Przyczynek do badań nad strategiami rozwiązywania zadań matematycznych

S E R IA V : D Y D A K T Y K A M A T E M A T Y K I 25 (2003)

Joanna Czaplińska

Akademia Pedagogiczna w Krakowie

Przyczynek do badań nad strategiami rozwiązywania zadań matematycznych

Uwagi wstępne

Liczne badania dydaktyków matematyki (np.: Z. Krygowkiej, G. Poły i, M. Ciosek) pokazują, że nie można przecenić roli zadań w procesie edukacji na każdym poziomie matematycznego kształcenia.

Zdaniem G. Polyi rozwiązywanie zadań stanowi jedną ze specyficznych wła­

sności intelektu, a intelekt to specyficzny rys gatunku ludzkiego. Rozwiązywanie zadań można więc uznać za najbardziej charakterystyczną domenę aktywności człowieczej (Polya, 1975).

Jednocześnie - zauważa Z. Krygowska - każde zadanie matematyczne jest no­

śnikiem różnych elementów dydaktycznej instrukcji takich jak: treść matema­

tyczna - twierdzenia, definicje, algorytmy itp.; aspekt metodologiczny - formy rozumowania, dedukcja, redukcja, poprawna klasyfikacja przypadków, logiczna struktura twierdzenia, którego się dowodzi itp.; aspekt heurystyczny - analogia, indukcyjne poszukiwanie rozwiązania, próba rozwiązania w przypadku szczegól­

nym i poszukiwanie sposobu uogólnienia itp. (Krygowska, 1977, cz. 3).

Nie należy także zaniedbywać aspektu semantycznego zadania, gdyż sposób jego sformułowania może istotnie wpływać zarówno na jego zrozumienie, jak i na przyjętą metodę rozwiązania.

W pracy przedstawiam analizę ilościową i jakościową rozwiązań zadań przedstawionych przez studentów rozpoczynających naukę na kierunku ma­

tematyka w Akademii Pedagogicznej w Krakowie w 2002 roku.

Poniżej prezentuję system rekrutacji na kierunek matematyka w AP w Kra­

kowie, obowiązujący w 2002 roku. Bez egzaminu zostali przyjęci absolwenci

liceów ogólnokształcących, którzy w roku szkolnym 2001/2002 przystąpili do

pisemne] oraz ustnej matury z matematyki i uzyskali z obu tych egzaminów

oceny co najmniej bardzo dobre, a w przypadku absolwentów klas profilowa­

nych matematycznych oceny co najmniej dobre. Osobom, które zdawały tzw.

„nową maturę” gwarantowano przyjęcie bez egzaminu w przypadku, gdy na maturze z matematyki uzyskały one na poziomie rozszerzonym co najmniej 75 punktów. Łącznie bez egzaminu przyjęto 189 osób. Pozostali kandydaci, którzy nie spełniali wyżej wymienionych kryteriów uczestniczyli w egzaminie wstępnym, podczas którego w czasie 240 minut mieli rozwiązać 10 zadań ma­

tematycznych. Do tego egzaminu przystąpiło 187 osób, spośród nich tylko 50 (tj. około 26% osób uczestniczących w egzaminie wstępnym) zdało egzamin i zostało przyjętych na pierwszy rok studiów. Jak widać, niewiele osób przyję­

tych na studia zdawało egzamin wstępny. Interesującą byłaby więc odpowiedź na pytanie, jak z zadaniami z egzaminu wstępnego poradziłyby sobie osoby przyjęte na pierwszy rok studiów na podstawie ocen ze świadectwa matural­

nego. W związku z tym podjęłam próbę prześledzenia interesującego mnie problemu.

W kolejnych częściach pracy podaję cel i metodologię badań, opisuję zasto­

sowane narzędzia badawcze, charakteryzuję badaną grupę osób oraz analizuję uzyskane wyniki badań.

1 Cel i organizacja badań

Omawiane w tej pracy badania przeprowadziłam na początku listopada 2002 roku. Brało w nich udział 102 studentów, obecnych na zajęciach w dniu przeprowadzania badania. Wśród nich znalazły się 22 osoby przyjęte na pierw­

szy rok studiów na podstawie egzaminu wstępnego.

1.1 Cel badań

Przeprowadzone przeze mnie badania miały na celu uzyskanie choćby czę­

ściowych odpowiedzi na następujące pytania:

• Jakimi strategiami posługiwali się studenci rozwiązujący wybrane zada­

nia matematyczne?

• Jakie wiadomości i umiejętności matematyczne, dotyczące funkcji zmien­

nej rzeczywistej, posiadają osoby rozpoczynające studia?

• Jakie trudności napotykali studenci rozwiązujący wybrane zadania ma­

tematyczne?

Chodziło więc o ocenę (w świetle odpowiedzi na trzy powyższe pytania) wiedzy i umiejętności, dotyczących podstawowych zagadnień związanych z po­

jęciem funkcji zmiennej rzeczywistej, którą posiadają osoby przyjęte na studia

matematyczne (zadania użyte w badaniach dotyczyły tylko tej problematyki - patrz narzędzia badawcze). Analizując rozwiązania zadań zwracałam uwagę przede wszystkim na realizację pierwszego, z wyróżnionych przez Z. Krygow­

ską, poziomu celów nauczania matematyki, tj. celu dotyczącego wiadomości i umiejętności w dziedzinie matematyki, które uznaje się za konieczne dla wszystkich (por. Krygowska, 1986).

Jednym z głównych zadań nauczania matematyki na wszystkich pozio­

mach kształcenia jest rozwijanie aktywności matematycznych osób uczących się i, co się z tym ściśle wiąże, kształcenie umiejętności stosowania narzę­

dzi matematycznych do rozwiązywania zadań. Każdy uczeń powinien umieć wykorzystać wypracowane w trakcie nauki szkolnej schematy postępowania.

Jednak oczywistym jest, że procesu rozwiązywania zadań nie da się „ująć”

w ścisłe, wąskie ramy - schematy. Uniemożliwia to chociażby wielość proce­

sów myślowych prowadzących do rozwiązania określonego problemu. Jednakże bez znajomości typowych schematów postępowania oraz bez posiadania p od ­ stawowych sprawności rachunkowych nie jest możliwe rozwiązywanie wielu zadań. Przy czym wypracowane, znane schematy muszą być stosowane racjo­

nalnie, być odpowiednio dobierane do rozwiązywanych problemów i nie mogą ograniczać inwencji w poszukiwaniu rozwiązań oryginalnych. W związku z tym próbowałam odpowiedzieć również na dodatkowe pytanie:

• W jaki sposób schematy rozwiązań, wypracowane w trakcie nauki szko­

lnej, warunkują postępowanie studentów pracujących nad zadaniem?

W jakiej mierze są one stymulatorami, a w jakiej stanowią swoiste blo­

kady, utrudniające lub uniemożliwiające rozwiązanie zadań?

Niezależnie od sformułowanych wyżej pytań, moje badania pozwalają też na pewną ocenę systemu rekrutacji. Stąd kolejne i ostatnie pytanie:

• Czy system rekrutacji na kierunek matematyka, przyjęty w Akademii Pedagogicznej w Krakowie, pozwala w sposób możliwie optymalny wy­

brać osoby, które posiadają odpowiednie predyspozycje do studiowania matematyki?

1.2 Charakterystyka badanej grupy studentów

Jak wspomniałam wcześniej, w badaniach uczestniczyły 102 osoby, spośród których 22 zostały przyjęte na pierwszy rok studiów, na podstawie uzyskania pozytywnego wyniku z egzaminu wstępnego. Pozostałe 80 osób zostało przyję­

tych na studia na podstawie ocen ze świadectwa maturalnego (w tym 77 osób

na podstawie wyników tzw. „starej matury” , zaś pozostałe 3 na podstawie

wyników tzw. „nowej matury” ). Badani uczęszczali do szkół średnich o róż­

nym profilu. Większość z nich (97 osób) ukończyło liceum ogólnokształcące, 3 osoby liceum ekonomiczne, 1 student to absolwent średniej szkoły technicz­

nej, ponadto 1 osoba ukończyła liceum handlowe.

W tabelach la, lb i 2 przedstawiam oceny z matematyki uzyskane przez studentów w szkole średniej, dla 22 osób biorących udział w egzaminie wstęp­

nym podaję dodatkowo wyniki osiągnięte przez nie podczas tego egzaminu.

Lp.

Ocena końcowa z matematyki

Matura część pisemna

Matura część ustna

Średnia Średnia ocen (z kolumn 2, 3, 4)

Liczba osób, które uzyskały

dane oceny

1 2 3 4 5 6

1 6 6 6 6 2

2 6 5 5 5.(3) 2

3 5 6 6 5.(6) 1

4 5 5 5 5 42

5 5 4 5 4.(6) 3

6 5 4 4 4.(3) 1

7 4 5 5 4.(6) 20

8 4 5 4 4.(3) 1

9 4 4 5 4.(3) 2

10 4 4 4 4 1

11 3 5 5 4.(3) 1

12 3 5 4 4 1

suma 77 osób T a b e la l a . Zestawienie ocen osób zdających tzw. „starą maturę” w liceum ogólnokształcącym, przyjętych na pierwszy rok studiów bez egzaminu

Lp. Ocena końcowa Matura Matura Liczba osób, które z matematyki poziom podst .1 poziom rozsz .1 uzyskały dane oceny

1 2 3 4 5

1 4 95 50 1

2 4 93 82 1

3 4 90 48 1

suma 3 osoby T a b e la l b . Zestawienie ocen osób zdających tzw. „nową maturę” w liceum ogól­

nokształcącym, przyjętych na pierwszy rok studiów bez egzaminu

xNa 100 punktów możliwych do zdobycia.

Lp. Rodzaj szkoły

Ocena końcowa

z mate­

matyki

Matura część pisemna

Matura część ustna

Średnia ocen (z kolumn

3, 4, 5 )

Liczba punktów, które uzyskały

dane osoby na egz. wstęp .2

1 2 3 4 5 6 7

1 liceum ogólnokszt .3 6 6 6 6 33

2 liceum ogólnokszt .3 6 5 5 5.(3) 53

3 liceum ogólnokszt .3 5 5 5 5 54

4 liceum ogólnokszt. 5 4 5 4.(6) 41

5 liceum ogólnokszt. 5 3 5 4.(3) 30

6 liceum ogólnokszt. 4 5 5 4.(6) 49

7 liceum ogólnokszt .3 4 4 5 4.(3) 44

8 liceum ogólnokszt. 4 4 5 4.(3) 43

9 liceum ogólnokszt. 4 4 5 4(3) 35

10 liceum ogólnokszt .3 4 4 5 4.(3) 30

11 liceum ogólnokszt. 4 4 3 3.(6) 60

12 liceum ogólnokszt. 4 3 4 3.(6) 40

13 liceum ogólnokszt. 4 3 4 3.(6) 35

14 liceum ogólnokszt. 3 5 4 4 45

15 liceum ogólnokszt. 3 4 5 4 69

16 liceum ogólnokszt. 3 4 5 4 34

17 liceum ogólnokszt. 3 4 4 3.(6) 30

18 liceum ekonomiczne 5 5 5 5 36

19 liceum ekonomiczne 5 5 5 5 33

20 liceum ekonomiczne 4 5 5 4.(6) 35

21 liceum handlowe 5 4 6 5 31

22 technikum 5 5 5 5 34

suma 22 osoby Tabela 2. Zestawienie ocen maturalnych i wyników egzaminu osób zdających egzamin wstępny

Jak wskazują dane zawarte w tabelach la, lb oraz 2, przyjęci na stu­

dia kandydaci stanowią dość zróżnicowaną grupę. Różnice te dotyczą między innymi ocen z matematyki na świadectwach maturalnych oraz wyników eg­

zaminu wstępnego dla osób w nim uczestniczących. Stosunkowo duża grupa osób legitymuje się ocenami najwyższymi, tj. celującymi i bardzo dobrymi z matematyki (wśród przyjętych na studia jest takich osób 54), ponadto jedna studentka zdając tzw. „nową maturę” uzyskała bardzo dobre wyniki, na po­

2Na 100 punktów możliwych do zdobycia.

3Osoba ta ukończyła szkolę średnią i zdawała egzaminy maturalne przed 2002 rokiem,

dlatego też pomimo uzyskanych wysokich ocen, ze względu na zasady rekrutacji, była ona

uczestnikiem egzaminu wstępnego.

ziomie podstawowym 93 pkt., a na poziomie rozszerzonym 82 pkt. Wysokie oceny tych osób mogą świadczyć, że według nauczycieli opanowały one bar­

dzo dobrze wiadomości i umiejętności matematyczne określone przez program kształcenia w szkole średniej. Kontrastują z nimi osoby, które na świadectwie maturalnym uzyskały z matematyki cząstkowe oceny dostateczne. Takich osób jest niewiele - 8 badanych. Spośród nich trzech studentów otrzymało ocenę dostateczną za część pisemną egzaminu dojrzałości, jeden badany za część ustną tego egzaminu, a pozostałe osoby zakończyły edukację w szkole średniej z oceną dostateczną z przedmiotu (patrz tabela 2 ).

Jednocześnie każda średnia ocen z matematyki na świadectwie dojrzałości, uzyskana przez badanych studentów, przekracza 3.7 (ocena prawie dobra).

Analizując dane zebrane w tabeli 2 , w przypadku wielu osób można do­

strzec wyraźne rozbieżności w wynikach osiągniętych przez nie podczas eg­

zaminu wstępnego i ich ocenach ze świadectw dojrzałości. Najwyższą liczbę punktów na egzaminie wstępnym (69 pkt.) uzyskała kandydatka, której śred­

nia ocen na świadectwie wynosi 4.0. Druga osoba, pod względem uzyskanych punktów (60 pkt.) uzyskała na świadectwie maturalnym średnią ocen z ma­

tematyki 3.(6). Dla kontrastu zauważmy, że osoby uzyskujące na egzaminie wstępnym niskie noty, legitymowały się wysokimi ocenami szkolnymi, np.: eg­

zamin 33 pkt. - średnia ocen 6 . 0 , egzamin 31 pkt. - średnia ocen 5.0. Na uwagę zasługuje też fakt, że absolwenci szkół średnich profilowanych uzyskali słabe wyniki na egzaminie wstępnym (najwyższa liczba punktów zdobyta przez te osoby to 36 pkt.). Jest to pewien sygnał, wymagający głębszych badań.

1.3 Przebieg badań

Badania przeprowadziłam osobiście, a w sprawach organizacyjnych poma­

gała mi osoba będąca pracownikiem Instytutu Matematyki. Czas przeznaczony na rozwiązanie czterech zadań, opisanych w narzędziach badawczych, wynosił 90 minut. Przed przystąpieniem do pracy każdy ze studentów otrzymał zestaw materiałów, złożony z kartki zawierającej treść zadań oraz czterech arkuszy papieru, na których badani podawali rozwiązania zadań - każde zadanie na oddzielnym arkuszu. Przed badaniem poinformowałam studentów, iż ich prace będą wykorzystane w celach badawczych i będą analizowane przez osobę prze­

prowadzającą badanie, a ocena rozwiązań nie będzie miała wpływu na bieżące oceny studentów z ćwiczeń. Ta informacja miała zachęcić studentów do sa­

modzielności w rozwiązywaniu zadań, o co apelowałam szczególnie mocno, prosiłam również o nie korzystanie z brudnopisów, a jedynie z otrzymanych arkuszy papieru, motywując to tym, że czasem notatki traktowane przez bada­

nego jako brudnopis, mogą stanowić dla analizującego cenne źródło informacji

0 procesie rozwiązywania zadania. Studenci wiedzieli również, że wyniki ich pracy będą porównywane z ich ocenami szkolnymi, a także z oceną uzyskaną na egzaminie wstępnym (dla zdających ten egzamin), co wymaga opatrzenia prac nazwiskami autorów. Podpisanie prac pozwoliło ponadto na utworzenie tabel prezentujących oceny ze świadectw dojrzałości dla wszystkich studen­

tów biorących udział w badaniach oraz umożliwiło przeprowadzenie rozmów indywidualnych z autorami poszczególnych rozwiązań.

2 M etodologia badań i narzędzia badawcze

2.1 M etoda badań

Podstawową metodę badawczą stanowiła analiza dokumentów, czyli wy­

tworów działania studentów, którzy rozwiązywali wybrane zadania matema­

tyczne (zob. Łobocki, 1984), wsparta w kilku przypadkach rozmowami indywi­

dualnymi. W badaniach wystąpił więc także element metody wywiadów (por.

Łobocki, 1984). Rozmowy indywidualne miały na celu pom oc w utworzeniu 1 opisaniu poszczególnych grup rozwiązań. Rzuciły one też pewne światło na możliwość interpretacji rozwiązań zamieszczonych w pracach pisemnych.

2.2 Narzędzia badawcze

Narzędzie badawcze stanowiły cztery zadania z zakresu analizy matema­

tycznej, wybrane spośród dziesięciu, które były rozwiązywane na egzaminie wstępnym przez kandydatów na studia matematyczne w Akademii Pedagogicz­

nej w Krakowie w 2002 roku. Pełną listę zadań obowiązujących na egzaminie wstępnym podaję w aneksie, a poniżej przedstawiam zadania wykorzystane w badaniach.

Z a d an ie 1 . Narysować wykres funkcji f ( x ) = 1 — cos(|:r| -\-x) i wyznaczyć jej miejsca zerowe.

Z a d an ie 2 . Dana jest funkcja

f ( x ) = (k — l ) x 3 — 4x2 + ( k -f 2)x.

Niech p: R —> R oznacza funkcję, która parametrowi k przyporządkowuje liczbę pierwiastków równania f ( x ) = 0. Wskazać wszystkie wartości parametru A:, dla których p(k) jest liczbą parzystą.

Z a d a n ie 3. Dana jest funkcja

Wyznaczyć dziedzinę funkcji / oraz punkty przecięcia wykresu funkcji / z osia­

mi układu współrzędnych.

Zadanie 4. Wyznaczyć wszystkie argumenty x , dla których funkcja f { x ) = \x2 - 2\x\\ + 1 ,

określona w przedziale [— 1 — \ /2 ,1 T y/2] przyjmuje wartości największe i wszy­

stkie argumenty #, dla których przyjmuje wartości najmniejsze.

2.3 Uzasadnienie doboru zadań i propozycja ich oceny

Tematyka zadań na egzaminie wstępnym była różnorodna. Posługując się jednym z tradycyjnych podziałów zadań, wśród zadań egzaminacyjnych mo­

żna wyróżnić zadania z analizy matematycznej, geometrii, algebry, a także zadanie z rachunku prawdopodobieństwa. Zadania do badań wybrałam celowo tak, aby były one związane ze sobą tematycznie i dotyczyły funkcji zmien­

nej rzeczywistej. Wśród wybranych przeze mnie są zadania łatwiejsze (niżej punktowane) oraz takie, których rozwiązywanie wymaga od egzaminowanego większych umiejętności matematycznych.

Wiadomości i umiejętności matematyczne, określone w Podstawie Progra­

mowej Kształcenia Ogólnego, dotyczące funkcji zmiennej rzeczywistej, sta­

nowią bazę umożliwiającą pogłębianie i poznawanie nowej wiedzy w czasie studiów. Równocześnie brak tych wiadomości i umiejętności może być bez­

pośrednią przyczyną niepowodzeń w studiowaniu matematyki. Wyznaczanie dziedziny funkcji, jej miejsc zerowych, zbioru wartości funkcji, wartości naj­

mniejszych i największych funkcji w danym przedziale oraz przedziałów mo- notoniczności - to jedne z podstawowych treści kształcenia w szkole średniej.

Zadania stanowiące narzędzie badawcze można uznać za typowe, jeśli przy­

jąć za M. Legutko jako kryterium typowości treści matematyczne, do których się odwołują oraz ich strukturę (dane są wystarczające do rozwiązania). Za ty- powością tych zadań przemawia dodatkowo fakt, że rozwiązanie każdego z nich jest jednoznaczne (por. Legutko, 1987).

Można też stwierdzić, iż zadania użyte w badaniach, z punktu widzenia p o­

działu zadań matematycznych dokonanego przez Z. Krygowską, posiadają ce­

chy charakterystyczne dla zadań-ćwiczeń oraz dla zadań-zwykłych zastosowań teorii (por. Krygowska, 1977). Student rozwiązujący zadania może postępować według poznanych wcześniej schematów, niekiedy zachodzi jednak konieczność

„wychylenia” się poza wypracowany schemat rozwiązywania zadań określo­

nego „typu” . Rozwiązanie omawianych zadań wymaga bardziej zróżnicowanej

aktywności i samodzielności niż ma to miejsce w przypadku rozwiązywania

zadań-ćiuiczeń.

13 Analizując bardziej szczegółowo poszczególne zadania, zauważyć można niektóre charakterystyczne elementy tych zadań, które mogą ukierunkować pracę rozwiązującego studenta.

Zadanie 1 ma na celu kontrolę wiadomości i umiejętności dotyczących:

• wartości bezwzględnej,

• wyznaczania miejsc zerowych funkcji,

• szkicowania wykresu funkcji złożonej, a w tym

• umiejętności przedstawiania na rysunku wykresu funkcji zadanej dwu­

częściowym przepisem4.

W przypadku, gdy argumenty funkcji są ujemne, student może mieć trud­

ności z wyznaczeniem miejsc zerowych funkcji. Uczeń często kojarzy je ze zbio­

rem izolowanych wartości argumentów, dla których funkcja przyjmuje war­

tość 0 , zaś tu, w zadaniu, liczba x jest miejscem zerowym funkcji / wtedy 1 tylko wtedy, gdy x £ ( —oo, 0) U { x £ R : x — kn, k £ N }. Miejsca ze­

rowe, które są argumentami ujemnymi, nie tworzą zbioru izolowanych warto­

ści, co może stanowić przeszkodę w prawidłowym rozwiązaniu tego zadania.

Ponadto dodatkową przeszkodą może być fakt, że funkcją wewnętrzną jest funkcja x —> x + |x|. Występująca we wzorze wartość bezwzględna czyni infor­

macje o argumentach funkcji / trudniejszymi do odczytania i istotnie wpływa na sposób wyznaczania miejsc zerowych tej funkcji, a w szczególności na me­

todę rozwiązania równania 1 — cos(|x| + x) = 0 .

Zadanie 2 ma na celu sprawdzenie wiadomości i umiejętności z zakresu:

• rozwiązywania równań algebraicznych z parametrem,

• umiejętności dokonania poprawnej klasyfikacji przypadków.

Badania dydaktyków matematyki, m. in. badania Z. Dybiec (Dybiec, 1996), sugerują, że większość uczniów rozwiązujących zadania podobne do zadania 2 bez większego namysłu przeprowadza dyskusję liczby rozwiązań równania kwadratowego, w zależności od znaku wyróżnika A . Można więc oczekiwać, iż studenci rozwiązujący zadanie będą pomijać przypadki, w których równanie przestaje być kwadratowym oraz będą skupiać się na liczbie rozwiązań, nie zaś na ich postaci. W zadaniu 2, w przypadku gdy k — —2, mamy do czynienia z sytuacją, gdzie jedno z rozwiązań równania jest podwójne, co ma istotny wpływ na rozwiązanie zadania i końcową odpowiedź na pytanie sformułowane w jego treści.

4 W literaturze używa się też nazw dwunormowy. wielonormowy przepis funkcji. W recenzji

artykułu zaproponowano określenia dwuczęściowy, wieloczęściowy przepis funkcji, które na

użytek tej pracy przyjęłam.

Zadanie 3 ma na celu sprawdzenie umiejętności wyznaczania dziedziny funkcji złożonej, a w tym umiejętności formułowania założeń i wyznaczania zbioru argumentów je spełniających. Umożliwia także kontrolę wiadomości i umiejętności dotyczących wyznaczania punktów przecięcia wykresu funkcji z osiami układu współrzędnych oraz sprawdzenie umiejętności argumentowa­

nia, iż funkcja takich nie posiada. Ponadto umożliwia ono kontrolę umiejęt­

ności rozwiązywania pewnego typu równań i nierówności wykładniczych oraz wymiernych.

Zadanie 4 umożliwia kontrolę wiadomości i umiejętności dotyczących:

• wartości bezwzględnej (podobnie jak zadanie 1 ),

• wyznaczania wartości największych i najmniejszych funkcji w dziedzinie.

Pewną przeszkodę w rozwiązaniu zadania może stanowić fakt, że funkcja nie jest określona dla wszystkich x G R. Ponadto, wartości bezwzględne wystę­

pujące we wzorze określającym funkcję / , podobnie jak w zadaniu 1 , istotnie wpływają na sposób rozwiązania tego zadania. Oczywistym jest, że funkcja / nie jest różniczkowalna w całej swojej dziedzinie, co może utrudniać za­

stosowanie elementów rachunku różniczkowego do wyznaczania jej wartości największych i najmniejszych.

Analizując rozwiązania zadań przedstawione przez studentów oceniałam każde z nich w skali punktowej, ustalonej na egzamin wstępny5. Zgodnie z nią za rozwiązanie zadania 1 można było uzyskać maksymalnie 7 punk­

tów. W tym:

• 1 punkt za rozważenie przypadków x < 0 , x > 0 ,

• 1 punkt za zapisanie funkcji / dwuczęściowo,

• 2 punkty za naszkicowanie wykresu funkcji / 6,

• 2 punkty za wyznaczenie miejsc zerowych funkcji / ,

• 1 punkt za sformułowanie odpowiedzi.

Za rozwiązanie zadania 2 można było otrzymać maksymalnie 9 punktów.

W tym:

• 1 punkt za zapisanie równania w postaci czynnikowej,

5Podana punktacja może być dyskusyjna. Ja przyjęłam punktację określoną na egzamin wstępny, gdyż umożliwiło to przeprowadzenie analizy porównawczej rozwiązań z badania i egzaminu wstępnego.

6tj. zaznaczenie na wykresie funkcji / najważniejszych elementów (z punktu widzenia

rozwiązania zadania) takich jak: miejsca zerowe funkcji, wartości największe i najmniejsze

funkcji.

• 1 punkt za rozważenie przypadku k = — 2 ,

• 2 punkty za rozważenie przypadku k — 1 ,

• 4 punkty za rozważenie przypadku k / 1,

• 1 punkt za sformułowanie odpowiedzi.

Rozwiązujący zad an ie 3 mogli otrzymać za nie maksymalnie 10 punktów.

W tym:

• 1 punkt za sformułowanie założenia ( 5 ) ^ — 81x > 0 (*),

• 1 punkt za sformułowanie założenia x ^ 0 ,

• 1 punkt za przekształcenie nierówności (*) do postaci ( 3 )""^ > ( I ) -4 * (**),

• 1 punkt za przekształcenie nierówności (**) do postaci < —4x (***),

• 3 punkty za rozwiązanie nierówności (***),

• 2 punkty za wyznaczenie punktów przecięcia wykresu funkcji / z osiami układu współrzędnych,

• 1 punkt za sformułowanie odpowiedzi.

Za rozwiązanie za d a n ia 4 można było otrzymać maksymalnie 10 punktów.

W tym:

• 3 punkty za zapisanie funkcji / wieloczęściowo,

• 2 punkty za naszkicowanie wykresu funkcji / 6,

• 1 punkt za obliczenie wartości funkcji / na końcach przedziału określo- ności, tj. przedziału [—1 — \/ 2 ,1 + y/2],

• 1 punkt za obliczenie wartości funkcji / dla x = — 1 oraz x = 1 ,

• 1 punkt za obliczenie wartości funkcji / dla x = —2 oraz x = 2 ,

• 1 punkt za obliczenie wartości funkcji / dla x = 0 ,

• 1 punkt za sformułowanie odpowiedzi.

Za wykonanie poszczególnych, wymienionych czynności student otrzymy­

wał podaną liczbę punktów. Za inne, alternatywne sposoby rozwiązania zadań, do których nie pasują omówione sposoby punktacji, przyznawano liczbę punk­

tów proporcjonalną do otrzymanych przez autora wyników.

3 Analiza ilościowa otrzymanych wyników

W tej części pracy przedstawiam wyniki, jakie uzyskali studenci biorący

udział w badaniach (102 osoby) i porównuję je z wynikami uzyskanymi przez

kandydatów uczestniczących w egzaminie wstępnym (187 osób). Podstawę po­

równania stanowi liczba punktów uzyskanych przez studentów i uczestników egzaminu wstępnego. Analizując zestawienia należy mieć na uwadze, iż pisząc o kandydatach mam na myśli zarówno osoby przyjęte na pierwszy rok studiów (tj. te, które uzyskały na egzaminie 30 lub więcej punktów), jak i te, które egzaminu wstępnego nie zdały. Zauważmy, że za poprawne rozwiązanie czte­

rech omawianych zadań można było otrzymać 36 punktów, a więc ktoś, kto podczas egzaminu rozwiązałby tylko te cztery zadania, mógł zostać przyjęty na pierwszy rok studiów.

W dalszej części pracy podaję zestawienie wyników, jakie uzyskali kandy­

daci na studia matematyczne oraz studenci. W tabelach 3a, 3b, 3c, 3d przed­

stawiłam wyniki kandydatów na studia matematyczne, rozwiązujących cztery wybrane zadania, tabele 4a, 4b, 4c, 4d prezentują wyniki studentów. Pierw­

szy wiersz każdej tabeli odpowiada liczbie punktów możliwych do uzyskania, drugi — liczbie osób, które uzyskały taką liczbę punktów. Ponieważ liczebność prób jest różna, wyniki wyraziłam także w procentach. Dane przedstawione w tabelach zaprezentowałam też w postaci wykresów. Na każdym z wykresów, na osi odciętych zaznaczyłam liczbę punktów możliwych do zdobycia za dane zadanie, na osi rzędnych zaznaczyłam procent liczby osób, które zdobyły daną liczbę punktów.

3.1 Analiza rozwiązań zadania 1 Liczby punktów możliwe do

uzyskania za zadanie 1 0 1 2 3 4 5 6 7

Liczba osób które otrzymały

daną liczbę punktów 77 29 21 18 11 15 13 3

Procent osób otrzymujących

daną liczbę punktów 41.18 15.51 11.24 9.64 5.83 8.03 6.96 1.61 T a b e la 3a. Rozkład wyników 187 kandydatów na studia rozwiązujących zadanie 1, przy przyjęciu kryteriów oceniania podanych w paragrafie 2.3

Liczby punktów możliwe do

uzyskania za zadanie 1 0 1 2 3 4 5 6 7

Liczba osób które otrzymały

daną liczbę punktów 16 16 12 13 7 15 4 19

Procent osób otrzymujących

daną liczbę punktów 15.69 15.69 11.76 12.74 6.86 14.71 3.92 18.63 Tabela 4a. Rozkład wyników 102 studentów rozwiązujących zadanie 1, przy przyjęciu kry­

teriów oceniania podanych w paragrafie 2.3

17

Analizując wyniki kandydatów na studia stwierdziłam, że prawie 42%

z nich nie zdobyło za rozwiązanie zadania ani jednego punktu. Ponadto około 27% osób otrzymało za to zadanie 1 lub 2 punkty. Stąd wynika, że około 69%

kandydatów na studia otrzymało za rozwiązanie zadania mniej niż | liczby punktów możliwych do zdobycia7. Wart odnotowania jest fakt, iż tylko 22%

osób otrzymało za rozwiązanie zadania więcej niż połowę liczby punktów8.

Opracowując wyniki studentów stwierdziłam, że około 16% z nich nie zdo­

było za rozwiązanie zadania ani jednego punktu. Ponadto około 27% osób otrzymało za to zadanie 1 lub 2 punkty, a zatem około 43% studentów otrzy­

mało za rozwiązanie zadania mniej niż | liczby punktów możliwych do zdo­

bycia. Jednocześnie tylko 44% osób otrzymało za rozwiązanie zadania więcej niż połowę liczby punktów.

Średnia liczba punktów uzyskana przez studentów to 3.23 pkt., odpowied­

nia średnia dla kandydatów na studia jest prawie dwa razy niższa i wynosi tylko 1.83 pkt. Jednocześnie obie te średnie są niższe od .połowy liczby punk­

tów możliwych do zdobycia za to zadanie.

Jak wynika z zaprezentowanych danych, globalne wyniki badanych studen­

tów są niewiele lepsze od wyników osiągniętych przez kandydatów na studia.

Jednocześnie wartym podkreślenia jest fakt, że dużo więcej studentów (około 19%), niż kandydatów (około 2%) rozwiązało zadanie poprawnie.

'N a egzaminie wstępnym uzyskanie 30% punktów gwarantowało przyjęcie na pierwszy rok studiów, a więc osoba która za rozwiązanie każdego z zadań uzyskałaby tylko | liczby punktów możliwych do zdobycia za każde z zadań zdałaby egzamin. Dlatego też analizując wyniki uzyskane przez obie grupy osób zamieszczam informacje, ile procent badanych osób uzyskało mniej niż | punktów za każde z zadań.

8Zwyczajowo uznaje się, że osoba która uzyskała więcej niż połowę punktów za zadanie

otrzymuje za nie ocenę pozytywną (w akademickiej skali ocen).

3.2 Analiza rozwiązań zadania 2 Liczby punktów możliwe do

uzyskania za zadanie 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Liczba osób, które otrzymały

daną liczbę punktów 106 15 8 9 14 7 4 22 2 0

Procent osób otrzymujących

daną liczbę punktów 56.68 8.03 4.28 4.81 7.49 3.74 2.14 11.76 1.07 0

Tabela 3b. Rozkład wyników 187 kandydatów na studia rozwiązujących zadanie 2, przy przyjęciu kryteriów oceniania podanych w paragrafie 2.3

Liczby punktów możliwe do

uzyskania za zadanie 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Liczba osób, które otrzymały

daną liczbę punktów 16 13 13 14 19 17 9 0 1 0

Procent osób otrzymujących

daną liczbę punktów 15.69 12.74 12.74 13.73 18.63 16.67 8.82 0 0.98 0

Tabela 4b. Rozkład wyników 102 studentów rozwiązujących zadanie 2, przy przyjęciu kryteriów oceniania podanych w paragrafie 2.3

Analizując wyniki kandydatów na studia stwierdziłam, że ponad połowa, tj. około 57% z nich nie zdobyło za rozwiązanie zadania 2 ani jednego punktu.

Ponadto około 12% osób otrzymało za to zadanie 1 do 2 punktów. Stąd wynika,

że aż 69% kandydatów na studia otrzymało za rozwiązanie zadania mniej

niż ^ liczby punktów możliwych do zdobycia. Wart odnotowania jest fakt,

iż tylko około 19% osób otrzymało za rozwiązanie zadania więcej niż połowę liczby punktów możliwych do zdobycia, a także to, że nikt z nich nie rozwiązał zadania poprawnie.

Wyniki studentów rozwiązujących zadanie 2 pozwalają stwierdzić, że około 16% z nich nie zdobyło za rozwiązanie zadania ani jednego punktu. Ponadto około 25% osób otrzymało za to zadanie od 1 do 2 punktów. Stąd wynika, że około 41% studentów otrzymało za rozwiązanie zadania mniej niż ^ liczby punktów możliwych do zdobycia. Jednocześnie tylko 26% osób otrzymało za rozwiązanie zadania więcej niż połowę liczby punktów, a przy tym (podobnie jak w grupie kandydatów) żaden ze studentów nie rozwiązał zadania popraw­

nie.

Przeciętne liczby punktów, uzyskane przez studentów i kandydatów na studia, są znacznie poniżej połowy liczby punktów możliwych do zdobycia za to zadanie i wynoszą odpowiednio 2.98 pkt. oraz 1.83 pkt.

3.3 Analiza rozwiązań zadania 3

Liczby punktów możliwe do uzyska­

nia za zadanie 3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Liczba osób, które otrzymały daną liczbę punktów

23 25 18 21 11 14 17 9 16 4 29

Procent osób otrzy­

mujących daną liczbę punktów

12.30 13.37 9.64 11.24 5.83 7.49 9.10 4.81 8.57 2.14 15.51 Tabela 3c. Rozkład wyników 187 kandydatów na studia rozwiązujących zadanie 3, przy przyjęciu kryteriów oceniania podanych w paragrafie 2.3

Liczby punktów możliwe do uzyska­

nia za zadanie 3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Liczba osób, które otrzymały daną liczbę punktów

2 2 5 10 8 8 18 12 15 8 14

Procent osób otrzy­

mujących daną liczbę punktów

1.96 1.96 4.90 9.80 7.84 7.84 17.66 11.76 14.71 7.84 13.73 Tabela 4c. Rozkład wyników 102 studentów rozwiązujących zadanie 3, przy przyjęciu kry­

teriów oceniania podanych w paragrafie 2.3

wyniki kandydatów na studia

Analizując wyniki osiągnięte przez kandydatów rozwiązujących zadanie 3 można stwierdzić, iż około 12% z nich nie zdobyło za rozwiązanie zadania ani jednego punktu. Ponadto około 34% osób otrzymało za to zadanie od 1 do 3 punktów, stąd wynika, że około 46% kandydatów na studia otrzymało za rozwiązanie zadania mniej niż | liczby punktów możliwych do zdobycia. Na­

tomiast około 40% osób otrzymało za rozwiązanie zadania więcej niż połowę liczby punktów, przy czym stosunkowo dużo osób (ponad 15%) otrzymało za rozwiązanie zadania maksymalną liczbę punktów.

Podobnie, analizując wyniki studentów można stwierdzić, że tylko niecałe 2 % z nich nie zdobyło za rozwiązanie zadania ani jednego punktu, zaś około 17% osób otrzymało za to zadanie od 1 do 3 punktów. Stąd wynika, że około 19% studentów otrzymało za rozwiązanie zadania mniej niż ^ liczby punktów możliwych do zdobycia. Jednocześnie ponad 65% osób otrzymało za rozwią­

zanie zadania więcej niż połowę liczby punktów.

Średnie liczby punktów uzyskanych zarówno przez studentów, jak i kandy­

datów są wysokie, i wynoszą odpowiednio 6,25 pkt. oraz 4.58 pkt.

3.4 Analiza rozwiązań zadania 4

Liczby punktów możliwe

do uzyskania za zadanie 4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Liczba osób, które otrzy­

mały daną liczbę punktów 115 14 13 6 5 10 3 11 2 2 6 Procent osób otrzymują­

cych daną liczbę punktów 61.50 7.49 6.96 3.22 2.68 5.35 1.61 5.83 1.07 1.07 3.22

Tabela 3d. Rozkład wyników 187 kandydatów na studia rozwiązujących zadanie 4, przy

przyjęciu kryteriów oceniania podanych w paragrafie 2.3

Liczby punktów możliwe

do uzyskania za zadanie 4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Liczba osób, które otrzy­

mały daną liczbę punktów 46 16 19 6 4 3 5 1 1 0 1

Procent osób otrzymują­

cych daną liczbę punktów 45.09 15.69 18.63 5.88 3.93 2.94 4.90 0.98 0.98 0 0.98 T a b e la 4 d . Rozkład wyników 102 studentów rozwiązujących zadanie 4, przy przyjęciu kryteriów oceniania podanych w paragrafie 2.3

Analizując wyniki kandydatów na studia można stwierdzić, że ponad 61%

z nich nie zdobyło za rozwiązanie zadania 4 ani jednego punktu. Jednocześnie aż 79% kandydatów na studia otrzymało za rozwiązanie zadania mniej niż | liczby punktów możliwych do zdobycia. Wart odnotowania jest fakt, iż tylko 12 % osób otrzymało za rozwiązanie zadania więcej niż połowę liczby punktów, a także to, że tylko niecałe 4% osób rozwiązało zadanie poprawnie.

Natomiast po opracowaniu wyników studentów można stwierdzić, że po­

nad 45% z nich nie zdobyło za rozwiązanie zadania ani jednego punktu, zaś aż 85% studentów otrzymało za rozwiązanie zadania mniej niż | liczby punk­

tów możliwych d o zdobycia. Jednocześnie tylko niecałe 8 % osób otrzymało za rozwiązanie zadania więcej niż połowę liczby punktów, a tylko jedna osoba rozwiązała zadanie poprawnie.

Średni wynik kandydatów dla zadania 4 jest bardzo niski i wynosi 1.69 pkt.

Odpowiednia średnia dla studentów jest jeszcze niższa, a wynosi ona 1 .54 pkt.

3.5 Podsumowanie

Średnie wyniki uzyskane zarówno przez kandydatów, jak i przez bada­

nych studentów są słabe. Wiele osób nie otrzymało za poszczególne zadania ani jednego punktu. Prawie we wszystkich zadaniach średnia liczba punk­

tów uzyskanych przez obie grupy osób jest niższa od połowy liczby punktów możliwych do zdobycia. Jedyny wyjątek stanowi tu zadanie 3, dla którego przeciętna liczba punktów uzyskanych przez studentów jest wyższa od połowy liczby punktów możliwych do uzyskania i wynosi ona 6.25 pkt. Średnia liczba punktów uzyskanych przez kandydatów rozwiązujących zadanie 3 jest także wysoka i wynosi ona 4.58 pkt. Biorąc pod uwagę przeciętne wyniki osiągnięte przez badanych studentów oraz przez kandydatów na studia można zauważyć, że zadanie 3 sprawiło obu grupom osób najmniej kłopotów. Najsłabsze wy­

niki osiągnęli zarówno kandydaci, jak i badani studenci rozwiązując zadanie 4, dla którego średnie wyniki osiągnięte przez te dwie grupy osób są najgorsze, ponadto w obu tych grupach najwięcej rozwiązań oceniono na 0 pkt.

Myślę, że przyczynami takiego kształtowania się wyników (badań i eg­

zaminu) są m. in.: dobór tematyki zadań oraz różny stopień ich trudności i złożoności, jak również sposób ich sformułowania. Zadanie 3 jest typowym zadaniem, jakich bardzo wiele można znaleźć w podręcznikach czy zbiorach za­

dań. Rozwiązanie zadania 4 wymagało zaś bardzo dużej dyscypliny myślenia, co związane było m. in. z wielością przypadków, jakie należało rozważyć.

Bardzo istotnym sygnałem jest fakt, iż żaden z kandydatów ani żaden ze studentów nie rozwiązał zadania 2 poprawnie. Świadczy to o trudnościach, jakie mieli oni pracując nad zadaniem. Można by sformułować hipotezę, iż za­

danie narzucało, wręcz prowokowało użycie błędnego schematu rozwiązania.

W dalszej części pracy, przeprowadzając analizę jakościową rozwiązań studen­

tów, podejmę próbę weryfikacji postawionej tu hipotezy.

Generalnie, mimo pewnego zróżnicowania wyników, można stwierdzić, iż zarówno kandydaci na studia, jak i badani studenci mieli problemy z popraw­

nym rozwiązaniem zadań. W większości zbliżone wyniki studentów i kandyda­

tów pozwalają na postawienie ostrożnej hipotezy, iż posiadają oni podobny za­

sób wiadomości i umiejętności matematycznych. Można przypuszczać, iż obie grupy osób mają podobne trudności i popełniają podobne błędy. Dalsza ana­

liza jakościowa rozwiązań studentów będzie miała na celu ukazanie trudności i błędów, jakie popełnili.

O ile można by znaleźć pewne uzasadnienie słabych wyników kandydatów

na studia, którzy zdawali egzamin (choćby to, że w egzaminie brały na ogół

udział osoby, które nie zostały przyjęte na podstawie bardzo dobrych ocen ze

świadectwa dojrzałości, więc teoretycznie osoby o mniejszej, od przyjętych bez

egzaminu, wiedzy i umiejętnościach matematycznych), o tyle niepokojące są słabe wyniki osób rozpoczynających studia, wśród których większość uzyskała w szkole średniej bardzo dobre oceny z matematyki. Fakt, iż wyniki osiągnięte przez obie grupy osób są podobne, można traktować jako sygnał związany z istotną trudnością oceny rzeczywistych wiadomości i umiejętności tylko na podstawie rozwiązań kilku zadań matematycznych9.

4 Analiza jakościowa otrzymanych wyników

Analizie jakościowej poddałam rozwiązania zadań zaprezentowane przez studentów. Rozwiązania podzieliłam na grupy ze względu na strategie, jakimi posługiwali się studenci. Zwracałam przy tym uwagę na błędy i trudności, na jakie napotykali badani.

4.1 Zadanie pierwsze

4.1.1 O m ó w ie n ie g ru p rozw ią za ń zad an ia p ie rw sze g o

Spośród wszystkich osób biorących udział w badaniach, pięciu studentów nie podjęło próby rozwiązania zadania. Elementem różnicującym rozwiązania pozostałych osób był sposób wyznaczania przez nie miejsc zerowych funkcji / . Studenci odczytywali miejsca zerowe z wykresu funkcji / , albo wyznaczali miejsce zerowe rozwiązując odpowiednie równania. Część z nich stosowała przy tym od razu, „automatycznie” definicję wartości bezwzględnej (osoby te od tego zaczynały pracę nad zadaniem), pozostali stosowali ją dopiero w dalszym etapie pracy nad zadaniem. Poniżej przedstawiam grupy, na jakie podzieliłam rozwiązania studentów.

Do p ie rw sze j grupy zaliczyłam 29 rozwiązań, w których można wyróżnić następujące charakterystyczne etapy pracy studentów nad zadaniem:

— skorzystanie z definicji wartości bezwzględnej i zapisanie funkcji / dwu­

częściowo,

— naszkicowanie wykresu funkcji / ,

— odczytanie z wykresu miejsc zerowych funkcji / .

O to przykładowe rozwiązanie, które zaliczyłam do Lej grupy.

9Do zasygnalizowanego tu problemu wracam w paragrafie 5.

ł -

ocr^|vl <-<j

tjjyvokt

\o 4 o) ^ *©- *kii j ^k £ c

Analizując zaprezentowane rozwiązanie warto zwrócić uwagę na fakt wska­

zywania przez studentkę, jako szukanych miejsc zerowych, argumentów:

x G ( —oo,0) i x — A: 7 t , dla k G C. Myślę, że studentka, pisząc o rozwiąza­

niach postaci x = kn, gdzie k G C, miała na myśli miejsca zerowe dla nie- ujemnych argumentów. Poprawnie sformułowana odpowiedź, dotycząca miejsc zerowych funkcji / dla nieujemnych argumentów, może mieć postać x = kn dla k G N. Autorka rozwiązania niewłaściwie użyła też symbolu koniunkcji.

Można przypuszczać, iż zapisując odpowiedź miała ona na myśli alternatywę dwóch warunków.

Charakterystyczną cechą rozwiązań zaliczonych do pierwszej grupy jest posługiwanie się przez studentów wykresem funkcji / , w celu wyznaczenia jej miejsc zerowych. Studenci otrzymywali wykres funkcji f ( x ) = 1 — c o s ‘2x (dla x > 0 ) szkicując kolejno, w tym samym układzie współrzędnych, wy­

kresy funkcji: f i ( x ) = cos2x, f 2 {x) = — cos2:r, f ( x ) = 1 — cos2:r. Analiza prac pisemnych pozwala stwierdzić, że czynności te wykonywano sprawnie, stosując znane ze szkoły średnie] metody przekształcania wykresów funkcji.

W rozwiązaniach tych brak jest śladów świadczących o przeprowadzaniu ra­

chunku algebraicznego, mającego na celu wyznaczenie miejsc zerowych funkcji

/ . Można przypuszczać, iż zostały one odczytane z wykresu.

W drugiej grupie znalazły się rozwiązania 38 studentów, którzy:

— stosowali definicję wartości bezwzględnej,

— zapisywali funkcję / dwuczęściowo,

— rozwiązywali równania: 1 — cos 2x = 0 dla x > 0 oraz 1 — cos 0 = 0 dla x < 0 , a następnie

— szkicowali wykres funkcji / .

O to fragment rozwiązania zaliczonego do tej grupy.

=• k ~ C o s (W \ + * )

t(x) = k - iOCSi(.X+ x ) =• 4 " ft*2-*

cois 4 !*! =<?

■ i

• i x 2 V tt

Y - ! (/tUx-Q SUł. 'U źjuo ^ J

yco

I ( y ) ~ H ~ >&rt A

Autorka pracy jako miejsca zerowe dla argumentów nieujemnych, wska­

zała liczby postaci x = kn. Nie podała jednak istotnego założenia dotyczą­

cego k. Studentka „przemilczała” istnienie lub uznała, że funkcja nie posiada miejsc zerowych w przypadku, gdy argumenty funkcji są liczbami mniejszymi od zera. Jednocześnie naszkicowała ona poprawny wykres funkcji / . Podejmo­

wanie dwóch prób naszkicowania wykresu może świadczyć o autokontroli stu­

dentki podczas rozwiązywania zadania. Analiza szkicu wykresu funkcji / oraz zamieszczonego rachunku algebraicznego może świadczyć o tym, że autorka zapomniała zapisać, bądź uznała za oczywisty fakt, iż k £ N.

Trzecią grupę, 14 prac tworzą rozwiązania, w których autorzy:

— rozwiązywali równanie 1 — cos(|:r| + :r) = 0 , a następnie

— zapisywali dwuczęściowo wzór funkcji / oraz

— szkicowali wykres funkcji / .

Oto przykładowa praca zaliczona do omawianej grupy.

fW\\JU^)L ^a U l + d = 0

-GOS(Ul

( u i + x l — A

Ul + x = 3-kY

27

p u v

x ^ O

, 1 A < 0 X - t x “ 2-VJV 1-X -+ X - 2

> > o t ' x< 0 , O - Z k Y X

X ?/0

t>0 A ^ o

q < ^ ^O

>

A -21

0 • gOUj X < 0

/I - c o ^ \ + )> - U>s2 X.

/I - L o o ^ x

A~?/0 X C 0

X ^ >

X “7/0

1 0 3 ° 4

i o * fb }

t = t

Wyżej zaprezentowana praca, zaliczona do omawianej grupy, zawiera błęd­

ne rozwiązanie zadania. Autorka rozwiązując równanie 1 — cos(|rc| + x) — 0 błędnie sformułowała ostateczne wnioski dotyczące jego rozwiązań. W przy­

padku, gdy x > 0 zapomniała o założeniu dotyczącym k. W przypadku, gdy x < 0 sformułowała błędny warunek x € R (zamiast x € R _ ). W dalszej części rozwiązania zapisała funkcję / dwuczęściowo i przekształcała jej po­

stać wykorzystując tożsamości trygonometryczne, powracając do pierwotnej formy przepisu funkcji. Może to świadczyć o braku jasnego planu rozwiązania i wykonywaniu czynności, które jako pierwsze „przyszły na myśl” i mogą być zrealizowane przy posiadanym stanie wiedzy. Może to także świadczyć o braku stałej autokontroli rozwiązania zadania. Rozwiązanie studentki zawiera także błędnie naszkicowany wykres funkcji / . Autorka pracy zamiast wykresu funk­

cji f ( x ) = 1 — c o s 2 :r dla x > 0 naszkicowała wykres funkcji f ( x ) = — co s 2 a:

(dla x > 0). Pomimo przekształcenia w przypadku, gdy x > 0, wzoru opi­

sującego funkcję / do postaci f ( x ) = 1 — cos 2x. Może to świadczyć o braku umiejętności przekształcania szkiców wykresów funkcji, można także postawić hipotezę, iż autorka nie dokończyła pracy nad zadaniem.

Do kolejnej, czwartej grupy zaliczyłam dwie prace. Charakterystyczną cechą rozwiązań jest tu przekształcanie przepisu funkcji / z wykorzystaniem tożsamości trygonometrycznych.

Każda z osób zapisała funkcję / w postaci f ( x ) = 1 — cos |rr| • cos a; — sin \x\ ■ sin.T. Jedna z osób naszkicowała ponadto wykres funkcji f ( x ) = cosx.

Po wykonaniu tych czynności studentki zakończyły rozwiązywanie zadania.

Można przypuszczać, że po przekształceniu przepisu funkcji / do postaci f ( x ) — 1 — cos |a;| • cosrr — sin |a:| • sina: wzór opisujący funkcję mógł im wyda­

wać się bardziej skomplikowany niż postać f ( x ) = 1 — cos(|a;| + rr), co mogło być przyczyną zakończenia pracy studentek nad tym zadaniem. Można także przypuszczać, iż to suma, będąca argumentem funkcji cosinus, wywołała u stu­

dentek mechanizm przekształcania przepisu funkcji z wykorzystaniem wzorów trygonometrycznych. Potraktowały ją jako sygnał do działania, a gdy to nie przyniosło efektu, zakończyły pracę nad zadaniem.

Do ostatniej, piątej grupy zaliczyłam 14 niedokończonych rozwiązań.

Wśród nich znalazły się prace studentów, którzy: •

• naszkicowali poprawnie wykres funkcji f { x ) = cos x i na tym zakończyli pracę nad zadaniem (2 osoby),

• próbowali naszkicować wykres funkcji f ( x ) = 1 — cos(|:r| + x) i na tym zakończyli pracę nad zadaniem (9 osób),

• zapisali dwuczęściowo funkcję / i na tym zakończyli pracę nad zadaniem

(3 osoby).

29 Dodatkowo zauważmy, iż 9 osób, którym nie udało się naszkicować wykresu funkcji / , nie rozważało przypadków związanych z wartością bezwzględną wy­

stępującą we wzorze funkcji / . Studenci ci błędnie zakładali, że |rr| = x dla x € R i próbowali naszkicować wykres funkcji f i x ) = 1 — cos 2a; dla x £ R.

4.1.2 Podsumowanie

W podsumowaniu analizy rozwiązań zadania pierwszego, odniosę się do ce­

lów badań, jakie sformułowałam w paragrafie 1 . 1 ; analogicznie będę traktować podsumowania zadania drugiego, trzeciego oraz czwartego.

Strategie

W rozwiązaniach zadania można wyróżnić wyraźnie zarysowane strate­

gie, jakimi posługiwali się badani. Stało się to głównym kryterium utworzenia grup rozwiązań. Tak więc w grupie pierwszej, jako dominującą, można wska­

zać strategię polegającą na szkicowaniu wykresu funkcji / i odczytywaniu z niego miejsc zerowych. Wykres był środkiem argumentacji w prowadzonym rozumowaniu. Można tę strategię krótko nazwać strategią „geometryczną” . Grupy druga i trzecia zostały wyróżnione ze względu na strategię, którą mo­

żna nazwać „algebraiczną” . Studenci wyznaczali miejsca zerowe rozwiązując algebraicznie odpowiednie równania, przy czym w grupie drugiej rozpoczynali od zapisania funkcji / wzorem dwuczęściowym, natomiast w grupie trzeciej przystępowali od razu do rozwiązania równania 1 — cos(|x| -f x) — 0. W gru­

pie czwartej wystąpiła strategia, którą nazwałabym strategią „trygonome­

tryczną” . Studenci przekształcali wyrażenie cos(|a;|-f x) występujące we wzorze funkcji, stosując wzory trygonometryczne. W piątej grupie rozwiązań można mówić o elementach strategii „pierwszego sygnału” . Można przypuszczać, że studenci wykonali pierwszą czynność, jaka narzuciła się im po przeczytaniu treści zadania10. Elementy tej strategii można też dostrzec w czwartej gru­

pie rozwiązań. Można przypuszczać, że przekształcanie wyrażenia cos(|rc| f x ) mogło być pierwszą czynnością, jaka narzucała się rozwiązującym.

We wszystkich grupach wystąpiło szkicowanie wykresu funkcji, co było związane z jednym z poleceń treści zadania. Natomiast szkicowanie to nie było

— poza pierwszą grupą — wykorzystywane do wyznaczenia miejsc zerowych funkcji. Zatem strategie, które wymieniłam wyżej, odnoszą się w istocie tylko do wyznaczania miejsc zerowych funkcji / . Można też zapytać o strategie, jakie wystąpiły przy szkicowaniu wykresu funkcji. Z tego punktu widzenia można

10Termin „strategia pierwszego sygnału” został wprowadzony przez M. Hej ny’ego (Hejny,

1992), na określenie postawy ucznia polegającej na wykonywaniu pierwszej czynności, która

narzuciła się rozwiązującemu, w momencie przystąpienia do pracy nad zadaniem.

mówić tylko o jednej strategii. Polegała ona na przekształcaniu wykresu funkcji f ( x ) = c o s x przez odpowiednie translacje, odbicia, itp. w celu otrzymania wykresu funkcji f ( x ) — 1 — cos(|a;| + x).

Warto zauważyć, że zgodnie z treścią zadania badani mogli, a może nawet powinni, najpierw szkicować wykres funkcji / , a dopiero potem wyznaczać jej miejsca zerowe. Przy takiej kolejności wykonywania poleceń naturalną by­

łaby strategia „geometryczna” . Tak się jednak nie stało, większość studentów zaczynała od poszukiwania miejsc zerowych funkcji, co dla naszkicowania jej wykresu ma istotne znaczenie. Można stąd wyciągnąć wniosek, że kolejność poleceń sformułowanych w treści zadania nie odegrała istotnej roli w jego rozwiązywaniu. Jest to pewien sygnał związany z aspektem semantycznym zadania.

W iadom ości, umiejętności oraz trudności

W analizowanym zadaniu ujawniły się liczne braki w wiadomościach i umie­

jętnościach badanych studentów. Do najważniejszych można zaliczyć:

— nieznajomość własności i wykresów funkcji trygonometrycznych (np.

utożsamianie wykresów funkcji f ( x ) — cos 2x i f ( x ) = 2 cos x oraz wy­

kresów funkcji f ( x ) = 1 — cos(|a;| + x) i f ( x ) = 1 — c o s 2 x),

— nieumiejętość przekształcania, szkicowania wykresów funkcji trygonome­

trycznych (przekształcanie wykresów funkcji przez translacje, odbicia, itp.),

— nieumiejętność rozwiązania równania 1 — cos(|a;| T x) = 0,

— nieznajomość definicji wartości bezwzględnej i sensu symbolu literowego {x, dla wielu badanych oznaczał liczbę dodatnią, stąd |a:| — x),

— nieumiejętność specyfikowania definicji wartości bezwzględnej |x|.

Trzech studentów uznało, iż:

Rozwiązujący zapomnieli więc o przypadku, gdy x — 0. Dwie inne osoby przy­

jęły, że:

x, gdy x > 0 , - x , gdy x < 0 .

x, gdy \x\ > 0 , - x , gdy |a:| < 0 , a kolejna osoba uznała, iż:

x , gdy |a;| > 0 ,

- x , gdy \x\ < 0 .

Warto także nadmienić, że w przypadku czterech rozwiązań stwierdzi­

łam istnienie wyraźnych niezgodności rysunku (szkicu wykresu funkcji / ) , a w szczególności zaznaczonych na nim miejsc zerowych funkcji / z warun­

kami je określającymi, a wyliczonymi w wyniku rozwiązywania odpowiednich równań. Myślę, że może to świadczyć o trudnościach osób badanych, związa­

nych z traktowaniem przez nie wykresu tylko jako schematycznego rysunku przedstawiającego funkcję / , nie zaś jako zbioru punktów (x , f ( x )).

Schematy

W analizowanym rozwiązaniu pojawiły się pewne sygnały związane z funk­

cjonowaniem, w umyśle badanych, schematów postępowania poznanych w szko­

le średniej. Mam tu na myśli wykonywanie określonych czynności zawsze, ile­

kroć można to zrobić. Pojawił się tu schemat związany z zapisywaniem war­

tości bezwzględnej |a;| wzorem wieloczęściowym oraz schemat polegający na stosowaniu wzorów trygonometrycznych. Można postawić hipotezę mówiącą, że te funkcjonujące w umysłach badanych schematy dla większości z nich stały się przeszkodami utrudniającymi, a nierzadko uniemożliwiającymi poprawne rozwiązanie zadania.

Spostrzeżenia związane z realizacją celów mej pracy, sformułowane w zwią­

zku z rozwiązaniem zadania pierwszego, traktuję tylko jako pewne sygnały.

Niektóre z nich potwierdzą się w dalszych analizach, a więc będą sygnałami wzmocnionymi, wymagającymi ciągle jeszcze dokładniejszych badań.

4.2 Zadanie drugie

4.2.1 Omówienie grup rozwiązań zadania drugiego

Na 102 osoby biorące udział w badaniach 13 osób, nie podjęło próby roz­

wiązania tego zadania. Przeprowadzając analizę rozwiązań stwierdziłam, że większość, tj. 82 badanych, pracując nad zadaniem postępowało zgodnie z po­

znanym w szkole średniej schematem rozwiązywania tego typu zadań. Strate­

gia rozwiązania polegała na zakwalifikowaniu zadania do pewnego typu i stoso­

waniu schematu rozwiązania przyporządkowanego temu typowi. Polegała ona na zapisywaniu równania (k — l)rr 3 — 4x2 -f (k + 2)x = 0 w postaci iloczynu x • ((k — \)x2 — 4x + (k + 2)) = 0, a następnie wyznaczaniu liczby rozwiązań równania kwadratowego (k — \)x2 — 4x -f (k + 2) = 0 w zależności od jego wyróżnika A. Najważniejszym elementem różnicującym poszczególne rozwią­

zania było wyróżnienie lub nie przypadków, gdy wartość parametru k wynosi 1 oraz — 2 , tj. przypadków, gdy równanie f ( x ) — 0 jest równaniem stopnia drugiego, i przypadku, w którym jedno z rozwiązań równania jest podwójne.

Prace studentów podzieliłam na grupy. Do pierwszej grupy zaliczyłam roz­

wiązanie, w którym wyróżniono przypadki: k = 1, k = —2, k ^ 1. Do grupy drugiej zaliczyłam prace, w których rozważano przypadki: k — 1, k ^ 1 . W ko­

lejnej grupie znalazły się rozwiązania osób, które wyróżniły przypadek k 1 . Do grupy czwartej zaliczyłam rozwiązania osób, które nie wyróżniły żadnego z powyższych przypadków. W dalszej części opiszę każdą grupę rozwiązań.

Do grupy pierwszej zaliczyłam jedno rozwiązanie. Studentka, której roz­

wiązanie zaliczyłam do tej grupy, poprawnie wyznaczyła rozwiązania rów­

nania f ( x ) = 0 w przypadku, gdy k — 1 . Następnie dla k ^ 1 zapisała równanie f ( x ) = 0 w postaci iloczynu x • ((k — l ) x 2 — Ax + (k + 2 )) = 0 . Zauważyła, że równanie to jest równoważne alternatywie równań x — 0 V (k. — l ) x 2 — 4x -f (k -f- 2) = 0, a w dalszej części wyznaczała wartości parame­

tru k, dla których równanie ( k — \)x2 — Ax -f (k + 2 ) = 0 posiada dokładnie jedno rozwiązanie. Na koniec wyznaczyła rozwiązania wyjściowego równania dla k = —2. Podając odpowiedź wskazała tylko k — 1 i k — — 2 jako wartości parametru A;, dla których p(k) jest liczbą parzystą.

Rozwiązanie zaproponowane przez badaną nie jest w pełni poprawne. Roz­

ważała ona kolejno przypadki k — 1 , k ^ 1 , co wyczerpuje wszystkie możliwe wartości przyjmowane przez rzeczywisty parametr A:, a następnie rozważała przypadek A; = — 2, choć z logicznego punktu widzenia liczba rozwiązań rów­

nania dla tej wartości parametru k została już wyznaczona (k ^ 1 ). Studentka, dla A: = — 2 poprawnie wyznaczała liczbę rozwiązań równania. Nie zauważyła jednak sprzeczności otrzymanego wyniku z rozwiązaniem otrzymanym w przy­

padku A: / 1 .

Do drugiej grupy zaliczyłam 14 prac. W każdym z tych rozwiązań autorzy rozważali tylko dwa następujące przypadki: A: = 1 oraz A; / 1.

Autorzy prac rozpoczynali rozwiązanie od zapisania równania f ( x ) — 0 w postaci iloczynu x • ((A: — 1 )rrr 2 — 4x + (k + 2)) = 0, a następnie wyzna­

czali rozwiązania równania (k — l ) x 2 — Ax -f (A: -f 2) = 0 w przypadku, gdy A: = 1 . W przypadku, gdy A: 7 ^ 1 wyznaczali oni wartość p(k) w zależności od wyróżnika A równania (k. — l ) x 2 — Ax + (k -f 2 ) = 0 . Dziewięć osób formułu­

jąc odpowiedź, jako szukane wartości parametru wskazywało te, dla których równanie kwadratowe posiada dokładnie jedno rozwiązanie. Pozostałe osoby nie uwzględniły faktu, że rozwiązaniem wyjściowego równania, niezależnie od wartości parametru A’, jest 0, tj. jako szukane wartości parametru k wskazali te, dla których równanie kwadratowe posiada dokładnie dwa rozwiązania.

Do trzeciej grupy zaliczyłam trzy rozwiązania, w których autorzy zapisali

równanie f ( x ) — 0 w postaci x • ((k — \)x2 — Ax f (A: + 2)) = 0. Studenci, przy

założeniu A: 7 ^ 1, obliczali wyróżnik A równania (A: — l ) x 2 — Ax + (A; + 2) = 0

i w zależności od niego wyznaczali liczbę jego rozwiązań. Pomimo uczynionego