Zadanie trzecie

4.3.1 O m ó w ie n ie g ru p rozw ią za ń zadan ia trz e cie g o

Jak wynika z przeprowadzonej analizy ilościowej zadanie to sprawiło ba­

danym stosunkowo najmniej kłopotów. Każdy student biorący udział w ba­

daniach podjął próbę jego rozwiązania. Czternastu studentów rozwiązało po­

prawnie całe zadanie, ponadto cztery rozwiązania zawierają tylko bardzo dro­

bne błędy redakcyjne.

Strategia, którą stosowali badani podczas rozwiązywania zadania, polegała na sformułowaniu założeń, które muszą być spełnione przez argumenty funkcji / , a następnie na wyznaczaniu zbioru liczb je spełniających.

T a b e la 5. Zestawienie prezentujące założenia formułowane przez studentów, wraz z informacją o liczbie osób, które je podały

Jak wynika z powyższego zestawienia, prawie połowa, tj. około 47%, bada­

nych nie sformułowała poprawnych założeń. Około | osób nie podała warunku (Z2). Można przypuszczać, że osoby te zapomniały o jego sformułowaniu. Ko­

lejne 11% osób podało założenia (Z l* ) i (Z 2 ), a więc zamiast założenia ( Z l ) sformułowały one warunek ( Zl * ) . Myślę, że prawdopodobną przyczyną popeł­

nienia błędu była nieznajomość definicji pierwiastka drugiego stopnia, a w tym utożsamianie liczby podpierwiastkowej z liczbą dodatnią. Ponadto 7 studentów sformułowało tylko założenie ( Zl * ) . Dwoje badanych uzasadniając podanie tego założenia pisało:

y/x, x > 0

x % 0 wynika x > 0.

Myślę, że rozumowanie prowadzone przez studentów może świadczyć o bra­

ku operatywnego rozumienia przez nich definicji pierwiastka. Inną prawdo­

podobną przyczyną podania błędnego warunku ( Z l * ) może być przekonanie studentów, że „wartość wyrażenia występującego pod pierwiastkiem musi być nieujemna (dla x G R ), a ponieważ jednomian x występuje w mianowniku, więc wartość wyrażenia pod pierwiastkiem musi być dodatnia (dla x G R) ” .

Sądzę, że prawdopodobną przyczyną sformułowania warunku (Z 3 ) mogło być przeświadczenie studenta, iż wartości jednomianu x muszą być dodatnie, gdyż pierwiastek stopnia drugiego określony jest tylko dla liczb nieujemnych, a ponadto wartość jednomianu nie może wynosić 0, ponieważ dzielenie przez 0 jest niedozwolone.

Myślę, że przyczyną, dla której sformułowano warunek (Z 4 ) mogło być przekonanie, że wartości funkcji f ( x ) — (| )” — 811, będącej różnicą funkcji wykładniczych, a więc funkcji o wartościach dodatnich, są dodatnie. Można także przypuszczać, żc student założył, iż x / 0 wtedy i tylko wtedy, gdy wartości funkcji f ( x ) = ( | ) “ — 81x są różne od 0 .

Poniżej zamieszczam fragment rozwiązania studentki z poprawnie sformu­

łowanymi warunkami, które powinny być spełnione przez argumenty funkcji / . Studentka pisze: ( ^ ) ~ — 81x > 0, x % 0.

( ! ) ' ( 5 ) ¥ - 8 1 * > 0 , ( i ) 5^ > 8 1 * ,

Badana w dalszej części rozwiązania popełniła błąd. Przekształcała ostatnią nierówność nie uwzględniając faktu, że funkcja wykładnicza o podstawie mniej­

szej od 1 jest malejąca. Studentka zapisała: > —Ax. Ponadto w dalszej części rozwiązania pomnożyła obie strony nierówności x } a więc wyrażenie niewiadomego znaku. Otrzymując tym samym, że: 5 — x > —4x2.

Można stwierdzić, iż rozwiązująca postępowała tak, jakby korzystała z nastę­

pującego, fałszywego schematu: Jeżeli f i g są wielomianami zmiennej rzeczy­

wistej x i jeżeli p p > g{x), to f ( x ) > g(x)x.

W 24 pracach innych studentów pojawiły się między innymi błędy „ p o dobne” do drugiego z popełnionych przez tę studentkę. Podczas rozwiązy­

wania zadania niektórzy studenci postępowali tak, jak gdyby przyjmowali za prawdziwy i korzystali z jednego z poniższych schematów.

W schematach tych / , g oraz m oznaczają wielomiany zmiennej rzeczywistej różne od jednomianu x.

• S.l Jeżeli ^ p > to f ( x ) m ( x ) > ag(x), gdzie a G R.

• S.2 Jeżeli > p p to x m( x) > a f( x ) , gdzie a GE R.

• S.3 Jeżeli f ( x ) > a i x 0 to f ( x ) x > a x , gdzie a G R . S.4 Jeżeli f(x)X > 9(x) to f ( x ) > g{x)x.

S.5 Jeżeli f(x)X > 9{x) i x ^ 0to f { x ) > g{x)x.

S.6Jeżeli f(x)X > 9{x) to f ( x ) > g{x)x.

S.7 Jeżeli f(x)X > 9{x) \ x ^ 0 to f { x ) > g{x)x.

S.8Jeżeli /(*)X < 9{x) to f { x ) < g{x)x.

S.9 Jeżeli f(x)X < 9{x) i ^X yć 0 to f ( x ) < g{x)x.

• S.10 Jeżeli —P < g(x) to f ( x ) < g(x)x.

• S. l l Jeżeli p p ^ g(x) to g (x )x < f { x ) .

• S.12 Jeżeli —p > g(x) to ^ (g (x))2.

• S.13 Jeżeli p p > 0 to f { x ) > 0.

• S.14 Jeżeli —p < a to i < f ( x ) a , gdzie a G R .

• S.15 Jeżeli p p > a to x > f { x ) a , gdzie a G R.

• S .l6 Jeżeli p p < a to f ( x ) x < a, gdzie a G R.

Oczywiste jest, że każdy ze schematów jest fałszywy. W schematach celowo występuje jednomian x, aby zaznaczyć m. in. fakt dotyczący mnożenia przez niego obu stron nierówności. Najwięcej osób (sześć) postępowało tak, jakby korzystało ze schematu S.4. Schemat S.6 „zastosowały” trzy osoby, zaś schemat S.8 „stosowały” dwie osoby. Każdy z pozostałych schematów był „stosowany”

przez jednego badanego. Sądzę, że „wykorzystanie” poszczególnych schematów było konsekwencją postaci nierówności, jaką studenci chcieli przekształcić.

Często zdarza się, że uczniowie nie mogąc odtworzyć poznanego wcześniej schematu rozwiązania zadania, tworzą ad hoc swój własny (por. Krygowska, 1977; Ćwik, 1984). Uczniowie szkół średnich rozwiązują równania (nierówno­

ści) metodą równań (nierówności) równoważnych. Zastępują przy tym dane równanie (nierówność) przez szereg kolejnych równań (nierówności) równo­

ważnych do chwili, gdy otrzymają równanie (nierówność), którego pierwiastki mogą natychmiast podać. Rozwiązując równania korzystają oni m. in. z na­

stępującego twierdzenia.

Twierdzenie 1. Jeżeli obie strony funkcji zdaniowej f ( x ) — g(x), gdzie f i g są funkcjami w sensie analizy matematycznej, pomnożymy przez tę samą liczbę

różną od zera, to otrzymamy funkcję zdaniową równoiuażną danej.

Myślę, że prawdopodobną przyczyną błędów popełnionych przez studen­

tów jest przeniesienie metody rozwiązywania równań na rozwiązywanie nie­

równości (schematy S.l - S.15). Osoby, które postępowały tak, jakby stoso­

wały schematy S.l, S.2, S.4, S.6, S.8, S.10, S.l 1, S.13 popełniły dodatkowo błędy polegające na uogólnieniu twierdzenia 1, dotyczące przeniesienia wła­

sności mnożenia obu stron równania (nierówności) przez liczbę rzeczywistą różną od zera, na mnożenie obu stron funkcji zdaniowej przez wielomian zmien­

nej rzeczywistej. Prawdopodobną, dodatkową przyczyną błędu popełnionego przez studenta stosującego schemat S.12 jest uznawanie przez niego równań f ( x ) — g(x) i f 2(x ) = g2{x), gdzie / , g są wielomianami zmiennej rzeczywistej x , za równoważne, tj. przekonanie, iż równania te posiadają ten sam zbiór roz­

wiązań. Myślę, że prawdopodobną przyczyną popełnienia błędu, polegającego na przekształcaniu nierówności wymiernej zgodnie ze schematem S.16, może być pochopne uogólnienie twierdzenia mówiącego, że: sgn [^ ^ ] = sgn[/(:r) • x\

dla x ^ 0.

Omówione wyże] błędy są błędami metody, a ich istota tkwi w nieostrożnej analogii rozwiązania. Każda z osób stosujących schematy S.l - S.16 popełniała błędy polegające na bezwładnym, mechanicznym przenoszeniu własności re­

lacji ( = , < , > , > , < ) zachodzącej między „wyrażeniami” jednego układu na

„wyrażenia” występujące w drugim układzie. O podobnych problemach d o tyczących błędów w rozumieniu twierdzeń matematycznych oraz o związkach między twierdzeniami a ich dowodami pisze B. Nowecki (por. Nowecki, 1975, 1978).

Bardzo wiele, bo aż 38 osób spośród biorących udział w badaniach, nie rozwiązało drugiej części zadania, zaś 37 osób próbowało obliczyć punkty prze­

cięcia wykresu funkcji / z osią x rozwiązując równanie:

41

Osoby, które rozwiązywały powyższe równanie, nie odwoływały się do swoich wyników uzyskanych przy wyznaczaniu dziedziny funkcji / , a więc rozwiązy­

wały drugą część zadania niezależnie od pierwszej.

Badani, uzasadniając brak miejsc przecięcia wykresu funkcji / z osią y, pi­

sali: 0 nie należy do dziedziny funkcji f , bądź udzielali poprawnej odpowiedzi bez jakichkolwiek komentarzy. Pozostałe osoby udzielając odpowiedzi na pyta­

nie zawarte w treści zadania, a dotyczące punktów przecięcia wykresu funkcji / z osiami układu współrzędnych, wykorzystywały spostrzeżenia i obliczenia wykonywane podczas rozwiązywania pierwszej części zadania.

W dalszej części sygnalizuję inne błędy popełnione przez badanych w czasie rozwiązywania zadania. Sądzę, że na uwagę zasługują następujące fragmenty prac studentów, świadczące o brakach w podstawowej wiedzy matematycznej.

Jedna ze studentek następująco uzasadniała brak miejsc zerowych funkcji / : f { x ) = 0 nie istnieje, bo nie istnieje pierwiastek z 0.

Kolejne dwie osoby wyznaczając punkty przecięcia wykresu funkcji / z osią y wykonywały następujące przekształcenia:

/(O ) = - 81° = v / d ) ° - 810 = v/G rT = o-Anna prowadziła następujące rozumowanie:

4x 2 —1 + 5 ^ q

Znak ilorazu jest taki sam jak znak iloczynu.

x (4 x 2 — x + 5) < 0 x — 0

Wykres ma tylko jeden punkt przecięcia z osiami układu współrzędnych x = 0.

Wypowiedź pierwsza świadczy o tym, że studentka nie zna definicji pier­

wiastka kwadratowego. Błędy popełnione przez kolejne dwie osoby wskazują na braki w wiedzy dotyczącej reguł dzielenia liczb rzeczywistych. Autorka ostat­

niego rozumowania postępuje tak, jakby stosowała błędny, omówiony wcześniej schemat S.16. W dalszej części podaje ona warunek x = 0, bez żadnego komen­

tarza. Prawdopodobnie studentka uznała, iż iloczyn x(Ax2 — x + 5) przyjmuje wartość mniejszą bądź równą zero wtedy i tylko wtedy, gdy jeden z czynników przyjmuje wartość zero. Wyżej wymienione błędy są błędami rzeczowymi, tj.

świadczącymi o brakach w wiedzy ucznia. W ostatnim fragmencie rozwiązania można dostrzec także „stosowanie” omówionego wcześniej schematu S.16.

4.3.2 Podsumowanie Strategie

W rozwiązaniach pierwszej części zadania (przy wyznaczaniu dziedziny funkcji) można mówić tylko o jednej strategii, którą stosowali badani stu­

denci. Polegała ona na sformułowaniu założeń, jakie muszą spełniać argu­

menty funkcji / i w dalszej części rozwiązania na wyznaczaniu liczb je speł­

niających. Jak widać, każdy ze studentów pracujących nad zadaniem stosował wypracowaną w szkole średniej metodę rozwiązania zadania. Strategię sto­

sowaną przez badanych można więc nazwać strategią „przyporządkowanego schematu” . W odniesieniu do drugiej części zadania można mówić o dwóch strategiach stosowanych przez studentów przy wyznaczaniu punktów przecię­

cia wykresu funkcji / z osiami układu współrzędnych. Można tu wyróżnić strategię „algebraiczną” , polegającą na wskazywaniu szukanych miejsc przez rozwiązywanie odpowiednich równań. Drugą ze stosowanych strategii można nazwać „korzystaj z poprzednio otrzymanych rezultatów” . Polegała ona na wykorzystywaniu wyników uzyskanych w pierwszej części zadania do udziele­

nia odpowiedzi na pytanie o punkty przecięcia wykresu funkcji z osiami układu współrzędnych.

Stosowanie drugiej z wymienionych strategii było bardziej racjonalne i na­

leżałoby oczekiwać, iż właśnie tak będą postępować badani. Tak się jednak nie stało, wielu z nich rozwiązywało drugą część zadania niezależnie od pierw­

szej. Ponadto wiele osób, które wyznaczyły dziedzinę funkcji / , nie wskazało punktów przecięcia wykresu funkcji z osiami układu współrzędnych. Można tu postawić hipotezę, że większość osób potraktowała polecenia sformułowane w treści zadania jako izolowane, między którymi nie zachodzą żadne zależności.

W iadom ości, umiejętności oraz trudności

Analiza rozwiązań pozwala dostrzec brak umiejętności formułowania przez autorów poprawnych założeń (problem ten omówiłam na stronie 37). Podczas wyznaczania zbioru argumentów, spełniających sformułowane założenia, ujaw­

niły się liczne braki w wiadomościach i umiejętnościach u badanych osób, doty­

czące m. in. rozwiązywania równań i nierówności wykładniczych oraz wymier­

nych, a także braki w wiadomościach dotyczących definicji pierwiastka stopnia drugiego i miejsc zerowych funkcji (patrz strony 38-41). Analiza fragmentów prac, w których wyznaczano punkty przecięcia wykresu funkcji / z osiami układu współrzędnych, skłania do refleksji. Studenci nie posiadają umiejętno­

ści argumentacji i wyciągania poprawnych wniosków z prowadzonych rozumo­

wań.

43 S ch e m a ty

Mówiąc o schematach stosowanych podczas pracy nad zadaniem należy zwrócić uwagę na te (znane ze szkoły średniej), które dotyczą rozwiązywania równań i nierówności wymiernych oraz wykładniczych. Ich pochopne uogól­

nianie, tj. stosowanie wypracowanych wcześniej schematów do podobnych, nowych problemów bez sprawdzania założeń, które winny być spełnione, by funkcjonowały one poprawnie, było bezpośrednią przyczyną powstania wielu błędów. Wiele osób rozwiązujących zadanie postępowało tak, jakby stosowały schematy S.1-S.16 (problem omówiony na stronie 39).