Ciecz nazywamy nieściśliwą, jeżeli jej gęstość jest niezależna od ciśnienia.
Dobrym przykładem nieściśliwej cieczy jest woda. Pod ciśnieniem 1000 razy większym od normalnego objętość wody zmniejsza się o około 4%. Ponieważ rzadko mamy do czynienia z takimi ciśnieniami, w większości wypadków możemy uznać wodę za ciecz nieściśliwą. Niemniej nie zawsze jest to efekt do zaniedbania. Kiedy zbiorniki wody są bardzo głębokie, lub przyłożone ciśnienia są bardzo duże, efekty mogą być istotne. Dla przykładu, gdyby woda była idealnie nieściśliwa poziom światowego oceanu byłby o około 30m wyższy. Dla wielu mieszkańców wybrzeży oznaczałoby to utratę miejsca zamieszkania.
Trudno taki efekt zaniedbać. Jest to efekt związany ze skalą. Średnia głębokość oceanu to około 4000m, przyrost warstwy wody o 30m to ciągle mniej niż 1%
z 4000m. Jednak dla mierzącego niespełna 2m człowieka te 30 metrów to dramat. Drobne względne zmiany w wielkich (z naszego punktu widzenia wielkich) układach mogą mieć dla nas dramatyczne lub korzystne (ale to zdarza się zdecydowanie rzadziej) skutki; wszystko zależy od okoliczności.
Wymóg (iii), to brak lepkości cieczy. Siły lepkości są wynikiem sił tarcia wewnątrz płynu. W wyniku tarcia warstw płynu energia wynikająca z uporządkowanego ruchu cząstek w określonym kierunku rozprasza się na ruch chaotyczny, co oznacza, że rośnie temperatura płynu. Lepkość płynu wyraża również tarcie cieczy o graniczące z nią ciała stałe. Klocek, zanurzony w płynie nielepkim i popchnięty, poruszałby się ruchem jednostajnie prostoliniowym, podobnie jak klocek położony na powierzchni ciała stałego przy zerowych siłach tarcia.
Wymóg (iiii) oznacza, że najprościej ujmując, strumień płynu nie tworzy wirów. Bardziej subtelnie to ujmując, gdy w płynie znajdzie się lekki podłużny obiekt (na przykład krótki, cienki patyczek na powierzchni płynącej wody), to obiekt ten nie będzie się obracał. Może zakręcać, na przykład gdy strumień wody zakręca w rzece, ale nie może obracać się wokół swojej osi.
Przejdźmy do pierwszego wymogu (i). Rysunek (2.2.2) pokazuje rozkład prędkości wody płynącej w rurze przy małym ciśnieniu. Ciecz najszybciej płynie w środku, a najwolniej na brzegach, gdzie oddziałuje z ściankami naczynia. Można więc w wodzie wyróżnić powierzchnie (w przykładzie są to powierzchnie cylindryczne) równej prędkości. Przy przepływie laminarnym (warstwowym) cząsteczki na danej powierzchni równej prędkości nie zaburzają ruchu cząsteczek na sąsiednich warstwach.
Rysunek 2.2.2. Cząsteczki wody przepływająca w rurze mają największą prędkość w środku rury, a najmniejszą przy brzegu rury.
Płyn idealny jest modelem kulistej krowy dla płynów. Jest to zatem najprostszy model, który jeszcze pozwala coś sensownego na temat zachowania płynu powiedzieć. Na przykład z powodzeniem można go zastosować do opisu gazów, których lepkości jest niewielka, oraz do opisu cieczy nadciekłych, które nie wykazują lepkości.
Mając zdefiniowany płyn idealny możemy przejść do równań opisujących jego przepływ. Ruch każdej cząstki płynu lub jej nieskończenie małej objętości można zilustrować kreśląc jej tor (rys. 2.2.3). Tor jest oczywiście styczny do wektora prędkości cząstki w danym punkcie. Wprowadzę specjalną nazwę na tor cząstki w płynie
Definicja 2.2.3: Linia prądu
Linia prądu elementarnej objętości danego płynu jest linią styczną do wektorów prędkości tej objętości w każdym punkcie jej toru.
Rysunek 2.2.3. Trzy przykładowe linie prądu. Linie te są styczne do wektorów prędkości małych objętości cieczy
Przyjrzyj się rysunkowi (2.2.4), na którym przedstawiony jest płyn przemieszczający się w rurze z przewężeniem. Posługując się modelem przepływu płynu doskonałego zastanowimy się co się dzieje przy przejściu przez przewężenie.
Rysunek 2.2.4. Przepływ nieściśliwego płynu przez zwężającą się rurę.
Powiedzmy, że prędkość cząsteczek płynu doskonałego w rurze o zmiennym promieniu (rys. 2.2.4) wynosi v1 w szerszej części i v2 w węższej części; przy czym wektor prędkości jest prostopadły do przekroju poprzecznego rury. Ile tego płynu przepłynie przez przekrój poprzeczny A1 szerszej części rury? Masa płynu przepływająca przez powierzchnię A1, o wektorze powierzchni a1, w jednostce czasu, zgodnie z (2.1.7) i (2.1.8) wynosi
𝑚 = 𝜌𝐯𝟏 ∙ 𝐚𝟏 = 𝜌𝑣1∙ 𝑎1 2.2.1
Iloczyn skalarny przeszedł w iloczyn wartości wektorów bo wektory powierzchni a1 i prędkości cieczy v1 są równoległe. Przypominam, że wektor powierzchni jest wektorem prostopadłym do powierzchni, a jego długość jest równa polu tej powierzchni (rys. 2.1.2). W przypadku przepływu płynu idealnego, to samo równanie możemy zapisać dla wąskiej strony rury i jej przekroju A2. Masa przepływająca przez przekrój A1 (na jednostkę czasu) musi być taka sama jak przez przekrój A2.
𝑚 = 𝜌𝐯𝟐 ∙ 𝐚𝟐 = 𝜌𝑣2 ∙ 𝑎2 2.2.2
Porównując (2.2.1) z (2.2.2) mamy
𝑣1∙ 𝑎1 = 𝑣2∙ 𝑎2 2.2.3
Równanie (2.2.3) nazywane jest równaniem ciągłości dla płynu idealnego.
Równanie ciągłości dla płynu idealnego mówi, że strumień (2.1.7) prędkości tego płynu jest wielkością stałą, zatem jeżeli maleje pole przekroju rury, to odpowiednio rośnie prędkość przepływu cieczy.
Należy pamiętać, że równanie (2.2.3) wyprowadzone zostało dla przepływu płynu idealnego. Poruszaliśmy się w obrębie uproszczonego modelu.
Co na to płyny rzeczywiste? Tak się dobrze składa, że wnioski wypływające z równania ciągłości mogą zostać łatwo zauważone w życiu. Częściowe przytkanie węża, przez który wpływa woda powoduje zwiększenie prędkości wypływającego strumienia wody. Większa prędkości wody pozwala wypchać jej taką samą masę przez zwężony przekrój rury. Oczywiście „ogrodowe”
obserwacje mają charakter jakościowy a nie ilościowy. Jednak przy niezbyt dużych prędkościach przepływu płynów i niezbyt dużych przewężeniach tak ważny dla nas płyn jak woda zachowuje się z dobrym przybliżeniem jak płyn idealny. Równanie ciągłości może zatem być użyte do analizy ruchu pewnych płynów, przynajmniej w pierwszym przybliżeniu.
Rysunek (2.2.5) przedstawia bardziej złożony przykład. Przez rurę ze zmieniającą się średnicą przepływa płyn. Środki szerszej i węższej części rury znajdują się na różnych wysokościach. Jaśniejszym kolorem wyróżniona jest objętość płynu, która przez dany przekrój rury przepływa w ciągu czasu t.
Długość tego słupa płynu wynosi oczywiście v1 t. Wielkości v1 i v2 to wartości prędkości płynu w węższej i szerszej części rury. Masa płynu, która przepływa w czasie t przez przekrój węższej rury wynosi
𝜌𝐴1𝑣1∆𝑡 = 𝜌𝐴1𝑠1 = ∆𝑚 2.2.4a
Gdzie przez oznaczyłem gęstość płynu, a s1=v1t.
W czasie t taka sama masa płynu musi przepływać przez przekrój szerszej części rury
∆𝑚 = 𝜌𝐴2𝑣2∆𝑡 = 𝜌𝐴2𝑠2 2.2.4b
Praca wykonana przy przepchnięciu masy m płynu między powierzchniami A1
i A2 wynosi ciśnienie w węższej części rury a p2 to ciśnienie w szerszej części rury.
Rysunek 2.2.5. Przepływ nieściśliwego płynu przez zwężającą się rurę. Węższa część rury znajduje się na innej wysokości niż szersza.
Zauważ, że piAisi to praca jaką ciśnienie wykonuje nad przesunięciem słupa wody o długości si. Musimy jeszcze uwzględnić różnicę wysokości obu części rury. Energie E1 i E2 wyrażają się wzorami.
2 1
1 1
2
E mv mgh
2.2.6a
2 2
2 2
2
E mv mgh
2.2.6b Gdzie h1 do h2 to wysokość na jakiej przepływa dana porcja płynu. Zmiana energii potencjalnej, wziętej ze znakiem minus, jest równa pracy wykonanej przez pole grawitacyjne przy przeniesieniu masy m płynu z węższej do grubszej części rury. W przypadku pokazanym na rysunku (2.2.5) h1<h2, co oznacza, że praca wykonana przez pole jest ujemna (tak jak praca wykonana przez sprężynę przy jej ściskaniu). W efekcie to pole grawitacyjne zyskuje energię a płyn ją traci
𝑊𝑔 = ∆𝑚𝑔ℎ1− ∆𝑚𝑔ℎ2 2.2.7
Całkowita praca wykonana w czasie t jest równa sumie pracy W, której źródłem jest różnica ciśnień i utrata energii płynu na skutek zmiany energii potencjalnej. Wstawiając do (2.2.5) wzory (2.2.6) mamy
2 2
1 2
1 2 1 1 1 2 2 2
2 2
mv mv
mgh mgh p A v t p A v t
2.2.8
Podzielę obie strony równania (2.2.8) przez objętość cieczy, która dla obu jej porcji jest taka sama (ciecz jest z założenia nieściśliwa). Objętość wynosi
1 1 2 2
V A v t A v t 2.2.9
Po dzieleniu i skróceniu wzoru (2.2.8), z wykorzystaniem (2.2.9) mamy 𝑝1+ 𝜌𝑔ℎ1+1
2𝜌𝑣12 = 𝑝2+ 𝜌𝑔ℎ2 +1
2𝜌𝑣22 2.2.10a
Skorzystałem z faktu, że m/V to gęstość . Dzielimy obie strony (2.2.10a) przez gęstość
𝑝1
𝜌 + 𝑔ℎ1+1
2𝑣12 =𝑝2
𝜌 + 𝑔ℎ2+1
2𝑣22 2.2.10b
Co zwyczajowo zapisujemy w postaci warunku 𝑝
𝜌+ 𝑔ℎ +1
2𝑣2 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 2.2.10
Równanie (2.2.10) nazywane jest równaniem Bernoulliego. Jest ono konsekwencją zasady zachowania energii dla ruchu nieściśliwego i nielepkiego płynu, przy uwzględnieniu zmiany grawitacyjnej energii potencjalnej płynu.
Pierwszy człon opisuje zmianę energii płynu, na jednostkę masy, ze względu na działające ciśnienie, drugi opisuje zmianę energii płynu, na jednostkę masy, ze względu na zmianę jego energii potencjalnej a trzeci ze względu na zmianę energii kinetycznej (na jednostkę masy). Zrobimy przykłady ilustrujące zastosowanie równania Bernoulliego
Rysunek 2.2.6. Daniel Bernoulli (1700-1782), szwajcarski matematyk i fizyk; portret pędzla Johanna Jacoba Haida. Członek znanego klanu uczonych Bernoullich. Był profesorem matematyki w Petersburgu (od 1725r), a następnie profesorem anatomii i botaniki (od 1733) w Bazylei, a od 1750 katedry fizyki. Największe osiągnięcia miała na polu teorii prawdopodobieństwa, drgań i hydrodynamiki
Zadanie 2.2.1.
Znajdź prędkość wypływu cieczy przez mały otwór umieszczony na dole naczynia (rys. 2.2.7). Załóż, że pole powierzchni otworu jest dużo mniejsze od pola przekroju naczynia
Ponieważ pole otworu jest dużo mniejsze od pola powierzchni cieczy w naczyniu, możemy założyć, że prędkość vI opadania cieczy w naczyniu jest znikomo mała w porównaniu z prędkością vII jej wypływu, zatem przyjmujemy, vI0. Ciśnienie na powierzchni cieczy w naczyniu i przy brzegu otworu (ale od strony powietrza) jest równa ciśnieniu atmosferycznemu pI=pII=p. Ciśnienie przy brzegu otworu od strony naczynia jest większe o 𝜌𝑔ℎ. Korzystając z równania Bernoulliego (2.2.10) mamy
𝑝 + 𝜌𝑔ℎ = 𝑝 +1
2𝜌𝑣𝐼𝐼2 ⟹ 𝑣𝐼𝐼 = √2𝑔ℎ 2.2.11
Z lewej strony mamy czynniki opisujące ciecz z lewej strony otworu (przy dnie naczynia) a z prawej stoją czynniki opisujące ciecz za otworem.
Przyjmujemy nadto, że przy dnie otworu energia potencjalna jest równa zeru. Zauważ, że w równaniu Bernoulliego prędkość jest w kwadracie, co pozwala pominąć mały człon z prędkością vI. Zgodnie z otrzymanym rozwiązaniem prędkość wypływu cieczy zmienia się wraz z opadaniem jej poziomu w naczyniu, co związane jest ze zmianą ciśnienia gh. Stałość tempa wypływu cieczy zapewnia konstrukcja nazywana flaszką Mariotte’a (rys. 2.2.7b).
Rysunek 2.2.7. a) z małego otworu u dołu naczynia wypływa ciecz; ilustracja do zadania (2.2.1); b) flaszka Mariotte’a składa się z rurki przeprowadzonej przez szczelny korek do wnętrza naczynia z wodą. W naczyniu jest, u dołu, niewielki otwór. Dopóki dolny koniec rurki zanurzony jest w wodzie, woda wypływa z naczynia ze stałą prędkością.
Pojemnik z cieczą jest zamknięty korkiem przez, który przechodzi cienka rurka.
Tak długo jak poziom cieczy nie spadnie poniżej dolnego otworu rurki, tak długo woda będzie wypływała z otworu ze stałą prędkością (wytłumacz dlaczego).
Zadanie 2.2.2.
Określ relacje ciśnienia cieczy idealnej w punkcie Q, do ciśnienie tej cieczy w punkcie P poziomej rury pokazanej na rysunku (2.2.8a)
Dla poziomej rury równanie Bernoulliego (2.2.18) przyjmie postać 1
2𝜌𝑣𝑄2 + 𝑝𝑄 = 1
2𝜌𝑣𝑃2+ 𝑝𝑃 2.2.12
Ponieważ pola powierzchni przekrojów rury w punkcie P i Q spełniają zależność SQ<SP to z równania ciągłości (2.2.3) wynika
𝑣𝑄𝑆𝑄 = 𝑣𝑃𝑆𝑃 i 𝑆𝑄 < 𝑆𝑃 ⟹ 𝑣𝑄 > 𝑣𝑃 2.2.13
Rysunek 2.2.8. a) ilustracja do zadania (2.2.2); b) schemat rozpylacza.
Strumień powietrza po napotkaniu przewężenia przyspiesza. W efekcie w rurce z prawej strony pojawia się podciśnienie, które zasysa ciecz ze zbiornika.
Z (2.2.13) i równania Bernoulliego (2.2.11) wnioskujemy, że
𝑝𝑄 < 𝑝𝑝 2.1.14
Widać z tego, że w węższym odcinku rury przepływ cieczy idealnej jest szybszy, ale szybkiemu przepływowi cieczy towarzyszy obniżone ciśnienie.
Nasza intuicja podpowiada, że większej prędkości powinno odpowiadać większe ciśnienie. Dlatego efekt ten nazwano paradoksem hydrostatycznym.
Opisany efekt wykorzystuje się w rozpylaczach cieczy (rys. 2.2.8b).
Strumień powietrza przepływa przez szeroką rurkę, która zwęża się. W efekcie
Innym przykładem zastosowania jest pompka wodna, której schemat pokazuje rysunek (2.2.9).
Rysunek 2.2.9 z lewej - schemat pompki wodnej. Układ zwężający strumień wody nazywany jest zwężką Venturiego. Źródłem wody może być zwykły kran.
Pompka służy do odpompowywania powietrza w zamkniętych naczyniach. Za jej pomocą można obniżyć ciśnienie (w zamkniętym pojemniku) do wartości kilku tysięcy paskali (kilkudziesięciu torów); licencja Creative Commons Attribution 3.0 Unported, autor Peter Forster; z prawej - szklana wersja pompki wodnej;
licencja Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported, autor:
GOKLuLe 盧樂; Źródło rysunków Wikipedia
Dygresja 2.2:
W pierwszej wersji opisu rozpylacza z rysunku (2.2.8b) napisałem, że ciecz jest zasysana do rurki rozpylacza. Ale pamiętamy, że nie ma żadnego zasysania, przy najmniej w tym sensie, że nie ma żadnej siły ssącej. Tylko większe ciśnienie w zbiorniku w porównaniu z rurką rozpylacza powoduje podniesienie cieczy do poziomu rurki. Siła związana z ciśnieniem działa od dołu wpychając wodę do góry.
Od góry nie ma żadnej siły, którą moglibyśmy nazwać zasysającą. Zdaję sobie jednak sprawę, że wrażenie ssania, jest dla nas tak realne, że w części podręczników a na pewno w rozmowach używa się pojęcia zasysania.
Często zwracałem wam uwagę, na tzw. efekt skali. W dużej skali niegroźne zjawiska w małej skali (takie jak mała ściśliwość wody) potrafią mieć groźne konsekwencje. Jako kolejną ilustrację tegoż omówię efekt młota wodnego. Wyobraźmy sobie wąż ogrodowy o długości 20m, zakończony dyszą z kranem. Po zakończeniu podlewania zakręcamy kranik przy wylocie węża i nie oczekujemy żadnych groźnych zjawisk. Jeżeli jednak wąż, czy rura doprowadzająca wodę jest bardzo długa (ciągnie się na wiele kilometrów), sprawy ulegają zmianie. Szybkie zakręcenie zaworu, oznacza, że długi na przykład na kilometr słup wody ulega gwałtownemu zatrzymaniu. Masa takiego
słupa wody jest już znaczna, co skutkuje gwałtownym wzrostem ciśnienia w rurze i możliwością jej pęknięcia. Widać, że to co dla krótkiego węża ogrodowego jest prostą czynnością, dla długiego rurociągu może stać się poważnym zagrożeniem. Zjawisko to nazywamy młotem wodnym lub uderzeniem wodnym. Najstarsza wzmianka o nim pochodzi z pierwszego wieku przed naszą erą. Rzymianin Marcus Vitruvius Pollio (Witruwiusz) opisał efekt młota wodnego w ołowianych i kamiennych rurach doprowadzających wodę do Rzymu. Współczesne instalacja mają oczywiście szereg zabezpieczeń mających na celu ograniczenia możliwości wystąpienia zjawiska młota wodnego.
2.3. Efekt Magnusa
Grającym w piłkę znany jest efekt „rogala”, to jest takiego uderzenia piłki, że porusza się ona po linii zakrzywionej (fachowo nazywamy to efektem Magnusa). Skąd bierze się siła powodująca zakrzywienie toru piłki? Sprawę naświetla rysunek (2.3.1). Zaciąganie cząsteczek powietrza wymaga istnienia sił lepkości (tarcia) pomiędzy piłką a powietrzem jak również w samym powietrzu.
Bez sił lepkości w powietrzu zaciągana byłaby tylko cienka warstwa powietrza przy samej piłce. W tym wypadku odwołujemy się do modelu płynu nieidealnego (lepkiego), co dopiero przed nami. Niemniej do jakościowego wyjaśnienia efektu zakrzywiania toru prawo Bernoulliego jest ciągle stosowalne. Lepkość nam tu jest potrzebna do wyjaśnienia zjawiska ciągnięcia strug powietrza za obracającą się piłką. Na szczęście nie psuje nam to efektu spadku ciśnienia przy szybkim przepływie płynu. Dokładniejszą dyskusję możesz znaleźć w.
Z efektem Magnusa wiążą się nie tylko efektowne rogale w grach z piłką.
Jako ciekawostkę warto wspomnieć projekt tzw. rotorowców (rys. 2.3.2). Ich konstrukcję zaproponował w latach dwudziestych XX wieku niemiecki konstruktor Anton Flettner. Zasadniczym elementem napędu rotorowca jest wirujący cylinder wykonany z blachy lub tworzywa sztucznego. Cylinder ten obraca się wytwarzając siłę nośną (efekt Magnusa). Jak na razie, rotorowce nie wyszły poza etap statków doświadczalnych.
Rysunek 2.3.1. Aby piłka zakręcała musi zostać wprawiona w ruch obrotowy.
Na rysunku pokazane są linie prądu płynu wokół piłki lecącej z prawa na lewo.
Cząsteczki powietrza są zaciągane przez obracającą się piłkę przez co rośnie ich prędkość nad górną częścią piłki a maleje nad dolną. W efekcie, na mocy prawa Bernoulliego, w górnej części powstaje niższe ciśnienie niż po stronie dolnej.
Różnica ciśnień powoduje powstanie siły Magnusa prostopadłej do ruchu piłki i zakrzywienie toru jej lotu; źródło Wikipedia; Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported; autor Rdurkacz.
Rysunek 2.3.2. Z lewej schemat działania rotorowca; źródło Wikipedia; Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported , autor Dan-yell; z prawej pierwszy rotorowiec; przebudowany szkuner Buckau, który jako Baden-Baden w maju 1926 przepłynął Atlantyk; źródło Wikipedia
2.4. Powrót do rozważań nad strumieniem
Niestety nasza obecna definicja strumienia jest niewystarczająca. Możemy za jej pomocą analizować proste przypadki ale dużo częściej będziemy mieli do czynienia z problemami wymagającymi ogólniejszego podejścia. Pole wektorowe, którego strumień obliczamy, może się zmieniać od punktu do punktu (rys. 2.4.1a). Cóż, nie ma wyboru, dzielimy płat na nieskończenie małe
kawałki, każdy o wektorze powierzchni da. Strumień przez taki nieskończenie mały płat jest nieskończenie mały i wynosi
dΦ = 𝐰 ∙ d𝐚 2.4.1
Całkowity strumień jest równy
Φ = ∫ 𝐰 ∙ d𝐚
𝐴
2.4.2 Symbol A pod znakiem całki reprezentuje powierzchnię po której całkujemy, to jest powierzchnię całego płata A. A co jeżeli powierzchnia, przez którą liczmy strumień jest zakrzywiona? Używając pojęcia płaszczyzny stycznej (rys. 2.4.1b) do powierzchni jesteśmy wstanie sprowadzić (metoda wiadra) sytuację do tej z rysunku (2.4.1a). Do obliczenia strumienia stosujemy dalej wzór o zapisie (2.4.2), z tym, że jego elementy mają inne znaczenie. Wektor da reprezentuje nieskończenie mały fragment płaszczyzny stycznej do powierzchni w danym punkcie, a kąt jest kątem między tym wektorem a wektorem w. Wektor da mogę przedstawić w postaci
d𝐚 = 𝐧d𝑎 2.4.3
Gdzie n jest jednostkowym wektorem normalnym do powierzchni, a da jest polem nieskończenie małego płata stycznego do tej powierzchni. Wyrażenie (2.4.2) przyjmie postać
Φ = ∫ 𝐰 ∙ 𝐧 d𝑎
𝐴
2.4.4
Rysunek 2.4.1 a) wektory pola w padają teraz na płat powierzchni zmieniając się od punktu do punktu co do wartości i kierunku. W takiej sytuacji dzielimy płat na nieskończenie małe fragmenty, określamy elementarny strumień przez wda i całkujemy po takich elementarnych strumieniach; b) gdy dodatkowo powierzchnia, przez którą liczymy strumień nie jest płaska, to w każdym punkcie tej powierzchni wyznaczamy płaszczyznę styczną. Z tej płaszczyzny wybieramy nieskończenie mały płat o wektorze powierzchni da. Elementarny wkład do całkowitego strumienia wynosi ponownie wda
Przedstawiona idea obliczania strumienia pola wektorowego nie wygląda na złożoną. Pozostaje jednak pytanie czy stojąca za nią technika da się w jakikolwiek sensowny sposób zastosować w praktyce? Krótkie wprowadzenie do praktyki zacznę od uściślenia pojęcia powierzchni.
2.5. Powierzchnia
Musimy na wstępie poświęcić nieco czasu pojęciu powierzchni. W (DX xx) podałem parametryczną definicję krzywej. Powierzchnię w przestrzeni trójwymiarowej możemy również zdefiniować parametrycznie.