Wbrew pozorom ścisła definicja osobliwości w OTW jest problemem trudnym i dotąd nie w pełni rozwiązanym. Powodowane to jest w głównej mierze specyfiką samej teorii silnie wiążącej właściwości fizyczne z geometrią. W tym punkcie właśnie bardzo wyraźnie ujawnia się różnica pomiędzy OTW a innymi teoriami polowymi, np. elektrodynamiką. O ile w elektrodynamice możemy wprowadzić zewnętrzny układ odniesienia (przestrzeń Minkowskiego), względem którego określamy parametry pola, to w OTW tym „tłem” jest samo badane pole grawitacyjne. Wprowadza to bardzo specyficzne kłopoty, których ilu stracje przedstawimy poniżej próbując zdefiniować punkty osobliwe w modelach OTW. Intuicyjnie najbardziej zrozumiałe jest przedstawienie osobliwości, jakie występują w modelach kosmologicznych. W modelu Friedmanna historię Wszechświata opisuje pew na funkcja R czasu kosmicznego t, zwana umownie promieniem Wszechświata R(t), jako że objętość' dowolnego obszaru trójwymiarowej hiperpowierzchni t = const jest proporcjo nalna do R 3 (t). Dla Wszechświata zapełnionego równomiernie materią nieoddziaływującą funkcja R(t) spełnia równanie różniczkowe:
<■>
gdzie: C — dodatnia stała całkowania, A — tzw. stała kosmologiczna mogąca teoretycznie przyjmować wartości dowolne, k — skalarna krzywizna przestrzeni trójwymiarowej.
Rozwiązania powyższego równania Friedmanna dla A = 0, oraz dla k = 1 (przestrzeń sferyczna o skończonej objętości) i dla k = — 1 (przestrzeń hiperboliczna — nieskończona) przedstawia rys. 1.
Widać, iż w każdym przypadku R(t) osiąga wartość 0, a jednocześnie gęstość materii jest wtedy nieskończenie wielka. Odpowiada to Wszechświatowi punktowemu. Taki stan niewątpliwie można nazwać punktem osobliwym w historii Wszechświata. Co więcej, nie istnieje fizyczne przedłużenie analityczne R(t) poza punkty osobliwe, tak że nie ma sensu
mówić o Wszechświecie zamkniętym poza odcinkiem czasowym to — 11, a o modelu otwartym przed czasem (o- Analogiczna sytuacja występuje również w innych modelach kosmologicznych, budząc wiele zastrzeżeń zarówno u fizyka (co dzieje się z prawami fi zycznymi w punkcie osobliwym?), jak i u filozofa przyrody zajmującego się np. kwestią czasu.
Zrozumiałe jest jednak, że osobliwość jakiegoś modelu OTW nie musi być tak globalna jak w modelach kosmologicznych i może dotyczyć czy to pewnych obszarów, czy nawet poszczególnych punktów. A więc należy zdefiniować osobliwość w odniesieniu do
punk-Rys. 1. Zależność promienia Wszechświata li od czasu t dla zamkniętego (fc = 1) i otwartego (k = — 1) modelu Friedmanna ze stałą kosmologiczną A = 0
tów czasoprzestrzeni. Geometrię czasoprzestrzeni opisuje w zupełności tensor metryczny
g ^ v- W związku z tym wielu autorów ( R a y c h a u d h u r i 1955; K o m a r 1956; L i f-
s z i c , C h a ł a t n i k o w 1960 a, b) przyjmuje za osobliwość czasoprzestrzeni zerowa nie się wyznacznika I. W ogólności nie jest to słuszne, bowiem \g^v I nie jest inwa- riantem, lecz gęstością tensorową i fakt jego zerowania się w pewnym punkcie może oznaczać zarówno rzeczywistą osobliwość (wtedy w otoczeniu punktu geometria czaso przestrzeni jest nieokreślona), jak również może być wynikiem posługiwania się nie odpowiednim układem współrzędnych. Równocześnie zwraca się uwagę (L a n d a u, L i f- s z i c 1970), iż fizyczna osobliwość musi być charakterystyczna dla czasoprzestrzeni jako takiej, a nie być związana z właściwościami wybranego układu odniesienia. Jeżeli układ wybrany jest zbyt „sztywno” , niezgodnie z parametrami fizycznymi systemu ma terialnego, może to doprowadzić do wystąpienia osobliwości fikcyjnych, które znikną w innym układzie odniesienia. Znanym przykładem istnienia Osobliwości fikcyjnej jest rozwiązanie Schwarzschilda dla ciała punktowego o masie m. Metryka Schwarzschilda ma postać:
gdzie r = — — ,
C
je st stałą, graw itacji N ew tona, c — prędkością światła.& c
O tóż gdy
r
osiąga w artość zw aną prom ieniem graw itacyjnym ciała o masiern,
w ów czas składow e tensora m etrycznego będą: goo ~ 0,g l
j = °°, n ato m iast dla r < r , czyli pod sferą S chw arzschilda, składow e te zm ieniają znak. Jed n ak ż e w yznacznik I g ^ l je st cały czas różny od zera, co w yraźnie w skazuje na brak isto tn y ch osobliw ości dlar = rg ,
a je d y nie m e try k a (2 ) nie m oże opisyw ać rów nocześnie rozw iązania na zew nątrz i w ew nątrz s f e r ' Schw arzschilda. U kłady w spółrzędnych zaproponow ane przez L e m a i t r e ’ a (1 9 3 3 ), K r u s k a 1 a (1 9 6 0 ), i N o w i k o w a (1 9 6 3 ) s ą w olne od tej fikcyjnej osobli wości na sferze Schw arzschilda. Z auw ażm y natom iast, że p u n k tr =
0 je st p u n k te m isto t nie osobliw ym w rozw iązaniu Schw arzschilda.W racając do spraw y definicji osobliw ości należy je d n ak zw rócić uw agę, że w łaśnie ze względu na podkreślony ju ż brak zew nętrznego układu odniesienia dla m odeli OTW p u n k t osobliw y, czy też cały obszar, m ożna usunąć bez szkody dla całości przez p roste wycięcie. P ozostała część będzie posiadała cechy regularności wg pow yższej definicji, bow iem w y znacznik tensora m etrycznego będzie teraz wszędzie różny od zera. T ym niem niej tru d n o uw ażać ta k ą p ro ced u rę usuw ania osobliw ości za zadow alającą, ja k o że w iden ty czn y spo sób m ożna usuw ać z czasoprzestrzeni obszary całkow icie regularne i niew ątpliw ie znacz nie słuszniejsze je st uznanie fak tu w ycięcia pew nego obszaru za is to tn ą osobliw ość czaso przestrzeni.
Takie sam e tru d n o ści pojaw ią się, jeżeli będziem y badali regularność czasoprzestrzeni za p o m o c ą inw ariantów u tw o rzo n y c h z innego charakterystycznego o b ie k tu g eom etrycz nego OTW, a m ianow icie ten so ra krzyw izny
P ożądana je st więc definicja osobliw ości skon stru o w an a ta k , aby pozw alała stw ierdzić fa k t ew entualnego wycięcia pew nych obszarów czasoprzestrzeni. T aka była idea określe nia osobliw ości w m odelach OTW ja k o geodezyjnej niezupełności czasoprzestrzeni. Z d e finiujm y w ty m celu:
1) P ó łgeodetyka — je s t to krzyw a geodezyjna posiadająca p u n k t p o cz ątk o w y i rozcią gającą się od niego w ja k im i kierunku.
2) C zasoprzestrzeń je st geodezyjnie zupełna (k o m p le tn a) czasowo, jeżeli p aram etr afi- niczny na dow olnej półgeodetyce czasopodobnej przy b iera dow olnie duże w artości. A na logicznie określam y zupełność g eodezyjną ty p u zerow ego (św ietlnego) oraz ty p u p rze strzennego.
Według pow yższej definicji czasoprzestrzeń posiada osobliw ość, jeżeli jakaś półgeode ty k a czasow a, św ietlna lub przestrzen n a nie d a się przedłużyć w sensie określonym p o w y żej dow olnie daleko od p u n k tu początkow ego. Zauw ażm y, iż nie m o żn a w celu „spraw d ze n ia” tego używ ać długości krzyw ej, bow iem m e try k a czasoprzestrzeni nie je st o kreślo na d o d atn io .
N iekom pletność geodezyjna czasoprzestrzeni przynosi je d n a k b ard z o niewiele in fo rm a cji o ch arakterze osobliw ości, któ rej ma b y ć synonim em . N ie m ożna naw et — wbrew oczekiw aniom — tw ierdzić, że czasoprzestrzeń niezupełna geodezyjnie posiada w ycięte pew ne obszary, jak zauw ażył bow iem M i s n e r (1 9 6 3 ) istnieją czasoprzestrzenie zw arte, n iekom pletne geodezyjnie, k tó re z uwagi na sw ą zw artość nie m o g ą b y ć traktow ane ja k o fragm enty większej przestrzeni. Je st to słaby p u n k t tej definicji — okazuje się je d n a k , iż
nie jedyny. K u n d t (1963) zwrócił uwagę, że trzy typy zupełności geodezyjnej (czaso wa, świetlna i przestrzenna) wcale nie są sobie równoważne, tzn. czasoprzestrzeń komplet na w jednym z powyższych trzech znaczeń wcale nie musi być geodezyjnie zupełna w ro zumieniu pozostałych dwóch definicji. Prowadzi to do istnienia następujących rodzajów czasoprzestrzeni osobliwych:
1) Czasowo, zerowo i przestrzennie niezupełne.
2) Czasowo zupełne, lecz zerowo i przestrzennie niezupełne. 3) Zerowo zupełne, lecz czasowo i przestrzennie niezupełne. 4) Przestrzennie zupełne, lecz czasowo i zerowo niezupełne. 5) Czasowo i zerowo zupełne, lecz przestrzennie niezupełne. 6) Zerowo i przestrzennie zupełne, lecz czasowo niezupełne.
Teoretycznie możliwy jest jeszcze przypadek przestrzeni zupełnej czasowo i przestrzen nie, natomiast niezupełnej zerowo, ale jak dotąd nie zetknięto się z modelem takiej czaso przestrzeni.
Fizycznie najbardziej interesujące sągeodetyki czasopodobne, jako że reprezentują one historię obiektów materialnych. Zrozumiałe jest więc żądanie, aby w fizycznej czaso przestrzeni regularnej czas własny wybranego obserwatora spadającego swobodnie był nie skończony. Ale również obserwator poruszający się z ograniczonym przyśpieszeniem po krzywej czasopodobnej powinien posiadać taką samą cechę. Własność ta nie jest jednak równoważna bynajmniej zupełności geodezyjnej w którymkolwiek wyżej przytoczonym sensie. G e r o c h (1967) skonstruował czasoprzestrzeń zupełną czasowo, zerowo i prze strzennie, która zawiera jednak czasopodobną krzywą ze skończoną całkowitą długością własną.
Uwagi te świadczą o tym, że również definicja osobliwości w modelach OTW jako nie kompletności geodezyjnej nie jest całkowicie zadowalająca i nie rozwiązuje bynajmniej problemu definicji w ogólności. Dlatego też traktuje się raczej ( H a w k i n g , P e n r o s e 1970) niezupełność geodezyjną jako wirtualne jedynie stwierdzenie, iż czasoprzestrzeń jest ęsobliwa. Niewątpliwie są potrzebne bardziej precyzyjne i uniwersalne określenia oso
bliwości w OTW i należy się spodziewać, iż być może już wkrótce takie definicje będą stworzone. Jak dotąd pojęcie niekompletności geodezyjnej odegrało największą rolę przy formułowaniu twierdzeń o osobliwościach w rozwiązaniach równań Einsteina i dlatego ta definicja została omówiona nieco szerzej.