W przypadku powierzchni zamkniętej przyjmujemy, że wektor powierzchni skierowany jest na zewnątrz tej powierzchni
Dla powierzchni otwartej takiej możliwości nie mamy. Możemy jednak nadać orientację powierzchni wybierając umownie jej wewnętrzną część (przypisujemy jej znak (-)) i zewnętrzną część (przypisujemy jej znak (+)) (rys. 2.6.4 )
Rysunek 2.6.4. Przez wybór strony zewnętrznej S+ powierzchni S, oraz jej strony wewnętrznej S -nadajemy tej powierzchni orientację. Mając tak zdefiniowaną orientację kierujemy wektor normalny n do płata stycznego do powierzchni w danym punkcie w kierunku na zewnątrz.
Jeżeli teraz wektor v we wzorze (2.6.32) będzie pokazywał na danym małym płacie powierzchni na zewnątrz tej powierzchni zorientowanej S, to strumień pola v będzie dodatni, w przeciwnym razie będzie on ujemny. Może się zdarzyć że na części powierzchni pole wektorowe v zmienia kierunek, z co zatem idzie znak strumienia. Dlatego wszystko jest definiowane na małych kawałkach powierzchni.
3. Dywergencja
Gdy operator nabla działa na pole skalarne, to przekształca je w pole wektorowe. Symbol nabla możemy formalnie traktować jak wektor. Znacznie poszerza to zakres jego zastosowania. Na przykład formalnie możemy zdefiniować operację iloczynu skalarnego nabli i wektora
𝛁 ∙ 𝐰 = 𝜕𝑤𝑥
𝜕𝑥 +𝜕𝑤𝑦
𝜕𝑦 +𝜕𝑤𝑧
𝜕𝑧 3.1
Wyrażenie (3.1) nie jest prawdziwym iloczynem skalarnym, bo nabla nie jest prawdziwym wektorem. Użyłem go analogicznie do prawdziwego wektora.
Niemniej operacja (3.1) zdefiniowana jest poprawnie, na różniczkowalnym polu wektorowym. Widać, że operator nabla użyty tak jak iloczyn skalarny, przekształca pole wektorowe w liczbę, czyli w pole skalarne. Pozostaje jeszcze pytanie czy taka operacja ma jakieś znaczenie fizyczne? Odpowiedź jest pozytywna. Nabla zastosowana do pola wektorowego zgodnie z (3.1) jest dla fizyki płodną operacją a sam operator () ma swoją nazwę – operator dywergencji. Jaka jest fizyczna interpretacja dywergencji? Aby odpowiedzieć na to pytanie muszę powrócić do wyrażenia (2.6.32). Niech powierzchnia S wokół wybranego punktu P kurczy się do coraz to mniejszych rozmiarów.
W granicy nieskończenie małych rozmiarów zbadajmy wyrażenie d granicę powierzchnię S zdefiniuję jako sześcian (rys. 3.1). Rozmiary sześcianu wynoszą x=y=z, a w jego środku znajduje się punkt P. Rozważmy dwie przeciwległe zielone ściany. Strumień wektora v (może to być na przykład wektor prędkości cząstek cieczy) przez te ścianki zielone wynosi
𝐯𝑨∙ 𝐬𝒛𝑨 = 𝐯 ∙ 𝐧𝒛𝑨𝑠 = −𝑣𝑥𝐴∆𝑦∆𝑧 3.3a
𝐯𝑩∙ 𝐬𝒛𝑩 = 𝐯 ∙ 𝐧𝒛𝑩𝑠 = 𝑣𝑥𝐵∆𝑦∆𝑧 3.3b
𝐯𝑩∙ 𝐬𝒛𝑩− 𝐯𝑨∙ 𝐬𝒛𝑨 = (𝑣𝑥𝐵−𝑣𝑥𝐴)∆𝑦∆𝑧 3.3.c Gdzie nzA, nzB, to wektory normlane do ściany A i B sześcianu, a s to pole powierzchni ściany sześcianu.
Rysunek 3.1. Mały sześcian (w granicy nieskończenie mały) z zaznaczoną parą ścianek prostopadłych do osi x-ów. Zaznaczone są również wektory v na pierwszej i drugiej ściance oraz wektory powierzchni szA=nzAs i szB=nzBs (na czerwono). Ponieważ powierzchnia jest zamknięta, wektory powierzchnia mają dobrze określony zwrot (na zewnątrz).
Widać, że strumień przez ścianki zielone zależy od różnicy x-owej składowej prędkości v na ściance B i na ściance A. Niech teraz wszystkie rozmiary dążą do zera, w szczególności x0. Dla bardzo małych x obie zielone ścianki są sobie bardzo, bardzo bliskie i krzywą opisującą zmianę vx między obiema ściankami można przybliżyć zależnością liniową. Inaczej mówiąc korzystamy z rozwinięcia Taylora funkcji vx(x,y,z) i pozostawiamy tylko liniową część rozwinięcia (§DB 3). Jeżeli rozwijamy względem punktu na ściance lewej to wektor prędkości ma tam wartość
𝑣𝑥𝐴 = 𝑣𝑥𝐴 3.4a
Na drugiej ściance, z dokładnością do wyrazów pierwszego rzędu, mamy 𝑣𝑥𝐵 ≈ 𝑣𝑥𝐴 +𝜕𝑣𝑥𝐴
𝜕𝑥 d𝑥 3.4b
Wyrażenie (3.3c) przyjmie postać (𝑣𝑥𝐵−𝑣𝑥𝐴)d𝑦d𝑧 ≈ (𝑣𝑥𝐴+𝜕𝑣𝑥𝐴
𝜕𝑥 d𝑥 − 𝑣𝑥𝐴) d𝑦d𝑧
= 𝜕𝑣𝑥𝐴
𝜕𝑥 d𝑥d𝑦d𝑧 =𝜕𝑣𝑥
𝜕𝑥 d𝑥d𝑦d𝑧 3.5
Gdzie przyjąłem oznaczenie
𝜕𝑣𝑥
𝜕𝑥 =𝜕𝑣𝑥𝐴
𝜕𝑥 3.5a
(𝜕𝑣𝑥
𝜕𝑥 +𝜕𝑣𝑦
𝜕𝑦 +𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑧) d𝑥d𝑦d𝑧 3.6
Wyrażenie to można łatwo powiązać z (3.1) (𝜕𝑣𝑥 strumień pola wektorowego v przez powierzchnię obejmującą nieskończenie małą objętość wokół zadanego punktu P dzieloną przez wartość tej objętości, w skrócie strumień na objętość lub „objętościowa gęstość strumienia”. Masa przepływającego płynu, o gęstości , przez taką objętość, w czasie dt jest równa iloczynowi strumienia i gęstości masy (2.1.8), a w naszym przypadku, będzie to objętościowa gęstość strumienia razy objętość razy gęstość masy.
d𝑚 = 𝜌∇ ∙ 𝐯 d𝑣d𝑡 3.8a
Chociaż skupiłem się na polu wektorowym, wektorów prędkości cieczy, to operacja obliczania dywergencji jest ogólną operacją na polach wektorowych.
To znaczy, że można ją wykonać na każdym polu, z którego obliczalne jest wyrażenie (3.8). W przyszłości będziemy obliczali dywergencję z pól wektorowych o różnych interpretacjach fizycznych.
Gdy pole wektorowe A jest polem potencjalnym, to znaczy, że gdy istniej pole skalarne takie, że
𝐀 = −∇φ 3.9
To dywergencja z takiego pola przyjmuje postać
∇ ∙ (∇φ) = ∇ ∙ ( 𝜕
𝜕𝑥φ, 𝜕
𝜕𝑦φ, 𝜕
𝜕𝑧φ) = 𝜕2
𝜕𝑥2φ + 𝜕2
𝜕𝑦2φ + 𝜕2
𝜕𝑧2φ
= ∆φ
3.10
Symbol nazywamy Lapasjanem i we współrzędnych kartezjańskich przyjmuje on postać
∆⟶ ( 𝜕2
𝜕𝑥2+ 𝜕2
𝜕𝑦2+ 𝜕2
𝜕𝑧2) 3.11
Definicja 3.1: Laplasjan
Laplasjan to operator różniczkowy równoważny podwójnemu działaniu operatora nabla
Fakt 3.1:
Dla wektorowego pola potencjalnego dywergencja jest równa laplasjanowi z potencjału tego pola
Jest rzeczą oczywistą, że strumień pola wektorowego A i jego dywergencja muszą być ze sobą powiązane. Warto jawnie podać postać tego związku. W tym celu posłużę się ilustracją graficzną (rys. 3.2).
Rysunek. 3.2. Wewnątrz objętości zamkniętej powierzchnią S, narysowaną czarną linią, narysowane są linie pola wektorowego. Linie pola są w każdym punkcie styczne do wektorów tego pola. Przyjmiemy, że linie pola wypływają
proporcjonalny do liczby linii przebijających powierzchnię S. Przy czym linie czerwone będziemy liczyli ze znakiem plus, a niebieskie ze znakiem minus.
Dzieje się tak dlatego, że wektory styczne do czerwonych linii wychodzą z powierzchni tak jak wektory powierzchni, a niebieskie wchodzą do powierzchni; wobec tego odpowiednie iloczyny skalarne są dodatnie w pierwszym przypadku a ujemne w drugim. Strumień możemy policzyć jeszcze tak: Obliczamy strumień dla każdego sześcianu otaczającego źródła czerwone i niebieskie. Dla sześcianów otaczających ładunek niebieski strumień będzie ujemny, a dla sześcianu otaczającego ładunek czerwony dodatni. Dla sześcianów zielonych, pustych, strumień będzie równy zeru. Następnie dodajemy do siebie te strumienie dla sześcianów wypełniających objętość pod powierzchnią S.
Widać, że dostaniemy to samo, co przy liczeniu liczby linii przebijających powierzchnię S. Gdy zejdziemy w granicy z rozmiarem sześcianu do nieskończenie małego strumień po sześcianach będziemy liczyli jako dywergencję pola.
Mam nadzieję, że po dokładnym przestudiowaniu podpisu pod rysunkiem (3.2) zrozumiesz poniższe twierdzenie
Twierdzenie 3.1: Gaussa – Ostrogradskiego