rów rozwiązań do narysowania wykresu funkcji f ( x ) — \x2 — 2\x\\ -f 1, przez przekształcanie wykresu funkcji f i ( x ) — x 2 — 2x. Każdy z nich, udzielając odpowiedzi na pytanie zawarte w treści zadania, wyraźnie korzystał z na
szkicowanego wykresu funkcji. Odczytywał z niego informacje konieczne do rozwiązania zadania. Wykres był ważnym środkiem argumentacji w prowa
dzonych przez studentów rozumowaniach.
Należy dodać, że w dwóch pracach zaliczonych do omawianej grupy opi
sano wszystkie przekształcenia (takie jak: translacja, odpowiednie odbicia czę
ści wykresów funkcji) prowadzące do naszkicowania wykresu funkcji f ( x ) —
\x2 — 2|x|| + 1. W pozostałych rozwiązaniach wykonano te czynności bez ich wyraźnego opisania.
W drugiej grupie rozwiązań nazwanej „pochodne” , znalazły się prace, których charakterystyczną cechą jest próba obliczania pochodnej funkcji / i za jej pomocą wyznaczanie ekstremów funkcji. Do tej grupy zaliczyłam dwie prace. Oto fragment pracy Moniki, której rozwiązanie zostało zaliczone do omawianej grupy:
\\^) I* 1 - i M l 1 4 D } * i ! : ' ’ ' •
W v . i ^w<v- - ty<7 i ^ ^ ^
ruh )
2*-
2ip£
|'\*W U r t i l ' W\ - iU -\ \
x -1
N\it VJ\.^l^>^vW vi > ■ ^ ^
Wq ^vcA An toxOo\JL ^\i< y w ^ , Q A ^ WA^-s. v -a Av\»’ n
|\\\l ^?aV \SW^/0\Jsa\fv\ ^ t/\K YVv*. ^V'AvNy 5/voVjsA, . f
Odp• TutA^ły u w ’e rru uj^r>>,
Autorka zaprezentowanego rozwiązania na początku przedstawiła jego plan.
Zasygnalizowała, iż będzie obliczać pochodną funkcji i za jej pomocą zamierza wyznaczyć ekstrema funkcji. Zapis sugeruje, iż studentka miała świadomość, że ze względu na fakt poszukiwania wartości największych i najmniejszych w określonym przedziale, musi ona sprawdzić, czy wyznaczone przez nią warto
ści będą do niego należeć. Po tych uwagach studentka przystąpiła do realizacji opisanego planu. Autorka rozwiązania obliczyła pochodną funkcji / , „tak jak oblicza się pochodną wielomianu” , przyjęła przy tym, że |rr| = x. Następnie sprawdzała kiedy policzona przez nią pochodna przyjmuje wartość 0 oraz szki
cowała jej wykres. Zauważyła też, że funkcja nie jest rożniczkowalna w punkcie x = 1 oraz, że pochodna funkcji / jest zawsze nieujemna. Wyciągnęła stąd wniosek, iż funkcja f ( x ) — \x2 — 2|x|| + 1 nie posiada wartości najmniejszej ani największej.
Autorzy rozwiązań zaliczonych do tej grupy błędnie obliczali pochodną funkcji / . Następnie wyznaczając rozwiązania równania f ( x ) — 0 próbowali wskazać ekstrema funkcji / . Charakterystyczną cechą prac jest obliczanie po
chodnej funkcji nieróżniczkowalnej w swojej dziedzinie, według „wymyślonych”
przez siebie wzorów, przy tym żaden ze studentów nie sprawdzał istnienia po
chodnej funkcji / w punktach —2, 0, 2.
Oczywistym jest, że schemat rozwiązania zastosowany przez autorów nie jest prawidłowy. Błędy popełnione przez studentów mogą świadczyć o braku dostatecznie wykształconych umiejętności analizy sytuacji i wyboru odpowied
niej, adekwatnej do sytuacji, drogi rozwiązania zadania. Mogą też świadczyć o braku umiejętności modyfikacji drogi rozwiązania zadania, wykorzystującej elementy rachunku różniczkowego. Prawdopodobnym jest też, iż autorom za
brakło refleksji dotyczącej różniczkowalności funkcji / w jej dziedzinie, gdyż w wielu znanych im przypadkach nie prowadziło to do błędów. Studenci sto
sowali „automatycznie” pewien algorytm bez sprawdzenia warunków, które muszą być spełnione, aby funkcjonował on poprawnie. Na problemy z tym
związane zwraca uwagę Z. Dybiec (Dybiec, 1996) pisząc, że: ...grupą proble
mów wzmacniających tendencje algorytmiczne są zagadnienia ekstremaliza- cyjne. Zdarza się, i to dość często, że na polecenie znalezienia maksimum czy minimum funkcji natychmiast uruchamia się algorytm pochodnych. Nieraz sto
suje się go nawet do funkcji nieróżniczkowalnych.
Kolejną grupę prac nazwałam „w a rto ści” . Ich charakterystyczną cechą jest obliczanie wartości funkcji / na końcach przedziału jej określoności i tylko na tej podstawie udzielanie odpowiedzi na pytanie sformułowane w treści za
dania. Do tej grupy rozwiązań zaliczyłam pięć prac.
Oto przykładowe rozwiązanie zaliczone do tej grupy.
; - A ~ r { 3
Ą A r f c ) W + /I
-^ | A - SLKa. +Ł - a.vl-fi-MrJj | +4-
1 S " ~ £ -' ( d /^a.] h ^
-- j b - SLrCoi - 9- -SirCLI + A~
| -+/| ] + /| ^ - \rC ou - A -k/j =>
& I ~ 9-^GC \ t A * f o l - M ~ / ]
o\ą>«. X a
Ca/ 'YOOc^lr^AJ^i
Autorka przedstawionego rozwiązania obliczała wartość funkcji / na koń
cach przedziału [- 1 - y/2, 1 + y/2\. Studentka popełniła przy tym błędy ra
chunkowe. W dalszej części rozwiązania badana porównywała wartości funkcji / dla wskazanych argumentów, a następnie sformułowała odpowiedź.
Autorzy prac zaliczonych do grupy „wartości” rozwiązując zadanie postę
powali tak, jakby korzystali z następującego schematu: funkcja przyjmuje war
tości największe oraz najmniejsze na końcach przedziału określoności, zatem wystarczy obliczyć i porównać wartości funkcji w punktach — 1 — \/2, 1 + y/2.
Autorzy rozwiązań zaliczonych do tej grupy, obliczając wartości funkcji na koń
cach zadanego przedziału, popełnili błędy rachunkowe, otrzymując w wyniku różne wartości funkcji na końcach przedziału jej określoności. W analizowanych rozwiązaniach brak jest śladów, które mogłyby świadczyć o refleksji autorów dotyczącej monotoniczności czy parzystości funkcji / , chociaż są one jednymi z podstawowych elementów badania przebiegu zmienności funkcji. Jednocze
śnie dostrzeżenie, iż funkcja / jest parzysta, mogłoby istotnie uprościć roz
wiązanie zadania. Z funkcjami monofonicznymi w całej dziedzinie uczeń spo
tyka się najczęściej na początku swojej nauki o funkcjach (funkcja liniowa).
Być może pierwsze skojarzenia związane z tą własnością funkcji nie zostały skorygowane w toku dalszej nauki i właśnie to było bezpośrednią przyczyną błędów popełnionych przez studentów. Jak zauważa Z. Krygowska, w nowej rzeczywistości matematycznej pewne skojarzenia, pewne intuicje, pewne na
wyki utrwalone poprzednio funkcjonują bardzo długo. [...] Według jednego z praw psychologicznych asocjacje utrwalają się szybko, ale okres ich eliminacji jest o wiele dłuższy (Krygowska, 1989).
Charakterystyczną cechą kolejnej grupy prac jest „automatyczne” stoso
wanie definicji wartości bezwzględnej i zapisywanie funkcji / wieloczęściowo (autorzy prac od tego rozpoczynali rozwiązywanie zadania). Następnie stoso
wanie aparatu pochodnych (9 rozwiązań), bądź szkicowanie wykresu funkcji, powoływanie się na jej własności i na ich podstawie wyznaczanie wartości największych oraz najmniejszych funkcji / (41 rozwiązań). Tę grupę prac na
zwałam „d e fin ic ja w a r to ś ci b e z w z g lę d n e j” .
Żaden ze studentów, których rozwiązania zaliczyłam do omawianej grupy, wykorzystując w dalszej części rozwiązania elementy rachunku różniczkowego, nie uzyskał poprawnych wyników. Bezpośrednią przyczyną tego jest fakt, że studenci próbowali „różniczkować” funkcję w punktach, w których jej po
chodna nie istnieje. Połowa osób powołujących się na własności wykresu funk
cji także nie uzyskała poprawnych rozwiązań. Związane to było z błędnym specyhkowaniem definicji wartości bezwzględnej i skutkowało otrzymywaniem nieprawidłowego wykresu funkcji / . Nieprawidłowa była też odpowiedź do za
dania pomimo, iż studenci poprawnie odczytywali z wykresu funkcji jej war
tości największe i najmniejsze.
Jak wspomniałam wcześniej, niejednokrotnie autorom rozwiązań nie udało się poprawnie zapisań wieloczęściowo funkcji / . Popełniali błędy związane z ograniczeniem stosowalności każdego z wzorów określających funkcję, nie
wyróżniali i nie rozważali oni wszystkich odpowiednich przypadków, bądź po
pełnili błędy w specyfikacji wzoru opisującego funkcję. Omawiając błędy po
jawiające się w rozwiązaniach zadania 1 podałam pewne błędne schematy, we
dług których badani specyfikowali \x\. Analizując rozwiązania zadania 4 mo
żna uzupełnić zestaw błędów przedstawionych wcześniej o popełnione przez studentów podczas rozwiązywania zadania 4. Oto lista schematów, według których studenci rozwiązujący zadanie 4 specyfikowali definicję wartości bez-względnej.
Spośród osób rozwiązujących omawiane zadanie, 9 studentów specyfiko- wało |a:| według schematu W l. Dwie osoby specyfikowały \x2 — 2x\ według schematu W2. Schemat W3, podobnie jak W4, stosowało 3 studentów. Każdy ze schematów W5 i W6 został zastosowany przez jedną osobę. Przeprowa
dzone przeze mnie rozmowy indywidualne z osobami, które popełniły wymie
nione błędy, pozwalają na podanie ich hipotetycznych przyczyn. Błąd pierw
szy (schemat W l ) , czwarty (schemat W4) oraz piąty (schemat W5) pojawił się w wyniku kojarzenia wartości bezwzględnej dowolnej liczby z liczbą do
datnią. Na pytanie o ewentualną wartość bezwzględną z liczby 0 rozmówcy odpowiadali następująco: nie istnieje wartość bezwzględna z zera. Taką odpo
wiedź podały cztery osoby. Pozostałe osoby stwierdziły, że JO) = 0. Badani nie dostrzegali przy tym sprzeczności, w jakiej pozostawały ich dwie wypo
wiedzi. Można przypuszczać, że dwa wymienione przez nich fakty funkcjonują w umysłach badanych jakby oddzielnie.
Myślę, że studenci popełniający błędy drugi (schemat W2) i trzeci (sche
mat W3) inaczej odczytywali tą samą zmienną w stosowanej definicji wartości
bezwzględnej, ponadto osoby specyfikujące \x2 — 2x\ według schematu W3 utożsamiają wartość bezwzględną liczby z liczbą dodatnią.
Osoba, która popełniła błąd szósty (schemat W6), następująco uzasadniała poprawność swojego zapisu:
moduł z x to x, bo to występuje pod wartością bezwzględną czyli
\x2 — 2\x\\ = \x2 — 2x\. Teraz tylko rozpisuję ten ( \x2 — 2x\) moduł.
Można przypuszcać, iż studentka błędnie uogólniła twiardzenie mówiące, iż
||rr|| =' |x| dla x € R, a ponadto odczytała ona inaczej tą samą zmienną w stosowanej przez siebie definicji.
Prawdopodobnym jest, że osoby, które błędnie specyfikowały definicję war
tości bezwzględnej (schematy W1- W 6), rozumieją pojęcie wartości bezwzględ
nej jedynie formalnie, a pozostałe aspekty, tj. aspekt intuicyjny i heurystyczny, obrazu tego pojęcia są im obce.
Ostatnią grupę prac nazwałam „nierówność” . Charakterystyczne dla niej jest wskazywanie zbioru liczb, dla których funkcja przyjmuje wartości naj
mniejsze i największe, jako liczb spełniających warunek:
- 1 - V2 < |x2 - 2|:r|| + 1 < 1 + s/2. (*) Do tej grupy zaliczyłam 4 prace.
Przykładem pracy może być fragment rozwiązania Agaty. Autorka rozwią
zania próbowała wyznaczyć argumenty, dla których wartości funkcji znajdują się pomiędzy —1 — y/2, a 1 + \/2. W tym celu przekształciła nierówność (*) do postaci
- 2- V2 < |*2 — 2|*|| < V2 (**) i zapisała warunek w postaci dwóch nierówności:
\x2 — 2\x\\ < y/2, \x2 — 2|x|| > —2 — y/2.
Dalsza praca studentki nad zadaniem miała na celu wyznaczenie argumentów spełniających te warunki.
Można przypuszczać, że osoby, których rozwiązania znalazły się w omawia
nej grupie, nie zrozumiały treści zadania, pomyliły argumenty funkcji / z jej wartościami, bądź inaczej niż to sugeruje treść zrozumiały polecenie sformu
łowane w zadaniu. Myślę, że przyczyny popełnionych błędów można upatry
wać w słabej znajomości i umiejętności wykorzystania pojęć, o których mowa w treści zadania.
4.4.2 Podsumowanie Strategie
W rozwiązaniach zadania można wyróżnić dwie, wcześniej już omawiane strategie, jakimi posługiwali się badani. Należą do nich: strategia „geome
tryczna” oraz strategia „algebraiczna” . W pierwszej grupie rozwiązań, na
zwanej „wykresy” , można mówić o strategii „geometrycznej” , polegającej na szkicowaniu wykresu funkcji / i odczytywaniu z niego wartości największych i najmniejszych tej funkcji. Wykres stał się tu środkiem argumentacji. W gru
pach rozwiązań nazwanych: „pochodne” , „wartości” i „nierówności” można mówić o strategii „algebraicznej” rozwiązania zadania. Polegała ona na próbie odpowiedzi na pytanie postawione w treści zadania tylko na podstawie wyko
nywania rachunku algebraicznego, bez szkicowania wykresu funkcji. W grupie rozwiązań „definicja wartości bezwzględnej” można mówić o występowaniu dwóch dominujących, omówionych wcześniej strategii. Jednocześnie, dodat
kowo w rozwiązaniach tych można dostrzec elementy strategii „pierwszego sygnału” . Osoby rozwiązujące zadanie zaczynały pracę od zapisania przepisu funkcji / w sposób wieloczęściowy. Można przypuszczać, że to wartości bez
względne występujące w przepisie funkcji przyczyniły się do niejako „automa
tycznego” zapisania przepisu funkcji / w taki właśnie sposób.
Po porównaniu rozwiązań nasuwa się wniosek, iż w przypadku omawia
nego zadania strategia „geometryczna” okazała się być bardziej skuteczną od strategii „algebraicznej” , tj. więcej osób stosujących ją rozwiązało zadanie po
prawnie. Można więc postawić hipotezę, że w przypadku zadań dotyczących funkcji, szkic wykresu może stać się istotnym elementem wpływającym na po
prawność rozwiązania zadania. Pojawia się też pytanie, dlaczego badani stu
denci nie stosowali strategii „geometrycznej” , która w przypadku tego typu zadań mogłaby okazać się bardziej skuteczną.
W iadom ości, umiejętności oraz trudności
W zadaniu pojawiły się sygnały dotyczące braków w wiadomościach i umie
jętnościach badanych studentów. Do najważniejszych należy zaliczyć:
— brak umiejętności zapisania przepisu funkcji wzorem wieloczęściowym,
— brak umiejętności szkicowania funkcji zadanej wieloczęściowym przepi
sem,
— brak umiejętności związanych z przekształcaniem wykresów funkcji.
Analiza rozwiązań pozwoliła także na potwierdzenie (podobnie jak w za
daniu 1) braków w wiadomościach i umiejętnościach w zakresie specyfikowania wartości bezwzględnej (problem omówiony na stronie 49). Myślę, iż jeszcze jed
nym, bardzo niepokojącym, zaobserwowanym tu zjawiskiem jest bezpośrednie,
mechaniczne stosowanie elementów rachunku różniczkowego do wyznaczania wartości największych i najmniejszych funkcji / .
Schematy
Wielu studentów rozwiązujących zadanie stosowało poznane w szkole śred
niej schematy rozwiązywania zadań. Myślę, iż poznane i stosowane przez ucz
niów w szkole średniej schematy rozwiązywania zadań, w których wykorzy
stuje się elementy rachunku różniczkowego, czy też schemat związany z wy
znaczaniem wartości największych i najmniejszych funkcji liniowej, przysłoniły albo uniemożliwiły wielu studentom przeprowadzenie właściwej analizy sytu
acji i wybór poprawnej drogi rozwiązania problemu (por. str. 45 - 48). Stały się więc one blokadami utrudniającymi rozwiązanie zadań.