Definicja 10.7 Niech hA, ≤i bedzie cz, e´,sciowym porzadkiem i niech a ∈ A. M´, owimy, ˙ze element a jest w zbiorze A:
najwiekszy,, gdy ∀x ∈ A (x ≤ a);
maksymalny, gdy ∀x ∈ A (a ≤ x → a = x);
najmniejszy, gdy ∀x ∈ A (a ≤ x);
minimalny, gdy ∀x ∈ A (x ≤ a → a = x).
Fakt 10.8 Je´sli a jest elementem najwiekszym (najmniejszym) w hA, ≤i, to jest te˙z ele-, mentem maksymalnym (minimalnym) i innych element´ow maksymalnych (minimalnych) nie ma.
Dow´od: Za l´o˙zmy, ˙ze a jest najwiekszy w A. Aby pokaza´, c, ˙ze jest maksymalny, przy-pu´s´cmy, ˙ze a ≤ x. Ale skoro a jest najwiekszy, to x ≤ a wi, ec a = x. Niech teraz b ∈ A, bedzie te˙z elementem maksymalnym. Skoro a jest najwi, ekszy, to b ≤ a wi, ec b = a bo b, jest maksymalny. A wiec a jest jedynym elementem maksymalnym w A.,
Przyk lad 10.9
• W zbiorze uporzadkowanym h N − {0, 1}, | i, gdzie | oznacza relacj, e podzielno´sci,, nie ma elementu najmniejszego ani ˙zadnych element´ow maksymalnych. Natomiast liczby pierwsze sa elementami minimalnymi.,
• W zbiorze Z liczb ca lkowitych, uporzadkowanym przez zwyk l, a relacj, e ≤, nie ma,
˙zadnych element´ow minimalnych ani maksymalnych.
• Rozpatrzmy cze´sciowy porz, adek hZ ∪ {ω}, i gdzie ω 6∈ Z, oraz, x y ⇔ [(x, y ∈ Z) ∧ (x ≤ y)] ∨ [x = y = ω]
Ten porzadek ma tylko jeden element minimalny ω, ale nie ma elementu najmniej-, szego.
Uwaga: Relacja odwrotna do relacji cze´sciowo porz, adkuj, acej r te˙z jest relacj, a cz, e´sciowo, porzadkuj, ac, a. Elementy minimalne ze wzgl, edu na r s, a elementami maksymalnymi ze, wzgledu na r, −1 i na odwr´ot. Podobny dualizm dotyczy element´ow najwiekszych i naj-mniejszych. Dlatego wszystkie fakty dotyczace element´, ow maksymalnych i najwiekszych, stosuja si, e te˙z odpowiednio do element´, ow minimalnych i najmniejszych.
Fakt 10.10
1) Ka˙zdy sko´nczony i niepusty cze´,sciowy porzadek ma element maksymalny.,
2) Je´sli hA, ≤i jest porzadkiem liniowym i a ∈ A jest jego elementem maksymalnym to, a jest elementem najwiekszym.
3) A zatem ka˙zdy sko´nczony i niepusty liniowy porzadek ma element najwiekszy., 4) Analogiczne fakty maja miejsce w odniesieniu do element´, ow najmniejszych i
mini-malnych.
Dow´od: (1) Przez indukcje ze wzgl, edu na n ≥ 0 poka˙zemy, ˙ze ka˙zdy cz, e´sciowy, porzadek mocy n ma element maksymalny. Je´sli zbi´, or ma tylko jeden element to ten element jest oczywi´scie maksymalny. Za l´o˙zmy wiec, ˙ze teza zachodzi dla zbior´, ow n-elementowych i niech hA, ≤i bedzie zbiorem cz, e´sciowo uporz, adkowanym o n + 1 elemen-, tach. Wtedy mo˙zemy przedstawi´c zbi´or A jako sume A = B ∪ {a}, gdzie B jest zbiorem, n-elementowym, a zatem z za lo˙zenia indukcyjnego ma element maksymalny b. Je´sli teraz b 6≤ a to b jest elementem maksymalnym w A. W przeciwnym razie elementem maksymal-nym jest a. Istotnie, przypu´s´cmy, ˙ze a ≤ c. Wtedy c = a (i dobrze) lub c ∈ B. W tym drugim przypadku latwo zauwa˙zy´c, ˙ze a = b = c, bo b jest maksymalny w B.
(2) Za l´o˙zmy, ˙ze hA, ≤i jest porzadkiem liniowym i a ∈ A jest maksymalny. Niech b ∈ A., Gdyby b 6≤ a to a ≤ b, wiec a = b z maksymalno´sci.,
(3) Oczywista konsekwencja (1) i (2).
(4) Nale˙zy zastosowa´c (1), (2) i (3) do porzadku odwrotnego.,
Definicja 10.11 Niech hA, ≤i bedzie porz, adkiem cz, e´sciowym i niech B ⊆ A i a ∈ A., M´owimy, ˙ze a jest ograniczeniem g´ornym zbioru B (oznaczenie a ≥ B), gdy b ≤ a dla wszystkich b ∈ B.
Element a jest kresem g´ornym zbioru B (oznaczenie a = sup B), gdy jest najmniejszym ograniczeniem g´ornym B, czyli:
• a ≥ B;
• je´sli c ≥ B to c ≥ a, dla dowolnego c ∈ A.
Analogicznie definiujemy ograniczenia dolne (oznaczenie a ≤ B) i kresy dolne (oznaczenie a = inf B).
Przyk lad 10.12
• W rodzinie wszystkich podzbior´ow zbioru A (uporzadkowanej przez inkluzj, e) kresem, g´ornym dowolnej podrodziny X ⊆ P(A) jest suma S X.
• W rodzinie wszystkich wypuk lych10 podzbior´ow p laszczyzny, ka˙zdy podzbi´or X ma kres g´orny. Kresem tym jest iloczyn wszystkich zbior´ow wypuk lych zawierajacych, wszystkie zbiory z X. Zwykle nie jest toS X, bo suma nie musi by´c wypuk la.
• W zbiorze liczb wymiernych Q ze zwyk lym uporzadkowaniem zbi´, or {q ∈ Q | q2 < 2}
ma ograniczenia g´orne ale nie ma kresu g´ornego.
• W zbiorze {a, b, c, d} uporzadkowanym jak na rysunku, podzbi´or {c, d} ma dwa ograniczenia g´orne, ale nie ma kresu g´ornego.
a b
c
OO @@
d
OO^^>>>
>>>
>>>
>>>>>>>
Nastepuj, acy fakt podamy na razie bez dowodu (zob. Wniosek 13.12).,
Twierdzenie 10.13 (Lemat Kuratowskiego-Zorna) Niech hA, ≤i bedzie zbiorem cz, e´, s-ciowo uporzadkowanym, spe lniaj, acym nast, epuj, acy warunek:,
(*) Ka˙zdy la´ncuch ma w A ograniczenie g´orne Wtedy w A istnieje element maksymalny.
Nastepuj, ace twierdzenie stanowi wa˙zny przyk lad zastosowania Lematu Kuratowskiego-, Zorna. Przypomnijmy, ˙ze podzbi´or A przestrzeni liniowej V jest niezale˙zny liniowo, je´sli z warunku k1v1 + · · · + knvn= 0, gdzie v1, . . . , vn∈ A, wynika k1 = · · · = kn= 0. Zbi´or A jest baza przestrzeni V , wtedy i tylko wtedy, gdy jest liniowo niezale˙zny, oraz ka˙zdy element, przestrzeni jest kombinacja liniow, a element´, ow zbioru A.
Twierdzenie 10.14 Ka˙zda przestrze´n liniowa ma baze.,
Dow´od: Nietrudno zauwa˙zy´c, ˙ze zbi´or A jest baza przestrzeni V wtedy i tylko wtedy, gdy, dodanie do zbioru A dowolnego nowego elementu powoduje utrate liniowej niezale˙zno´sci., A zatem baza to element maksymalny rodziny
10Zbi´or jest wypuk ly wtedy i tylko wtedy, gdy wraz z dowolnymi dwoma punktami zawiera odcinek lacz, acy te punkty.,
Z = {A ⊆ V | A jest liniowo niezale˙zny},
uporzadkowanej przez inkluzj, e. U˙zyjemy wi, ec Lematu Kuratowskiego-Zorna, aby wykaza´, c istnienie elementu maksymalnego zbioru Z. W tym celu wystarczy stwierdzi´c, ˙ze ka˙zdy la´ncuch jest w Z ograniczony z g´ory. Niech wiec L b, edzie la´, ncuchem w Z i niech B = S L.
Poka˙zemy, ˙ze zbi´or B jest liniowo niezale˙zny.
Istotnie, przypu´s´cmy, ˙ze k1v1+· · ·+knvn= 0, gdzie v1, . . . , vn ∈ B. Skoro wektory v1, . . . , vn nale˙za do sumy la´, ncucha L, to ka˙zdy z nich nale˙zy do pewnego sk ladnika. Stad wynika,,
˙ze v1 ∈ A1, . . . , vn ∈ An dla pewnych A1, . . . , An ∈ L. Rodzina zbior´ow {A1, . . . , An} jest sko´nczona i liniowo uporzadkowana przez inkluzj, e, ma wi, ec element najwi, ekszy na mocy, Faktu 10.10(3). To znaczy, ˙ze dla pewnego i mamy v1, . . . , vn ∈ Ai, a przecie˙z zbi´or Ai jest liniowo niezale˙zny. Stad kombinacja liniowa k, 1v1+ · · · + knvn= 0 musi byc trywialna:
k1 = · · · = kn= 0.
Poniewa˙z B jest liniowo niezale˙zny, wiec B ∈ Z, a przy tym oczywi´scie B zawiera wszystkie, elementy L, jest wiec ograniczeniem g´, ornym naszego la´ncucha w zbiorze Z. Spe lnione jest wiec za lo˙zenie Twierdzenia 10.13 i musi istnie´, c element maksymalny.