POLA I OPERATORY XIV Temat

Temat

XIV

POLA I OPERATORY

1. Pole skalarne i operator gradientu

Jeżeli pilnie doszedłeś do tego miejsca, nie przeskakując trudnych tematów, ale zmagając się z nimi aż do osiągnięcia zrozumienia, to mam dla Ciebie nagrodę.

Jeszcze więcej trudu. Tak, to nie pomyłka, nagrodą za trud przy nauce jest jeszcze więcej trudu. Gdy trener widzi, że jego zawodnik robi postępy, lub nauczyciel muzyki odnotowuje, że jego uczeń gra coraz lepiej, aplikują swoim podopiecznym jeszcze trudniejsze ćwiczenia. I tak do oporu;). Dlaczego ja mam być gorszy? Ten temat jest mocno matematyczny. Sam jego tytuł ma siać zgrozę. Ale zapewniam, że jego zrozumienie nie przekracza możliwości przeciętnie zdolnego ucznia, oczywiście przeciętnie zdolnego wśród tych, którzy mają nieco bożej iskry do przedmiotów ścisłych. Nie jest to jeszcze odpowiednik konserwatorium, ale już muzyczna szkoła średnia. A jeżeli doszedłeś do tego miejsca przeskakując co trudniejsze fragmenty, to co, nie wolno Ci skorzystać z nagrody? Wolno, tyle, że jeżeli nie starczyło woli na poprzednie tematy, to czy teraz będzie inaczej?

Z pojęciem pola i operatora już się spotkaliśmy. Jeżeli nie pamiętasz, to wróć do definicji (TII 7), gdzie zdefiniowałem pole skalarne i operator gradientu. Teraz muszę naszą wiedzę o polu skalarnym i operatorze gradientu usystematyzować i poszerzyć. A potem przyjdzie czas na inne pola i operatory.

Zgodnie z definicją (TII 7.1) pole skalarne każdemu punktowi przestrzeni przyporządkowuje skalar (liczbę). Kiedy mówimy każdemu punktowi przestrzeni to myślimy o naszej fizycznej przestrzeni. Ale pole skalarne jest tworem matematycznym. Dla matematyków przestrzeń to zbiór punktów, a to czy są one skojarzone z przestrzenią fizyczną czy nie to rzecz nieistotna. Jeżeli nałożymy na zbiór punktów A warunki zgodne z definicją przestrzeni afinicznej (def. TIV 3.2.1), i dodatkowo każdemu punktowi przestrzeni A przyporządkujemy skalar, to możemy uznać, że to pole skalarne zostało zdefiniowane na przestrzeni dobrze modelującej przestrzeni fizyki klasycznej.

Poniżej zamieszczam ponownie rysunek (TII 7.1) - mapę poziomicową jako graficzną reprezentację dwuwymiarowego pola skalarnego (rys, 1.1).

Łatwo się w takiej mapie orientujemy. Nie musimy myśleć o definicjach przestrzeni afinicznej, czy innych złożonościach matematyki. Jednak gdy pozostaniemy na poziomie rozumienia pola skalarnego poprzez mapę, to nie poczujemy siły tego pojęcia i nie będziemy mogli z niego w pełni korzystać.

Rysunek (1.2a) pokazuje pole skalarne zdefiniowane na przestrzeni jednowymiarowej, to jest na linii. To dość dziwne pole. Co prawda każdy punkt linii ma przyporządkowane wartości, ale wartości te skaczą, gdyż każdemu punktowi przyporządkowałem losową liczbę z zakresu [0, 5].

Rysunek 1.1. Mapa poziomicowa reprezentowana przez barwy.

Takie pole choć matematycznie jest poprawnie określone, to fizycznie nam się nie podoba. Zażądamy więc aby pole skalarne miało pewne dodatkowe właściwości. Zażądamy, żeby było ciągłe, na przykład tak jak na rysunku (1.2b).

W gruncie rzeczy pole skalarne pokazane na rysunku (1.2b) wygląda jak wykres funkcji. Nie ma w tym nic dziwnego – poprzez funkcję każdemu punktowi linii (osi liczbowej) przypisujemy liczbę. Funkcję możemy więc traktować jako przepis na tworzenie pola skalarnego jednowymiarowej przestrzeni.

Rysunek 1.2. a) pole skalarne zdefiniowane na odcinku [0, 4]. Każdemu punktowi przyporządkowałem losowo wygenerowaną liczbę z zakresu [0, 5].

Czerwone kropki pokazują wartości w wybranych punktach. Pokazane pole skalarne jest nieciągłe; b) pole skalarne zdefiniowane na odcinku [-0,5, 1], tym razem jest to pole ciągłe. Odpowiada ono przebiegowi funkcji cos(sin(x+1)²).

Czerwone kropki pokazują wartości w wybranych punktach.

Rysunek (1.2b) przedstawia wykres funkcji: cos(sin(x+1)²). Przez swą ciągłość to pole jest bardziej fizyczne. Nie oznacza to, że w fizyce nie zdarzają się pola

nieciągłe. Zdarzają się, przykładem jest rozkład fazy w wirze optycznym (TX 1.1.1), w którego centrum jest punkt nie posiadający dobrze określonej wartości fazy. Tutaj faza tworzy pole skalarne na płaszczyźnie. Tego typu nieciągłości zdarzają się również w innych działach fizyki. Ale pole wszędzie nieciągłe (jak na rys. 1.2a) to już przesada.

Pole skalarne, zdefiniowane na przestrzeni N wymiarowej niczym się nie różni od funkcji wielu zmiennych, do których jesteśmy przyzwyczajeni z kursu matematyki, tylko nazwa jest straszniejsza.

Wynika z tego, że warunki na ciągłość pola skalarnego zdefiniowanego na N-wymiarowej przestrzeni euklidesowej E^N są takie same jak warunki na standardową funkcję wielu zmiennych, która jest ciągła. Czy będziemy wychodzić poza pola na E^N? Czemu nie, może nam przyjść na przykład ochota zdefiniowania pola skalarnego na powierzchni sfery. Będzie to wymagało subtelniejszego podejścia do problemu ciągłości. Zajmę się tym później.

Możemy również zażądać mocniejszych własności pola skalarnego. Na przykład aby pole było klasy C^N, co jak wiemy, mówi ile razy możemy różniczkować funkcję, która je definiuje (def DB 1.3.1).

1.1. Operator gradientu

Z operatorem gradientu spotkaliśmy się w sekcji (TII 7). Operator gradientu działa na pole skalarne i przerabia je na pole wektorowe. Operatory mają swoje reprezentacje pozwalające na wykonanie konkretnych obliczeń w wybranym układzie współrzędnych. Mocno to podkreślałem w temacie poświęconemu polaryzacji (TXIII). Mówiłem tam o operatorach Jonesa i ich reprezentacjach, to jest macierzach Jonesa. Podobnie jest z gradientem – jako operator ma we współrzędnych kartezjańskich swoją reprezentację – oto ona

𝛁 = ( 𝜕

𝜕𝑥, 𝜕

𝜕𝑦 , 𝜕

𝜕𝑧) 1.1.1

Na pole skalarne (x, y, y) operator gradientu działa tak

𝛁φ = ( 𝜕

𝜕𝑥φ, 𝜕

𝜕𝑦 φ, 𝜕

𝜕𝑧φ)

1.1.2 Widać, że zabawa w obliczanie gradientu we współrzędnych kartezjańskich polega na liczeniu pochodnych cząstkowych (§TV 4.6) i ich uporządkowaniu w trójkę liczb. Taka trójka liczb definiuje wektor w trójwymiarowej przestrzeni.

Stąd mówimy, że gradient zamienia pole skalarne na pole wektorowe. Aby jednak można było obliczyć gradient pole skalarne musi być różniczkowalne, to znaczy że funkcja  definiująca to pole musi być różniczkowalna.

jest wektorem, tylko wygodnie jest go traktować jako wektor, a to dwie różne sprawy. Korzystając z tego formalnego podobieństwa będę go zapisywał na kształt wektora, wraz z jego współrzędnymi

𝛁 ( 𝜕

𝜕𝑥, 𝜕

𝜕𝑦 , 𝜕

𝜕𝑧) 1.1.3

Rozważmy różniczkowalne pole skalarne określone na przestrzeni euklidesowej E³. Możemy wprowadzić na takim polu bardzo użyteczne pojęcie powierzchni ekwiskalarnej.

Definicja 1.1.1: powierzchnia ekwiskalarna

Zbiór punktów, dla których pole skalarne przyjmuje stałą wartość nazywamy powierzchnię ekwiskalarną

Zbiór punktów o równej wartości tworzy powierzchnię, wtedy gdy pole skalarne zdefiniowane jest w przestrzeni trójwymiarowej. W przestrzeni dwuwymiarowej powierzchnią ekwiskalarną jest linia, a w jednowymiarowej zbiór punktów.

Wiemy to już z tematu poświęconego optyce falowej. Powierzchnia falowa to zbiór punktów o tej samej wartości fazy, w ustalonej chwili czasu (def. TIX 1.1.1). Faza jest liczbą i jej rozkład w przestrzeni, w ustalonej chwili czasu, jest polem skalarnym. Wiemy również, że powierzchnie równej fazy mogą się składać z wielu rozłącznych płatów, tak jak to jest w przypadku fazy fali płaskiej (rys. TIX 1.1.9)

Jeżeli przesuwamy się po powierzchni ekwiskalarnej, to różnica wartości pola skalarnego w punkcie początkowym i końcowym wynosi zero. Oznaczmy tą różnicę przed , wtedy

∆φ = 0 1.1.4

Gdy pole jest różniczkowalne, jak tu zakładamy, to możemy w sposób ciągły przemieszczać punkt końcowy w kierunku punktu początkowego, wtedy

∆𝜑 ⟶ d𝜑 = 0 1.1.5

Z drugiej strony różniczka d przy przejściu po dowolnej drodze do danego punktu (nie ograniczamy się do powierzchni ekwiskalarnej) wynosi

dφ = 𝜕φ

𝜕𝑥d𝑥 +𝜕φ

𝜕𝑦 d𝑦 +𝜕φ

𝜕𝑧 d𝑧 1.1.6

Wyrażenie (1.1.6) mogę zapisać w postaci iloczynu skalarnego dφ = (𝜕φ

𝜕𝑥 ,𝜕φ

𝜕𝑦 ,𝜕φ

𝜕𝑧) ∙ (d𝑥, d𝑦, d𝑧) 1.1.7

Stąd wynika, że różniczka pola skalarnego  może być zapisana w postaci

dφ = ∇φ ∙ d𝐫 1.1.8 Przesuńmy się o nieskończenie mały wektor styczny do powierzchni ekwiskalarnej. Ponieważ poruszamy się stycznie do powierzchni ekwiskalarnej przyrost wartości pola skalarnego musi być równy zeru, czyli

d𝜑 = ∇φ⏟

=0

∙ d𝐫=0

1.1.8 Oznacza to, że wektor gradientu  musi być prostopadły do wektora dr, i co za tym idzie prostopadły do powierzchni ekwiskalarnej, gdyż założyliśmy, że dr jest styczny do tej powierzchni. Krótko powiemy, wektor gradientu jest normalny do powierzchni ekwiskalarnej.

Fakt 1.1:

Wektor gradientu w danym punkcie jest prostopadły (normalny) do powierzchni ekwiskalarnej pola skalarnego, przechodzącej przez ten punkt i wskazuje lokalny kierunek wzrostu pola

To co stwierdza fakt (1.1) jest nam już znane z (§TII 7). Stwierdziłem tam, że wektor gradientu pokazuje kierunek największe wzrostu pola skalarnego (zobacz rysunek (TII 7.5)). Teraz wyprowadziłem te wnioski korzystając z ogólnego formalizmu.

Przyjrzyj się rysunkowi (1.3)

Rysunek 1.3. Czarne linie (w tym jedna przerywana) to linie ekwiskalarne różniące się wartością pola, w stosunku do sąsiada, o . Zielone wektory to wektor s wskazujące lokalne rozsunięcie tych linii. Niebieskie wektory to wektory gradientu dla dwóch różnych punktów pola.

Mamy na nim grupę linii reprezentujących powierzchnie ekwiskalarne. Wartości pola na sąsiednich liniach różnią się o tą samą wartość . Jak widzisz w obszarze na lewo linie są rzadsze niż w obszarze na prawo. Niech wektor

∆𝐬 = 𝐞∆𝑠 1.1.9

Wyznacza odległość między liniami ekwiskalarnymi różniącymi się o wartość

. Przyjmujemy, że wektor e jest jednostkowy i prostopadły do pierwszej

Przechodząc do wielkości nieskończenie małych mamy

d𝐫 = 𝐞d𝑠; d𝑠 = |d𝐫| 1.1.11

Wzór (1.1.8) możemy zapisać w postaci

d𝜑 = 𝛁φ ∙ 𝐞d𝑠 = |𝛁φ|d𝑠 1.1.12

Ostatnia zależność bierze się stąd, że wektor jednostkowy e i wektor gradientu są równoległe, zatem ich iloczyn skalarny sprowadza się do mnożenia ich wartości. Z (1.1.12) mamy

d𝜑

d𝑠 = |𝛁φ| 1.1.13

Wartość gradientu jest lokalną miarą gęstości powierzchni (linii) ekwiskalarnych (przesunięcie ds jest prostopadłe do powierzchni ekwiskalarnych). Wynika z tego, żę im gęściej upakowane są ekwiskalarne powierzchnie (przy czym zakładamy, że skok wartości pola między każdymi dwiema sąsiednimi powierzchniami jest taki sam), tym większą ma wartość gradient.

Zbiór linii prostopadłych do powierzchni ekwiskalarnych nazywamy liniami pola (rys. 1.1.4)

Definicja 1.1.1: linie pola skalarnego

Linie pola skalanego są liniami prostopadłymi do powierzchni ekwipotencjalnych tego pola

Rysunek 1.1.4. Grube linie pokazują przebieg linii ekwiskalarnych pola skalarnego . Linie przerywane pokazują linie pola, które są prostopadłe do linii ekwiskalarnych, w każdym punkcie, w którym taką linię przecinają.

Z tego co powiedziałem wynika, że w ośrodku optycznie izotropowym, promienie świetlne są liniami fazowego pola skalarnego. Przypominam, że w ośrodku izotropowym promienie są prostopadłe do powierzchni fali optycznej, która jest powierzchnią ewkiskalarną dla pola fazy.

Jeszcze jedno spostrzeżenie. Załóżmy, że wektor dr jest prostopadły do powierzchni ekwiskalarnych, a zatem styczny do linii pola. Jest on zarazem równoległy do wektor gradientu. Stąd wynika, że iloczyn wektorowy tych wektorów musi być równy zeru

d𝐫 × 𝛁𝜑 = 𝟎 1.1.14 Równanie (1.1.14) pozwala, poprzez wyznaczenie współrzędnych wektora dr, na obliczenie przebiegu linii pola skalarnego .

1.1.1. Gradient jest niezmiennikiem

Gradient pola skalarnego  obliczaliśmy w konkretnym układzie współrzędnych K. Pokażę teraz, że przesunięcie początku układu do nowego punktu, czyli zmiana układu współrzędnych z K na K poprzez translację, nie zmieni wartości gradientu pola. Niech zatem

; ;

x x a y y b z z c 1.1.15

Funkcja  zapisana w nowych współrzędnych ma postać

   

φ , ,x y z φ xa y, b z, c 1.1.16 Ale

; ;

x x y y z z

     

     

  

      1.1.17

Widać z tego, że gradient obliczony w nowych współrzędnych

φ φ φ

φ= , ,

x y z

   

      

1.1.18 Ma taką samą wartość jak w starych współrzędnych.

Podobnie jest dla transformacji obrotu. Dowód wymaga nieco bardziej rozbudowanych rachunków i nie będę go tu przytaczał. Podsumowując

Fakt 1.2:

Wartość gradientu na polu skalarnym  nie zależy od wyboru układu współrzędnych.

Nie muszę chyba mówić, że jest to bardzo ważna cecha gradientu bez której dla fizyki byłby mało użyteczny. Przebieg zjawisk fizycznych nie powinien wszak zależeć od tego jaki układ sobie wybierzemy.

1.2. Przykłady

Operator gradientu należy do najciężej pracujących w fizyce operatorów.

Przypomnę, że w poprzednich tematach wykorzystywaliśmy już operator gradientu. Pierwszy raz przytrafiło się to nam w temacie drugim (§TII 7). Warto w tym miejscu podać dwa inne przykłady jego zastosowania. Pierwszy przykład dotyczy pochodnej substancjalnej.

1.2.1. Pochodna substancjalna

W fizyce płynów używamy dwóch opisów układów fizycznych. Jeden z nich nazywany podejściem Lagrange’a. Polega ono na ułożeniu równań ruchu dla wybranej niewielkiej objętości płynu. Krótko mówiąc dzielimy objętość płynu na bardzo małe fragmenty (np. bardzo małe sześciany) i traktując te fragmenty jak cząstki punktowe piszemy dla nich równania ruchu. Jest to podejście wywodzące się bezpośrednio z zasad Newtona. W przypadku fizyki płynów ma ono swoje wady. Ze względu na to, że objętości, na które dzielimy płyn powinny być małe jest ich bardzo dużo, co sprawia poważne problemy obliczeniowe, nawet dla współczesnych komputerów. Tym bardziej, że pomijając najprostsze modele płynów, należy uwzględnić oddziaływanie między takimi elementarnymi objętościami. Istnieje również problem przy zmianie gęstości danej porcji płynu, którą nie zawsze da się zaniedbać.

Drugim podejściem jest tzw. podejście Eulera. Wiąże się ono z faktem, że badając parametry płynu (np. ciśnienie) robimy to statycznie. To znaczy, że płyn przepływa przez nieruchomy (względem na przykład granic naczynia) instrument pomiarowy. Podejście Eulera konsumuje ten fakt, każąc nam podzielić objętość płynu na siatkę małych sześcianów (można też użyć innych kształtów) – siatkę tą nazwę siatką Eulera. Siatka Eulera jest nieruchoma względem wybranego układu współrzędnych (zwykle jest on związany z pojemnikiem zawierającym płyn) a każdy jej element może reprezentować środowisko, w którym tkwi mikrosonda pomiarowa. Płyn oczywiście przepływa przez poszczególne elementarne sześciany siatki. To podejście ma również swoje wady. Ponieważ małe sześciany siatki nie są związane z ruchem cząstek płynu trudno jest określić przyspieszenie tych cząstek, a przyspieszenie jest elementarną wielkością mechaniki. Na szczęście dla podejścia Eulera sprawa nie jest beznadziejna, o czym się poniżej przekonasz. Oba podejścia możemy podsumować w następujący sposób

 Podejście Lagrange’a: poruszaj się wraz z drobnym fragmentem płynu i obserwuj to co dzieje się w otoczeniu

 Podejście Eulera: siedź w miejscu i patrz co dzieje się przed twoim nosem Wyobraźmy sobie mały sześcian (w granicy nieskończenie mały), który może przemieszczać się wewnątrz układu fizycznego (rys. 1.1.1). Ten mały sześcian posłuży nam za czytnik wyników odczytów sond umieszczonych w poszczególnych nieruchomych sześcianach w modelu Eulera. Będę go nazywał sześcianem próbnym. Sam sześcian próbny nie oddziałuje z elementami układu, natomiast będzie raportował o pewnych cechach tej części układu, która znajdzie się w jego wnętrzu; na przykład może to być gęstość materii, lub lokalna temperatura. Możemy sobie wyobrazić, że jedynie sczytuje wyniki pomiarów mikrosond umieszczonych w oczkach siatki Eulera.

W naszym obecnym modelu płynu pozostaną tylko dwie jego cechy, gęstość

masy oraz prędkości przemieszczania się (lub pęd) małego fragmentu płynu.

W każdym punkcie, dana porcja płynu ma jakąś prędkość i gęstość, możemy więc mówić o polu wektorowym prędkości (pędu) i polu skalarnym (gęstość).

Rysunek 1.1.1. W każdym punkcie P modelowanego układu znamy gęstość i prędkość materii. Mały myślowy sześcian zawiera czytnik wartość tych parametrów. Rysunek pokazuje taki przykładowy sześcian w punkcie P1

w chwili t1 oraz w punkcie P2 w chwili t2. Ciągła szara linia jest styczna do wektorów prędkości tegoż sześcianu – jest to linia pola prędkości. Inne sześciany jakie możemy użyć mają inne linie pola. Cztery z tych linii pokazane są szarymi przerywanymi kreskami.

Poprawić

Posłużymy się modelem ciągłego rozkładu masy, to znaczy że zaniedbamy fakt, że ciała materialne zbudowane są z cząsteczek. Przy bardzo niewielkich rozmiarach cząsteczek taki model jest i sensowny i wygodny.

Rysunek (1.1.1) pokazuje przemieszczający się sześcian próbny. Niech w chwili t1 sześcian jest w położeniu (x1, y1, z1) i sczytuje lokalną gęstość płynu (t1, x1, y₁, z₁) a w chwili t₂ sześcian jest w położeniu (x₂, y₂, z₂) a lokalna gęstość płynu wynosi (t2, x2, y2, z2). Zauważ, że współrzędne sześcianu (x,y,z) zależą od czasu, gdyż sześcian przemieszcza się. Zamiast więc pisać, że w chwili t₁ sześcian próbny sczytuje gęstość (t1, x1, y1, z1), a w chwili t2 jest to (t2, x2, y2, z2) napiszmy ogólnie (bez wyróżniania konkretnych chwil) (t, x(t), y(t), z(t)).

Tak zdefiniowana funkcja określa wartość sczytywanej gęstości punkt po punkcie. Pochodna tak określonej gęstości po czasie wynosi

d d

x y z

t t x t y t z t

  

  ^  ^{ }  ^{ } ^{ }

       1.1.1

Pochodne współrzędnych po czasie dadzą nam odpowiednie współrzędne wektora prędkości v próbnego sześcianu, a pochodne gęstości po współrzędnych możemy opisać przez gradient z pola skalarnego gęstości, zbierając to mamy

d

dt  ^t  

 v 1.1.2

Pochodną obliczoną we wzorze (1.1.2) nazywamy pochodną substancjalną.

d

dt  ^t 

 v 1.1.3

Definicja 1.1.1: Pochodna substancjalna

Pochodna substancjalna z pola skalarnego , wyraża się wzorem (1.1.3)

Przykładem pola skalarnego innego niż gęstość jest pole opisujące rozkład temperatury T(t, x(t), y(t), z(t)). Dla pola temperatur pochodna substancjalna ma postać

d

d T T T

t t

   

 v 1.1.4

Znaczenie poszczególnych wyrazów we wzorze (1.1.4) możemy zinterpretować na następującym przykładzie. Wyobraźmy sobie dom z ogrodem w czasie zimowych mrozów. Pochodna po czasie z temperatury (tzw. pochodna lokalna) opisuje jak w danym punkcie domu i ogrodu zmienia się temperatura powietrza w czasie. Jak próbny sześcian sczytuje zmiany temperatury, gdy przemieszcza się z wnętrza domu do ogrodu?

W momencie opuszczenia ciepłego domu próbny sześcian „dostrzega”

wyraźny spadek temperatury. Spadek ten jest związany z dwoma efektami:

Powietrze przepływa z ciepłego domu do zimnego ogrodu, więc z czasem termometr w każdym sześcianie siatki Eulera może notować inną temperaturę znajdującego się w nim powietrza, co opisuje pierwszy wyraz wzoru (1.1.4). Drugie wyrażenie we wzorze (1.1.4) opisuje zmianę spowodowaną przemieszczeniem próbnego sześcianu. Przepływ powietrza może być tak wolny, że w czasie gdy próbny sześcian przemierza odległość na przykład 1m możemy uznać, że w układzie nic się nie zmienia. Ale nie oznacza to, że rozkład temperatury jest równomierny. Dlatego drugi wyraz składa się z wektora gradientu temperatury, który opisuje jak szybko zmienia się temperatura na skutek przemieszczenia między bliskimi sobie sześcianami siatki Eulera oraz z wektora prędkości, który mówi jak szybko przemieszcza się próbny sześcian między sąsiednimi oczkami tej siatki.

Patrząc na to od strony graficznej, gradient mówi nam jak gęsto ułożone są linie ekwiskalarne, a prędkość jak szybko mijamy kolejne linie. Razem oba wyrażenia mówią nam o tempie odczuwanych zmian.

Druga składowa wzoru (1.1.4) nazywana jest pochodną konwekcyjną.

Operator postaci



v 1.1.5

Nazywany jest operatorem pochodnej konwekcyjnej.

Definicja 1.1.2: Pochodna konwekcyjna

Pochodna konwekcyjna z pola skalarnego , wyraża się wzorem





v 1.1.6

Wiemy jak interpretować pochodną konwekcyjną dla temperatury.

Dla lepszego zrozumienia podam jeszcze przykład takiej interpretacji dla gęstości  . Możemy sobie wyobrazić gaz wydostający się z wąskiej rurki. Po opuszczeniu rurki gaz rozpręża się i ta sama masa zajmuje większą objętość. Oznacza to, że w danej chwili czasu w różnych punktach mamy różną gęstości izolinii równej gęstości masy (rozkład gęstości masy tworzy pole skalarne). Jeżeli przemieszczamy się z prędkością v to odczuwamy zmiany gęstości masy tym szybciej im większą mamy prędkość i im bliżej siebie położone są izolinie równej gęstości masy. Zmiana ta zależy również od szybkości zmian gęstości, w danym sześcianie siatki Eulera, czyli od czasu. Na przykład rurka podłączona jest to butli z gazem i z czasem ciśnienie w butli maleje przez co spada tempo wypływu gazu.

Ostatni przykład wiąże się z pomiarem prędkości cząstek płynu.

Rozpatrzmy pole prędkości, które jest stałe w czasie ale zmienne w przestrzeni, jak to pokazuje rysunek (1.1.2). Takie rozkłady prędkości spotykamy w modelu przepływu cieczy nieściśliwej.

Rysunek 1.1.2. Pole wektorów prędkości nieściśliwej cieczy. W przewężeniu rury cząsteczki przyspieszają. Jednak w każdym punkcie wektor prędkości jest stały w czasie.

Pochodna substancjalna dla pola wektorowego z rysunku (1.1.2) będzie miała zerowy człon czasowy i niezerową część substancjalną. Ale zaraz, zaraz, pochodną substancjalną zdefiniowałem na polu skalarnym , a pole prędkości jest polem wektorowym. Możemy jednak rozbić, w każdym punkcie, wektor prędkości na trzy składowe i obliczać pochodną substancjalną osobno dla każdej składowej. Składowe prędkości są zależne od współrzędnych x,y,z (ale w naszym przykładzie nie są zależne od czasu; np. dla x-owej składowej mamy funkcję vx(x,y,z)). Dla składowych prędkości vx, vy, vz pochodna substancjalna, na mocy wzoru (1.1.1) wyrazi się wzorami

d x y z d

y y y z

y

v v v v

t x y z v

  

     

   r 1.1.7b

d x y z

d

z z z z

z

v v v v

t x y z v

  

     

   r 1.1.7c

Cóż ona wyraża? Rysunek (1.1.3) pokazuje przejście pomiędzy dwoma bliskim sobie, bardzo małymi sześcianami, których środki oznaczone są jako punkty P1=P(x(t), y(t), z(t)) i P2=P(x(t+t), y(t+t), z(t+t)). Wyrażenie (1.1.7a) oblicza zmianę wartości mierzonej składowej v_x od punktu P1 do punktu P2, gdy t0.

Pomnóżmy wzór (1.1.7a) obustronnie przez dt d _x v^x xd v^x yd v^x zd _x d

v t t t v t

x y z

  

     

   r 1.1.8

Wektor gradientu pola skalarnego v_x mówi nam jak gęsto ułożone są linie ekwiskalarne. Wektor dtr mówi nam jak długi odcinek przebędziemy w czasie dt na drodze od punktu P1 do punktu P2. Iloczyn skalarny obu tych wektorów mówi nam ile na tej drodze przetniemy linii ekwiskalarnych pola, czyli o ile na tej drodze zmieni się wartość pola skalarnego vx.

Rysunek 1.1.3. Mały poruszający się

sześcian odczytuje wartości prędkości płynu. Zielony wektor pokazuje kierunek ruchu sześcianu od punktu P1 do punktu P2. Różowy wektor, to wektor gradientu pola składowej vx

prędkości płynu. Jest on prostopadły do linii ekwiskalarnych pola vx. Czarne ciągłe linie pokazują kierunki strumienia pola prędkości. Linie przerywane pokazują linie ekwiskalarne pola vx.

Gdy punkty P1 i P2 leżą na linii strumienia płynu (czyli na linii stycznej do wektorów prędkości tego płynu), a prędkość sześcianu próbnego jest taka sama jak prędkości płynu, to wtedy rv i wzory (1.1.7) przejdą w

d d

x x x x

x y z x

v v v v

v v v v

t x y z

  

     

   v 1.1.9a

d d

y y y z

x y z y

v v v v

v v v v

t x y z

  

     

   v 1.1.9b

d d

z z z z

x y z z

v v v v

v v v v

t x y z

  

     

   v 1.1.9c

Próbny sześcian mierzy teraz zmianę prędkości cząstek cieczy wzdłuż linii strumienia prędkości płynu. Przy t0 jest ona równa przyspieszeniu płynu jakie obliczylibyśmy w podejściu Lagrange’a. Zatem gdy próbny sześcian porusza się wzdłuż linii prędkości płynu, pochodna substancjalna z trzech pól skalarnych vx, vy, vz oblicza trzy składowe przyspieszenia tegoż płynu. Widać to na prostym przykładzie z rysunku (1.1.4)

Rysunek 1.1.4.

1.1.2. Gradient z funkcji 1/r

Siły elektryczne i grawitacyjne są siłami potencjalnymi. To oznacza, że dla tych oddziaływań można sensownie zdefiniować skalarne pole potencjału. Jest to ogromnie wygodne, bo opis wektorowy możemy zamienić na opis skalarny.

Przy tematach związanych z grawitacją i elektrycznością będziemy z tego faktu korzystać. Potencjał tych pól jest proporcjonalny do wyrażenia 1/r. Kiedy chcemy wrócić z opisu poprzez potencjał do opisu przez pole wektorowe musimy obliczyć gradient z potencjału, czyli z funkcji 1/r. Wszystko to będzie dokładnie omówione w temacie poświęconym grawitacji i polu elektrycznemu.

Tutaj jednak możemy obliczyć bardzo ważny przykład gradientu, czyli gradient z funkcji 1/r.

Obliczę zatem gradient funkcji (r)=1/r. Pochodna funkcji , po zmiennej x ma postać









1 x

x x

x y z x y z

     

     

1.1.6

Podobnie jest dla innych współrzędnych. Zatem



 

 



x y z

x y z x y z x y z



 

 

     

       

 

1.1.7 W postaci wolnej od współrzędnych możemy napisać

r3



   r

1.1.8

operatorów działających na pola wektorowe. Zacznę od omówienia pojęcia pola wektorowego.

1.2. hipoteza Continuum

Zgodnie z przyjętą metodologią badając dynamikę płynów zaczynamy od konstrukcji modelu płynu. Reguły fizyki, takie jak zasady zachowania, stosujemy nie tyle do rzeczywistych płynów ile do ich modeli. Oczywiście eksperyment prowadzimy na rzeczywistych płynach, więc wnioskowanie teoretyczne nie musi iść w parze z wynikami doświadczenia. Jak wiemy mamy wtedy cztery zasadnicze możliwości, błędy rachunkowe, błędy w technice eksperymentu, słabość modelu lub słabość teorii. Przyjrzyjmy się w tym momencie bliżej głównemu założeniu naszego modelu płynu, czyli uznaniu, że płyn charakteryzuje się ciągłym rozkładem materii. Z precyzyjnych doświadczeń mikroskopowych wiemy, że założenie to nie zawsze da się utrzymać. Mówimy wtedy o atomowej budowie materii. Należy jednak pamiętać, że stwierdzenie, że materia ma budowę atomową jest niczym innym tylko ustanowieniem nowego modelu budowy materii – modelu atomowego. To czy atomy są tworami rzeczywistymi czy nie, jest kwestią delikatną i zajmiemy się tym w tematach poświęconych mechanice kwantowej.

Do ciągłego modelu płynu odwołałem się zaraz na początku punktu (3.1), pisząc:

„Będziemy rozważać ośrodek ciągły….”,

Rysunek (1.2.1) pokazuje, podział płynu na bardzo małe (w granicy nieskończenie małe) sześciany. Kiedy bierzemy na warsztat takie bardzo małe sześciany, to w bardzo wielu z nich (losowo wybranych) liczba cząstek wynosi zero. I co wtedy? Odpowiedź na to pytanie przynosi rysunek (1.2.1)

Rysunek 1.2.1. W pojemniku z płynem wyróżniamy bardzo małe obszary (czerwone kółka). W tych obszarach znajdujemy jednak mało cząstek, jedną lub żadną. Nie można w ich objętości określić żadnej średniej wartości dla cząstek.

Bierzmy większy obszar (fioletowe kółko), w którym znajduje się znacznie więcej cząstek, następnie obliczamy wartości średnie, w naszym przypadku będzie to prędkość i gęstość, a następnie przypisujemy tak obliczone średnie wszystkim bardzo małym a nawet nieskończenie małym obszarom wewnątrz fioletowego kółka.

Możemy już sformułować tzw. hipotezę continuum Definicja 1.2.1: Hipoteza continuum

Każdej elementarnej objętości płynu (nawet nieskończenie małej) możemy przypisać prędkość, temperaturę, pęd i inne właściwości, które dają się obliczyć jako średnie z makroskopowych objętości tego płynu. Przy czym te makroskopowe objętości tegoż płynu muszą zawierać odpowiednią (dla obliczania średniej) ilość cząstek.

Te średnie objętości mogą być naprawdę małe. Na przykład w normalnych warunkach w 1mikrometrze sześciennym powietrza jest około 10⁷ cząsteczek. Ilość zupełnie wystarczająca do sensownego obliczania średnich z pędów, energii czy innych wielkości makroskopowych. Jednak w przypadku wysokiej próżni w centymetrze sześciennym może być średnio mniej niż jedna cząstka. W takiej sytuacji korzystanie z dobrodziejstw hipotezy continuum staje się wysoce problematyczne.

Sformułowałem hipotezę continuum opierając się na modelu cząsteczkowym budowy materii. To oczywiście nie jest jedyna możliwość.

Można sformułować taką hipotezę bez odwoływania się do budowy cząsteczkowej. Pod koniec XVIII wieku, gdy powstawały zręby teorii płynów, kwestie cząsteczkowej budowy materii były otwarte a hipotezą continuum jak najbardziej się posługiwano. Jednak dziś model cząsteczkowy jest modelem podstawowym i odwołanie się do niego przy formułowaniu hipotezy continuum jest sensowne.

2. Pole wektorowe

Pole wektorowe definiujemy podobnie jak pole skalarne. Każdemu punktowi przestrzeni przyporządkowujemy element przestrzeni wektorowej. Możemy teraz wyobrazić sobie płaszczyznę i pomyśleć, że w każdym punkcie płaszczyzny mamy wektor (rys. 2.1)

Rysunek 2.1. Przykład pola wektorowego na płaszczyźnie. Pole wektorowe obrazuje rozkład wiatrów w Polsce i okolicach w dniu 22.12.2017.

Każda strzałka pokazuje kierunek, zwrot i wartość wiatru w danym punkcie;

wykres wykonany na

podstawie elektronicznej dokumentacji programu Mathematica.

Zatem aby skonstruować pole wektorowe potrzebujemy przestrzeni wektorowej V, oraz przestrzeni punktów A (przestrzeni w sensie matematycznym).

Odwzorowanie

f: 𝐴 ⟶ 𝑉 2.1

Nazywamy polem wektorowym. Zauważ, że pisząc wzór (2.1) nie określiłem czym jest zbiór A. Zwykle żądamy aby A w jakiś sposób odpowiadało fizycznej przestrzeni. Jak pokazuje rysunek (2.2) A może być zbiorem konstytuującym przestrzeń afiniczną (def. TIV 3.2.1), którą uważamy za model odczuwanej przez nas przestrzeni. W definicji przestrzeni afinicznej mamy niepusty zbiór A, przestrzeń wektorową V i odwzorowanie h, które każdemu punktowi zbioru A, i każdemu wektorowi przestrzeni V przyporządkowuje nowy punkt zbioru A (TIV 3.2.2). Mimo pewnych zbieżności odwzorowanie h nie definiuje przestrzeni wektorowej (porównaj wzory (2.1) i (TIV 3.2.2)). Możemy jednak takie pole na przestrzeni afinicznej zdefiniować, poprzez odwzorowanie (2.1).

Nie wprowadzamy pojęcia pola wektorowego po to by się patrzeć na ładny wzór utworzony na płaszczyźnie czy w przestrzenie przez strzałki reprezentujące wektory. Chcemy by to matematyczne pojęcie dla nas pracowało.

Samo gołe pole wektorowe żadnej pracy nie wykona. Najpierw my musimy włożyć pracę w zdefiniowanie sensownych narzędzi matematycznych, które uczyni pole wektorowe konstrukcją prawdziwie użyteczną. Zacznę wprowadzanie takich narzędzi od pojęcia strumienia pola.

Rysunek 2.2. Przy konstrukcji przestrzeni afinicznej wykorzystujemy wektory.

Odwzorowanie h (def. TIV 3.2.1) nadaje zbiorowi punktów A cech przestrzeni afinicznej, nie jest to jednak odwzorowanie definiujące pole wektorowe na zbiorze A. Jak widać h ma dwa argumenty punkt p i wektor v. Aby zdefiniować na przestrzeni afinicznej pole wektorowe musimy każdemu punktowi zbioru A przypisać wektor według wzoru (2.1).

2.1. Strumień pola 

Pojęcie strumienia pola wektorowego wprowadzę zaczynając od prostego przykładu. Powiedzmy, że w kierunku płaszczyzny A bieży strumień cząstek o prędkości v (rys. 2.1.1). Ile cząstek przejedzie przez powierzchnię w jednostce czasu?

Rysunek 2.1.1. Strumień cząstek leci w kierunku płata A płaszczyzny yz z prędkością v.

Liczba cząstek, która przeleci przez płat w ciągu jednej sekundy jest równa liczbie cząstek mieszczących się w pudełku o boku A i szerokości vt (t=1s).

W ciągu jednej sekundy do powierzchni A dotrą cząstki oddalone o

𝑑 = 𝑣∆𝑡(= 1𝑠) 2.1.1

Objętość, z której wszystkie cząstki, przejdą przez powierzchnię A w ciągu jednej sekundy wynosi

Φ = 𝑣𝐴 2.1.2

w pudełku musimy znać ich gęstość, powiedzmy, że wynosi ona . Stąd liczba cząstek przepływających przez powierzchnię A, w jednostce czasu wynosi

𝑁 = 𝑣𝐴 =Φ 2.1.3

Widać, zatem, że strumień  mówi ile cząstek przejdzie w jednostce czasu przez daną powierzchnię A, oczywiście, że przy założeniu, że gęstość cząstek jest jednostkowa. Co się stanie, jeżeli wektor prędkości cząstek nie będzie prostopadły do powierzchni A? Wtedy możemy ograniczyć się do analizy składowej wektora prędkości prostopadłej do powierzchni A. Aby ująć to zgrabnym wzorem odwołam się do wektora powierzchni s (rys. TIII 2.1.4 i 2.15)

Liczba cząstek przez powierzchnię A wyrazi się wzorem (rys. 2.1.3)

𝑁 = 𝜌𝐯 ∙ 𝐬 = 𝜌Φ 2.1.4

  v s 2.1.4a

Zauważ, że 𝐯 ∙ 𝐬 = 𝐯 ∙ 𝒆̂⏟ _𝒂

𝒗_𝒙

𝐴 2.1.5

Gdzie wektor z daszkiem jest wektorem jednostkowym w kierunku wektora powierzchni s, a A jest wartością pola powierzchni płata A i zarazem wartością wektora s. Składowa vx jest prostopadła do powierzchni, czyli wracamy do wzoru (2.1.3), zgodnie z metodą wiadra. Możemy również przyjąć, że iloczyn skalarny rzutuje wektor powierzchni s na powierzchnię prostopadłą do wektora prędkości v, co znów nas sprowadza do uprzednio rozwiązanego problemu (rys. 2.1.2). Wektory płata powierzchni płaskiej są wygodnym sposobem reprezentacji powierzchni i często będziemy korzystali z ich usług (bo lubimy wygodę).

Rysunek 2.1.2. Strumień cząstek o prędkości v pada na płat powierzchni o wektorze s (wektor zielony). Wektor prędkości jest nachylony względem normalnej do płata (i wektora s) pod kątem

. Strumień cząstek przez ten płat jest taki sam jak przez ustawiony prostopadle do kierunku prędkości płat narysowany na różowo. Pozwala to nam sprowadzić szukane rozwiązanie do rozwiązania już znanego problemu (rys. 2.1.1). Wystarczy zauważyć, że pole powierzchni płata różowego to |s| cos() = sv, gdzie |s| jest równe polu płata czarnego.

Zdefiniuję nową wielkość fizyczną, strumień  stałego pola wektorowego w przez płat powierzchni. Nie interesuje mnie teraz co to pole wektorowe reprezentuje; może reprezentować pole prędkości cząstek, pole przyspieszenia grawitacyjnego, pole elektryczne, pole psikwadelta (które odkryjemy za 179 lat i 4 miesiące). Chcę zdefiniować wielkość charakteryzującą przepływ abstrakcyjnego pola wektorowego przez płat powierzchni. Dopiero w konkretnym zastosowaniu nadam polu wektorowemu konkretną interpretację fizyczną. Teraz nie chcę zajmować się konkretnym przypadkiem tylko wprowadzić narzędzia, które dadzą się zastosować do dużej klasy pól wektorowych, niezależnie od tego co owe pola mają reprezentować.

Przez analogię do wzoru (2.1.4a) stwierdzam, że strumień stałego pola wektorowego w przez płat płaskiej powierzchni A o wektorze s jest równy

Φ = 𝐰 ∙ 𝐬 2.1.7

Jak pole wektorowe w jest polem prędkości cząstek, to liczba cząstek przechodząca przez dany płat powierzchni dana jest przez (2.1.4). Jak pole wektorowe w jest polem prędkości nieściśliwej cieczy o gęstości , to masa cieczy przepływającej przez dany płat powierzchni jest równa

𝑚 =  2.1.8

W sumie działamy w duchu wzoru (2.1.4) z tą różnicą, że wektor w nie musi być wektorem prędkości. W elektrostatyce będzie na przykład wektorem natężenia pola elektrycznego E i jak się przekonamy pojęcie strumienia pola elektrycznego (i magnetycznego) gra centralną rolę w elektrodynamice. Zanim przejdę do elektrodynamiki, zastosuję pojęcie strumienia do opisu przepływu płynu.

2.2. Dynamika płynu idealnego

Do płynów zaliczymy zarówno ciecze jak i gazy (def. TIII 2.1.5). Ale nie tylko, płyny to również plazma, piany, emulsje i zawiesiny. Zwyczajowy ogląd substancji może być mylący. Przykładowo używane w budownictwie bitumy (rodzaj smoły) są płynami, choć wyglądają jak kawałki skały (rys. 2.2.1).

Lepkość bitumu jest duża, co oznacza, że płynie on bardzo wolno. Bitum jest bohaterem najdłuższej trwającego eksperymentu naukowego (pitch drop experiment), o czym już pisałem (rys. TIII 2.1.6).

Najprostszym modelem przepływu płynu jest model przepływu płynu idealnego.

Definicja 2.2.1: Płyn idealny

Płyn uważamy za idealny gdy spełnione są następujące cztery warunki: i) przepływ płynu jest ustalony (laminarny); ii) przepływ płynu jest nieściśliwy, co oznacza, że gęstość płynącego płynu jest stała; iii) Przepływ płynu jest nielepki; iiii) przepływ płynu jest bezwirowy.

Rysunek 2.2.1. Kawałki naturalnego bitumu.

Omówię znaczenie tych wymagań, zaczynając od drugiego z nich (ii).

Definicja 2.2.2: Ciecz nieściśliwa

Ciecz nazywamy nieściśliwą, jeżeli jej gęstość jest niezależna od ciśnienia.

Dobrym przykładem nieściśliwej cieczy jest woda. Pod ciśnieniem 1000 razy większym od normalnego objętość wody zmniejsza się o około 4%. Ponieważ rzadko mamy do czynienia z takimi ciśnieniami, w większości wypadków możemy uznać wodę za ciecz nieściśliwą. Niemniej nie zawsze jest to efekt do zaniedbania. Kiedy zbiorniki wody są bardzo głębokie, lub przyłożone ciśnienia są bardzo duże, efekty mogą być istotne. Dla przykładu, gdyby woda była idealnie nieściśliwa poziom światowego oceanu byłby o około 30m wyższy. Dla wielu mieszkańców wybrzeży oznaczałoby to utratę miejsca zamieszkania.

Trudno taki efekt zaniedbać. Jest to efekt związany ze skalą. Średnia głębokość oceanu to około 4000m, przyrost warstwy wody o 30m to ciągle mniej niż 1%

z 4000m. Jednak dla mierzącego niespełna 2m człowieka te 30 metrów to dramat. Drobne względne zmiany w wielkich (z naszego punktu widzenia wielkich) układach mogą mieć dla nas dramatyczne lub korzystne (ale to zdarza się zdecydowanie rzadziej) skutki; wszystko zależy od okoliczności.

Wymóg (iii), to brak lepkości cieczy. Siły lepkości są wynikiem sił tarcia wewnątrz płynu. W wyniku tarcia warstw płynu energia wynikająca z uporządkowanego ruchu cząstek w określonym kierunku rozprasza się na ruch chaotyczny, co oznacza, że rośnie temperatura płynu. Lepkość płynu wyraża również tarcie cieczy o graniczące z nią ciała stałe. Klocek, zanurzony w płynie nielepkim i popchnięty, poruszałby się ruchem jednostajnie prostoliniowym, podobnie jak klocek położony na powierzchni ciała stałego przy zerowych siłach tarcia.

Wymóg (iiii) oznacza, że najprościej ujmując, strumień płynu nie tworzy wirów. Bardziej subtelnie to ujmując, gdy w płynie znajdzie się lekki podłużny obiekt (na przykład krótki, cienki patyczek na powierzchni płynącej wody), to obiekt ten nie będzie się obracał. Może zakręcać, na przykład gdy strumień wody zakręca w rzece, ale nie może obracać się wokół swojej osi.

Przejdźmy do pierwszego wymogu (i). Rysunek (2.2.2) pokazuje rozkład prędkości wody płynącej w rurze przy małym ciśnieniu. Ciecz najszybciej płynie w środku, a najwolniej na brzegach, gdzie oddziałuje z ściankami naczynia. Można więc w wodzie wyróżnić powierzchnie (w przykładzie są to powierzchnie cylindryczne) równej prędkości. Przy przepływie laminarnym (warstwowym) cząsteczki na danej powierzchni równej prędkości nie zaburzają ruchu cząsteczek na sąsiednich warstwach.

Rysunek 2.2.2. Cząsteczki wody przepływająca w rurze mają największą prędkość w środku rury, a najmniejszą przy brzegu rury.

Płyn idealny jest modelem kulistej krowy dla płynów. Jest to zatem najprostszy model, który jeszcze pozwala coś sensownego na temat zachowania płynu powiedzieć. Na przykład z powodzeniem można go zastosować do opisu gazów, których lepkości jest niewielka, oraz do opisu cieczy nadciekłych, które nie wykazują lepkości.

Mając zdefiniowany płyn idealny możemy przejść do równań opisujących jego przepływ. Ruch każdej cząstki płynu lub jej nieskończenie małej objętości można zilustrować kreśląc jej tor (rys. 2.2.3). Tor jest oczywiście styczny do wektora prędkości cząstki w danym punkcie. Wprowadzę specjalną nazwę na tor cząstki w płynie

Definicja 2.2.3: Linia prądu

Linia prądu elementarnej objętości danego płynu jest linią styczną do wektorów prędkości tej objętości w każdym punkcie jej toru.

Rysunek 2.2.3. Trzy przykładowe linie prądu. Linie te są styczne do wektorów prędkości małych objętości cieczy

Przyjrzyj się rysunkowi (2.2.4), na którym przedstawiony jest płyn przemieszczający się w rurze z przewężeniem. Posługując się modelem przepływu płynu doskonałego zastanowimy się co się dzieje przy przejściu przez przewężenie.

Rysunek 2.2.4. Przepływ nieściśliwego płynu przez zwężającą się rurę.

Powiedzmy, że prędkość cząsteczek płynu doskonałego w rurze o zmiennym promieniu (rys. 2.2.4) wynosi v1 w szerszej części i v₂ w węższej części; przy czym wektor prędkości jest prostopadły do przekroju poprzecznego rury. Ile tego płynu przepłynie przez przekrój poprzeczny A1 szerszej części rury? Masa płynu przepływająca przez powierzchnię A1, o wektorze powierzchni a1, w jednostce czasu, zgodnie z (2.1.7) i (2.1.8) wynosi

𝑚 = 𝜌𝐯_𝟏 ∙ 𝐚_𝟏 = 𝜌𝑣₁∙ 𝑎₁ 2.2.1

Iloczyn skalarny przeszedł w iloczyn wartości wektorów bo wektory powierzchni a1 i prędkości cieczy v1 są równoległe. Przypominam, że wektor powierzchni jest wektorem prostopadłym do powierzchni, a jego długość jest równa polu tej powierzchni (rys. 2.1.2). W przypadku przepływu płynu idealnego, to samo równanie możemy zapisać dla wąskiej strony rury i jej przekroju A2. Masa przepływająca przez przekrój A1 (na jednostkę czasu) musi być taka sama jak przez przekrój A2.

𝑚 = 𝜌𝐯_𝟐 ∙ 𝐚_𝟐 = 𝜌𝑣₂ ∙ 𝑎₂ 2.2.2

Porównując (2.2.1) z (2.2.2) mamy

𝑣₁∙ 𝑎₁ = 𝑣₂∙ 𝑎₂ 2.2.3

Równanie (2.2.3) nazywane jest równaniem ciągłości dla płynu idealnego.

Równanie ciągłości dla płynu idealnego mówi, że strumień (2.1.7) prędkości tego płynu jest wielkością stałą, zatem jeżeli maleje pole przekroju rury, to odpowiednio rośnie prędkość przepływu cieczy.

Należy pamiętać, że równanie (2.2.3) wyprowadzone zostało dla przepływu płynu idealnego. Poruszaliśmy się w obrębie uproszczonego modelu.

Co na to płyny rzeczywiste? Tak się dobrze składa, że wnioski wypływające z równania ciągłości mogą zostać łatwo zauważone w życiu. Częściowe przytkanie węża, przez który wpływa woda powoduje zwiększenie prędkości wypływającego strumienia wody. Większa prędkości wody pozwala wypchać jej taką samą masę przez zwężony przekrój rury. Oczywiście „ogrodowe”

obserwacje mają charakter jakościowy a nie ilościowy. Jednak przy niezbyt dużych prędkościach przepływu płynów i niezbyt dużych przewężeniach tak ważny dla nas płyn jak woda zachowuje się z dobrym przybliżeniem jak płyn idealny. Równanie ciągłości może zatem być użyte do analizy ruchu pewnych płynów, przynajmniej w pierwszym przybliżeniu.

Rysunek (2.2.5) przedstawia bardziej złożony przykład. Przez rurę ze zmieniającą się średnicą przepływa płyn. Środki szerszej i węższej części rury znajdują się na różnych wysokościach. Jaśniejszym kolorem wyróżniona jest objętość płynu, która przez dany przekrój rury przepływa w ciągu czasu t.

Długość tego słupa płynu wynosi oczywiście v1 t. Wielkości v1 i v2 to wartości prędkości płynu w węższej i szerszej części rury. Masa płynu, która przepływa w czasie t przez przekrój węższej rury wynosi

𝜌𝐴₁𝑣₁∆𝑡 = 𝜌𝐴₁𝑠₁ = ∆𝑚 2.2.4a

Gdzie przez  oznaczyłem gęstość płynu, a s1=v1t.

W czasie t taka sama masa płynu musi przepływać przez przekrój szerszej części rury

∆𝑚 = 𝜌𝐴₂𝑣₂∆𝑡 = 𝜌𝐴₂𝑠₂ 2.2.4b

Praca wykonana przy przepchnięciu masy m płynu między powierzchniami A1

i A2 wynosi 𝑊 = 𝑝⏟₁𝐴₁

𝐹₁

𝑠₁− 𝑝⏟₂𝐴₂

𝐹₂

𝑠₂ = 𝐸₁ − 𝐸₂

2.2.5 Gdzie E1 i E2 to energia porcji płynu przepływającej przez przekrój A1 i A2, p1 to ciśnienie w węższej części rury a p₂ to ciśnienie w szerszej części rury.

Rysunek 2.2.5. Przepływ nieściśliwego płynu przez zwężającą się rurę. Węższa część rury znajduje się na innej wysokości niż szersza.

Zauważ, że p_iAisi to praca jaką ciśnienie wykonuje nad przesunięciem słupa wody o długości si. Musimy jeszcze uwzględnić różnicę wysokości obu części rury. Energie E1 i E2 wyrażają się wzorami.

2 1

1 1

2

E mv  mgh

2.2.6a

2 2

2 2

2

E  mv  mgh

2.2.6b Gdzie h1 do h2 to wysokość na jakiej przepływa dana porcja płynu. Zmiana energii potencjalnej, wziętej ze znakiem minus, jest równa pracy wykonanej przez pole grawitacyjne przy przeniesieniu masy m płynu z węższej do grubszej części rury. W przypadku pokazanym na rysunku (2.2.5) h1<h2, co oznacza, że praca wykonana przez pole jest ujemna (tak jak praca wykonana przez sprężynę przy jej ściskaniu). W efekcie to pole grawitacyjne zyskuje energię a płyn ją traci

𝑊_𝑔 = ∆𝑚𝑔ℎ₁− ∆𝑚𝑔ℎ₂ 2.2.7

Całkowita praca wykonana w czasie t jest równa sumie pracy W, której źródłem jest różnica ciśnień i utrata energii płynu na skutek zmiany energii potencjalnej. Wstawiając do (2.2.5) wzory (2.2.6) mamy

2 2

1 2

1 2 1 1 1 2 2 2

2 2

mv mv

mgh mgh p A v t p A v t

           2.2.8

Podzielę obie strony równania (2.2.8) przez objętość cieczy, która dla obu jej porcji jest taka sama (ciecz jest z założenia nieściśliwa). Objętość wynosi

1 1 2 2

V  A v t  A v t 2.2.9

Po dzieleniu i skróceniu wzoru (2.2.8), z wykorzystaniem (2.2.9) mamy 𝑝₁+ 𝜌𝑔ℎ₁+1

2𝜌𝑣₁² = 𝑝₂+ 𝜌𝑔ℎ₂ +1

2𝜌𝑣₂² 2.2.10a

Skorzystałem z faktu, że m/V to gęstość . Dzielimy obie strony (2.2.10a) przez gęstość 

𝑝₁

𝜌 + 𝑔ℎ₁+1

2𝑣₁² =𝑝₂

𝜌 + 𝑔ℎ₂+1

2𝑣₂² 2.2.10b

Co zwyczajowo zapisujemy w postaci warunku 𝑝

𝜌+ 𝑔ℎ +1

2𝑣² = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 2.2.10

Równanie (2.2.10) nazywane jest równaniem Bernoulliego. Jest ono konsekwencją zasady zachowania energii dla ruchu nieściśliwego i nielepkiego płynu, przy uwzględnieniu zmiany grawitacyjnej energii potencjalnej płynu.

Pierwszy człon opisuje zmianę energii płynu, na jednostkę masy, ze względu na działające ciśnienie, drugi opisuje zmianę energii płynu, na jednostkę masy, ze względu na zmianę jego energii potencjalnej a trzeci ze względu na zmianę energii kinetycznej (na jednostkę masy). Zrobimy przykłady ilustrujące zastosowanie równania Bernoulliego

Rysunek 2.2.6. Daniel Bernoulli (1700-1782), szwajcarski matematyk i fizyk; portret pędzla Johanna Jacoba Haida. Członek znanego klanu uczonych Bernoullich. Był profesorem matematyki w Petersburgu (od 1725r), a następnie profesorem anatomii i botaniki (od 1733) w Bazylei, a od 1750 katedry fizyki. Największe osiągnięcia miała na polu teorii prawdopodobieństwa, drgań i hydrodynamiki

Zadanie 2.2.1.

Znajdź prędkość wypływu cieczy przez mały otwór umieszczony na dole naczynia (rys. 2.2.7). Załóż, że pole powierzchni otworu jest dużo mniejsze od pola przekroju naczynia

Ponieważ pole otworu jest dużo mniejsze od pola powierzchni cieczy w naczyniu, możemy założyć, że prędkość vI opadania cieczy w naczyniu jest znikomo mała w porównaniu z prędkością v_II jej wypływu, zatem przyjmujemy, vI0. Ciśnienie na powierzchni cieczy w naczyniu i przy brzegu otworu (ale od strony powietrza) jest równa ciśnieniu atmosferycznemu pI=pII=p. Ciśnienie przy brzegu otworu od strony naczynia jest większe o 𝜌𝑔ℎ. Korzystając z równania Bernoulliego (2.2.10) mamy

𝑝 + 𝜌𝑔ℎ = 𝑝 +1

2𝜌𝑣_𝐼𝐼² ⟹ 𝑣_𝐼𝐼 = √2𝑔ℎ 2.2.11

Z lewej strony mamy czynniki opisujące ciecz z lewej strony otworu (przy dnie naczynia) a z prawej stoją czynniki opisujące ciecz za otworem.

Przyjmujemy nadto, że przy dnie otworu energia potencjalna jest równa zeru. Zauważ, że w równaniu Bernoulliego prędkość jest w kwadracie, co pozwala pominąć mały człon z prędkością vI. Zgodnie z otrzymanym rozwiązaniem prędkość wypływu cieczy zmienia się wraz z opadaniem jej poziomu w naczyniu, co związane jest ze zmianą ciśnienia gh. Stałość tempa wypływu cieczy zapewnia konstrukcja nazywana flaszką Mariotte’a (rys. 2.2.7b).

Rysunek 2.2.7. a) z małego otworu u dołu naczynia wypływa ciecz; ilustracja do zadania (2.2.1); b) flaszka Mariotte’a składa się z rurki przeprowadzonej przez szczelny korek do wnętrza naczynia z wodą. W naczyniu jest, u dołu, niewielki otwór. Dopóki dolny koniec rurki zanurzony jest w wodzie, woda wypływa z naczynia ze stałą prędkością.

Pojemnik z cieczą jest zamknięty korkiem przez, który przechodzi cienka rurka.

Tak długo jak poziom cieczy nie spadnie poniżej dolnego otworu rurki, tak długo woda będzie wypływała z otworu ze stałą prędkością (wytłumacz dlaczego).

Zadanie 2.2.2.

Określ relacje ciśnienia cieczy idealnej w punkcie Q, do ciśnienie tej cieczy w punkcie P poziomej rury pokazanej na rysunku (2.2.8a)

Dla poziomej rury równanie Bernoulliego (2.2.18) przyjmie postać 1

2𝜌𝑣_𝑄² + 𝑝_𝑄 = 1

2𝜌𝑣_𝑃²+ 𝑝_𝑃 2.2.12

Ponieważ pola powierzchni przekrojów rury w punkcie P i Q spełniają zależność SQ<SP to z równania ciągłości (2.2.3) wynika

𝑣_𝑄𝑆_𝑄 = 𝑣_𝑃𝑆_𝑃 i 𝑆_𝑄 < 𝑆_𝑃 ⟹ 𝑣_𝑄 > 𝑣_𝑃 2.2.13

Rysunek 2.2.8. a) ilustracja do zadania (2.2.2); b) schemat rozpylacza.

Strumień powietrza po napotkaniu przewężenia przyspiesza. W efekcie w rurce z prawej strony pojawia się podciśnienie, które zasysa ciecz ze zbiornika.

Z (2.2.13) i równania Bernoulliego (2.2.11) wnioskujemy, że

𝑝_𝑄 < 𝑝_𝑝 2.1.14

Widać z tego, że w węższym odcinku rury przepływ cieczy idealnej jest szybszy, ale szybkiemu przepływowi cieczy towarzyszy obniżone ciśnienie.

Nasza intuicja podpowiada, że większej prędkości powinno odpowiadać większe ciśnienie. Dlatego efekt ten nazwano paradoksem hydrostatycznym.

Opisany efekt wykorzystuje się w rozpylaczach cieczy (rys. 2.2.8b).

Strumień powietrza przepływa przez szeroką rurkę, która zwęża się. W efekcie

Innym przykładem zastosowania jest pompka wodna, której schemat pokazuje rysunek (2.2.9).

Rysunek 2.2.9 z lewej - schemat pompki wodnej. Układ zwężający strumień wody nazywany jest zwężką Venturiego. Źródłem wody może być zwykły kran.

Pompka służy do odpompowywania powietrza w zamkniętych naczyniach. Za jej pomocą można obniżyć ciśnienie (w zamkniętym pojemniku) do wartości kilku tysięcy paskali (kilkudziesięciu torów); licencja Creative Commons Attribution 3.0 Unported, autor Peter Forster; z prawej - szklana wersja pompki wodnej;

licencja Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported, autor:

GOKLuLe 盧樂; Źródło rysunków Wikipedia

Dygresja 2.2:

W pierwszej wersji opisu rozpylacza z rysunku (2.2.8b) napisałem, że ciecz jest zasysana do rurki rozpylacza. Ale pamiętamy, że nie ma żadnego zasysania, przy najmniej w tym sensie, że nie ma żadnej siły ssącej. Tylko większe ciśnienie w zbiorniku w porównaniu z rurką rozpylacza powoduje podniesienie cieczy do poziomu rurki. Siła związana z ciśnieniem działa od dołu wpychając wodę do góry.

Od góry nie ma żadnej siły, którą moglibyśmy nazwać zasysającą. Zdaję sobie jednak sprawę, że wrażenie ssania, jest dla nas tak realne, że w części podręczników a na pewno w rozmowach używa się pojęcia zasysania.

Często zwracałem wam uwagę, na tzw. efekt skali. W dużej skali niegroźne zjawiska w małej skali (takie jak mała ściśliwość wody) potrafią mieć groźne konsekwencje. Jako kolejną ilustrację tegoż omówię efekt młota wodnego. Wyobraźmy sobie wąż ogrodowy o długości 20m, zakończony dyszą z kranem. Po zakończeniu podlewania zakręcamy kranik przy wylocie węża i nie oczekujemy żadnych groźnych zjawisk. Jeżeli jednak wąż, czy rura doprowadzająca wodę jest bardzo długa (ciągnie się na wiele kilometrów), sprawy ulegają zmianie. Szybkie zakręcenie zaworu, oznacza, że długi na przykład na kilometr słup wody ulega gwałtownemu zatrzymaniu. Masa takiego

słupa wody jest już znaczna, co skutkuje gwałtownym wzrostem ciśnienia w rurze i możliwością jej pęknięcia. Widać, że to co dla krótkiego węża ogrodowego jest prostą czynnością, dla długiego rurociągu może stać się poważnym zagrożeniem. Zjawisko to nazywamy młotem wodnym lub uderzeniem wodnym. Najstarsza wzmianka o nim pochodzi z pierwszego wieku przed naszą erą. Rzymianin Marcus Vitruvius Pollio (Witruwiusz) opisał efekt młota wodnego w ołowianych i kamiennych rurach doprowadzających wodę do Rzymu. Współczesne instalacja mają oczywiście szereg zabezpieczeń mających na celu ograniczenia możliwości wystąpienia zjawiska młota wodnego.

2.3. Efekt Magnusa

Grającym w piłkę znany jest efekt „rogala”, to jest takiego uderzenia piłki, że porusza się ona po linii zakrzywionej (fachowo nazywamy to efektem Magnusa). Skąd bierze się siła powodująca zakrzywienie toru piłki? Sprawę naświetla rysunek (2.3.1). Zaciąganie cząsteczek powietrza wymaga istnienia sił lepkości (tarcia) pomiędzy piłką a powietrzem jak również w samym powietrzu.

Bez sił lepkości w powietrzu zaciągana byłaby tylko cienka warstwa powietrza przy samej piłce. W tym wypadku odwołujemy się do modelu płynu nieidealnego (lepkiego), co dopiero przed nami. Niemniej do jakościowego wyjaśnienia efektu zakrzywiania toru prawo Bernoulliego jest ciągle stosowalne. Lepkość nam tu jest potrzebna do wyjaśnienia zjawiska ciągnięcia strug powietrza za obracającą się piłką. Na szczęście nie psuje nam to efektu spadku ciśnienia przy szybkim przepływie płynu. Dokładniejszą dyskusję możesz znaleźć w.

Z efektem Magnusa wiążą się nie tylko efektowne rogale w grach z piłką.

Jako ciekawostkę warto wspomnieć projekt tzw. rotorowców (rys. 2.3.2). Ich konstrukcję zaproponował w latach dwudziestych XX wieku niemiecki konstruktor Anton Flettner. Zasadniczym elementem napędu rotorowca jest wirujący cylinder wykonany z blachy lub tworzywa sztucznego. Cylinder ten obraca się wytwarzając siłę nośną (efekt Magnusa). Jak na razie, rotorowce nie wyszły poza etap statków doświadczalnych.