Diagonalizacja efektywnego spinowego hamiltonianu dla DMS 89

n16=...6=ns δ(R₁− R_n1)...δ(R_s− R_ns) =^_v0^xsR V d³R₁...d³R_sa(R₁, ..., R_s)F_s(R₁, ..., R_s), (6.6) gdzie [115] F_s(R₁, ..., R_s) =^_N^Vs_N^N i s P n16=...6=ns δ(R₁− R_n1)...δ(R_s− R_ns) .

Wprowadzona tu funkcja opisuje gęstość prawdopodobieństwa rozlokowania s do-mieszek w punktach R₁, ..., R_s. Dla s = 1 to prawdopodobieństwo wynosi ^Ni

N (nie zależy od R, ponieważ założyliśmy ekwiwalentność wszystkich węzłów), zatem

P

n δ(R − Rn) = ^Ni

N = _v0^x i F₁ = 1. Ponieważ |R_i− R_j| → ∞, F_s(R₁, ..., Rs) → F₁(R₁)...F_s(R_s) to F_s(R₁, ..., R_s) = 1 + g_s(R₁, ..., R_s) i g_s(R₁, ..., R_s) → 0, dla |R_i− R_j| → ∞.

6.1.2 Diagonalizacja efektywnego spinowego hamiltonianu dla DMS Przestawiony wyżej schemat uśrednienia został następnie zastosowany do rozwa-żanego modelu DMS. Po przeprowadzeniu uśrednienia po przypadkowych poło-żeniach domieszek [114] wykonana została diagonalizację (Bogolubova) hamilto-nianuH^ˆ˜s(k), czyli hamiltonianu spinowej części układu w reprezentacji pędowej, której wprowadzenie możliwe było dopiero po uśrednieniu po losowych położe-niach domieszek [114]. Diagonalizacja Bogolubova przeprowadzona została jawnie poprzez transformacje liniową operatorów: ˆB (k) = vkαˆ1(k) + u_kαˆ2(k) , ˆb (k) = u_kαˆ₁(k) − v_kαˆ₂(k) , (u²_k+ v_k² = 1). W wyniku otrzymano: ˆ ˜ H_s(k) = ε₁(k) ˆα₁⁺(k) ˆα₁(k) + ε₂(k) ˆα⁺₂ (k) ˆα₂(k) , (6.7) gdzie: u²_k= ¹₂  1 + r 1 − ^4γ2(k) [ε1(k)−ε2(k)]²  , v_k² = ¹₂  1 − r 1 − ^4γ2(k) [ε1(k)−ε2(k)]²  , (6.8)

i

ε1,2(k) = ¹₂[(g_p− g₀) µ_BB − C] ±¹₂^q[(g_p+ g₀) µ_BB − C]²+ 8Sxx_pA^˜2

p(k)), ^(6.9)

tutaj C = ˜A_p(0) (x_p+ 2Sx).

Łatwo zauważyć, że ponieważ całka wymiany A_p(R) maleje eksponencjalnie ze wzrostem odległości R [130]: Ap(R) = A_pexp (−2R/l_ex), gdzie: l_ex∼ a (v₀= a3), to: ˜ Ap(k) = ^A˜p(0) [1+k2l2 ex/4]², A^˜p(0) = ^π₄^2l3ex v0Ap. (6.10)

Przyjmując teraz zewnętrzne pola magnetyczne równe zeru, (B = 0), uwzględ-niając równanie (6.10), wyrażenie ε_1,2(k) łatwo jest przekształcić do postaci:

ε1,2(k) = −¹₂A^˜p(0) (x_p+ 2Sx)  1 ± r 1 − ^8Sxxp (xp+2Sx)²f^k2l2ex 4 ^ , f^k2l2ex 4  = 1 − ¹ [1+k2l2 ex/4]⁴. (6.11) Zatem hamiltonian ^DH^ˆs E

p, zgodnie z równaniem (6.7), zapisać można w nastę-pującej postaci: D ˆ H_s^E p = Nⁿg₀µ_BSxB − g_pµ_Bx_pB/2 + 2xx_pA^˜_p(0)^o + ^v0 (2π)³ R 2 P j=1 ε_j(k) ˆα⁺_j αˆ_j(k)d³k. (6.12)

Z przedstawionych powyżej formuł wynika [114, 27, 28], że w DMS w ni-skich temperaturach, spektrum spinowych wzbudzeń składa się z dwóch gałęzi fal spinowych. Przy braku obecności zewnętrznego pola magnetycznego (B = 0), dolna gałąź ε₂(k) jest bezszczelinowa, tj. ε₂(0) = 0, natomiast górna gałąź jest typu ’optycznego’, ε₁(k), tj. ma szczelinę. Ta szczelina jest stosunkowo szeroka ε1(0) = − ˜Ap(0) (x_p+ 2Sx), rzędu eV.

Obecność fal spinowych ze szczeliną jest charakterystyczna dla ferrimagne-tyków. Zatem układ DMS jest jako całość ekwiwalentny z ferrimagnetykiem z dwoma magnetycznymi podsieciami. Szczelina w dyspersji magnonów jest w ta-kim przypadku rzędu energii wymiany obu podsieci.

Zaobserwować też można, że energia gałęzi dolnej fal spinowych ε₂(k) rośnie z k, a energia gałęzi górnej ε₁(k) — maleje, co przedstawiono na rys. 6.1, za [27,28].

6.2. DEKOHERENCJA SPINU EKSCYTONU W KROPCE KWANTOWEJ

OTOCZONEJ MATERIAŁEM DMS 91

Rys. 6.1. Dyspersja fal spinowych w DMS dla kilku różnych koncentracji dziur

pośred-niczących wymianę spinową; wstawka: zależność szczeliny magnonów ’optycz-nych’ od koncetracji dziur (B) i domieszek (przy stałym x_p/x) (A), za [27,28].

Dla małych kwazipędów, tj. dla kl_ex << 1 (blisko punku Γ), dyspersja ma-gnonów może być przybliżona w następujący prosty sposób:

(

ε₁(k) = ε₀− Dk2,

ε2(k) = Dk², ^(6.13)

z ε₀ = − ˜Ap(0) (x_p+ 2Sx) , D = − ˜Ap(0) ^2Sxxp

xp+2Sxl_ex² (natomiast dla granicy [sztucz-nej, wobec ograniczenia strefy Brillouina] dla kl_ex>> 1, ε₁(∞) = − ˜A_p(0) 2Sx, ε₂(∞) = − ˜A_p(0) x_p).

6.2 Dekoherencja spinu ekscytonu w kropce kwantowej

otoczonej materiałem DMS

Znając kolektywne magnetyczne mody pasmowe w DMS, można teraz rozwiązać zagadnienie defazowania spinowych stopni swobody ekscytonu zlokalizowanego w kropce kwantowej w otoczeniu DMS. Problem ten został rozwiązany przez zespół z Politechniki Wrocławskiej i przestawiony w serii prac [76,27,29,28]. W pewnym skrócie, zostało to przeprowadzone w opisany niżej sposób.

Hamiltonian opisujący oddziaływanie pary e-h (ekscytonu) w kropce kwan-towej z otoczeniem DMS można zapisać w postaci: (spiny pasmowych dziur nie

wnoszą wkładu): ˆ H_sd(R_e, R_h) = −2β₀^X n A_e(R_e− R_n)ˆs_e· ˆS_n (6.14) −2β₀^X n Ah(R_h− R_n)ˆsh· ˆSn,

gdzie: ˆs_e(h) jest operatorem spinu elektronu (dziury) ekscytonu zlokalizowanego w kropce kwantowej, R_n oznacza położenie domieszki magnetycznej (Mn²⁺) w DMS, ˆSn jest operatorem spinu tej domieszki; sumowanie po n przebiega po wszystkich zajętych przez domieszki węzłach sieci krystalicznej DMS. Czynnik A_e(h)(R_e(h)− R_n) opisuje oddziaływanie wymienne typu s − d, pomiędzy elektro-nem (dziurą) ekscytonu w kropce a magnetyczną domieszką (fenomenologiczny czynnik β₀ wprowadzono tu w celu uwzględnienia dodatkowego osłabienie tej całki wymiany spowodowanego przez strukturalną separację kropki kwantowej zanurzonej w krysztale DMS; będzie on dopasowywany do danych eksperymen-talnych [131,132]).

Przesunięcie energii ekscytonu (dla zgodnego (1) i przeciwstawnego (2) usta-wienia spinów pary e-h) ma następującą postać [114,27,28]:

E_1(2)nsz = E_n+ ∆

+2s_zSxiβ^hA^˜e(0) − (+) ˜A_h(0)ⁱm(T ), ^(6.15)

gdzie: E_n jest energią gołego ekscytonu w kropce (w fazie paramagnetycznej DMS), s_z = ±¹₂ jest rzutem spinu elektronu w parze e-h dla przeciwstawnego ustawienia [(1,s_z = ±¹₂)] lub zgodnego [(2,s_z = ±¹₂)] spinów pary e-h; S oznacza spin domieszki magnetycznej w DMS, m(T ) jest zależną od temperatury skła-dową magnetyzacji spinowego podukładu domieszek w DMS. Dla parametrów materiałowych jak podano w Tab. 3 [za oryginalną publikacją [114]], dla stanu podstawowego pary e-h, tj. stanu [1,s_z = ¹₂], można oszacować [114] odpowied-ni temperaturowy wkład do magnetyzacji domieszek: m(T ) ∼ 5.6 · 10⁻³T^3/2. Obliczone zgodnie z powyższymi formułami przesunięcie energetyczne tego po-ziomu daje możliwość porównania (przy wykorzystaniu zależności (6.15) i dla odpowiednio dobranego β₀ ∼ 0.1 [131,132]) z danymi pomiarowymi dla układu typu kropka zanurzona w DMS: Zn_0.75Mn_0.25Se/CdSe [131,132] (Tab. 4, za pracą [114]). Podkreślić tu należy dobrą zgodność ilościową wyników modelu z danymi eksperymentalnymi.

6.2. DEKOHERENCJA SPINU EKSCYTONU W KROPCE KWANTOWEJ

OTOCZONEJ MATERIAŁEM DMS 93

Tab.3. Parametry struktury dla Zn0.75Mn0.25Se/CdSe [131,132,133] spinowe wymienne oddziaływanie dla dziur ˜Ap(0) (' ˜Ah(0)) -1.3 eV spinowe wymienne oddziaływanie dla elektronów ˜Ae(0) 0.26 eV koncentracja domieszek magnetycznych x 0.25 koncentracja dziur xp 0.025 faktor strukturalnej separacji β0 0.1 spin domieszki Mn²⁺ 5/2 stała sieciowa (ZnSe) 0.57 nm masa efektywna elektronu[dziury] (ZnSe) 0.2[0.6] me

rozmiar kropki (CdSe) (model) 10 nm

Tab.4. ∆E dla EMP w kropce kwantowej w DMS: Zn0.75Mn0.25Se/CdSe, wg. [114] T[K] eksperyment [131] [eV] model [eV]

2 2.085 2.085 9 2.088 2.087 20 2.090 2.091

Mając do dyspozycji znalezione analityczne wyrażenia dla wszystkich modów fal spinowych w DMS i posługując się formułą na czas defazowania τ ' d/v_g, moż-na bezpośrednio oszacować ten czas w przypadku spinu ekscytonu ulegającego dekoherencji na skutek dyssypacji energii wymiany spinowej w morzu magnonów w otoczeniu DMS. Ubieranie spinowej struktury zlokalizowanego ekscytonu w fale spinowe (magnony) odpowiada tworzeniu ekscytonowego magneto-polaronu (EMP) (dalsze uogólnienie fononowego polaronu). Podobnie jak w przypadku ładunków i fononów, defazowanie stanu ekscytonu w wyniku tworzenia magneto-polaronu EMP w kropce wiąże się z inercją podukładu magnetycznego w DMS. W przypadku szybko (nieadiabatycznie) wzbudzonego w kropce ekscytonu nastę-puje z opóźnieniem hybrydyzacja jego spinu z modami fal spinowych. Stan gołego ekscytonu nie jest stanem stacjonarnym przy uwzględnieniu oddziaływania jego spinu z magnetycznego podukładu DMS. Formowanie EMP czyli stopniowe ubie-ranie spinowej struktury ekscytonu w chmurę fal spinowych zlokalizowanych w kropce towarzyszy transfer nadmiarowej spinowej energii wymiennej do krysz-tału na zewnątrz kropki przenoszony przez opuszczający kropkę pakiet falowy magnonów. Podobnie jak dla zwykłego polaronu, energia EMP jest niższa od energii gołego ekscytonu i dlatego EMP jest stabilną kwazicząstką.

Ważne jest zauważyć, że dla stanu niestacjonarnego energia jest nieokreślona, i ma tu tylko sens jako wartość średnia, dodatkowo w średnim dzielona pomiędzy oddziałującymi podukładami, czyli ekscytonem w kropce i magnonami w DMS. Widać stąd wyraźnie, że tworzenia polaronów, czyli defazowanie ekscytonu, nie może być interpretowane w terminach przejść kwantowych ujmowanych złotą regułą Fermiego, ale musi być traktowane jako ewolucja niestacjonarnego stanu dwóch układów splątanych kwantowo w nieseparowalny sposób.

rozmiar kropki

czasdefazowaniamagneto-polaronuwkropce[ps]

Rys. 6.2. Zależność czasu defazowania spinu ekscytonu w kropce kwantowej w otoczeniu

półmagnetycznego półprzewodnika (DMS) od rozmiaru kropki (paraboliczna), dla różnych koncentracji domieszek i dziur, za [28].

Prędkość grupowa magnonów, v_g = ^∂ω(k)_∂k (dla k ∼ 1/d, podobnie jak w przy-padku fononów z powodu efektu szyjki butelki dla kropek kwantowych) prowadzi do wyrażenia: τ ' ^d v_g ^{= d} ∂ ∂p −1 = ^~d 2Dk ' ^~d 2 2D,

Zatem czas ubierania w magnony (defazowania spinu w kropce) skaluje się jak d² i jest stosunkowo długi dla typowych nanostruktur (d ∼ 10 nm). Czas defazo-wania zależy od koncentracji domieszek magnetycznych i od koncentracji dziur w DMS za pośrednictwem D w wyrażeniu na prędkość grupową magnonów (6.13). Przykłady przedstawione są na rys.6.2(wg. opracowania [27]). Dla kropki w DMS typu Zn(Mn)Se/CdSe o rozmiarach ∼ 10nm i dla koncentracji domieszek magne-tycznych x = 0.25 i dziur x_p = 0.025 czas defazowania spinu obliczony według powyższej formuły osiąga eksperymentalnie zmierzoną wartość dla tego układu (Zn_0.75Mn_0.25Se/CdSe) [131, 132, 131], około 150 ps. Czas anihilacji ekscytonu w tym układzie jest rzędu 600 ps, co pozwala na uformowanie magneto-polaronu EMP w kropce przed jego anihilacją (czyli dekoherencją amplitudową).

Jak już wcześniej podkreślaliśmy, skala czasowa defazowania spinu w krop-ce kwantowej w wyniku ubierania go w chmurę fal spinowych z magnetycznego otoczenia ma istotne znaczenie dla oceny realności możliwych schematów kohe-rentnego sterowania spinem w kropkach i wykorzystania spinu dla QIP w nano-strukturach magnetycznych. Nanostruktury z wykorzystaniem DMS wydają się atrakcyjne dla zastosowań informatycznych, z uwagi na silne przyspieszenie ste-rowania spinem poprzez oscylacji Rabiego qubitu spinowego [16, 17], w wyniku gigantycznego wzrostu członu Pauliego (wzrostu efektywnego czynnika