A.4.1 Supergęste kodowanie kwantowe
Łatwo zauważyć, że z postaci stanów Bella (podanych równaniami (A.40) wynika, że wykonując tylko lokalne operacje na qubicie B można otrzymać wszystkie stany Bella z jednego, a mianowicie:
|1iB → |1iB, |2iB→ |2iB =⇒ |Ψ+i → |Ψ+i, |1iB → −|1iB, |2iB → |2iB =⇒ |Ψ+i → |Ψ−i, |1iB → |2iB, |2iB→ |1iB =⇒ |Ψ+i → |Φ+i, |1iB → −|2iB, |2iB → |1iB =⇒ |Ψ+i → |Φ−i.
(A.41)
Taka sytuacja oznacza podwojenie możliwości kodowania informacji w sto-sunku do klasycznej pary bitów: 00, 01, 10, 11. W przypadku pary klasycznych bitów, w celu otrzymania wszystkich czterech stanów pary bitów, konieczne były zmiany (kodowanie) obydwu bitów. Odnosi się to również do bazy przestrzeni, złożonej z niesplątanych stanów, tj. bazy: |1iA⊗ |1iB, |2iA⊗ |1iB, |1iA⊗ |2iB, |2iA ⊗ |2iB (w tym przypadku także należy kodować na obu qubitach). Jeśli jednak wykorzystać kwantowe splątanie i posłużyć się bazą (A.40), to kodowanie można przeprowadzić tylko na jednym z pary qubitów. Ten kwantowy efekt nazy-wany jest supergęstym kodowaniem i może być wykorzystynazy-wany do przetwarzania informacji kwantowej [28,18,19,20,21].
A.4. PROTOKOŁY KWANTOWE 169
A.4.2 Teleportacja kwantowa
Drugim ważnym przykładem prostego wykorzystania splątania kwantowego jest zjawisko teleportacji kwantowej [152,153]. Można opisać je w następujący spo-sób. Załóżmy, że mamy cząstkę A (qubit A) w stanie czystym: |φiA= a1|1iA+ a2|2iA, |a1|2+ |a1|2= 1, i chcemy przesłać (teleportować) ten stan na cząstkę C (qubit C), odległą od cząstki A. W tym celu można posłużyć się cząstką pomoc-niczą B (qubitem B), w taki sposób, że przygotowujemy parę cząstek CB w stanie splątanym. Może to być jeden z maksymalnie splątanych stanów Bella — np. stan |Ψ−iCB = √1
2(|1iC⊗ |2iB− |2iC⊗ |1iB). Realizację tego stanu splątanego moż-na przeprowadzić posługując się przyrządem pomiarowym realizującym pomiar na parze cząstek (w tym przypadku CB), tak zorganizowanym, że jego operator hermitowski ma przedstawienie spektralne w postaci operatorów rzutowania na cztery stany Bella qubitów C i B. Taki pomiar, czyli rzutowanie von Neumanna, na stany Bella (A.40), wiąże się z oddziaływaniem cząstek (qubitów) C i B, w wyniku którego powstaje kwantowe splątanie. Jednakże i w tym przypadku, po-dobnie jak w każdym pomiarze kwantowym, nie wiadomo z góry, który ze stanów Bella zostanie wybrany, ponieważ rzutowanie von Neumanna jest przypadkowe.
Załóżmy, że w wyniku pomiaru w bazie Bella na parze qubitów C i B powsta-nie w wyniku rzutowania von Neumanna stan |Ψ−iCB. Wtedy cały układ trzech qubitów ABC znajdzie się w stanie czystym,
|ΩiABC = |φiA⊗ |Ψ−iCB
= (a1|1iA+ a2|2iA) ⊗ (√1
2(|1iC⊗ |2iB− |2iC⊗ |1iB)) = 1/2|Ψ+iAB⊗ (−a1|1iC+ a2|2iC)
+ 1/2|Ψ−iAB⊗ (−a1|1iC− a2|2iC) + 1/2|Φ+iAB⊗ (a1|2iC − a2|1iC) + 1/2|Φ−iAB⊗ (a1|2iC + a2|1iC).
(A.42)
Równość powyższa jest tożsamościowym algebraicznym związkiem wynika-jącym z możliwości zapisu tego samego wektora w przestrzeni liniowej poprzez zamianę bazy w ośmiowymiarowej przestrzeni HA⊗ HB⊗ HC. W szczególno-ści, wektor |ΩiABC może być przedstawiony w bazie tej przestrzeni o postaci: |Ψ+iAB ⊗ |1iC, |Ψ−iAB ⊗ |1iC, |Φ+iAB ⊗ |1iC, |Φ−iAB⊗ |1iC, |Ψ+iAB ⊗ |2iC, |Ψ−iAB⊗ |2iC, |Φ+iAB⊗ |2iC, |Φ−iAB⊗ |2iC. Przy takim wyborze bazy współ-czynniki ai znajdą się jednak przy qubicie (cząstce C), chociaż początkowo były przy qubicie A. Znajdują się one przy qubicie C, ale w wielu rożnych kombina-cjach. Należy zauważyć, że jest to wynik możliwości zmiany bazy w przestrzeniach Hilberta wielo-cząstkowych (wielo-qubitowych) układów, przy wykorzystaniu sta-nów splątanych. Następnie można zbliżyć do siebie cząstki A i B i dokonać z kolei na tej parze pomiaru stanów Bella, tzn. wprowadzić ich oddziaływanie za pośred-nictwem takiego pomiaru. W wyniku tego pomiaru zostanie wybrany w sposób przypadkowy (niemożliwy do przewidzenia z góry) jeden z czterech stanów Bella
pary AB. Równocześnie jednak, zgodnie z (A.42) zostanie także wtedy wybrany stan czysty cząstki C, już tylko z jedną kombinacją nieznanych współczynników a1 i a2 (które zamierzaliśmy przeteleportować z qubitu A na qubit C).
W szczególności, na przykład gdy po rzutowaniu von Neumanna na stany Bel-la pary AB znajdzie się ona w stanie |Φ−iAB, cząstka C będzie wtedy z pewnością w stanie a1|2iC+ a2|1iC. Wystarczy wtedy na cząstce C (odległej) dokonać już tylko lokalnej zamiany stanów |1iC i |2iC, po to by otrzymać ten sam stan, jaki na początku miała cząstka A. Z góry nie wiadomo było jednak, który z wyników rzutowania na stany Bella się zrealizuje. Dla przykładu założyliśmy, że czwarty, ale rzutowanie von Neumanna jest przypadkowe i dopiero po jego zrealizowaniu wiadomo co należy zrobić lokalnie na qubicie C, żeby otrzymać pożądany stan, taki jakim był wejściowy stan na qubicie A.
Łatwo zauważyć, że w celu przeprowadzenia skutecznej teleportacji z A na C, konieczne jest przekazanie klasycznej informacji, który ze stanów Bella zre-alizował się w pomiarze von Neumanna na parze AB. Tę klasyczną informację należy przesłać do obserwatora przy qubicie C (Bob), za pomocą klasycznych ka-nałów łączności (informację tę może wysłać obserwator qubitu A, który dokonał pomiaru stanów Bella na parze AC — Alice).
Konieczność przesłania dodatkowej klasycznej informacji powoduje, że w cza-sie całego procesu występuje ograniczenie prędkości teleportacji kwantowej przez prędkość światła (w kanale klasycznym), chociaż kwantowa informacja znalazła się na cząstce B natychmiastowo, ale w nieczytelny dla Boba sposób. Fakt ten zwraca uwagę, że układ z informacją klasyczną oznacza zatem coś innego, niż układ bez tej informacji klasycznej,
Ważne jest też zauważenie, że pomiar dokonany przez Alice na parze AB po-woduje splątanie cząstek A i B, ale równocześnie rozplątanie cząstek C i B — po tym pomiarze cząstka C jest już w stanie czystym, chociaż nie wykonywano na niej pomiaru. Równocześnie jednak cząstka A splątuje się z B (i para AB nie ma już żadnej informacji o współczynnikach a1 i a2 — ta informacja znajduje się już w całości na qubicie C). W wyniku dokonania pomiaru, czyli w wyni-ku oddziaływania, można zatem odplątywać cząstki (qubity), działając tylko na jednym ze splątanych qubitów (w rozważanym przypadku działając na qubit B, można odplątać qubit C). Innym, istotnym aspektem w przedstawionym proto-kole jest zasada No-Cloning — stan czysty znika z cząstki A i pojawia się na cząstce C, nie ma wiec kopiowania stanu kwantowego, ale następuje jego prze-syłanie (teleportacja). Qubit C może być dowolnie oddalony od qubitu B, pod warunkiem utrzymania wyjściowego splątania BC, co oznacza, że teleportacja może być dokonywana na dowolne odległości (tzn. na takie, dla których można utrzymać splątanie).
Teleportacja kwantowa jest przykładem ważnego procesu odplątywania sta-nów kwantowych. Poprzez rzutowanie von Neumanna w bazie stasta-nów splątanych