Chociaż osobliwości występujące w modelach kosmologicznych były znane już pół wieku temu, nie przywiązywano do tego faktu większej wagi ze względu na wyraźną nie- fizyczność punktów z nieskończoną gęstością materii i powszechnie sądzono, iż pojawia nie się punktów osobliwych w historii modeli kosmologicznych świadczy jedynie o zbyt niej idealizacji teorii. Rzeczywiście, wspomniane już modele friedniannowskie opisują Wszechświat wypełniony jednorodnie i izotropowo przez ciecz idealną o gęstości p i ciś nieniu p — z czego wynika, iż geometria takiej czasoprzestrzeni musi być geometrią rie- mannowską o stałej krzywiźnie. Wybierając układ współrzędnych współporuszających się, w którym materia jest nieruchoma względem osi przestrzennych, zapiszemy element linio wy kosmologii friedmannowskiej w formie otrzymanej przez R o b e r t s o n a :
ds2 = c2d t2 - (dr2 + r2sin20 V + r2dd2), (3)
gdzie r, 0, y są współrzędnymi przestrzennymi, natomiast R (t) i k — patrz równanie (1). Gęstość i ciśnienie materii kosmicznej dane są wtedy przez wyrażenia (dokładniejszy opis por. np. H e l l e r 1971): K p C K ‘ t i ‘
(4)
3 fee.21. -j. 3 R 2 R2
R 2 2 R R 2 fe e 2 R R 2 R 2przy czym K jest stałą grawitacji Einsteina.
Kosmologia Friedmanna posiada więc wiele symetrii geometryczno-fizycznych, któ rych realizacja we Wszechświecie rzeczywistym jest wątpliwa (idealna jednorodność roz kładu materii, brak oddziaływań niegrawitacyjnych). Stąd można sądzić, że o ile rozwiąza nia friedmannowskie dobrze opisują stan obecny Wszechświata (świadczy o tym niezła zgodność modeli Friedmanna z faktami obserwacyjnymi), to zbytnia ekstrapolacja w prze szłość w okolice punktu osobliwego to na rys. 1 (jako, że obserwacje wykazująekspansję naszego Wszechświata) może być nieuzasadniona.
Pierwszą bodaj próbą zbadania osobliwości w rozwiązaniach równań Einsteina bez zakładania daleko idących symetrii była praca K o m a r a (1956), który udowodnił na stępujące twierdzenie:
Załóżmy:
1) Zachodzą równania Einsteina bez stałej kosmologicznej (A = 0). 2) Wszechświat można jednoznacznie rozbić na część przestrzenną i czas.
3) Można wybrać zespół hiperpowierzchni t = const, które s ą geodezyjnie równoległe dla dowolnego t. Fizycznie oznacza to, iż średni ruch materii we Wszechświecie jest jedno rodny.
4) Siad i czwarta składowa tensora energii — pędu materii kosmicznej są dodatnie:
T * > 0, T ° > 0.
Wówczas: nieuchronnie w przeszłości lub w przyszłości wyznacznik tensora metrycz nego osiągnie wartość zero.
Konstrukcja dowodu twierdzenia K o m a r a nie pozwala, niestety, na rozstrzygnięcie, czy występująca tu osobliwość jest produkowana przez układ współrzędnych, czy też jest to osobliwość fizyczna systemu. Fakt ten osłabia niewątpliwie znaczenie tego interesują cego twierdzenia.
Związek pomiędzy pojawianiem się osobliwości w rozwiązaniach kosmologicznych OTW a przyjętymi założeniami o symetriach rozmieszczenia i ruchu materii był szeroko badany w ZSRR w latach sześćdziesiątych przez L i f s z i c a i C h a ł a t n i k o w a ze współpracownikami (L i f s z i c, C h a ł a t n i k o w 1960a,b; L i f s z i c i in. 1961; € h a- ł a t n i k o w i in. 1961;L i f s z i c, C h a ł a t n i k o w 1963; C h a ł a t n i k o w 1965).
Podsumowując pierwszy etap badań, L i f s z i c i C h a ł a t n i k o w (1963) stwier dzają:
1) Występowanie osobliwości jako zerowania się w skończonym czasie wyznacznika z tensora metrycznego ( L i f s z i c , C h a ł a t n i k o w 1960a,b; L i f s z i c i in. 1961) w ewolucji modelu opisanego w układzie synchronicznym (jest to układ współrzędnych, w którym na składowe tensora metrycznego g ^ narzucone s ą warunki go i = 0, i = 1, 2, 3) nie jest cechąogólną modeli kosmologicznych OTW.
2) Ogólny przypadek dowolnego rozkładu materii i pól grawitacyjnych nie prowadzi do pojawienia się osobliwości.
Również L a n d a u i L i f s z i c (1962) uważają iż osobliwości jakie pow stają w synchronicznym układzie współrzędnych są osobliwościami fikcyjnymi, związanymi z wyborem układu odniesienia.
Zwróćmy jednak uwagę, że powyższe mocne stwierdzenia nie opierają się, na równie mocnych argumentach. Na ich poparcie służąjedynie przesłanki jakościowe i pośrednie. Przyjęta przez autorów metoda — poszukiwanie ogólnego rozwiązania równań pola w oto czeniu punktu osobliwego — jest bardzo trudna ze względu na charakter równań Einsteina, są to równania różniczkowe cząstkowe, II rzędu i nieliniowe. Dlatego też z braku pełnej dyskusji matematycznej sądy tak kategoryczne jak przytoczone powyżej były przedwczes ne i obecnie nie są już podtrzymywane nawet przez L i f s z i c a i C h a ł a t n i k o w a. Ścisłe twierdzenia o istnieniu osobliwości w rozwiązaniach równań OTW, nie związane z jakimikolwiek symetriami i układami odniesienia, opierają się na definicji osobliwości jako niekompletności geodezyjnej. Przed podaniem tych twierdzeń określimy pewne do datkowe pojęcia.
Ceodetyką kauzalną, (S e i f e r t 1967) nazwiemy dowolną geodetykę czasopodobną
lub zerową. Analogicznie jak poprzednio określamy pojęcie geodezyjnej niezupełności kauzalnej.
Trójwymiarową przestrzenną podrozmaitość S czasoprzestrzeni M nazwiemy powierz
chnią Cauchy’ego ( P e n r o s e 1965), jeżeli każda krzywa czasopodobna lub świetlna nie
posiadająca punktu końcowego przecina S raz i tylko raz.
Dwuwymiarowa, zwarta, przestrzenna hiperpowierzchnia T czasoprzestrzeni M będzie nazywana powierzchnią pułapkową, („trapped surface” ) ( P e n r o s e 1965), jeżeli pola wektorów świetlnych, normalnych do T (w M będą dwa takie pola) są zbieżne w każdym punkcie T. Dla przykładu w rozwiązaniu Schwarzschilda (2) powierzchnia r = const jest powierzchnią pułapkową wtedy i tylko wtedy, gdy r < rg , gdyż jak wiadomo promienie świetlne nie m ogą wyjść'spod sfery Schwarzschilda.
Jeżeli P jest punktem trójwymiarowej, zwartej, przestrzennej podrozmaitości U czaso przestrzeni M, to powiemy, że P posiada horyzont względem U (G e r o c h 1966), gdy istnieje krzywa czasopodobna, która przecina U, ale nie wchodzi ani do stożka przeszłości, ani do stożka przyszłości P.
Napiszmy równania Einsteina w postaci:
przy czym R ^ v — tensor Ricciego, R = R £ (nie mylić z promieniem W szechświata z metry ki Robertsona (3)), T — tensor energii-pędu. Słabym warunkwm <• norgetycznym nazwie my żądanie, aby dla każdego wektora świetlnego / M zachodziło:
R iiur r > o .
tiv
(6)Natomiast mocny warunek energetyczny jest spełniony, jeżeli dla każdego czasopodob- nego wektora u*- zachodzi:
R u* uv > 0. (7)
Dla cieczy idealnej tensor energii-pędu ma postać:
/pc2
0 0 0
0
-P0 0
0 0
-p0
\ o 0 0
-p u -p u u (8) MZa pomocą równań (5) łatwo sprawdzić, że mocny warunek energetyczny prowadzi do nierówności:
K(pc2 + p ) > - 2 A. (9) Dla stałej kosmologicznej równej zeru warunek ten nie jest spełniony jedynie wówczas, gdy ciśnienie p osiąga olbrzymie wartości ujemne, np. dla p = 1 g/cm3 nierówność' (9) jest prawdziwa dla cis'nien p > — 1016N/cm2. Wydaje się, więc, że ograniczenie to w gruncie rzeczy jest bardzo słabe.
Możemy teraz przedstawić najbardziej charakterystyczne twierdzenia o istnieniu oso bliwości w OTW reprezentowane przez anglosaską szkołę P e n r o s e ’ a, H a w k i n g a i G e r o c h a .
Twierdzenie I ( P e n r o s e 1965). Dla czasoprzestrzeniM zakładamy: 1) Słaby warunek energetyczny.
2) W sposób ciągły możemy określić stożek przyszłości dla każdego punktu M. 3) M posiada niezwartą powierzchnię Cauchy’ego S.
4) Istnieje powierzchnia pułapkowa T w przyszłości S.
Wtedy: czasoprzestrzeń M jest w przyszłości zerowo niezupełna.
Twierdzenie I ze względu na warunek 3 odnosi się do otwartych modeli kosmologicz nych, a warunek 4 generuje zastosowanie twierdzenia przede wszystkim dla lokalnego ko lapsu grawitacyjnego, chociaż jak zauważył H a w k i n g (1965) otwarty model Fried- manna spełnia założenia twierdzenia. Samo istnienie powierzchni Cauchy’ego również jest dosyć mocnym warunkiem, bowiem jej intuicyjny związek z klasycznym determinizmem
nie jest wcale tak oczywisty na gruncie relatywistycznym . Znane są z re sz tą modele relaty wistyczne nie posiadające powierzchni Cauchy’ego. Warto również zauważyć, iż czaso przestrzeń M spełniająca warunki Twierdzenia I jest niekom pletna świetlnie, co osłabia nieco sens fizyczny tego twierdzenia (bardziej fizyczna byłaby niekompletność' czasowa). Twierdzenie 11 (H a w k i n g 1965, 1966a).
Dla czasoprzestrzeni M zachodzi: 1) Silny warunek energetyczny z A = 0.
2) Istnieje zwarta, trójwymiarowa, przestrzenna pod rozm aitość H. 3) Pole wektorów normalnych do / / je s t wszędzie rozbieżne. Wtedy: czasoprzestrzeń M jest w przeszłości czasowo niezupełna.
Twierdzenie II jest bardziej eleganckie w swej treści, bowiem orzeka istnienie osobliw o ści dla zamkniętego i rozszerzającego się Wszechświata, nie żąjlaiąc przy tym istnienia po wierzchni Cauchy’ego. Należy jednak podkreślić, iż ekspansja musi d otyczyć każdego punktu H i wskutek tego lokalna kontrakcja wystarcza, aby Twierdzenie II nie znalazło zastosowania.
Twierdzenie 111 (H a w k i n g 1965, 1966b). Niech czasoprzestrzeń M spełnia warunki: 1) Silny warunek energetyczny z A = 0. 2) Istnieje zwarta powierzchnia Cauchy’ego S .
3) Na S dla każdego czasopodobnego lub świetlnego wektora v* zachodzi związek:
R v » v v > 0.
Wtedy: czasoprzestrzeń M je st czasowo niezupełna.
Twierdzenie III stosuje się tym razem jedynie do Wszechświatów zamkniętych, żąda również istnienia powierzchni Cauchy’ego. Wzmacnia natom iast jego wagę w porównaniu z Twierdzeniem I orzekanie o niekom pletności czasowej.
Twierdzenie IV (G e r o c h 1966, 1967). Niech czasoprzestrzeń M spełnia założenia: 1) Silny warunek energetyczny z A = 0.
2) M zawiera zwartą, przestrzenną, trójw ym iarow ąpodrozm aitość H.
3) Istnieje punkt P należący do H nie posiadający horyzontu względem H. Wówczas: M je st czasowo niezupełna, lub też je st przestrzenią płaską.
Twierdzenie IV odnosi się znów do modeli zamkniętych, ale warunek 3) wydaje się nieco sztuczny, poza tym jest on trudno sprawdzalny na gruncie posiadanych danych obserwacyjnych dla naszego Wszechświata.
Twierdzenie V ( H a w k i n g , P e n r o s e 1970). Dla czasoprzestrzeni M zachodzą warunki: 1) Silny warunek energetyczny z A = 0.
2) M nie zawiera zamkniętych krzywych czasopodobnych.
3) Dla każdej geodetyki kauzalnej jest spełniony tzw. warunek ogólności stwierdzający istnienie punktów geodetyki, dla których prawdziwy jest związek: fc, /?yj ^ [T^ a ] ^ ^
=/= 0, gdzie jest wektorem stycznym do geodetyki w danym punkcie, a nawiasy prosto kątne określają antysym etryzację tensora.
4) M zawiera alternatywnie: a) powierzchnię pułapkową,
b) punkt P, dla którego zbieżność wszystkich geodetyk zerowych przechodzących przez P zmienia znak w stożku przeszłości P,
c) zwartą, przestrzenną, trójwymiarową hiperpowierzehnię. Wtedy: czasoprzestrzeń M nie może byc' kauzalnie zupełna.
Twierdzenie V jest niejako podsumowaniem poprzednich czterech twierdzeń i niewąt pliwie stanowi obecnie najistotniejszy wynik w omawianej dziedzinie. Żądanie braku za mkniętych krzywych czasowych jest tutaj potrzebne w dowodzie, pozd tym warunek ten jest spełniony przez realne modele fizyczne. Wydaje się również, iż nie jest on najistotniej szy dla kwestii istnienia osobliwości, bowiem brak go w Twierdzeniu II. Dosyć skompliko wanie wyglądający warunek ogólności 3) w przypadku geodetyk czasopodobnych ma pro stszą postać: /I fcM kv # 0 w pewnym punkcie. Dokładniejsze rozważania ( H a w k i n g , P e n r o s e 1970) prowadzą do wniosku, że warunek ogólności może być naruszony jedy nie w bardzo specjalnych i niefizycznych czasoprzestrzeniach.
Pięć twierdzeń zacytowanych powyżej orzeka, iż niezupełność geodezyjna czasoprze strzeni może wystąpić przy bardzo ogólnych i niezbyt wyszukanych warunkach. Przecież założenia figurujące w przytoczonych twierdzeniach (a zwłaszcza w ostatnim z nich) są na tyle słabe i ogólne, że wystąpienie ich w jakimś realnym modelu fizycznym (a w szczegól ności w „naszym ” Wszeehświecie) jest całkowicie możliwe, nie budząc przy tym poważniej szych zastrzeżeń czy to natury fizycznej, czy nawet filozoficznej. Mówiąp prościej założe nia te nie stoją w sprzeczności z posiadanym materiałem obserwacyjnym. A więc czyżby Wszechświat musiał być osobliwy? Nie podejmując w tym miejscu szerszej dyskusji tego tematu, przypomnijmy raz jeszcze, że Twierdzenia I — V orzekają o niekompletności geo dezyjnej czasoprzestrzeni, a jak już wiemy niezupełność geodezyjna przy wielu swoich za letach nie jest wcale idealną definicją osobliwości w OTW. Twierdzenia bazujące na nie kompletności geodezyjnej są całkowicie niekonstruktywne i nie dostarczają faktycznie żadnych fizycznych charakterystyk ewentualnej osobliwości czasoprzestrzeni geodezyjnie niekompletnej. Z tego też powodu zwolennicy stanowiska konstruktywistycznego w mate matyce mogą nie brać pod uwagę twierdzeń H a w k i n g a, P e n r o s e ’ a i G e r o c h a o występowaniu osobliwości w OTW.
Kończąc przegląd twierdzeń o występowaniu osobliwości w OTW i w kosmologii należy więc podkreślić, że grupa mocnych i eleganckich matematycznie twierdzeń szkoły anglo saskiej jest mimo wszystko oparta na niezbyt jasnych fizycznie podstawach i może się oka zać, że wnioski z tych twierdzeń nie są ani tak ogólne, ani tak pesymistyczne (w sensie istnienia modeli relatywistycznej kosmologii bez osobliwości) jak się to wydaje obecnie. Z drugiej strony jednak całkowicie konstruktywne metody kosmologów radzieckich w efekcie nie przeczą wynikom H a w k i n g a, P e n r o s e ’ a i G e r o c h a (a ostatnio wręcz je potwierdzają). Najsłuszniej więc będzie uznać, iż powyższe z pewnością interesu jące twierdzenia o warunkach występowania osobliwości w OTW, mimo pewnych nasuwa jących się wątpliwości interpretacyjnych, stanowią już materiał, z którym (szczególnie w kosmologii) należy się liczyć i brać go pod uwagę.
Osobliwości w ogólnej teorii względności
. 125
L I T E R A T U R AC h a ł a t n i k o w, J. M., 1965, Zh. Eksp. Teor. Fiz., 48, 261.
C h a ł a t n i k o w , J. M., L i f s z i c, E. M., S u d a k o w, W. W., 1961, Phys. Rev. Lett., 6, 311. G e r o c h, R. P., 1966, Phys. Rev. L e tt, 17, 445.
G e r o c h, R. P., 1967, Thesis, Princeton.
H a w k i n g, S. W., 1965, Phys. Rev. Lett., 15, 689. H a w k i n g, S. W., 1966a, Proc. Roy. Soc., 294 A, 511. H a w k i n g, S. W., 1966b, Proc. Roy. Soc., 295 A, 490.
H a w k i n g, S. W., P e n r o s e, R., 1970, Proc. Roy. Soc., 314 A, 529. H e l l e r , M„ 1971, Post. Astr., 19, 45.
K o m a r, A., 1956, Phys. Rev., 104, 544. K r u s k a 1, M„ 1960, Phys. Rev., 119,1743. K u n d t , W , 1963, Zeit. fur Phys., 172, 488.
L a n d a u, L. D., L i f s z i c, E. M., 1962, Teorija pola, Moskwa. L a n d a u, L. D., L i f s z i c, E. M., 1970, Theorie de champs, Moscou. L e m a i t r e, J., 1933, Ann. Soc. ScL Bruxells, A 53, 51.
L i f 8 z i c, E. M., C h a ł a t n i k o w, J. M., 1960a, Zh. Eksp. Teor. Fiz., 3 9 ,1 4 9 . L i f 8 z i c, E. M., C h a ł a t n i k o w . J . M., 1960b, Zh. Eksp. Teor. Fiz., 3 9 ,800. L i f s z i c , E .M ., C h a ł a t n i k o w , J . M . , 1963, Adv. Phys., 12,185.
L i f s z i c, E. M., S u d a k o w, W. W., C h a ł a t n i k o w , J. M., 1961, Zh. Eksp. Teor. Fiz., 4 0 ,1 8 4 7 . M i s n e r, C. W., 1963, J. Math. Phys., 4, 924.
N o w i k o w, J . D., 1963, Astron. Zh., 40, 772. P e n r o s e, R., 1965, Phys. Rev. LetŁ, 14 ,5 7 . R a y c h a u d h u r i , A., 1955, Phys. Rev., 9 8 ,1 1 2 3 . S e i f e r t, H. J., 1967, Z e it fur N aturfor., 22a, 1356. S k a r ż y ń s k i, E., 1972, Prace Filozoficzne, w druku.
POMIAR PÓL ELEKTRYCZNYCH W JONOSFERZE
Z B I G N I E W K Ł O S Instytut Geofizyki PAN (Warszawa)
M3MEPEHME 3J1EKTPM4ECKWX I10J1EH B MOHOC$EPE 3. K jio c
C ofle p > K aH n e
C T a T b fl COflep>KMT OnMCaHMe MeTOAOB M 3M epeHHH nOCTOHHHblX 3 jie K T p n - uecKHx nojiew b BepxHew aTMoc(J)epe 3eMjin. IlpeACTaBJieHbi pa3Hbie MeTOflbi M3MepeHnn m npaKTMMecKoro ux npHMeHennfl. FIoapoSho paccMOTpeH MeTOfl H3MepeHMH c Mcn0Jib30BaHMeM ab o w noro 30HAa JlanrMywp’ a.
MEASUREMENTS OF ELECTRIC FIELDS IN THE IONOSPHERE S u m m a r y
This paper deals with the methods of measurement of the steady electric fields in the terrestrial upper atmosphere. First, different methods of the measurement ai*e reviewed then their applicability to practical purposes are considered. Measurements with a dual Langmuir probe are discussed in greater detail.
1. WSTĘP
Mimo wielu trudności technicznych w ostatnich latach coraz częściej były i są, podej mowane próby pomiaru pola elektrycznego w okołoziemskiej przestrzeni kosmicznej (jono- sferzc i magnetosferze) przy użyciu rakiet i sputników. Pole elektryczne w warunkach przestrzeni kosmicznej silnie wpływa na ruch czystek naładowanych (elektronów i jonów), a tym samym znajomość wartości pola elektrycznego i morfologii jego występowania jest konieczna dla prawidłowego zrozumienia szeregu zjawisk takich jak: dynamiki plazmy jonosferycznej i magnctosferycznej, systemu prądów elektrycznych płynących w jonosfe- rze, wariacji magnetycznych, anomalnych ruchów w jonosferycznej warstwie F, przyspie szania czystek zorzowych i morfologii zórz, grzania gazu elektronowego w jonosferycznej warstwie H, składu górnych warstw jonosfery itp.