Postępy Astronomii nr 2/1973

POSTĘPY

A S T R O N O M I I

C Z A S O P I S M O

P O Ś W I Ę C O N E U P O W S Z E C H N I A N I U

W I E D Z Y A S T R O N O M I C Z N E J

PTA

TOM XXI — ZESZYT 2

1973

W A R S Z A W A • K W I E C I E Ń — C Z E R W I E C 1973

POSTĘPY

ASTRONOMII

K W A R T A L N I K

TOM XXI - ZESZYT 2

1973

R e d a k to r n a c z e ln y : S tefan Piotrow ski, W arszaw a

C złonkow ie: Józef W itkow ski, Poznań W łodzim ierz Z onn, W arszaw a

S ek reta rz R edakcji: Je rz y S todółkiew icz, W arszaw a

A dres R edakcji: W arszaw a, Al. U jazdow skie 4 O b serw ato riu m A stronom iczne UW

W YDANO Z PO M O CĄ FINANSOW Ą PO LSK IEJ A KADEM II NAUK

P rin te d in P oland

Państw ow e W ydaw nictw o Naukow e O ddział w Łodzi 1973

W y d a n ie I. N ak ład 532'+128 eg*. Ark. uipd. 5,25. A rk. d ru k 5,25. P a p ie r p iś m . m g l. kl. III, 70 g. 70X 100. P o d p isan o d o d ru k u 11. II . 1973

D ruk u k o ń czono uj m aju 1973 r. Zam . 35. T -2 . C ena 7.ł 10.— Zakład Graficzny W ydawnictw Naukowych

ASTROFIZYKA RELATYWISTYCZNA. IV

RELATYWISTYCZNE, ROTUJĄCE GWIAZDY

C z ę ś ć I PODSTAWY TEORETYCZNE

M A R E K A R T U R A B R A M O W I C Z Zakład Astronomii PAN (Warszawa)

PEJIHTMBMCTCKAfl ACTPO<f>M3MKA. IV PEJlflTMBMCTCKME BPAIUAIOIUMECH 3BE3£b]

HacTb I M. A. A 6 p a M O B i m

C o a e p * a H H e

OroBopeHbi paooTbi coflepacamwe onwcanHH caMbix c y m e c T B e H H b ix c b o m c t b peJlflTMBMCTCKMX BpamajOIUMXCH 3Be3fl. ripHJ10)KeHbl CTapaHMH UTOÓbl npoBecTH 3 TO o 6 o 6 m e H H b lM 0 Ó p a 3 0 M , HeOTHOCfl K KaKOM- JIn 6 o KOHKpeTHOM CM CTeM e

KoopflHHaT. HeKOTopbie p e 3y jib T aT bi npeflCTaBJieHbi b s t o h CTaTbe n e pB b iii p a 3 .

RELATIVISTIC ASTROPHYSICS. IV

RELATIVISTICS, ROTATING STARS

Part I

THEORETICAL FOUNDATIONS

S u m m a r y

Papers describing the principal known properties of the relativistic, rotating stars are reviewed. It was intended to do this in a general way without reference to any particular coordinate system. Some results are presented for the first time.

i. wsTęp

Relatywistyczna teoria rotujących ciał ma wielkie znaczenie astrofizyczne z kilku co

najmniej powodów.

Panuje’ niemal powszechna zgodność co do tego, że pulsary są rotującymi gwiazdami

neutronowymi ( G o l d 1968; P a c i n i 1968; G u n n i O s t r i k e r 1969; G i n z b u r g

1971). Tylko bowiem gwiazdy neutronowe mają rozsądnie male prędkości rotacji odpo­

wiadające skrajnie krótkim okresom zmienności pulsarów. Dla pulsara w Krabie okres

zmienności wynosi 0,033 s, co odpowiada prędkości rotacji 2000 km/s przy promieniu

równikowym gwiazdy neutronowej wynoszącym 10 km (dla typowego białego karla pręd­

kość' ta musiałaby wynosić połowę prędkości światła).

R u f f i n i (1972) pokazał, że niezależnie od tego, jakie jest równanie stanu materii,

masa krytyczna nierotującej gwiazdy neutronowej nie może być większa niż 4,5 M©.

Sztywna rotacja tylko nieznacznie zwiększa tę wartość ( H a r t l e i T h o r n e 1968; S e d-

r a k i a n i C h u b a r i a n 1968). Nie wiadomo, czy podobnie jak w newtonowskiej

teorii białych karłów ( O s t r i k e r , B o d e n h e i r a e r i L y n d e n - B e l l 1966) dosta­

tecznie szybka różniczkowa rotacja może uchronić przed kolapsem gwiazdę neutronową

o dowolnej masie.

Szybka rotacja jest jedynym sposobem zapewnienia dostatecznie dużego stosunku

energii wiązania supermasywnej gwiazdy do jej masy spoczynkowej. Stosunek ten musi

być duży, jeżeli supermasywne gwiazdy są źródłem energii dla kwazarów ( F o w l e r 1966;

R o x b u r g h 1965).

Wreszcie ostatnio interpretuje się niektóre źródła promieniowania rentgenowskiego

w Galaktyce jako układy złożone z cienkiego, rotującego dysku materii i centralnej czarnej

dziury ( N o v i k o v i T h o r n e 1972; S h a k u r a 1970; S h a k u r a 1972). Przynaj­

mniej w jednym wypadku (Cygnus X I) interpretacja ta wydaje sie bardzo prawdopodob­

na*.

We wszystkich opisanych wyżej sytuacjach efekty relatywistyczne są znaczne i m etodą

pozanewtonowskiego przybliżenia ( C h a n d r a s e k h a r 1968) nie można uzyskać do­

kładnych wyników.

Największa trudność ogólnej, relatywistycznej teorii rotujących ciał stanowi fakt, że

pole grawitacyjne rotującego ciała nie może być statyczne. W każdym układzie współ­

rzędnych, w którym tensor metryczny nie zależy od współrzędnej czasowej, nie znikają

pewne niediagonalne składowe tego tensora. W ten sposób równania pola Einsteina opisu­

jące równowagę rotującego ciała są układem (co najmniej) czterech nieliniowych równań

cząstkowych drugiego rzędu w obszarze zajętym przez materię. W obszarze zewnętrznym

układ ten sprowadza się do układu dwóch nieliniowych równań cząstkowych ( Ma t z n e r,

M i s n e r 1967)r

div(cosh2A' • gradY) = 0, V

2X +

^ sinh2X(gradY)2 = 0.

(!•!)

‘ Ostatnio pewne poważne zastrzeżenia przeciw tej interpretacji w y su n ^ P a c z y ń s k i (1972). Przegląd danych obserwacyjnych dotyczących źródła Cygnus X I można znaleźć u G u r s k y ’ e g o (1972).

Mimo, że przybliżone rozwiązanie układu (1.1) znane jest od przeszło pół wieku

( L e n s e i T h i r r i n g 1918) nie udało się do tej pory podać żadnego rozwiązania ści­

słego, kto're opisywałoby zewnętrzne pole grawitacyjne realnego (tzn. o skończonych roz­

miarach i bez osobliwości) ciała, choć próby takie były wielokrotnie czynione (L a n c z o s

1 9 2 4 ;v a n S t o c k u m 1937; P a p a p e t r o u 1953; K r a s i ń s k i 1970). Najobszer­

niejsze zestawienie wszystkich prac dotyczących ścisłych rozwiązań równań pola Einsteina

dla rotującej materii podane jest w przeglądowym referacie K r a s i ń s k i e g o (1970).

Znane jest tylko jedno ścisłe rozwiązanie wewnętrzne (W a h 1 q u i s t 1968) dla ciała

o ograniczonych rozmiarach bez osobliwości, nie ma jednak żadnego zewnętrznego roz­

wiązania, które można by z nim zszyć.

Najsłynniejszym ścisłym rozwiązaniem układu (1.1) jest rozwiązanie K e r r a (1963,

1965), które przedstawia pole grawitacyjne rotującej czarnej dziury — nie może ono, jak to

wynika z rozważań H e r n a n d e z a (1967), być wytworzone przez jakiekolwiek realne

ciało o skończonych rozmiarach.

Z przedstawionych wyżej powodów modele relatywistycznych, rotujących ciał uzyski­

wane są wyłącznie na drodze numerycznej; wymaga to na ogół użyciadużych maszyn li­

czących. Pewne ważne informacje na temat własności rotujących ciał mogą być jednak

uzyskane bez całkowania równań pola. Pierwsza część niniejszego przeglądu poświęcona

jest przedstawieniu faktów tego rodzaju. W drugiej części podane będą metody pozwalają­

ce na numeryczne konstruowanie modeli relatywistycznych, rotujących gwiazd oraz uzy­

skane tymi metodami wyniki. Nie będą omawiane prace dotyczące teorii rotujących ciał

w pozanewtonowskim przybliżeniu ( C h a n d r a s e k h a r 1965, 1967a, 1967b, 1971;

K r e f e t z 1 9 6 7 ; B a r d e e n 1971). Nie będzie także omawiana obszerna już w tej

chwili literatura dotycząca zjawisk związanych z promieniowaniem relatywistycznych, ro­

tujących ciał (patrz np. R u f f i n i 1972). Będzie ona tematem osobnego przeglądu (L a-

s o t a 1973).

W artykule tym będziemy posługiwali się standardowymi oznaczeniami relatywistycz­

nej hydrodynamiki. Czytanie tego artykułu znacznie ułatwi znajomość drukowanych po­

przednio w „Postępach Astronomii” artykułów D e m i a ń s k i e g o i L a s o t y .

2. ZAŁOŻENIA I DEFINICJE

W dalszej części tego przeglądu rotujacą gwiazdą nazywać będziemy obiekt, który po­

siada następujące własności ( T h o r n e 1969):

(A) Pole grawitacyjne rotującej gwiazdy jest asymptotycznie płaskie. Można podać

( P e n r o s e 1964) ścisłą, geometryczną definicję asymptotycznie płaskiego pola. Dla na­

szych celów wystarczy, że zgodnie z tą definicją można w obszarze dostatecznie odległym

od tej części czasoprzestrzeni, w której znajduje się materia, wprowadzić sferyczny układ

współrzędnych (t, r, 6, (/>), w którym przedział czasoprzestrzenny wyraża się wzorem:

(B)Pole grawitacyjne rotująpej gwiazdy jest stacjonarne, tzn. istnieje pole wektora

Killinga* 171 o otwartych trajektoriach, który jest wszędzie wektorem czasowym i asymp­

totycznie ma długość równą jedności:

lim (rm) =

1 .

(2 .2)

r-*»

(C) Pole rotującej gwiazdy jest osiowo symetryczne, tzn. istnieje pole wektora Killinga

\ l o zamkniętych trajektoriach, który jest wszędzie wektorem przestrzennym i asympto­

tycznie jest prostopadły do wektora r f :

lim (|£ ) = r2 sin2 0, lim (tj£) = 0.

(2-3)

r ->00 r

C a r t e r (1969) i T h o r n e (1969) pokazują, że z założeń (A), (B) i (C) wynika, żc

wektory 7?' oraz £* komutują:

< 2 -4 >

Z powodu drastycznej różnicy pomiędzy skalą czasową procesów hydrodynamicznych

a wszystkich innych procesów (Z e l d o v i c h , N o v i k o v 1971) założyć można, że struk­

tura gwiazdy wyznaczona jest przez warunek równowagi hydrostatycznej. Pozwala to na

pominięcie w wyrażeniu na tensor energii — pędu wszelkich wyrazów związanych z dys­

sypacją energii. Zatem:

(D) Tensor energii — pędu materii, z której zbudowana jest rotująca gwiazda dany jest

wyrażeniem:

T \ = (p + e) u'uk - 8ik p.

(2.5)

Rozważano także bardziej ogólne postaci tensora energii — pędu, uwzględniające pola

elektromagnetyczne oraz elastyczne naprężenia (M u n n 1972). Wszystkie wielkości ter­

modynamiczne, takie jak gęstość energii e, ciśnienie p, gęstość liczby cząstek n, potencjał

chemiczny p - (p + e)/n, temperatura T, gęstość entropii s mierzone są w układzie współ-

poruszającym się z materią. Z równania stanu e = e (n, s) i pierwszego prawa termodynami­

ki otrzymać można związki:

* 0 w ektorach Killinga p iszem y w D od atku I. D alsze inform acje zn a leźć m o żn a w d o w o ln y m , w sp ółczesn ym p od ręczn ik u g eom etrii różn iczk ow ej lub teorii w zględ n ości. Z ałożenie, że w ek to r K illin­ ga T)1 je s t w szęd zie w ek torem czasow ym w y k lu cza czarne d ziury ja k o składniki rotujących gw iazd — układy takie b ęd ą o m ó w io n e w artykule L a s o t y (1 9 7 3 ). W iększość p rzed staw ion ych tu tw ierdzeń pozostaje praw dziw a przy słabszym za ło żen iu , że w ek tor T)' je st jed y n ie a sy m p to ty czn ie w ek torem czasow ym .

r-ife)

n\ds '

_{' n}

(

2

.

6

)

(2.7)

z których będzier.y wielokrotnie korzystali.

Założymy także, iż gwiazda rotuje w kierunku wyznaczonym przez wektor f t z n . :

(E) Wektor prędkości materii, z której zbudowana jest rotująca gwiazda, dany jest wy­

rażeniem:

u1 = A

+ £2 {•').

(2.8)

Wielkość

występująca w tym wzorze nazywa się prędkością kątową rotacji Nazwa

uzasadniona jest tym, że odległy obserwator stacjonarny (tzn. obserwator, którego linie

świata pokrywają się z trajektoriami wektora

T)‘ )

zmierzy taką właśnie prędkość kątową

rotacji. Ponieważ (uu) = 1, więc:

1-2

_{(w ) + 2ft (nt) + f t 2 ( g ) .}

_(2.9)

Wielkość l/A, z powodów, które przedstawimy niżej, nazywa się często czynnikiem

przesunięcia ku czerwieni

Zdefiniujmy wielkośćp przez wyrażenie:

p2 = m2 - (w) m-

(2.io)

(Poprawność tej definicji, tzn. dodatniość prawej strony równania (2.10) zagwarantowana

jest założeniem o czasowym charakterze wektora rj1 i przestrzennym charakterze wektora

£‘ ). Za C a r t e r e m (1969) nazwiemy osią rotacji rotującej gwiazdy ot?szar czasoprze­

strzeni określony równaniem:

p = 0.

(2.11)

Korzystając z tego, że z relatywistycznych równań ruchu V(.T1^ = 0 wynika, że:

V.

<r fc T/fc)

= VI. ( r t ?<£) = 0

(2.12)

oraz wykorzystując równanie ciągłości:

V (. (nu') = 0

(2.13)

można łatwo pokazać, iż w dowolnym ruchu małego elementu materii w polu rotującej

gwiazdy zachowują stalą wartość wzdłuż linii świata tego elementu energia, entropia i mo­

£ = f X ( u T ] ) = const, (2.14)

s = const, (2>15)

j = — H (ul;) = const. (2-16)

Z adytywności energii, entropii i momentu pędu wynika, że wzdłuż linii świata elemen­ tu zawierającego ustaloną liczbę TC cząstek zachowują stałą wartość także całkowita ener­ gia £ = Cdt, całkowita entropia i = slft oraz całkowity moment pędu jX . Zdefiniujemy

jeszcze geometryczny moment pędu na jedną cząstkę:

l

- —

^u

I)

(2

17^

1

fa)

e * ( 2 ' 1 7 )

Na osi rotacji jest oczywiście j = l = 0. W newtonowskiej granicy j = SI mor2ain20,

l = Sir2 sin2 9, gdzie m0 jest masą jednej cząstki a (rsinfl) odległością od osi rotacji.

Pomiędzy energią £ * rozpatrywanego elementu gazu, mierzoną przez obserwatora współporuszającego się z materią, a zdefiniowanymi wyżej wielkościami zachodzi związek:

f * = y l ( e - n / ) =£:' 4 ( i - n 0.

(2.1.8)

Widzimy więc, że energię elementu gazu (z / = 0) trzeba podzielić przez A, aby otrzy­ mać wartość energii mierzoną przez nieukończenie odległego obserwatora stacjonarnego. Łatwo się przekonać, że w przypadku fotonu podobnego typu rozumowanie daje wynik ( T h o r n e 1969; Z e 1 d o v i c h 1965):

_£ _wjfsjgne = l + z = A >

(219)

odebrane

jeśli foton ma znikający moment pędu / = 0. Wielkość z we wzorze (2.19) jest przesunię­ ciem ku czerwieni (redshiftem) linii widmowych w widmie promieniowania ratującej gwiazdy. Rozważenie przypadku fotonu z nieznikającym momentem pędu prowadzi do zaskakującego wyniku, że dopplerowskie poszerzenie linii widmowych w widmie ratują­ cej, relatywistycznej gwiazdy nie jest symetryczne względem środka linii (Z e 1 d o v i c h 1965).

Za T h o r n e m (1966, 1969) zdefiniujemy energię wniesienia jako energię, o jak ą zmieni się całkowita energia gwiazdy M, gdy wprowadzimy do niej (w quasi-stacjonamy sposób) dodatkowo mały element gazu zawierający 6 31 cząstek tak, aby ciśnienie, tempe­ ratura itp. wprowadzonego elementu były równe tym, jakie panują w danym miejscu w gwieździe. Jak pokazuje T h o r n e :

co oznacza, że energia wniesienia w danym miejscu vr gwieździe wyraża się formułą.

* =

(

2

.

2 1

)

Tl A

3. OBSERWATOR STACJONARNY, LOKALNIE NIEROTUJĄCY ORAZ WSPÓŁPORUSZAJĄCY SIĘ Z MATERIĄ*

Linia świata dowolnego obserwatora (z ograniczonym przyspieszeniem) jest pewną krzywą czasową. W polu grawitacyjnym rotującej gwiazdy w naturalny sposób wyróżnieni są obserwatorzy poruszający się w taki sposób, że wektor styczny do ich linii świata n‘ jest

pewną kombinacją liniową wektorów Killinga 17* i £':

u*’

= <*(v‘ + P ń

(3.1)

Z warunku normalizacyjnego (nn) = 1 wynika, że:

<*-2 = (1717) + 20 (t?£) + P2 ( f i) , (3.2)

tzn. różnych obserwatorów typu (3.1) można charakteryzować przez podanie jednej funkcji p. Przypuśćmy, że w pewnym obszarze czasoprzestrzeni wybraliśmy tak funkcję/3, aby przez każdy punkt tego obszaru przechodziła dokładnie jedna linia świata obserwatora (3.1) — mówimy wówczas, że w tym obszarze dana jest kongruencja linii świata obserwa­ tora n*.

Będziemy nazywali obserwatora, dla którego (3 = 0 obserwatorem stacjonarnym (SF), obserwatora, dla którego 0 = co = — (t?£)/(££) obserwatorem lokalnie nierotującym (LNRF) i obserwatora, dla którego 0 = £2 obserwatorem współporuszającym się z materią (CF).

Zdefiniujmy moment pędu obserwatora (3.1) formułą:

(«Ł)_ ftS) + g ( K ) n 3 s

(n i? ) (7777) + /3 (ryg) *

Po długich, lecz nieskomplikowanych rachunkach można pokazać, że dla kongruencji linii świata obserwatora (3.1) przyspieszenie jest równe:

r r ^ U , (3.4)

ekspansja znika przy dowolnej postaci funkcji j3:

•C zy teln ik , k tó ry nie zna dobrze teorii względności nie m usi czytać całości tego rozdziału, p onie­ waż nie je s t to konieczne d o zrozum ienia dalszej części artykułu. W o statnim paragrafie przedstaw ione są najw ażniejsze w nioski rozdziału.

0 = V k nk =

O,

(3.5)

natomiast rotacja i ścinanie wyrażają się wzorami*

w2 = - i p~2 a ' 2 (nr,)2 (1 - 0X )'2 (7. X) (V X),

(3.6)

a 2 = - i p 2 a 2 (n ^y 2 (1 - 0 X)’ 2 (V'(3) (V,/3).

(3.7)

Wektor wiru co1 definiuje się formułą (S y n g e 1960):

<

o

U

i

„

, 3. 8)

gdzie

= (—det ^ ) _1/2

a e '^ m jest numerycznym symbolem permutacyjnym.

Długość wektora wiru równa jest skalarowi rotacji:

- (coco) = co2 .

(3.9)

Każdy z obserwatorów (3.1) może skonstruować w swoim otoczeniu lokalnie eukli-

desową, trójwymiarową przestrzeli o dodatnio określonej metryce:

- h‘k = n \ -

8ik-

(3.10)

Niech e'/ .v oznacza dowolną trójkę liniowo niezależnych wektorów w trójwymiarowej

przestrzeni (3.10) obserwatora (3.1). Każda taka trójka wyznacza pewien układ odniesie­

nia w tej przestrzeni. Obserwator (3.1), pragnąć wyznaczyć z jaką prędkością rotuje jego

układ odniesienia jn 1, e1^ } , uzyska różne wyniki w zależności od tego, w jaki sposób zde­

finiuje pojęcie rotacji. Spośród różnych możliwych definicji dwie zasługują na szczególną

uwagę ze względu na ich znaczenie fizyczne i możliwość doświadczalnej weryfikacji.

Pierwsza związana jest z tym, że odległe galaktyki wyznaczają wzorzec globalnie nierotu-

jącego układu odniesienia, co jest prostą konsekwencją założenia (A). Ustawiając swoje

teleskopy w kierunkach wyznaczonych przez e1^ każdy obserwator (3.1) może spraw­

dzić, czy odległe galaktyki przesuwają się w polu widzenia teleskopów, tzn. stwierdzić,

czy osie skonstruowanego przez niego układu odniesienia rotują. Druga możliwość polega

na tym, że obserwator wysyła sygnały świetlne w kierunkach e1^ i sprawdza, czy po od­

biciu się od nieskończenie bliskich, swobodnie spadających luster przychodzą one z kie­

runków ~ e'(jy Inną wersją tego lokalnego eksperymentu jest obserwacja precesji

żyrosko-* Definicje przyspieszenia, ekspansji, rotacji i ścinania były podane w artykule Astrofizyka relatywi­

pu względem osi e1^ . Obserwator powie, że osie jego układu rotują, jeżeli zaobserwuje

ruch precesyjny żyroskopu względem osi układu. Jak wiadomo (S y n g e 1960) spin ży­

roskopu S' zmienia się wzdłuż linii świata pewnego obserwatora zgodnie z regułą transpor­

tu Fermiego:

Śi = - n i Sk hk .

(3.11)

Zmiana ta jest równa zeru dla obserwatora spadającego swobodnie, dla którego ń‘ = 0.

I. OBSERW ATORZY STA CJO N A RN I

Obserwatorzy stacjonarni charakteryzują się znikającą ekspansją i ścinaniem:

9 = a = 0,

(3.12)

natomiast ich przyspieszenie i rotacja wyrażają się wzorami

ń,. = —i v . l n a ,

(3.13)

'$)}

( 3 ,4 )

Łatwo się przekonać, że obserwatorzy stacjonarni (SF) nie rotują względem odległych

galaktyk, ponieważ prędkości poprzeczne odległych galaktyk mierzone przez SF są równe

zeru:

- g a l a k t y k a = f t > j = 0 - < 3 ‘ 1 5 >

Zgodnie z (3.12) kongruencja linii świata SF jest sztywna w sensie B o r n a ( T r a u t -

m a n 1965), co oznacza, że:

£ h i k = 0,

(3.16)

n

gdzie Ł jest pochodną Liego wzdłuż pola wektorowego n‘. Innymi słowami, metryka trój-

n

wymiarowej przestrzeni skonstruowanej lokalnie przez obserwatora stacjonarnego nie

zmienia się w czasie. Zauważmy jednak, że ponieważ rotacja kongruencji SF nie znika,

nie można zbudować globalnie trójwymiarowych powierzchni prostopadłych do wektora

n', tzn. podzielić czasoprzestrzeni na „czas” i „przestrzeń” za pomocą obserwatorów sta­

cjonarnych. (Posługując sig metodą Lichnerowicza (1965), można to zrobić w czysto for­

malny, teoriomnogościowy sposób). Jest to powód, dla którego układy odniesienia

zwia-zane z obserwatorami stacjonarnymi nie są używane w praktyce. Z nieznikającą rotacją

kongruencji SF wiąże się także fakt nazywany zwykle wleczeniem układów inercjalnych.

Ze wzorów (3.8), (3.11) oraz (3.16) wynika, że (T h o r n e 1969):

£ S ' = n fcS. Vk im lo>m .

(3.1?)

n

W z c!r ten opisuje precesję żyroskopu względem osi e1^ układu odniesienia stacjonarne­

go obserwatora. Ponieważ trzy żyroskopy wyznaczają model lokalnie inercjalnego układu

odniesienia, wzór (3.17) pokazuje, że osie układu inercjalnego obracają się względem odle­

głych galaktyk z prędkością kątową równą co1. Bezwzględną wartość tej prędkości znaleźć

można z formuły (3.14).

T h o r n e (1969) podaje asymptotyczne wyrażenie na składowe wektora prędkości

kątowej w układzie współrzędnych (2.1). Jeżeli przez 7 oznaczyć całkowity moment pędu

gwiazdy, a przez e'r oraz e 'e wektory bazy układu (2.1), to:

lim co1 =^-{sin 6 r _I e j + 2 cos 6 e‘ \ .

(3.18)

r—°° r3 l

e

r)

Widać stąd, że w pobliżu osi rotacji (0 = 0) osie układu inercjalnego rotują w tym sa­

mym kierunku co gwiazda, natomiast w pobliżu równika (6 = ir/2) osie układu inercjalne­

go rotują w przeciwnym niż gwiazda kierunku.

Zjawisko wleczenia układów inercjalnych jest znane teoretycznie od dawna (T h i r-

r i n g 1918), dopiero jednak obecnie istnieje możliwość jego doświadczalnego potwier­

dzenia. W. F a i r b a n k ze Stanford University przygotowuje się do pomiaru tego efektu

związanego z rotacją Ziemi. Musi on zmierzyć precesję żyroskopu (umieszczonego na

sztucznym satelicie), która odbywa się z prędkością:

w J Ą ss 0 ,2"/rok.

(3.19)

R 5

II. OBSERW ATORZY LOK A LN IE NIERO TU JĄ CY

Dla tego typu obserwatorów:

n. = l / t y + « * ,) ,

(3.20)

gdzie U~2 = (rjr?) + <*■> (?lk) oraz u> = — (7?£ )/(££). Rotacja i ekspansja są równe zeru:

w =

9

_{= 0,}

_(3.21)

A. = V. In U,

(3.22)

o2 = - \ p ~ 2 (V. CS) (V* <3).

(3.23)

Rzutując prędkość odległej galaktyki na lokalną, trójwymiarową przestrzeń obserwato­

ra lokalnie nierotującego:

hij Vi = l V j = ~ m j ,

(3-24)

przekonujemy się, że LNRF rotują względem odległych galaktyk z prędkością kątową

równą Ć3. Przeprowadzając dyskusję podobną jak w przypadku SF przekonamy się jed­

nak, że żyroskop poruszający się wzdłuż linii świata obserwatora nierotującego nie wyko­

nuje precesji względem sąsiednich linii świata LNRF. Ponieważ dla LNRF znika rotacja,

możemy globalnie wprowadzić powierzchnie przestrzenne (hiperpowicrzchnie t - const)

prostopadłe do wektora n' w całej czasoprzestrzeni. Zauważmy jednak, że zgodnie

z (3.23) kongruencja linii s'wiata LNRF nie jest sztywna w sensie Borna. Oznacza to, że:

£ hjk ~ (V(- ćo) (Vfc co) # 0

(3.25)

n

tzn. metryki różnych hiperpowierzchni t = const są różne. Zajmiemy się teraz ustaloną

hiperpowierzchnią t = const. Przede wszystkim zauważmy, że istnieje na niej pole trójwy­

miarowego wektora Killinga h1^ £* = ^

= £*

(3.26)

co oznacza, że trójwymiarowa przestrzeń t = const jest osiowo symetryczna, a wektory

n' oraz £' są prostopadłe. (

jest różniczkowaniem kowariantnym na hiperpowierzchni

t = const). Trójwymiarowa prędkość' (v‘ = h‘k uk = j u') materii rotującej gwiazdy jest

równa, zgodnie ze wzorem (2.8):

«,*' = A (S2 - u>)

(327)

Jej kwadrat (w ) = — v2 jest równy:

u2 = (un)2 - 1 =

< 1

(3.28)

1 — #

gdzie d = / (uT))2!p2 A 1. Wielkość ln U nazwana została potencjałem grawitacyjnym dlate­

go, że spełnia równanie (3.22), w newtonowskiej granicy przechodzi w potencjał grawita­

cyjny Newtona oraz spełnia uogólnione równanie Poissona ( B a r d e e n 1970):

± V 2 ln U - ( j V . In U) ( jV 1' ln U) = 8tt [(e + 3p) + t>2 (e + P ) ] + 2 a 2 . (3.29) j_V2 je s t op erato rem L aplace’a na hiperpow ierzchni t = const. Prawa stro n a rów nania (3 .2 9 ), k tó re w ynika z rów nań pola E insteina, je s t zawsze dod atn ia. W przypadku skrajnie relatyw istycznych konfiguracji i w ielkich prędkości rotacji w yraz zw iązany ze ścinaniem kongruencji L N R F d om inuje nad w yrazam i zw iązanym i z m aterią ( B a r d e e n 1971,

1972).

N a koniec p o d am y jeszcze p ro stą in te rp re tac ję fizyczną prędkości kątow ej L N R F w zględem odległych galaktyk ( T h o r n e 1969). N iech p ‘ będzie pędem cząstki, k tó ra d aleko od gw iazdy m a ró w n ą zeru prędkość k ąto w ą f i i m o m e n t p ędu Z. Z godnie z p ra ­ wem zachow ania m om entu pędu (2 .1 6 ) i definicja (2 .1 7 ) m o m e n t pędu / cząstki będzie stale rów ny zeru, nato m iast pręd k o ść kąto w a będzie na ogół różna od zera:

o = / = - fo*> + g-i * | ) = > n = a * o .

(3.30)

(rm)

+ n (t?£)

O znacza to, że spadająca n a gwiazdę cząstka (z m om entem pędu rów nym zeru) odchyli się o kąt:

5<p = / ćo d t

.

(3.31) W artość tej całki obliczana je s t w zdłuż linii św iata cząstki. W przy p ad k u fo to n u ( C o h e n i B r i l l 1968):

r

4

M (.

.JO

,

gdzie M je st m asą gw iazdy, a J ' oraz q ‘ oznaczają w e k to r m o m en tu pędu gwiazdy oraz kie­ runek m om entu pędu fo to n u . A sy m p to ty czn ie:

lim OJ

27

. 3

6 JM

+ 0 ( r ' 5). (3 .3 3 )

Pierw szy w yraz tego rozw inięcia został znaleziony przez P a p a p e t r o u (1 9 4 8 , 1966), a drugi przez C h a n d r a s e k h a r a i F r i e d m a n a (1 9 7 2 ). M ożliwość glo­ balnego podziału czasoprzestrzeni na „czas” i „p rz e strz e ń ” oraz w łasność (3 .2 6 ) p o w o d u ­ ją , że układy odniesienia zw iązane z L N R F są b ardzo w ygodne w p ra k ty c e . B a r d e e n (1 9 7 0 , 1971) oraz B a r d e e n , T e u k o l s k y i P r e s s (1 9 7 2 ) p o k az u ją jak przez o d ­ pow iedni w y bór układu odniesienia na trójw ym iarow ej hiperpow ierzchni t = co n st m ożna znacznie uprościć w yrażenia na składow e tensora R iem anna ' tensora Ricci R

III. OBSERWATORZY WSPÓŁPORUSZAJĄCY SIĘ Z MATERIĄ

Dla obserwatorów współporuszających się z materią:

(3.34)

a 2 =

- \ p 2 A2

(

ur

?)-2 (1

- ft/)'2

(V.

fi) (W fi),

_(3.35)

w 2

=

- \ p ' 2 A~2 (ur,)2

(1 - f i / ) ' 2 (V. /) (V1' /).

_(3.36)

Podamy jeszcze wygodne w praktyce zależności, jakie spełniają, tensory rotacji i ści­

nania:

Widzimy, że na to, aby kongruencja CF była sztywna potrzeba i wystarcza, aby

fi = const. Podobnie warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby kongruencja CF

miała znikającą rotację jest / = 0 lub fi = c o ( B o y e r 1966; T h o r n e 1969).

$ (fi, /) = 0, to prawa strona równości (3.34) jest gradientem pewnej funkcji skalarnej:

gdzie kreska oznacza średniowanie po objętości gwiazdy. Nierówność' (3.41) jest relatywi­

stycznym warunkiem Poincarć’go (1902). Jeżeli warunek Poincare’go nie jest spełniony,

to gwiazda nie może znajdować się w stanie stacjonarnym. Musi ona ekspandować ze

wzrastającą prędkością ekspansji lub — jeżeli kontrahuje - zapadać się z coraz mniejszą

prędkością tak, że w końcu kontrakcja zostanie zastąpiona ekspansją:

(3.38)

(3.37)

Jeżeli pomiędzy prędkością kątową fi i momentem pędu / istnieje zależność typu

ii. = V. In W.

(3.39)

Funkcję W można nazwać całkowitym potencjałem. Z równań pola Einsteina wynika,

że spełnia on równanie ( A b r a m o w i c z 1971):

V .V i ln

W = 4

tt

(e + 3p) + 2a 2 - 2co2.

(3.40)

Można pokazać ( A b r a m o w i c z 1971), całkując to równanie po tubie świata rotu-

jącej gwiazdy i korzystając z tego, że wewnątrz gwiazdy p > 0, iż:

Ó >0.

(3.42)

W arunek PoincanTgo je s t przykładem na to , że w te o rii względności (pod o b n ie zresztą ja k i w teorii new tonow skiej) nie m usi istnieć m odel gw iazdy z dow olnym rozkładem

prędkości kątow ej.

W następnym rozdziale pod am y inny przykład tego ty p u .

IV. WNIOSKI

Z tego, że pole graw itacyjne rotującej, relatyw istycznej gwiazdy nie je st statyczne, lecz ty lk o stacjonarne, w ynika, że d ow olny o bserw ator obliczając, z j a k ą p ręd k o śc ią rotu- je, uzyska różne w yniki w zależności o d tego, czy będzie m ierzył prędkość! rotacji wzglę­

dem odległych galaktyk, czy też posłuży się np. w ahadłem F o u co u lta . W yniki b ę d ą ró żn i­ ły się o w ielkość:

(3 .4 3 )

r

U kład, w k tó ry m nie w y stę p u ją siły C oriollisa obraca się w zględem odległych galaktyk z prędkością k ą to w ą (3 .4 3 ). Zjaw isko to zostało nazw ane wleczeniem układów inercjal­ nych (dragging o f inertial fram es). P ow oduje ono, że m o m e n t pędu małej objętości gazu nie je st p roporcjonalny d o prędkości kątow ej rotacji S2, lecz d o różnicy £2 — ćo. Ś rednia w artość £2 je s t na ogół w iększa niż średnia w artość 00.

4. ROWNOWAGA HYDROD YNA M ICZNA I TERM ODYNAM ICZNA RO TU JĄ C EJ GWIAZDY

Model gwiazdy w rów now adze m ożna zbudow ać rozw iązując układ rów nań pola E insteina:

<4 - ‘ >

wraz z odpow iednim i w arunkam i brzegow ym i. U kład te n , jak m ów iliśm y, m oże być w o d ­ pow iednio w ybranych w spółrzędnych sprow adzony do czterech nieliniow ych rów nali cząstkow ych drugiego rzędu. Poniew aż w pierwszej części tego a rty k u łu nie interesujem y się budow aniem k o n k retn y c h m odeli, lecz ty lk o ogólnym i w łasnościam i ratu jący ch gwiazd, nie będziem y posługiwali się żadnym szczególnym układem w spółrzędnych. Po­ trzebne inform acje zaw arte w rów naniach pola będziem y uzyskiw ali zwężając rów nanie (4 .1 ) z różnym i w ektoram i zb udow anym i z w ektorów Killinga T?1 oraz £ ', w ykorzystując tożsam ości Ricci, k tó re dla dw óch dow olnych w ektorów x ‘ oraz y 1 zbudow anych z w ek­ torów Killinga przybierają postać:

Rachunki te nie są skomplikowane, jeżeli posłużyć się gotowymi wzorami:

= | p - 2

(W )V ' (T?r?) - 2 (

17

_{{)V(. ( ^ ) V 1’ ( W ) +}

+

( w ) V i

(ttf)V'' (rt)J ,

(4.3a)

m

= \ P’ 2 [(K )V , (t?5)V1 (|?{) - 2 ( ttf ) ? . (r?{)V‘ ( « ) +

+ (W )V ,- ( & ) v ' ( 8 ) } ,

(4.3b)

<i<v)

= j p ' 2 { ( 8 ) 7 , (m /)v ‘ (Tli) - (T?|) [V,. (77I?)V,‘

Im

+ 7 f (r?f)V,. (r?|)] +

+ (W ) V ,( tt) V , (i?o J.

(4.3c)

gdzie (x ly) = (y. xfc)

y 1). W ten sposób można np. pokazać, że powierzchnie p = const

mają na hiperpowierzchni t = const topologię walców, ponieważ funkcja p spełnia równa­

nie (C a r t e r 1972):

V k Vfc p 2 = 4 (Vfc p) (Vk P) - 32 TT p 2

p

< 0.

(4.4)

Równania (3.29) i (3.40) zostały także otrzymane tą drogą.

Obecnie zajmiemy się, różnymi wnioskami, jakie można wyprowadzić z relatywistycz­

nych równań ruchu, V . T‘k = 0. Bez trudu można się przekonać, że równania te dają się

zapisać w postaci:

(p +

e ) - ‘

_{V .p = V. In A —}

_{« .}

_(4.5)

Skąd wynika, że:

- J V

+Vfc* +) Vfen = °

(4.6)

po zastosowaniu tożsamości termodynamicznych (2.6) i (2.7).

I. TW IERDZEN IA VON ZEIPELA

Natychmiastowym wnioskiem z równań (4.5) i (4.6) sątzw . relatywistyczne twierdze­

nia von Zeipela ( A b r a m o w i c z 1970, 1971; B a r d e e n 1 9 7 0 ; B o y e r 1 9 6 6 ; T h o r -

n e 1969). Twierdzenia te głoszą:

I. Następujące stwierdzenia są równoważne

(a) Gwiazda jest barotropowa, tzn. zależność ciśnienia i gęstości można zapisać w para­ metrycznej formie p = p(b), e = e(fc).

(b) Istnieje całkowity potencjał W = W(b) spełniający równanie ut = V f ln W.

(c) Istnieje p o te n c ji siły odśrodkowej V, spełniający równanie u,- — V,- ln U = V,- łn V. (d) Zależność geometrycznego momentu pędu / i prędkości kątowej £2 daje się zapisać w parametrycznej formie l = 1(a), SI = £2(a).

II. Jeżeli gwiazda jest izentropowa (s = const) lub chłodna ( T = const), to: (e) Gwiazda jest barotropowa (a) i stwierdzenia (b), (c), (d) są prawdziwe.

(f) Zależność pomiędzy momentem pędu oraz energią wniesienia daje się zapisać w postaci j = j(a), 4> = ^(a).

Z twierdzeń von Zeipela wynika, jakie powierzchnie koincydują we wnętrzu relatywi­ stycznej, rotującej gwiazdy. Widzimy np., że w przypadku chłodnej lub izentropowej gwiazdy koincydują powierzchnie o równaniu £2 = const, l = const, 4> = const, j = const, tzn. powierzchnie o równaniu a = const. Wybierzmy tak parametr a, aby oś rotacji na hi- perpowierzchni t = const dana była równaniem a = const i zdefiniujmy funkcję F = F(a) (dla barotropowej gwiazdy) za pomocą równania:

° dl

F (a) = (I - n i) exp / (1 - n /)'* n J a d(L <4 -7)

0 °

Łatwo się przekonać, że w przypadku sztywnej lub powolnej rotacji:

F(a) = 1. (4.8)

Korzystając z definicji (4.7) będziemy mogli napisać w przypadku barotropowej gwiazdy:

W = AF, (4.9)

V = (1 + v2) 1'2 F, (4.10)

natomiast w przypadku chłodnej lub izentropowej gwiazdy:

= $ (0 ) F, (4.11)

j = $ (0 ) l (1 - M y 1 F, (4.12)

^ = <t>(0) (1 — M )~2 F > 0 , (4.13) gdzie <f>(0) = const jest energią wniesienia na osi rotacji. Ze wzorów (4.8) i (4.11) widzimy, że energia wniesienia w izentropowej, sztywno rotującej gwieździe jest stała (B o y e r

1966). Można łatw o pokazać, że w przypadku izentropowej, różniczkowo rotującej gwia­ zdy spełnione jest równanie:

jp = 4>(0) = const, (4.14)

które stanowi uogólnienie wyniku Boyera.

Powierzchnie a = const oraz b = const można nazwać powierzchniami ekwipotencjal- nymi, ponieważ w newtonowskiej granicy są one powierzchniami ustalonego potencjału si­ ły odśrodkowej oraz ustalonego całkowitego potencjału. W newtonowskiej granicy po­ wierzchnie a = const są koaksjalnymi z osią rotacji cylindrami. Można się więc spodziewać, że w relatywistycznych gwiazdach będą one miały topologię cylindrów. Twierdzenie ta­ kie, bardzo pożądane z teoretycznych i praktycznych powodów, nie zostało do tej pory opublikowane ( B o n a z z o l a 1972 twierdzi, że udało mu się je znaleźć). Topologiczne własności powierzchni a = const powinny wyniknąć z badania zachowania się rozwiązali równania:

t 1' r*

R.k

= 0,

(4.15)

gdzie r* = 2 (ur?)'2 {(i?u) £' - (£u) Tj'}je8t wektorem przestrzennym, prostopadłym do w ektora prędkości u '. Gdy rotacja jest sztywna, równanie to daje się sprowadzić do

po-<4 a 6 > z której można wywnioskować, że powierzchnie a = const mają na hiperpowierzchni t = = const topologię cylindrów. W ogólnym przypadku różniczkowej rotacji próby dyskusji topologicznych własności rozwiązań równania (4.15) zakończyły się niepowodzeniem*) Zauważmy, że gdyby znany był dowód na to, że powierzchnie a = const mają topologię cylindrów, można by twierdzić, że niemożliwe jest spełnianie się w całej gwieździe nie- trywialnej zależności typu fia ,b ) = 0. Rzeczywiście, powierzchnie b = const, jako p o ­ wierzchnie ustalonego ciśnienia, muszą być powierzchniami zamkniętymi, natom iast po­ wierzchnie o = const byłyby w tym wypadku otw arte, zatem powierzchnie a = const nie mogłyby się pokrywać z powierzchniami b = const. Pokażemy teraz, że niezależnie od te­ go, jakie są własności topologiczne powierzchni a = const, żadna nietrywialna zależność typu f(a ,b ) = 0 nie może być spełniona w gwieżdzie, która jest barotropow a i ma powierz­ chnię topologicznie równoważną sferze. W tym celu pokażemy, że całkowity potencjał

W = W(b) nie może być stały na osi rotacji a = 0. Zgodnie z równaniem (3.29) potencjał

siły ciężkości ln U ma na osi rotacji dokładnie jedno maksimum i nie m oże być stały. Ale z równań (4.10), (3,28) oraz (3.27) wynika, że na osi rotacji potencjał siły odśrodkowej

V = 1. Ponieważ W = U V, potencjał W nie może być stały na osi rotacji. Z przedstawionych

tu rozważań wynika także, iż jeżeli w szystkie powierzchnie p = const są topologicznie

równoważne sferze, to ciinienie maleje m onofonicznie od centrum ku pow ierzchni

zdy w tym sensie, że powierzchnia o równaniu p = p\ = const znajduje się wewnątrz po-

wierzchni p = pi - const, jeżeli p i < p \ .

Ponieważ nie jest możliwe f(a,b) = 0, więc:

III. Jeżeli dla dwóch dowolnych funkcji h(a) oraz f(b) spełniona jest równość h = f, to

funkcje te musza, być tożsamościowo równe stałej:

h(a) = f(b) => h(a) = f(b) = const.

(4.17)

II. RÓWNOWAGA TERMODYNAMICZNA RÓŻNICZKOWO R O T U JĄ C E J GWIAZDY

W napisanym przez T h o r n e ’ a paragrafie książki Z e l d o v i c h a i N o v i k o v a

(1971) pokazuje się za pomocą heurystycznego rozumowania, że warunkiem na równowa­

gę termodynamiczną rotującej gwiazdy jest spełnianie się równań:

= const,

(4.18)

T

— = const,

(4.19)

u

, = const.

A

(4.20)

Sens fizyczny warunku (4.18) jest zupełnie jasny: jeżeli SI # const, to (por. wzór

3.35) tensor ścinania jest różny od zera i w nieodwracalnych procesach związanych z wy­

stępowaniem lepkości będzie produkowana entropia. W realistycznych przypadkach skala

czasowa związana z produkcją entropii w różniczkowo rotujących gwiazdach jeśt jednak

bardzo długa. O s t r i k e r i B o d e n h e i m e r (1969) pokazują, że dla białych karłów

jest ona dłuższa niż 109 lat. Dlatego pytanie o równowagę termodynamiczną różniczkowo

rotującego ciała może być postawione poprawnie. Warunek na termiczną równowagę mo­

że być łatwo znaleziony przez proste uogólnienie rozważań T h o r n e ’ a (1972), słusz­

nych w przypadku sztywnej rotacji. Jeżeli żądać, by znikał strumień ciepła:

<?. '

T -

T)

(4.21)

przy różnym od zera współczynniku przewodnictwa cieplnego

, to z równania (3.34)

otrzymuje się w przypadku sztywnej rotacji warunek (4.19). Jest jednak rzeczą zabawną,

że warunek na równowagę termodynamiczną rotującej gwiazdy otrzymać można także

w zupełnie ogólny sposób, bez zakładania czegokolwiek o sposobach transportu energii.

Aby się o tym przekonać zauważmy przede wszystkim, że w stanie równowagi termodyna­

micznej gwiazda musi być barotropowa. Rozpatrzmy układ złożony z dwóch małych

elementów gazu na ustalonej powierzchni a = const. W układzie tym nie występują oczy­

wiście żadne ruchy makroskopowe. Energia układu £r = £] +

£2

oraz jego entropia 5r =

= 5 ! + 3

2

pozostają stałe, gdy układ znajduje się w równowadze termodynamicznej z oto­

czeniem. Równowaga termodynamiczna układu osiągana jest wtedy, gdy jego entropia

jest ekstremalna (przy ustalonej energii lub liczbie cząstek). Warunek ekstremalności entro­ pii ustalonej energii (równowaga termiczna) jest równoważny równaniu:

( U H o - n o - r w , (4.22)

v a

gdzie f*(a) jest pewną funkcją zależną tylko od powierzchni a = const. Korzystając z rów­ nania (4.9) można to zapisać w postaci T/W = f(a) w całej gwieździe. Ale zgodnie z twier­ dzeniem von Zeipela T/W = h(b). Zatem:

T

jj; = const (4.23)

po uwzględnieniu implikacji (4.17). Równanie (4.23) jest relatywistycznym warunkiem równowagi termicznej dla rotującej różniczkowo gwiazdy. W podobny sposób pokazuje się, że warunkiem równowagi chemicznej jest:

^ = const. (4.24)

Oba te warunki przechodzą w przypadku nierotującej gwiazdy w znane warunki Tol- mana (1934):

T (Vn)1' 2 = const, n (t?i?)1/2 = const. (4.25)

Zauważmy, że w przypadku izentropowej gwiazdy warunek (4.24) jest spełniony toż- samof!ciowo.

III. IN N E Z A ST O S O W A N IA T W IE R D Z E Ń VO N Z E IP E L A

W przypadku, gdy = const, twierdzenia von Zeipela pozwalają zbadać, jakie gwiazdy mogą wytwarzać żądanezew nętrzne pole grawitacyjne (B o y e r 1965, 1966). Przypuść­ my, że znamy pewne rozwiązanie zewnętrzne. Tym samym znamy położenia wszystkich powierzchni o równaniu:

(tjtj) + 2 J2 (x/£) + S22 (££) = const. (4.26) Każda taka powierzchnia, zgodnie z (4.8) i (4.9) może być zewnętrzną powierzchnią gwiazdy, jeżeli uda się dokonać zszycia rozwiązania zewnętrznego z wewnętrznym na tej powierzchni.

Wreszcie wspomnijmy o pracy B i s n o w a t e g o - K o g a n a i R u z m a i k a n a (1972), której autorzy — opierając się na twierdzeniach von Zeipela — pokazują, że pola magnetyczne nie mogą być generowane ani w sztywno rotUjących, ani w izentropowych gwiazdach.

5. ZASADY WARIACYJNE

Nie wydaje się rzeczą prawdopodobną, aby układ równaii pola Einsteina (4.1) dla reali­

stycznej (z danym równaniem stanu), rotującej gwiazdy mógł kiedykolwiek być rozwiąza­

ny analitycznie. Po pierwsze, problem rotującego ciała zbudowanego ze ściśliwego gazu

nie został rozwiązany w o wiele prostszej teorii Newtona ( J a r d e t z k y 1958). Po dru­

gie, nawet postaci równali pola dla rotującej gwiazdy są często liczone na maszynach z po­

wodu zawiłości formuł (w Caltechu używa sie do tego celu słynnego programu ALBERT).

W wielu astrofizycznych zastosowaniach nie jest jednak ważne, jaki jest konkretny model

gwiazdy: czasem wystarczy np. znajomość relacji pomiędzy zmianą całkowitej energii

a zmianą całkowitego momentu pędu. Tego rodzaju informacje można uzyskać wykorzy­

stując zasady wariacyjne dla rotujących, relatywistycznych gwiazd, których podano już

kilka. Wszystkie one opierają się na ekstremizowaniu pewnych wielkości, które można

zbudować ze zdefiniowanych niezmienniczo na hiperpowierzchniach

t

= const (związa­

nych z LNRF) całek:

Uml(Ł'/**T‘*)dsrl(Łt"la-‘)u''dS’

<51)

J = - / * * T \ dS. = fjn A u -1 dS,

(5.2)

N = f nu* dS. = fn A U ~i dS,

(5.3)

S = f nsu' dSi = f nsAU~' dS,

(5.4)

gdzie dSj = n{dS a dS jest elementem trójwymiarowej objętości hiperpowierzchni

t

= const.

W każdym wierszu pierwsza z równości jest definicją, a druga wynika z relacji (r?u) =

= (un) A~l = t/-1. Jest rzeczą oczywistą, że N oraz S są odpowiednio całkowitą ilością

cząstek w gwieźHzie oraz całkowitą entropią gwiazdy. Można pokazać, korzystając z włas­

ności symetrii pola grawitacyjnego rotującej gwiazdy i z tego, że pole gwiazdy jest asymp­

totycznie płaskie, że J jest całkowitym momentem pędu, natomiast M różni się od całko­

witej energii gwiazdy o wielkość, która znika przy wariacji ( H a r t l e , S h a r p 1966;

B a r d e e n 1970). B a r d e e n (1970) pokazuje, że całkowita energia gwiazdy jest do­

datnio określona.

Zdefiniujmy zbiór 7W j) jako zbiór tych wszystkich punktów wewnątrz gwiazdy, w któ­

rych moment pędu jest mniejszy niż j. Pozwoli to na wprowadzenie funkcji o:

a (i) = f n A V 1 dS.

(5.5)

M (j)

Jeżeli zrobimy podobnie dla entropii na jedną cząstkę s, to będziemy mogli zdefiniować

dwie funkcje:

s = s (b),

które określają lagrange’owy rozkład momentu pędu i entropii w gwieździe. Łatwo się

przekonać, że zgodnie z tymi definicjami:

N

J = f j (a) da,

(5.8)

O N

S = f S (b) db,

(5.9)

O

tzn. przy ustalonej liczbie cząstek w gwieździe i ustalonych rozkładach (5.6) oraz (5.7)

także całkowity moment pędu i całkowita entropia gwiazdy są ustalone.

I. ZASADA W ARIACYJNA H A R T L E ’A I SHARPA

Autorami tej zasady są H a r t l e i S h a r p (1965, 1966) oraz B o y e r i L i n d ­

q u i s t (1966). Głosi ona, że

Wśród wszystkich konfiguracji osiowo symetrycznych i stacjonarnych o ustalonej licz­

bie cząstek i ustalonym momencie pędu te znajdują się w stanie równowagi, tzn. spełniają

równania pola Einsteina i relatywistyczne równania ruchu, które ekstremizują całkowitą

energię gwiazdy.

Dowód prawdziwości tej zasady wariacyjnej polega na sprawdzeniu, czy ekstremizacja

funkcjonału:

M * = M + \ n J + \ <pN,

(5.10)

gdzie

oraz

są stałymi, nieokreślonymi czynnikami Lagrange’a, prowadzi do równań

pola i ruchu. Nie będziemy pokazywali szczegółów dowodu, ponieważ robimy to w przy­

padku zasady wariacyjnej Bardeena (w obu przypadkach dowody są podobne). Wspom­

nijmy tylko, że z zasady Hartle’a i Sharpa wynika, że:

fi = \ n = const,

(5.11)

= const,

(5.12)

a zgodnie z równaniem (4.6) także:

s =_const.

(5.13)

Sztywno rotujące, izentropowe gwiazdy są więc wyróżnione przez tę zasadę wariacyj­

ną. Jeden z jej odkrywców (B o y e r 1966) rozumiał to w ten sposób, że gwiazda dąży do

tego, by rotować sztywno i mieć stałą entropię. Nie wiadomo jednak, czy gwiazda rotująca różniczkowo nie musi w pewnych wypadkach przejść bariery energetycznej o skończonej wysokości, aby osiągnąć wygodniejszy dla niej stan sztywnej rotacji. W takich przypad­ kach mogłaby ona znajdować się w stanie różniczkowej rotacji dowolnie długo. W tym sa­ mym' roku, w którym została opublikowana zasada wariacyjna Hartle’a i Sharpa, 0 s t r i- k e r i L y n d e n - B e l l (1965) pokazali,- że można w newtonowskiej teorią sformuło­ wać zasadę wariacyjną dla różniczkowo rotujących gwiazd. Relatywistyczną wersję tej za­ sady wariacyjnej podano dopiero w pięć lat później.

II ZASADA WARIACYJNA BARDEENA

Autorem tej zasady wariacyjnej jest B a r d e e n (1970). A b r a m o w i c z (1970) po­ dał ją w szczególnym przypadku gwiazdy izentropowej. Wśród wszystkich konfiguracji

stacjonarnych i osiowo symetrycznych o ustalonej liczbie cząstek i ustalonych rozkładach momentu pędu i entropii te znajdują się w stanie równowagi, tzn. spełniają równania pola i równania ruchu, które ekstremizują całkowitą energię.

Dowód prawdziwości tej zasady wariacyjnej przeprowadzimy w szczególnym przypad­ ku gwiazdy izentropowej (s'= const). Uogólnienie na przypadek gwiazdy nieizentropowej jest natychmiastowe. Pokażemy więc, że wariacja funkcjonału:

M * = M + \<pN, (5.14)

przy dodatkowym warunku:

6; =—^8a, (5.15)

da

prowadzi do równań pola Einsteina i równali ruchu.

Wariacja funkcjonału (5.14) w stosunku do gęstości liczby cząstek n daje:

6M*=f{\ jSl - ( j £ ) + X* A ] 8n + ASln % SojdS. (5.16)

Aby wyrazić explicite wariacje 6M * przez wariację 6n obliczymy całkując przez części wartość wyrażenia:

/ =J a s i 4 n j A Sn dS' dS =

-Jbn

AB dS. (5.17)

“

« SiL

Widzimy więc, że ekstremizacja funkcjonału (5.14) względem gęstości liczby cząstek prowadzi do równania:

j A n + P l ± _ A ( K <b+B) = 0 } (5.19)

które jest, jak łatw o pokazać, całką pierwszą równań ruchu (4.6) w izentropowym przy­ padku. Używając znanych wyrażeii na wariację wyznacznika tensora metrycznego i wa­ riację skalara krzywizny:

H - g ) U2 = - l ( - g ) U 2 gi k ^ k , (5.20)

« [ ( - g ) 1' 2 R ] = ( - g ) U2[ Klfc - \ R (5-21)

przekonam y się, że wariacja funkcjonału M względem g ik prowadzi do równali pola Ein­ steina. W tym celu wygodnie jest posłużyć się tożsamością:

| u. nk 8 feifc) = (urj) 8A + (u© 6 (412) (5.22)

oraz wykorzystać związek:

U ' 1 dS = { - g ) 1/2 d x 3, (5.23)

gdzie (—g )+1/2 d x 3 jest elementem objętości na hiperpowierzchni t = const w dowolnym konkretnym układzie współrzędnych.

Z przedstawionej tu zasady wariacyjnej wynika następujący związek pomiędzy zmianą całkowitej energii, a zmianami liczby cząstek, entropii i całkowitego m om entu pędu:

8M = JS18 d j + f \f/8 d N + f t8 dS, (5.24)

gdzie 4* - ( Ts — n) A ~ l , r = T/A. Wzór ten znalazł wiele praktycznych zastosowań. Je d ­ nym z nich jest możliwość obliczenia energii rotacji dla rotującej gwiazdy. H a r 11 e (1970) pokazuje, że energia rotacji z dokładnością do 0(f24 ) dana jest przez wyrażenie:

Mrot = \ f o d l (5.25)

Wzór ten został także znaleziony przez Z e l d o v i c h a (1969) na drodze heurysty­ cznej.

6. STABILNOŚĆ KONWEKTYWNA ROTUJĄCEJ GWIAZDY

W tym rozdziale zajmiemy się tylko jednym aspektem problemu stabilności relatywi­ stycznej, rotującej gwiazdy. Zgodnie z przedstawioną w poprzednim rozdziale zasadą wa­ riacyjną Bardeena możemy twierdzić, że dla każdego rozkładu m om entu pędu i entropii w rotującej gwieździe:

/=/(«)> • ' • $ ) , (6-!)

można zbudować model w równowadze. Powstaje ważne pytanie, dla jakich rozkładów (6.1) model gwiazdy będzie stabilny. Oczywiście problem ten może byc' rozwiązany, p o ­ dobnie jak w newtonowskiej teorii, poprzez zbadanie małego zaburzenia stanu równowa­ gi. Pierwsze wyniki teorii małych zaburzeń w przypadku powoli rotujących gwiazd zosta­ ły znalezione przez H a r t l e ’ a i T h o r n e ’ a (1969), a ostatnio przez H a r 1 1 e ’ a, T h o r n e ’ a i C h i t r e ’ a (1972). Stabilnością dowolnie rotujących gwiazd zajmowali się także C h a n d r a s e k h a r i F r i e d m a n (1972) oraz S c h u t z (1972). W pra­ cach tych nie zostały jednak podane żadne proste kryteria pozwalające rozstrzygnąć a priori (przed przystąpieniem do konstruowania modelu) dla jakich rozkładów (6.1) gwiazda będzie stabilna konwektywnie. Opiszemy teraz pewne heurystyczne m etody, z pom ocą których można otrzym ać kryteria tego typu. Pierwsza z nich jest prostym uogólnieniem m etody zastosowanej przez T h o r n e ’ a dla sztywno rotującej gwiazdy ( T h o r n e 1969).

Jest rzeczą jasną, że pewien obszar gwiazdy znajduje się w marginalnej równowadze

konw ektyw nej wtedy, gdy każdy elem ent gazu może poruszać się w swoim otoczeniu

swobodnie, tzn. nie wykonując pracy. Oznacza to, że energia e elementu jest stała w margi­ nalnie stabilnej ze względu na konwekcję gwieździe:

£ = const. (6.2)

Z równania (4.6) widzimy, że w przypadku marginalnej równowagi konwektywnej jest:

- I v fcS = £ j2 V fef. (6.3)

Pozwala to twierdzić zgodnie z implikacją (4.17), że w przypadku marginalnej rów no­ wagi konwektywnej:

s = const, / = const = > j = const. (6-4) Można się więc spodziewać, że podobnie jak w newtonowskiej granicy warunkiem ko­ niecznym na stabilność konwektywną^rotującej gwiazdy będzie:

^ - > 0

, — >

0

.

da db

Warunek ten jest relatywistycznym odpowiednikiem znanego w teorii newtonowskiej kryterium Schwarzschilda-Rayleigha. W pracach B a r d e e n a (1 9 7 0 ,1 9 7 1 ) i A b r a ­ m o w i c z a (1971) można znaleźć -heurystyczne wyprowadzenie tego kryterium . Zda­ niem T h o r n e ’ a (1966, 1969) fakt, że newtonowskie i relatywistyczne kryterium na stabilność konw ektyw ną są identyczne wynika stąd, że są to kryteria o charakterze lokal­ nym i dlatego nie m ogą być zmienione przez ujawniające się w skończonych odległościach nieliniowości ogólnej teorii względności.

Dokładniejszy opis teorii stabilności rotujących gwiazd wydaje się — w tej chwili — nie­ celowy, ponieważ prawie wszystko w tej teorii jest jeszcze do zrobienia, przynajmniej w interesującym nas przypadku stabilności konwektywnej.

DODATEK I - GRUPY RUCHÓW I WEKTORY KILLINGA

Jak wiadomo, w teorii grawitacji Einsteina nie ma powodów, aby wyróżniać pewne układy współrzędnych. Dlatego zakładając np., że pole rotującej gwiazdy jest stacjonarne i osiowo symetryczne nie wystarcza powiedzieć, że w pewnym układzie współrzędnych pole nie zależy od współrzędnej czasowej i jednej ze współrzędnych kątow ych. Stwier­ dzenie takie nie ma niezmienniczego charakteru. Prócz tego nie wiadomo a priori, czy jest rzeczą możliwą skonstruowanie takiego układu. Nie można bowiem wykluczyć możliwo­ ści, że we wszystkich tych układach współrzędnych, w których pole stacjonarnej, osiowo symetrycznej gwiazdy nie zależy od współrzędnej czasowej, musi ono zależeć od wszyst­ kich trzech współrzędnych przestrzennych. Aby uchronić się od popełniania omyłek zwią­ zanych ze stosowaniem newtonowskich intuicji w teorii względności, należy je wyrażać w sposób formalny, niezależny od przypadkowego wyboru układu współrzędnych,

Własności symetrii dowolnej przestrzeni Riemanna (a więc także czasoprzestrzeni ogól­ nej teorii względności) można opisać w niezmienniczy sposób za pom ocą teorii grup, wprowadzając pojęcie grupy ruchu ( T r a u t m a n 1965).

Grupą ruchu w przestrzeni Riemanna jest grupa przekształceń punkto w ych zachowują­ cych odległości p o m ięd zy dowolnym i, nieskończenie bliskimi p u n k ta m i

Nieskończenie małe przekształcenie punktowe można scharakteryzować przez podanie małej wielkości X oraz pewnego pola wektorowego Działa ono w ten sposób, że punkt X* przechodzi w p u nkt x‘ + ^ ' ( x ) a nieskończenie bliski punkt x' + d x ‘ w punkt

x 1 + d x ‘ + X£'(x + dx). Dlatego zmiana wielkości d x‘ (k tó rą oznaczymy przez 8 d x ') może

być zapisana jako:

5 (dxi ) = \ d x i di £i (x). (1.1)

Kwadrat odległości pomiędzy nieskończenie bliskimi punktam i x ‘ oraz x ‘ + d x ‘ dany jest wyrażeniem:

tak że odległość pomiędzy sąsiednimi punktam i zmienia się pod wpływem przekształcenia

(x‘ -*■ x ‘ + X |,-(x)) o wielkość:

5 (d«2) = 5 [gkl (x )] d x k d x l + gkl (x ) 6 [dxk ] d x l + gkl (x) d xk • 6 [dxl ] =

= X [£'■ 9 .g kt +git \ Si + gki 3, ń d x k d x ‘ (1.3) z dokładnością do X. Jeżeli w ektor {■* opisuje infinitezymalny ruch, to 6(ds2) = 0. Jest to możliwe wtedy i tylko wtedy, gdy:

do, jak łatw o się przekonać, jest równoważne z :

V,r°-

c-5*

Równanie to nazwano równaniem Killinga a jego nietrywialne rozwiązania — wektora­

mi Killinga. Jeżeli pewna przestrzeń Riemanna dopuszcza możliwość istnienia wektorów

Killinga, to przestrzeń ta jest symetryczna w tym sensie, że możliwy jest w niej nietrywial- hy ruch. Jeżeli wybierzemy tak układ współrzędnych, aby w ektor Killinga miał w nim tylko jedną nieżnikającą składową ) to zgodnie z równaniem (1.4):

\ A ) S i k m 0 '

<L6)

tzn. w tym układzie współrzędnych tensor metryczny nie zależy od współrzędnej x ^ \ Jeżeli Tjk oznacza dowolny tensor sym etryczny spełniający równanie V (. T ’k = 0, to:

v l pi = v i. ( r t ?fe) = °.

(i.7)

Można stąd pokazać, że wielkość / P. dS‘ jest stałą.

L I T E R A T U R A

A b r a m o w i c z, M. A., 1970, Astrophys. Letters, 7, 73. A b r a m o w i c z, M. A., 1971, Acta Astronom., 21 ,8 1 . A b r a m o w i c z, M. A., 1971, Acta Astronom., 21, 221. A b r a m o w i c z, M. A., 1971, Acta Astronom., 21. B a r d e e n, J. M., 1970, Astrophys. J., 162, 71. B a r d e e n, J. M., 1970, Astrophys. J., 161, 103. B a r d e e n , J. M., 1971, Astrophys. J., 167, 425.

B a r d e e n , J. M., 1972, wykład w Les H ouches Summer School. B a r d e e n, J. M., P r e 8 8, W. H., T e u k o 1 g k y, S. A., 1972, preprint

B i s n o v a t y - K o g a n , G . S., R u z m a i k a n , A. A., 1972, Astronomy Astrophys., 17,243, B o y e r . R . H., 1965, Proc. Camb. Phil. Soc., 61, 527. .

B o y e r , R. R , 1966, Proc. Camb. Phil. Soc., 62, 495.

B o y e r, R. H., L i n d q u i » t, R. W. A., 1966, Phys. Letters, 20, 504. B o n a z z o l a , S . , 1972, ustna informacja.

C a r t e r, B., 1969, J. Math. Phys., 10, 70.

C a r t e r, B., 1972, wykład w Les Houches Summer School. C h a n d r a s e k h a r , S., 1965, Astrophys. J., 142, 1513. C h a n d r a s e k h a r , S., 1967, Astrophys. J., 147, 334. C h a n d r a s e k h a r , S., 1967, Astrophys. J., 148,621.

C h a n d r a s e k h a r , S., 1968, w III tomie Relativity Theory and Astrophysics, ed. I. Ehlers, AMS, Providence, Rhode Island.

C h a n d r a s e k h a r , S., 1971, Astrophys. J., 167, 447, 455.

C h a n d r a s e k h a r, S., F r i e d m a n, J. L., 1972, Astrophys. J., 175, 745. C h a n d r a s e k h a r, S., F r i e d m a n, J. L., 1972, Astrophys. J.k 176, 379. C o h e n, J. M„ B r i 11, D. R„ 1968, Phys. Rev. 173, 1258.

F o w l e r , W. A., 1966, w High Energy Astrophysics, ed. L. Gratton, Academic Press, New York. G o 1 d, T., 1968, Nature, 218, 731.

G u n n, J. E., 0 s t r i k e r, J. P., 1969, Astrophys. J., 157,1395. G i n z b u r g, V. L., 1971, Usp. Fiz. Nauk.

G u r s k y, H., 1972, wykład w Les Houches Summer School. H a r 11 e, J. B., T h o r n e, K. S., 1968, Astrophys. J., 153,807. H a r 1 1 e, J. B., T h o r n e, K. S., 1969, Astrophys. J., 158, 719. H a r 1 1 e, J. B., T h o r n e, K. S., C h i t r e, S. M., 1972, preprint H a r 11 e, J. B., 1970, Astrophys. J., 161, 111.

H a r 11 e, J. B., S h a r p, D. H., 1965, Phys. Rev. Letters, 15, 909. H a r 11 e, J. B., S h a r p, D. H., 1966, Astrophys. J., 147, 317.

J a r d e t z k y, W. S., 1958, Theories of Figures of Celestial Bodies, University of Chicago Press, Chicago.

K e r r, R, P., 1963, Phys. Rev. Letters, 11, 522.

K e r r , R. P., 1965, w Quasistellar Sources and Gravitational Collapse, University of Chicago Press, Chicago.

K r e f e t z, E., 1967, Astrophys. J., 148, 589. K r a s i ń s k i , A., 1970, nie opublikowany rękopis. L a n c z o s, K., 1924, Z. Physik, 21, 73.

L e n s e, J., T h i r r i n g, H., 1918, Phys. Zeits., 19.

L i c h n e r o w i c z , A . , 1965, Theories relativistes de la gravitation et de lYlectromagnetisme, Mas­ son, Paris.

L a s o t a, J. P., 1973, Post Astr., w przygotowaniu.

M a t z n e r, R. A., M i s n e r, C. W., 1967, Phys. Rev., 154, 1229. M u n n, M., 1972, preprint

N o v i k o v, I. D., T h o r n e, K. S., 1972, wykład w Les Houches Summer School.

O s t r i k e r , J.P ., B o d e n h e i m e r , P., L y n d e n - B e l l , D„ 1966, Phys. Rev. Letters, 17, 816. 0 s t r i k e r, J. P., B o d e n h e i m e r, P., 1968, Astrophys. J., 151,1089.

O s t r i k e r, J. P., L y n d e n - B e 11, D., 1965, nieopublikowane.

P o i n c a r i , H . , 1902, Leęons sur les figures d’equilibre d’une masse fluide, Naud, Paris. P a c i n i, F., 1968, Nature, 219, 145.

P a c z y rf 8 k i, B., 1972, ustna informacja. P a p a p e t r o u , A , 1953, Ann. Phya, 12, 309.

P a p a p e t r o u, A., 1948, Proc. Roy. Irish. Acad., 52,11. P a p ą p e t r o u , A , 1966, Ann. In st H. Poincarć, A- IV, 83.

P e n r o s e , R., 1964, w Relativity, Groups and Topology, ed. C. DeWitt, B. DeWitt, Gordon and Breach, New York.

R u f f i n i, R., 1972, wykład w Les Houches Summer School. R o x b u r g h , I. W., 1965, Nature, 207, 363.

S c h u t z, B. F., 1972, Astrophys. J . Suppl. No 208, 24, 309.

S t o c k u m, W. J . van, 1937, Pro. Roy. Soc. Edinburgh, Sect A., 57,135. S h a k u r a, N. I., 1970, nieopublikowana praca doktorska.

S h a k u r a, N. I., 1972, Astr. Zh.

S y n g e, J . L., 1960, Relativity: The General Theory, Nord-Holland Publ. Co., Amsterdam. T h o r n e, K. S., 1966, w High Energy Astrophysics, ed. L. Gratton, Academic Press, New York. T h o r n e , K. S., 1969, preprint (zob. także General Relativity and Cosmology, Academic Press, New

York, 1971).

T h i r r i n g H., 1918, Physik. Z„ 19, 33.

T o 1 m a n, R. C., 1934, Relativity, Thermodynamics and Cosmology, Calderon Press, Oxsford. T r a u t m a n, A., 1965, w Lectures on General Relativity, Prentice-Hall, New Jersey. S e r d a k i a n, D. M., C h u b a r i a n, E. B., 1968, Astrofizika, 4,551.

W a h 1 q u i s t, H. D „ 1968, Phys. Rev., 172, 1291.

Z e 1 d o v i c h, Ya. B., 1965, Piśma Zhur. Eksp. Teor. Fiz., 1, 40.

Z e 1 d o v i c h, Ya. B„ 1969, praca cytowana w ref. Thome 1969 jako ustna informacja.