∂p −1 = ~l 2βk ' ~l 2 2β,
ponieważ k ' 1/l (z powodu efektu szyjki butelki taki wektor falowy określa po-łożenie centrum pakietu fononów LO w przestrzeni pędów). W przypadku fono-nów optycznych LO czas defazowania skaluje się zatem kwadratowo z rozmiarem kropki i dla typowych struktur (w skali rozmiarów rzędu 10 nm) osiąga znacznie większe wartości niż w przypadku defazowania kanałem fononów LA (rys. 5.7).
5.3 Silny wzrost oddziaływania ładunkowych stopni
swo-body z fononami LO w nanostrukturach
Innym ważnym rezultatem zespołu z Politechniki Wrocławskiej, i związanym z dekoherencją ładunkowych stopni swobody w kropkach kwantowych wywołaną przez fonony, jest wzrost oddziaływania ładunkowych stopni swobody z fononami LO w nanostrukturach [27,29,80,28].
Ten silny efekt wiąże się z faktem, że oddziaływanie elektronu (lub ekscyto-nu) z fononami optycznymi jest przedmiotem pewnej niejednoznaczności wyboru, jaka część polaryzacji jest włączona do pola krystalicznego [77]. Poruszający się w krysztale elektron polaryzuje lokalnie kryształ, czyli wytwarza pakiet falowy fononów optycznych. Tę polaryzację można podzielić na dwie składowe: inercyj-ną, która jakby pozostaje w lokalnym miejscu polaryzacji i nieinercyjinercyj-ną, która towarzyszy poruszającemu się elektronowi.
Nieinercyjna część chmury polaryzacyjnej jest uwzględniona w definicji sa-mego elektronu, towarzyszy bowiem poruszającemu się elektronowi i może być włączona do pola krystalicznego definiującego stany kwantowe identyfikowane z elektronami. Z kolei inercyjna część polaryzacji pozostając zlokalizowana od-działuje z uciekającym elektronem i prowadzi do oddziaływania elektron-fonon LO. Widać zatem, że wielkość tego oddziaływania zależy istotnie od prędkości z jaką porusza się elektron — szybciej poruszający się elektron w mniejszym stopniu jest doganiany przez wywoływaną przez samego siebie chmurę polaryza-cyjną i wtedy część inercyjna polaryzacji — ta która odpowiada za oddziaływanie elektron-fonon LO — jest większa.
W celu ilościowego ujęcia tego efektu można przeprowadzić następującą aprok-symację. Oddziaływanie elektron-fonon LO wyraża się zwykle za pomocą bezwy-miarowej stałej materiałowej, stałej Fr¨ohlicha [77,78]:
αe= e2 ˜ r m∗ 2~3Ω, (5.25)
gdzie: ˜ = (1/∞− 1/0)−1; dla litego materiału GaAs bulk, 0 = 12.9, ∞= 10.9, m∗ = 0.067me i ~Ω = 36 meV, i wtedy αe= 0.07. Taka wartość stałej Fr¨ohlicha
5.3. SILNY WZROST ODDZIAŁYWANIA ŁADUNKOWYCH STOPNI SWOBODY
Z FONONAMI LO 75
Rys. 5.10. Wzrost piku satelickiego od fononów LO w intensywności spektralnej w
za-leżności od stałej Fr¨ohlicha dla różnych rozmiarów kropki (dla każdego z roz-miarów kropki, górna krzywa odpowiada zrenormalizowanej stałej Fr¨ohlicha, dolna — nie zrenormalizowanej) — stosunek intensywności piku satelickiego do intensywności piku centralnego wyraża współczynnik Huanga-Rhysa [79].
w materiale litym jest dobrze potwierdzona eksperymentalnie w GaAs bulk [97]. Dla elektronu zlokalizowanego w skali nanometrowej w kropce kwantowej (np. GaAs/InAs), sytuacja jest jednak odmienna. Obserwowany jest silny wzrost αe [82]. Z niedawnych pomiarów pochłaniania przez kropkę dalekiej podczerwie-ni zaobserwowano dwukrotny wzrost rozszczepiepodczerwie-nia (anti-crossing) polaronowego widma absorpcji podczerwieni w polu magnetycznym [82], co wskazuje na dwu-krotny wzrost stałej Fr¨ohlicha w kropce, αe ∼ 0.15 (dla kropki o rozmiarach ∼ 10−15nm). Dla mniejszych kropek zaobserwowano jeszcze większy wzrost efek-tywnej stałej αe [100,101] na podstawie pomiaru współczynnika Huanga-Rhysa [79] (ten współczynnik wyraża stosunek intensywności piku satelickiego (LO) do głównego piku fotoluminescencyjnego widma fotoluminescencji — wzrost piku satelickiego LO dobrze widoczny jest na rys. 5.10).
Zgodnie z opisaną wyżej ideą, nieinercyjna część polaryzacji lokalnej wywo-łanej przez elektron w sieci, która nadąża za jego ruchem, wliczona już jest do pola krystalicznego definiującego elektron. W związku z tym, inercyjna część lo-kalnej polaryzacji działająca na elektron sieciowy może być przedstawiona jako:
P(r) = P0(r) − P∞(r), gdzie
P0= 0− 1
4π0 D, P∞= ∞− 1 4π∞
D,
odpowiadają statycznej i wysoko-częstościowej polaryzacji (termin ’wysoko-częstościowy’ odnosi się tu do częstości dużo większych niż fononowe, ale mniejszych niż
czę-stości atomowe), D jest indukcją elektrostatyczną, P(r) = D/(4π˜), co prowadzi następnie [77,78] do formuły (5.25) na stałą Fr¨ohlicha.
Dla elektronu uwięzionego w kropce inercyjna część polaryzacji jest większa w porównaniu do sieciowego pasmowego elektronu. Dolna granica kwaziklasycznej
prędkości elektronu w kropce o rozmiarach d wynosi vd' ~/(m∗d) i jest większa od prędkości elektronów sieciowych (w pobliżu punktu Γ prędkość grupowa elek-tronów pasmowych jest niewielka, a w samym punkcie Γ jest ona zero, z przyczyn symetrii). Dlatego inercyjna część polaryzacji dla elektronu w kropce wzrasta, po-nieważ szybko poruszający się elektron w kropce ucieka skuteczniej przed chmurą polaryzacyjną niż elektron pasmowy. Jeśli rozmiar kropki d osiągnie skalę ato-mową a (a jest rozmiarem komórki elementarnej), wtedy dolna granica prędkości kwaziklasycznej elektronu osiąga również atomową skalę vd = va ' ~/(m∗a). W takim przypadku inercyjna lokalna polaryzacja wynosi P0. Wobec tego, jeśli przyjąć, że inercyjna część polaryzacji wrasta proporcjonalnie do wartości (dol-nej jej granicy) kwaziklasycz(dol-nej prędkości elektronu, od P0− P∞ dla sieciowych elektronów, aż do P0, dla elektronów związanych w atomach, można napisać dla tej polaryzacji: P0(r) = P0(r) − ηP∞(r), gdzie czynnik η (0 ¬ η ¬ 1) zależy od skali lokalizacji elektronu. Warunki graniczne oznaczają tu, że η = 1 kiedy d → ∞ i η = 0 kiedy d osiąga rozmiary atomów, d ' a. Zatem, w ramach linio-wej aproksymacji względem małego parametru a/d, otrzymujemy η = 1 − a/d i dla związanego w kropce elektronu, P0(r) = D/(4π ˜0), z efektywną stałą dielek-tryczną ˜0, 1 ˜ 0 = 1 − a/d ∞ − 1 0 +a d.
W ten sposób uzyskać można zrenormalizowaną stałą Fr¨ohlicha (5.25) z ˜ zamie-nioną przez ˜0.
W przypadku kropek kwantowych InAs/GaAs QD o promieniu rzędu 10 nm (czyli srednicy d ≈ 20 nm), zrenormalizowana stała Fr¨ohlicha wynosi ≈ 0.15 i okazuje się być w bardzo dobrej zgodności z danymi spektroskopii (FIR spectro-scopy) [82]. Wzrost oddziaływania elektron-fonon LO prowadzi do silnego wzrostu parametru Huanga–Rhysa [79], opisującego wzmocnienie intensywności satelic-kiego piku LO w widmie fotoluminescencji kropek (InAs/GaAs) [100, 101], jak zostało to przedstawione na rys. 5.10. Parametr Huanga–Rhysa skaluje się jak αe (dodatkowe korekty wynikają z różnicy stałej Fr¨ohlicha dla elektronu i dziu-ry tworzących ekscyton, z powodu różnej masy efektywne obu tych nośników). Dla kropek o średnicy ∼ 5 − 9 nm [101], odpowiednie αe ∼ 0.4 − 0.3, a dla kro-pek o średnicy ∼ 15 − 19 nm [100], αe ∼ 0.25 − 0.18. W pierwszym przypadku prowadzi to do czynnika 6 − 5, a w drugim 4 − 3 dla renormalizacji parametru Huanga-Rhysa, co dobrze odpowiada danym doświadczalnym (rys. 5.11) [27].
Na rys.5.10(wg [27]) przedstawiono także silną zależność rozmiarową piku sa-telickiego w intensywności spektralnej ekscytonu w kropce kwantowej wywołaną wyżej opisanym efektem.