Równanie pędu Cauchy’ego

W punkcie (3.1) wykorzystaliśmy fakt, że w mechanice klasycznej masa pozostaje zachowana. Pozwoliło nam to wyprowadzić równanie ciągłości (3.1.9). W tym punkcie zobaczymy co dla dynamiki ośrodków ciągłych da się powiedzieć na podstawie zasady zachowania pędu. Jak zwykle w takich wypadkach skoncentruję się na nieskończenie małym fragmencie płynu (rys. 3.2.1)

Rysunek 3.2.1. Wyróżniamy mały fragment płynu, na który działa wypadkowa siła F. Fragment musi być tak mały by można go było uznać za obiekt punktowy pod działaniem, siły F.

Zwróć uwagę, że teraz nie śledzę losów małego próbnego sześcianu jak to miało miejsce na rysunku (1.1.1), ale interesuje mnie konkretny mały kawałek materii o geometrii sześcianu, czyli pracuję w obrazie Lagrange’a. Zgodnie z drugim prawem Newtona wypadkowa siła działająca na ten element płynu będzie równa jego masie przemnożonej przez przyspieszenie. Dla składowej x-owej mamy

x x

F ma 3.2.1

Siły działające na nasz element płynu dzielimy na dwie grupy. Siły masowe oraz siły powierzchniowe.

Definicja 3.2.1: Siły masowe

Siły masowe, to siły działające na całą masę (objętość) danego ciała

Przykładem sił masowych jest siła grawitacji, siły elektryczne, magnetyczne,

Definicja 3.2.2: Siły powierzchniowe

Siły powierzchniowe to siły, które działają na powierzchnię wydzielonego elementu danego ciała.

Mamy dwa główne rodzaje sił powierzchniowych. Siły związane z ciśnieniem wywieranym na daną ściankę, oraz siły ścinające (§TXII 3).

Siłę F działającą na naszą kostkę wyrazimy jako sumę sił masowych Fm

i powierzchniowych Fs, zgodnie z drugim prawem Newtona mamy d

md

 ^vt 



^m 



^s

F F F 3.2.2

Ograniczę się do składowej x-owej.

d

Wykorzystam w tym miejscu teorię wprowadzoną w (§TXII 3). Niech Fx, Fy, Fz

będą wektorami sił naprężenia działającymi na ścianki, odpowiednio x, y, z

5

Składowa x-owa sił powierzchniowych wyrazi się wzorem

6

Jeżeli przyjmiemy, że jedyną siłą masową jest siła grawitacji to mamy

mx x x d

F m g g  V 3.2.7

Z równania (3.2.2), po podstawieniu wzorów na (3.2.6) i (3.2.7) mamy

d d d d

Prędkość v jest funkcją współrzędnych (x, y, z) i czasu t; w różnych punktach przestrzeni prędkość może być różna, co musimy uwzględnić podczas obliczania pochodnej. Wyrażenie (3.2.8) przejdzie w

x x x x xx yx zx

Podobnie dla pozostałych współrzędnych mamy

y y y y xy yy zy

W zwartej formie możemy powyższe wzory zapisać za pomocą operatorów d

 dtv  _m  

a 3.2.10

Symbol am oznacza przyspieszenie spowodowane przez siły masowe. Gdy jedyną siłą masową jest siła grawitacji mamy oczywiście

d

 dtv   

g 3.2.10a

xx p xx Podstawiając te związki do (3.2.9) mamy

y yx

Aby użyć otrzymane równanie do rozwiązania konkretnego problemu musimy mieć model pozwalający na wyznaczenie sił związanych z lepkością cieczy.

Jednak nawet wtedy nie będzie to proste, wskazuje na to sama postać równań (3.2.12). Są to równania różniczkowe cząstkowe. Nic jeszcze nie wspomniałem o rozwiązywaniu takich równań. W pewnym momencie będę musiał to nadrobić. Jednak nawet jeżeli nie wiemy jak rozwiązywać takie równania, to na ich podstawie i tak możemy coś powiedzieć na temat dynamiki płynu. Poza tym zawsze można użyć systemu CAS. Zanim jednak weźmiemy się za rozwiązywanie równań musimy skonstruować model opisujący siły związane z lepkością płynu.

3.3. Płyn newtonowski

Powracamy do analizy płynu. W (§2.2) wprowadziłem prosty model płynu idealnego, do którego opisu stosuje się równanie Bernoulliego (2.2.18).

Analizowany modelowy płyn był nielepki i nieściśliwy. Teraz postaramy się opisać płyny dokładniej. Zaczniemy od próby identyfikacji cechy, które istotnie odróżniają płyn od ciała stałego. Tą cechą jest podatność na ścinanie (def. TXII 3.1). Rysunek (3.3.1) pokazuje kawałek stali i płynu pod działaniem sił ścinających

Rysunek 3.3.1. a) blok metalu nie reaguje na niewielkie siły ścinania, podczas gdy blok płynu (b) odkształca się nawet pod wpływem niewielkich sił ścinających. Ogólnie ciała stałe wyróżniają się tym, że dla odpowiednio małych ale skończonych sił ścinania nie odkształcają się, w przeciwieństwie do płynów.

Widać, z tego, że charakteryzując płyny nie możemy pominąć tak charakterystycznej dla nich wrażliwości na siły ścinające. Tutaj kluczowym pojęciem jest lepkość płynu.

Czym jest lepkość płynu? W najprostszy sposób rzecz ujmując jest to tarcie jakiego doświadczają cząstki płynu podczas ruchu, lub równoważenie są to siły bezwładności opierające się siłom ścinającym działającym na daną objętość cieczy. Oznacza to, że choć płyny poddają się siłą ścinającym to nie bez oporu. Im większy jest lepkość płynu tym większy jest ten opór i mniejsze przemieszczenie kątowe takiego bloku płynu jak ten pokazany na rysunku (3.3.1). Dla cieczy takich jak woda kąt o jaki obraca się ścianką prostopadła początkowo do kierunku siły ścinającej jest proporcjonalny do tejże siły. Nie jest to jednak prawda dla wszystkich płynów. Płyny dla których ta prosta zależność jest prawdziwa nazywamy płynami newtonowskimi i to nimi się tu zajmiemy.

Lepkość powoduje, że przepływ płynu wewnątrz rury wymaga przyłożenia do niej pewnego ciśnienia, które dostarcza siły potrzebnej na pokonanie sił tarcia i utrzymania płynu w ruchu. Aby uwzględnić lepkość w obliczeniach musimy dysponować jej modelem. Tak samo było w przypadku tarcie (zobacz prawa tarcia (okr. TVI 4.1.1-3), czy oporów aerodynamicznych lub hydrodynamicznych, gdzie przyjmowaliśmy, że siły tarcia są proporcjonalne do prędkości obiektu względem płynu i przeciwnie do tej prędkości skierowane (§TVI 4.3). Również przy analizie tarcia w ruchu wahadła (wahadło tłumione) przyjęliśmy siłę proporcjonalną do prędkości i odwrotnie do tej prędkości skierowaną (TVI 3.7.1). To oczywiście nie oznacza, że tarcia wyraża się dokładnie lub zawsze w taki sposób. Gdy prędkość poruszania się obiektu w powietrzu rośnie to siły tarcia stają się proporcjonalne do kwadratu wartości

Najprostszy model lepkości dotyczy wspomnianych już cieczy newtonowskich. Precyzyjnie rzecz biorąc dla cieczy newtonowskich naprężenie ścinające, spowodowane tarciem (lepkością) jest proporcjonalne do gradientu prędkości. Przypomina to klasyczny model sił oporu ruchu dla ciała poruszającego się w płynie, gdzie opór był również proporcjonalny do prędkości. Nie ma w tym żadnej magii. Siły oporu muszą zależeć od prędkości.

W przypadku cieczy jest to różnica prędkości pomiędzy sąsiednimi warstwami cieczy. Im jest ona większa tym większe są siły oporu. W pierwszym, to jest liniowym przybliżeniu, współczynnik proporcjonalności jest równy gradientowi prędkości. Płyny, które zachowują się zgodnie z tym założeniem badał Newton.

Newton opisał ich własności ale bez posługiwania się operatorami takimi jak operator gradientu. Dziś ogólne równanie płynów newtonowskich opisujemy równaniem różniczkowym z użyciem operatorów.

Rysunek (3.3.1) pokazuje dwie płyty, między którymi jest warstwa płynu. Górna płyta, pod wpływem siły F, porusza się z prędkością ze stałą prędkością v względem dolnej. Założymy przy tym, że obie płyty, górna i dolna, są dostatecznie długie i szerokie by w środkowej części można było zaniedbać efekty brzegowe. Efekty brzegowe związane są, z faktem, że tam gdzie kończą się płyty opis układu komplikuje się, jak zawsze gdy jesteśmy na granicy różnych części tegoż układu (§TII 8).

Rysunek 3.3.1. Płyn znajduje się między dwoma płytami. Dolna jest nieruchoma względem płynu, górna zaczyna się poruszać z prędkością v. Górna ciągnie przylegającą do niej warstwę cieczy. Im większe tarcie między płynem a płytą tym efektywniejsze jest to ciągnięcie. Ciągnięta warstwa płynu ciągnie warstwę leżącą niżej, ta ciągnie warstwę leżącą jeszcze niżej i tak dalej. Każda kolejna warstwa porusza się wolniej. Jeżeli naprężenie ścinająca pomiędzy warstwami jest proporcjonalne do gradientu prędkości, to ciecz jest newtonowska.

W naszym przykładzie prędkość warstw zmienia się w kierunku osi y, zatem jej gradient jest równy dv/dy.

Dla wielu cieczy jej cienka warstwa, przy górnej i dolnej płycie będzie się poruszała z prędkością bliskiej płyty. W naszym przypadku będzie to prędkość równa zeru przy dolnej płycie i v przy górnej płycie. Warstwy pośrednie będą ciągnięte z prędkością malejącą w kierunku dolnej płyty. W naszym modelu przyjmujemy, że naprężenie ścinające między warstwami jest proporcjonalne do gradientu prędkości. Dla sytuacji przedstawionej na rysunku (3.3.1) możemy zapisać

d najprostszego modelu (model kulistej krowy), potem badamy jego konsekwencje i jeżeli mamy zgodność z doświadczeniem, to możemy stwierdzić, że przynajmniej w pewnym zakresie warunków nasz model jest sensowny. W bardziej złożonych sytuacjach musimy obliczyć wartości pozostałych współczynników tensora naprężeń. Zrobię teraz coś czego nie lubię.

Napiszę podstawowe równanie dynamiki płynów - równanie Naviera-Stokesa, bez głębszego uzasadnienia. Ale i tak dużo było w tym temacie zmagań z matematyką. Pełne wyprowadzenie równania Naviera-Stokesa i tak przekradza ramy tego wykładu, co nie oznacza, że całkiem sprawę odpuszczę. Jeszcze do tej kwestii wrócimy. A teraz panie i panowie równanie Naviera-Stokesa:

 

gdzie F to tzw. siły masowe o wymiarze [m/s²], czyli siły na jednostkę masy, p to ciśnienie, v prędkości cieczy w otoczeniu danego punktu. Przypominam, że trójkąt oznacza operator nabla. Widać, że składnik z lewej strony opisuje pochodną substancjalną, czyli ma znaczenie przyspieszenia małej objętości cieczy, gradient ostatnie dwa składniki po prawej stronie opisują efekty związane lepkością cieczy. Wiem, że równanie to wygląda odstręczająco i na dobrą sprawę nie wiadomo jak się wziąć za ich rozwiązywania. Ale specjaliści zajmujący się płynami nie mogą się zniechęcać, a nade wszystko rozwiązując konkretne zagadnienie musimy szukać możliwości zastosowania możliwie najprostszej wersji tych równań. Przykładem takiej uproszczonej wersji równań Naviera-Stokesa jest równanie Bernoulliego (2.2.18), które obowiązują dla cieczy nielepkich i nieściśliwych.

Z równania (3.3.1) możemy wnioskować, że wymiarem lepkości jest

cm s

1P 1 g 0.1 Pa s

  3.3.4b

Obok współczynnika lepkości dynamicznej  stosujemy również współczynnik lepkości kinematycznej  równy stosunkowi lepkości dynamicznej  do gęstości płynu 

 

  3.3.5

Wymiarem lepkości kinematycznej jest długość kwadrat przez czas. W układzie SI jednostką jest

 

^m2

  s 3.3.5a

W układzie CGS jednostką jest stokes [St]

2 2

cm 4 m

1St 1 10

s s

  3.3.5b

Wartości lepkości dynamicznej dla wybranych płynów pokazuje tabela (3.3.1)

PŁYN

gliceryna 25C 934 powietrze 30C 0.0187

Tabela 3.3.1. Wartości lepkości dynamicznej wybranych płynów w wybranych temperaturach

Patrząc na równanie Naviera-Stokesa (3.3.2), przyznam, że mnie nieco poniosło. Powinienem jeszcze odnieś się do jednej kwestii. Wracam więc do rysunku (3.3.1). Dlaczego możemy przyjąć, że przy płytach prędkości płynu są takie same jak płyt? Głównie dlatego, że jest fakt dobrze potwierdzony doświadczalnie. Możemy go również uzasadnić teoretycznie w dokładny ale skomplikowany sposób, lub mało dokładny ale przemawiający do wyobraźni.

Odwołam się do tego drugiego sposobu; rozumowanie przedstawia rysunek (3.3.2).

Rysunek 3.3.2. Rzeczywiste powierzchnie mają spore, w skali atomowej, nierówności. Powoduje to uwięzienie cząsteczek płynu w poszczególnych zagłębieniach i ich unieruchomienie względem powierzchni. Cząstki płynu przepływające w pobliżu tych uwięzionych cząsteczek oddziałują z nimi generując wspomniane siły tarcia. Jeżeli płyta jest nieruchoma, to te przepływające cząstki próbują pociągnąć za sobą cząstki uwięzione, przez co same są hamowane. W efekcie w pobliżu nieruchomej płyty cząstki w pierwsze warstwie nad nierównościami mają prędkości bliskie zeru względem tej płyty.

Gdy płyta porusza się oddziaływanie z uwięzionymi cząstkami płynu ciągnie za sobą cząsteczki z pierwszej warstwy nadając im prędkość zbliżoną do prędkości płynu. Oczywiście część uwięzionych cząstek, w wyniku oddziaływania, zostaje wyrwana z pułapek, ale ich miejsca niemal natychmiast zajmują cząstki z warstwy przypowierzchniowej.

Od strony molekularnej lepkość jest efektem oddziaływania między cząsteczkami i transferu momentu pędu w wyniku zderzeń. W cieczach dominuje pierwszy składnik a w gazach w drugi. W efekcie lepkość cieczy zwykle maleje wraz ze wzrostem temperatury, gdyż rosną wtedy odległości między cząsteczkami i maleją siły oddziaływania. W gazach natomiast lepkość zwykle rośnie wraz temperaturą, gdyż rośnie liczba zderzeń.

Równania Naviera-Stokesa są przedmiotem studiów w matematyce.

Matematycy traktuję je oczywiście jako obiekty matematyczne, bez zanurzania się w kwestie interpretacji fizycznej tych równań, co jest domeną fizyków.

Może być dziwne, że jedna rodzina równań jest przedmiotem trwających od ponad stu lat studiów matematycznych. Pokazuje to jednak dwie rzeczy, pierwsza to jak trudne wyzwanie stanową równania Naviera-Stokesa, drugie jak ważną rzeczą jest opis ich właściwości w tym rozwiązań. Osobnym rozdziałem jest rozwiązywanie równań N-S, za pomocą komputera. W tych obliczeniach dzielimy przestrzeń ma bardzo małe sześciany przyjmując, że w ramach takiego małego sześcianu siły i przepływy są stałe lub zmieniają się liniowo. Następnie obliczamy przepływ płynu od sześcianu do sześcianu. Zwykle wymaga to dużej mocy obliczeniowej, a opisywany układ może być wrażliwy na warunki początkowe, co w sytuacji ograniczonej dokładności obliczeń numerycznych może przynosić niewiarygodne wyniki. Posiadanie silnego komputera i oprogramowania nie jest tu wystarczające, Potrzebne jest jeszcze dobre rozumienie problemu od strony fizycznej i matematycznej. Nic zatem dziwnego,

Równanie Naviera-Stokesa postaci (3.3.2) obowiązuje dla płynów newtonowskich, czyli takich, dla których naprężenie ścinające jest proporcjonalna do gradientu prędkości nie wyczerpują bogactwa możliwych płynów. W przyrodzie i technice mamy do czynienia z licznymi przykładami płynów nienewtonowskich czyli takich, dla których nasz model jest zbyt prosty.

Do takich płynów należą koloidy, emulsje, część roztworów (również wodnych). Wokół nas tego typu płynów nie brakuje; na przykład keczup, jogurt, pasta do zębów, szampony, smary. Płynem nienewtonowskim jest również krew. W przypadku cieczy nienewtonowskich musimy posłużyć się innym modelem, który jest bardziej złożony od modelu cieczy newtonowskiej. Całe zagadnienie staje się jeszcze trudniejsze do analizy, ale ta złożoność prowadzi do wielu ciekawych zachowań, które są obce cieczom newtonowskim.

Niestety analiza płynów nienewtonowskich to zupełnie odrębny dział fizyki, od strony teoretycznej bardzo trudny. Pozostaniemy więc przy płynach newtonowskich, dla których równanie dynamiki (3.3.2) i tak jest bardzo złożone.

W dokumencie POLA I OPERATORY XIV Temat (Stron 56-66)