Definicja i właściwości matematyczne wskaźnika wzmocnienia macierzy

Przedmiotem analizy jest przypadek gdy wielowymiarowy sygnał w o wymiarze u zostaje przemnożony przez pewną macierz G o elementach gi,j i wymiarach z×u, w wyniku czego powstaje nowy sygnał v o wymiarze z i elementach vi:

v=G w . (3.1.1.1)

Kolejne elementy vi wektora wyjściowego v są kombinacjami liniowymi elementów wj wektora wejściowego w:

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

Wartości sygnałów vi zależą zatem od wartości sygnałów wj oraz od wartości elemen-tów macierzy G. Chcąc oszacować wzmocnienie sygnału, które jest związane z war-tościami elementów macierzy G, najlepiej założyć, że sygnały wejściowe wj mają wartości jednostkowe:

∣w₁∣=∣w₂∣=...=∣w_j∣=...=∣w_u∣=1 , (3.1.1.3)

wtedy wartości sygnałów wyjściowych vi są zależne tylko od wartości elementów macierzy G. Kolejny problem dotyczy znaków kolejnych elementów w danym wier-szu macierzy G. Elementy te mogą być zarówno dodatnie, jak i ujemne, ponadto lo-sowe sygnały wejściowe wj mogą przyjmować z takim samym prawdopodobień-stwem wartości dodatnie jak i ujemne. W związku z tym, nie wiadomo jak oszaco-wać wartość danego sygnału wyjściowego vj, gdyż nie wiadomo w jaki sposób (z ja-kimi znakami) sumują się kolejne elementy gi,j odpowiedniego wiersza macierzy G.

W celu oszacowania wartości tego sygnału można by zsumować moduły kolejnych elementów gi,j macierzy G:

v₁=∣w_1,1∣∣w_1,2∣...∣w_{1, j}∣...∣w_{1, u}∣

lecz odpowiadałoby to przypadkowi skrajnemu – pełnej kumulacji wszystkich sygna-łów wejściowych wj, co jest mało prawdopodobne. W tej sytuacji, zapożyczono roz-wiązanie z teorii rachunku błędów [25] i zsumowano kolejne elementy każdego wier-sza macierzy G geometrycznie:

W ten sposób otrzymane wartości vi są mniejsze od wartości otrzymanych na podsta-wie równań (3.1.1.4) i odpowiadają bardziej prawdopodobnemu przypadkowi

czę-x czę-x czę-x czę-x czę-x czę-x czę-x czę-x czę-x czę-x czę-x czę-x czę-x czę-x czę-x czę-x czę-x czę-x czę-x czę-x czę-x czę-x czę-x czę-x

W ten sposób każdemu wierszowi macierzy G, odpowiadającemu kolejnemu sygna-łowi wyjściowemu vi, przyporządkowano liczbę będącą miarą wzmocnienia tego sy-gnału względem sygnałów wejściowych wj. Celem tych rozważań jest jednak otrzy-manie jednego parametru opisującego wzmocnienie macierzy. Obliczono więc śred-nią arytmetyczną z wcześniej otrzymanych dla każdego wiersza wartości. Postępowa-nie takie jest w pełni uzasadnione, biorąc pod uwagę specyfikę rozpatrywanego pro-blemu. Zaproponowany sposób opisu będzie stosowany do badania wpływu wielo-wymiarowego sygnału losowego, mającego fizyczny sens zakłócenia, na wartości zmiennych stanu wielowymiarowego obiektu dynamicznego. W tym przypadku, ze względu na istnienie ścisłych powiązań między kolejnymi zmiennymi stanu badane-go obiektu, wprowadzenie zakłócenia oddziałującebadane-go na jedną z tych zmiennych, w następnej chwili czasowej odbije się również na wartościach wszystkich innych zmiennych stanu tego obiektu. Można powiedzieć, że w ten sposób obserwator samo-istnie dokona pewnego uśrednienia, więc wcześniejsze wykorzystanie w obliczeniach operacji uśredniania nie wprowadzi w tym przypadku znaczących różnic.

Na podstawie powyższych rozważań można zapisać definicję wskaźnika wzmocnie-nia macierzy, który dla dowolnej macierzy G o z wierszach i u kolumnach oraz rze-czywistych elementach gi,j:

Pojęcie wskaźnika wzmocnienia macierzy jest zbliżone do matematycznego pojęcia normy macierzy. Wskaźnik wzmocnienia nie jest jednak normą macierzy, gdyż speł-nia tylko trzy z czterech założeń stanowiących definicję normy macierzy [41]. Nie-stety nie udało się tak skonstruować definicji wskaźnika wzmocnienia macierzy by był on jej normą. Pomimo korzyści, jakie w takim przypadku dałaby możliwość ko-rzystania z opisanych i udowodnionych w literaturze twierdzeń dotyczących norm macierzy, zdecydowano się na taką a nie inną postać definicji (3.1.1.7) ze względu na konieczność zachowania sensu fizykalnego i łatwość interpretacji obliczanej wielko-ści, a w szczególności spełnienie niżej opisanych właściwości.

Najważniejszymi czynnikami, które zdecydowały o postaci definicji (3.1.1.7) są wła-ściwości matematyczne wskaźnika wzmocnienia macierzy opisane w następnych podrozdziałach. Właściwości te są podstawą do interpretacji obliczonych wartości tego wskaźnika, ponadto mogą być przydatne podczas doboru parametrów obserwa-tora z uwzględnieniem zjawisk związanych ze wzmacnianiem zakłóceń wewnątrz obserwatora.

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

3.1.1.1. Nieujemność wskaźnika wzmocnienia macierzy

Wskaźnik wzmocnienia dowolnej macierzy o elementach rzeczywistych jest liczbą rzeczywistą nieujemną. Wskaźnik wzmocnienia macierzy G jest równy zero wtedy i tylko wtedy gdy macierz G jest macierzą zerową:

∥G∥_w0 gdy G≠0_z×u oraz ∥G∥_w=0 ⇔ G=0_z×u . (3.1.1.8) 3.1.1.2. Wskaźnik wzmocnienia macierzy jednostkowej

Wskaźnik wzmocnienia macierzy jednostkowej In o dowolnym wymiarze n jest za-wsze równy jedności:

G=I_n ⇒ ∥G∥_w=1 . (3.1.1.9)

Bardzo ważną właściwością jest w tym przypadku niezależność wskaźnika wzmoc-nienia macierzy od rzędu tej macierzy. Właściwość ta, która była jednym z ważniej-szych kryteriów branych pod uwagę w trakcie konstruowania definicji (3.1.1.7), jest bardzo korzystna ze względu na interpretację obliczonej wartości wskaźnika wzmoc-nienia macierzy. Jeżeli obliczona wartość jest mniejsza od jedności, to można stwier-dzić, że wielowymiarowy sygnał wejściowy jest tłumiony i przeciwnie, gdy obliczo-na wartość jest większa od jedności, obliczo-należy stwierdzić, że wielowymiarowy sygobliczo-nał wejściowy uległ wzmocnieniu.

Wskaźnik wzmocnienia jest również równy jedności dla macierzy należących do pewnego specjalnego rodzaju, który to rodzaj można ogólnie opisać w następujący sposób:

G=

[

^{gi , j}

]

z×u:

∀i∈〈1; z 〉 ∃ j∈〈1 ;u 〉 ∀{l∈〈1 ; z 〉 ∧ l≠ j} g_{i , j}=1 ∧ g_{i ,l}=0 . (3.1.1.10) Tego typu macierze są macierzami zero-jedynkowymi, które w każdym wierszu mają dokładnie jedną jedynkę, podczas gdy pozostałe elementy danego wiersza są zerami.

Macierze takie mają tę właściwość, że zmieniają tylko ilość i kolejność elementów składowych sygnału wielowymiarowego, nie zmieniając ich wartości.

Dowód :

Jeżeli macierz G jest macierzą jednostkową In dowolnego rzędu n = z = u, lub macie-rzą o z wierszach i u kolumnach opisaną zależnością (3.1.1.10), wtedy w każdym wierszu tej macierzy znajduje się dokładnie jeden element niezerowy o wartości 1.

Wynika stąd, że:

∥

G

∥

_w=1

z

∑

i =1

z

 ^∑

^{j =1u gi , j2=1z}

^∑

^{i=1z 1=1zz=1 . (3.1.1.11)}

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

3.1.1.3. Przemienność względem mnożenia przez skalar

Operacja obliczania wskaźnika wzmocnienia macierzy jest przemienna z działaniem mnożenia macierzy przez stałą. Dla dowolnej macierzy G oraz dowolnej liczby rze-czywistej k można zapisać:

∥

k⋅G

∥

_w⁼

∣

k

∣

^⋅

∥

G

∥

_w dla k ∈ℝ . (3.1.1.12)

Dowód:

Dla dowolnej macierzy G o z wierszach, u kolumnach, o elementach rzeczywistych oraz dla dowolnej liczby rzeczywistej k można napisać:

∥

k⋅G

∥

_w=1

Bardzo ważną właściwością wskaźnika wzmocnienia macierzy jest spełnianie nie-równości trójkąta:

∥

GH

∥

_w^

∥

G

∥

_w^

∥

H

∥

_w . (3.1.1.14)

Właściwość ta pozwala oszacować maksymalny stopień wzmocnienia sygnału w przypadkach, gdy macierz przekształcająca wielowymiarowy sygnał jest sumą in-nych macierzy, co jest szczególnie przydatne, gdy wartości elementów jednej z ma-cierzy składowych są zmienne i zależne od jakiegoś parametru. Niestety analogiczna nierówność dla iloczynów macierzy nie jest spełniona, co jest największą wadą defi-nicji (3.1.1.7) i przyczyną niespełnienia defidefi-nicji normy macierzy.

Dowód:

Dla dowolnych macierzy G i H o z wierszach i u kolumnach i o wartościach rzeczy-wistych:

G=

[

^{gi , j}

]

z×u H =

[

^{hi , j}

]

z×u gdzie g_{i , j}∈ ℝ ∧ h_{i , j}∈ ℝ, (3.1.1.15)

można napisać:

GH =

[

^gi , jh_{i , j}

]

z ×u . (3.1.1.16)

Wtedy:

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

która po spierwiastkowaniu stronami przyjmuje postać:

 ^∑

m=1 r

v_m²

 ^∑

m=1 r

w_m²

∣

^m=1

^∑

^{r vmwm}

∣

^{. (3.1.1.19)}

Na podstawie nierówności (3.1.1.19) i (3.1.1.17) można napisać:

1 Bezpośrednio z właściwości (3.1.1.12) wynika że:

∥

−G

∥

_w=

∥

G

∥

_w . (3.1.1.20)

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

3.1.1.6. Wskaźnik wzmocnienia różnicy macierzy

Wskaźnik wzmocnienia różnicy macierzy spełnia nierówność:

∥

G−H

∥

_w

∣ ^∥

^G

^∥

w−

∥

H

∥

_w

∣

^{. (3.1.1.21)}

Dowód:

Można napisać że:

∥

^G

∥

w=

∥ 

^G−H



^H

∥

w. (3.1.1.22)

Na podstawie nierówności trójkąta (3.1.1.14) można zapisać:

∥ 

G− H



H

∥

w

∥

G−H

∥

w

∥

H

∥

w (3.1.1.23)

z równania (3.1.1.22) i nierówności (3.1.1.23) wynika więc że:

∥

G

∥

w

∥

G−H

∥

w

∥

H

∥

w , (3.1.1.24)

więc:

∥

^G

∥

w−

∥

^H

∥

w

∥

^G−H

∥

w . (3.1.1.25)

Jeżeli prawdziwa jest nierówność (3.1.1.25), to prawdziwa jest również nierówność:

∥

H

∥

_w⁻

∥

G

∥

_w^

∥

H −G

∥

_w . (3.1.1.26)

Z właściwości (3.1.1.20) wynika że:

∥

H −G

∥

w=

∥

G− H

∥

w, (3.1.1.27)

więc po zastąpieniu prawej strony nierówności (3.1.1.26) prawą stroną zależności (3.1.1.27) otrzymano:

∥

^H

∥

w−

∥

^G

∥

w

∥

^G−H

∥

w . (3.1.1.28)

Jednocześnie są więc prawdziwe nierówności (3.1.1.28) i (3.1.1.25) różniące się tyl-ko lewymi stronami. Lewe strony tych nierówności spełniają jednak zależność:

∥

H

∥

w−

∥

G

∥

w=−

 ^∥

^G

^∥

w−

∥

H

∥

w



^{, (3.1.1.29)}

w związku z czym prawdziwa jest również nierówność (3.1.1.21).

W dokumencie Zastosowanie obserwatorów Luenbergera do odtwarzania zmiennych stanu silnika indukcyjnego (Stron 74-80)