4. Wyznaczyć prostą, przecinającą trzy proste skośne.
P i e r w s z y s p o s ó b : Na jednej z prostych obierzemy dowolny punkt i w yznaczym y prostą, przechodzącą przezeń, a przecinającą pozostałe dwie proste (patrz zadanie poprzednie).
Ponieważ przez k a ż d y punkt, przyjęty na pierwszej prostej, przechodzi prosta przecinająca dwie pozostałe, więc istnieje tyle prostych przecinających trzy skośne, ile punktów posiada prosta, więc nieograniczenie wiele.
D r u g i s p o s ó b : Przez jedną z prostych poprowadzimy płaszczyznę i znajdziem y punkty przebicia się pozostałych prostych z tą płaszczyzną. Prosta, wyznaczona owemi punk
tami przebicia, rozwiązuje zadanie, leżąc bowiem na płasz
czyźnie, która przechodzi przez pierwszą prostą, prostą tę także przecina. Na każdej płaszczyźnie, przechodzącej przez pierwszą prostą, leży jedna prosta przecinająca trzy dane skośne, których zatem ilość równa jest ilości płaszczyzn prze
chodzących przez prostą, a więc jest nieograniczona.
Zadanie nasze posiada nieograniczoną ilość rozwiązań, czyli, jak się w yrażam y, jest n i e o z n a c z o n e .
5. Przez dany punkt A poprowadzić płaszczyzną równo oddaloną od trzech danych punktów B, C, D. Poprowadźmy
przez punkt A proste m, n ,p rów
noległe do boków trójkąta B CD, a nadto połączmy go ze środ
kami E, F, G tychże boków (rys.- 153). Weźmy pod uwagę płaszczyznę = (m, A F), to ponieważ prosta m jest równo
ległą do B D, więc płaszczyzna ta jest równo oddalona od punk
tów B i D. Ponieważ jednak płaszczyzna a t przechodzi przez prostą A F, więc jest także równo oddalona od punktów B i C, a więc jest równo oddaloną od trzech danych punktów. Prosta F G, łącząca środek dwóch boków trójkąta, jest równoległą do boku B D, a więc i do prostej m, czyli, że płaszczyzna a1 = (7 n, A F) przechodzi też przez prostą A G. Jak to z ry sunku z łatwością odczytamy, zadanie nasze posiada cztery
55. ĆWICZENIH 77
2. Wyznaczyć w następujących przykładach punkt przebicia się prostej / (l' 1") z płaszczyzną a (h a Da) (rys. 155 a — h).
3. W y z n a c z y ć
k ra w ę d ź p ła s z c z y z n y a.)- b j C.) d.)
a (h a v a ), ró w n o le g łe j js / y * r y va / ,
d o o si rz u tó w jc, z p ła s z - \ /
czyzną (ł, która wyzna- x / \ V _Z______________ i .
czona jest: a) osią x / / j, \ _____
i dowolnym punktem / /, y f ha \ Va
A (A' A"), b) dwiema
prostemi równoległemi, e j f.) g.) h.)
c) dwiema prostemi \ / V
przecinającemi się na y \ / V ” /"
osi rzutów, d) trzema x / \ \ / \ / X
dowolnie przyjętemi . / \ A’
punktami w przesTzeni, /¿r l ' / h a
e) trzema punktami, z \ / /
których jeden leży na Rys. 155 a — h
rzutni poziomej, drugi
na pionowej, a trzeci na płaszczyźnie dwusiecznej 6/, względnie 5;/.
4. Wykreślić rzuty krawędzi płaszczyzn dwusiecznych 5/ i 5// z płasz
czyzną a (h a v a ), która ma następujące położenia: a) jest równoległą do osi rzutów, b) jest równoległą do rzutni poziomej, c) jest równoległą do rzutni pionowej.
rozwiązania, a m ian o w icie /l0. płaszczyzna v-= (m , A F, AG, F G );
2°. płaszczyzna a 2 = (n, A E, A G, E G); 3°. płaszczyzna a 3 = (p , A F, A E, F E) i 4°. płaszczyzna cc4 = (m , n, p).
55. Ć w iczenia.
1. Wyznaczyć proste przecięcia się płaszczyzn a i fł w następujących przypadkach (rys. 154 a — 1).
7 8 § 3. W ZRJEMNE POŁOŻENIR PUNKTÓW, PROSTYCH I PŁRSZCZYZN
5. Wyznaczyć punkt przebicia się prostej p (p' p") z płaszczyzną a, wyznaczoną przez dwie proste równoległe a i b, bez posługiwania się śladami płaszczyzny, w następujących przypadkach: a) a // b // x, p dowolnie; b)
■a/Ib 1/ x, p II « j ; c) a // b // p // d) a // b // itj, p // « ,; e) a // b //
p i * i ; f) a // b // srłf p leży na 5/, względnie 5;/.
6. Płaszczyzna a przechodzi przez trzy punkty / ł f/ł' /ł"), B (Br B") i C (C' C"); wyznaczyć punkt przebicia się prostej p (pr p ”) z tą płaszczyzną, jeżeli: a) p //■*„ b) p // »¡, c) p = *, d) p 1 /x, e) p l » „ i) p i « ! , g) p leży na 5/, h) p leży na 5//.
7. Wyznaczyć krawędzie płaszczyzn dwusiecznych 8/ i 8// z płaszczyzną a, wyznaczoną przez dwie pr>ste równolegle l i m, przyczem: a) / // m // ir, , b) T/l m // jt2, c) l / / x , m = x ; d) l / l m // *.
56. Proste rów noległe do płaszczyzny. H by prosta była równoległą do płaszczyzny, potrzeba i wystarcza, aby była
równoległą do jednej prostej, leżącej na tej płaszczyźnie. Jeżeli zadaniem naszem jest poprowadzenie przez dany punkt P ( F P ') prostej równoległej do p ł a s z c z y z n y a(7za, VaJ — (rys. 156 , to na płaszczyźnie tej przyjm iem y dowolnie prostą a (a' a”), do której przez punkt P (P' P " ) poprowa
dzimy równoległą p (p' p "). Zadanie nasze jest nieoznaczone, t. j. posiada nieograni
czoną ilość rozwiązań, tyle mianowicie, ile prostych przyjąć można na płaszczy
źnie a.
Proste p i ( p / p ”) i p 2 (p 3r p 2" ) (rys. 157) są także równoległe do płasz
czyzny a ( h a v a); pierwsza jednak jest równoległą do śladu poziomego, a druga do śladu pionowego tej płaszczyzny.
Rys. 156 Rys. 157
57. ZHDHNIH 79
Rzuty prostych równoległych do płaszczyzn dwusiecznych 8; i 8//, m uszą zawierać z osią rzutów te same kąty (ust. 43).
W szczególności prosta a (a' a") rys. 158 a) jest równoległą do płaszczyzny 8/, zaś prosta b (b' b") (rys. 158 b) równoległą do płaszczyzny dwusiecznej 8/;.
57. Z ad an ia. 1. Wykreślić ślady płaszczyzny p, przecho
dzącej przez dany punut P ( P P " ) i równoległej do danej płasz
czyzny a ( h a V a ) (rys. 159). Równoimienne ślady obu płaszczyzn będą równoległe iust. 49', w ystarczy
zatem w yznaczyć jeden punkt które
goś ze szukanych śladów. Przez punkt P ( P P " ) poprowadzimy prostą po
ziomą p (p' p " ) szukanej płaszczy
zny ¡3 a równoległą do płaszczyzny a.
Przez ślad pionowy Vp prostej p, prze
chodzi ślad pionowy równoległy do v<x, a przez punkt X$ . ślad poziomy
b i l Rys. 159
2. Przez dany punkt A popro
wadzić prostą, przecinającą daną prostą a i równoległą do danej płaszczyzny a. Przez punkt A poprowadzimy płaszczyznę e równoległą do a, znajdziem y punkt przebicia się prostej a z płaszczyzną e i punkt ten połączym y z danym punktem A.
3. Wyznaczyć prostą, która przecina dwie dane skośne a (a' a"), b (b' b") i jest równoległą do trzeciej danej prostej
c ( d c"). P i e r w s z y s p o s ó b : Przez prostą a prowadzimy płasz
czyznę a równoległą do protej c (rys. 160), szukam y punktu prze
bicia się P prostej b z tą płasz
czyzną i przez ten punkt prow a
dzim y prostą p równoległą do c, rozwiązującą zadanie.
D la wyznaczenia płaszczy
zny a równoległej do prostej c, obraliśm y na prostej a (a' a") punkt A (A' A ") i poprowadzi
liśm y prostą d (d' d ") // c (d c"). Płaszczyzna a = (a, d) jest równoległą do prostej c i przecina prostą b (b' b") w punkcie P ( P P ') .
80 § 3. WZAJEMNE PO ŁOŻEN IA PUNKTÓW, PROSTYCH I PŁASZCZYZN
D r u g i s p o s ó b : Przez prostą a, a następnie b, popro
wadzimy płaszczyznę równoległą do prostej c; krawędź tych obu płaszczyzn spełnia żądany warunek.
4. Przez jedną z dwóch danych prostych skośnych poprowa
dzić płaszczyzną równoległą do drugiej prostej. Na jednej prostej, np. a, obierzemy punkt, przez który poprowadzimy prostą c równoległą do prostej b. Płaszczyzna s = (a, c) rozwiązuje zadanie.
5S. Ć w i c z e n ia .