12 Izomorfizmy porz adk´ , ow

Czesto mamy do czynienia z dwoma zbiorami, kt´_, ore sa r´_, o˙zne, ale

”tak samo” uporzad-_, kowane. Takie porzadki nazywamy izomorficznymi._,

Definicja 12.1 M´owimy, ˙ze zbiory cze´sciowo uporz_, adkowane hA, ≤i i hB, ≤i s_, a izomor-_, ficzne, gdy istnieje bijekcja f : A−→¹⁻¹

na B spe lnajaca warunek_, a ≤ a⁰ ⇔ f (a) ≤ f (a⁰),

dla dowolnych a, a⁰ ∈ A. Piszemy wtedy hA, ≤i ≈ hB, ≤i (albo po prostu A ≈ B), a funkcje f nazywamy izomorfizmem._,

Je´sli dwa zbiory cze´sciowo uporz_, adkowane s_, a izomorficzne i jeden z nich_,

• ma element najmniejszy, najwiekszy, maksymalny, minimalny;_, ¹³

• jest liniowo uporzadkowany;_,

• jest cpo, jest krata zupe ln_, a;_,

• i tak dalej,

to ten drugi te˙z ma odpowiednia w lasno´s´_, c. Zamiast

”i tak dalej” mo˙zna wstawi´c dowolny warunek dotyczacy tylko relacji porz_, adkuj_, acej._,

Przyk lad 12.2

• Zbi´or wszystkich liczb naturalnych N jest izomorficzny¹⁴ z podzbiorem A = {1 − ¹_n | n ∈ N − {0}}

zbioru liczb rzeczywistych.

13Niepotrzebne skre´sli´c.

14Je´sli mowa o N, R itp., to domy´slnie zak ladamy, ˙ze chodzi o ”zwyk ly” porzadek, chyba ˙ze wyra´_, znie przyjeto inaczej._,

• ˙Zadne dwa spo´sr´od zbior´ow: A, A ∪ {1}, A ∪ {1, 2}, B = {m − ¹_n | m, n ∈ N − {0}}, nie sa izomorficzne. Na przyk lad A 6≈ A ∪ {1}, bo A nie ma elementu najwi_, ekszego._,

Mniej oczywisty jest nastepny fakt. M´owimy, ˙ze zbi´or liniowo uporzadkowany A jest g_, esty,_, gdy dla dowolnych a, b ∈ A, je´sli a < b to a < c < b dla pewnego c.

Twierdzenie 12.3

• Ka˙zdy przeliczalny zbi´or liniowo uporzadkowany jest izomorficzny z pewnym podzbio-_, rem zbioru Q wszystkich liczb wymiernych.

• Ka˙zdy przeliczalny zbi´or gesty bez ko´_, nc´ow (tj. bez elementu najwiekszego i najmniej-_, szego) jest izomorficzny z Q.

Dow´od: Za l´o˙zmy, ˙ze hA, ≤i jest przeliczalnym zbiorem liniowo uporzadkowanym. Bez_, straty og´olno´sci zak ladamy, ˙ze A jest niesko´nczony, tj. A = {a_n| n ∈ N}, gdzie wszystkie an

sa r´_, o˙zne. Podobnie, zbi´or liczb wymiernych przedstawimy w postaci Q = {qn | n ∈ N}, gdzie wszystkie q_n sa r´_, o˙zne.

Okre´slamy funkcje f : A_, −→ Q, definiuj¹⁻¹ ac f (a_{, n}) przez indukcje ze wzgl_, edu na n, w ten_, spos´ob, aby dla dowolnych i, j ≤ n zachodzi la r´ownowa˙zno´s´c:

ai < aj wtedy i tylko wtedy, gdy f (ai) < f (aj). (∗) Przypu´s´cmy wiec, ˙ze f (a_{, i}) sa ju˙z okre´slone dla i < n, i ˙ze za l´_, o˙zenie indukcyjne (∗) zachodzi dla i, j < n. Ustawmy w ciag rosn_, acy a_{, i1} < a_i1 < · · · < a_in elementy a₀, . . . , a_n−1. Wtedy liczby f (a_i1) < f (a_i1) < · · · < f (a_in) tak˙ze tworza ci_, ag rosn_, acy._,

Je´sli n = 0, to przyjmijmy X₀ = A i Y₀ = Q. Je´sli za´s n > 0, to niech

• X₀ = {a ∈ A | a < a_i1} oraz Y₀ = (−∞, f (a_i1)) ∩ Q;

• X_j = {a ∈ A | a_ij < a < a_ij+1} oraz Y_j = (f (a_ij), f (a_ij+1)) ∩ Q, dla j ∈ {1, . . . , n − 1};

• Xn = {a ∈ A | ain < a} oraz Yn = (f (ain), ∞) ∩ Q.

Element an, dla kt´orego chcemy okre´sli´c warto´s´c f (an), nale˙zy do jednego ze zbior´ow X₀, X₁, . . . , X_n, powiedzmy do X_{`</sub>. Nazwijmy go przedzia lem krytycznym dla n. Elementy zbioru Y<sub>`}nazwiemy za´s liczbami dozwolonymi dla n. Aby zachodzi l warunek (∗), wystarczy, aby f (an) by lo dozwolone dla n. Niech wiec f (a_, n) = qm, gdzie m = min{k ∈ N | q^k ∈ Y`}.

Za l´o˙zmy teraz, ˙ze A jest gesty i nie ma ko´_, nc´ow. Wtedy okre´slona wy˙zej funkcja f jest izomorfizmem porzadk´_, ow. Wystarczy w tym celu sprawdzi´c, ˙ze f jest surjekcja._,

Przypu´s´cmy wiec, ˙ze tak nie jest i niech m = min{k | q_{, k} 6∈ Rg(f )}. Liczby q_j dla j < m, dziela zbi´_, or Q na m + 1 przedzia l´ow, a do jednego z nich nale˙zy qm. Przypu´s´cmy, ˙ze jest to przedzia l (q_l, q_r). (W przypadku, gdy jest to przedzia l niew la´sciwy, dow´od jest podobny.) Mamy wiec l, r < m oraz q_{, j} 6∈ (q_l, q_r) dla j < m. Ponadto q_l, q_r ∈ Rg(f ), czyli q_l = f (a_p) i q_r = f (a_s) dla pewnych p, s. Niech d = min{k | a_p < a_k < a_s} i niech f (a_d) = q_x. Poniewa˙z funkcja f zachowuje porzadek i jest injekcj_, a, wi_, ec na pewno q_{, x} ∈ (q_l, q_r), skad_, mamy x > m.

Przedzia l krytyczny dla d jest wyznaczony przez jedna lub dwie spo´sr´_, od liczb a₀, a₁, . . . , a_d−1, z kt´orych ˙zadna nie nale˙zy do zbioru C = {a ∈ A | ap < a < as}. Zatem zbi´or C jest zawarty w przedziale krytycznym, a wszystkie liczby z przedzia lu (q_l, q_r), w tym q_m, sa_, dozwolone dla d. Tu otrzymujemy sprzeczno´s´c, bo liczba dozwolon_, a dla d o najmniejszym_, numerze jest qx, a przecie˙z x > m.

Definicja 12.4 Niech hA, ≤i bedzie zbiorem cz_, e´sciowo uporz_, adkowanym. Je´sli ka˙zdy nie-_, pusty podzbi´or zbioru A ma element minimalny, to m´owimy, ˙ze hA, ≤i jest cze´_,sciowym dobrym porzadkiem, lub, ˙ze jest dobrze ufundowany. Je´sli ponadto porz_, adek hA, ≤i jest_, liniowy, to m´owimy, ˙ze jest to dobry porzadek. (Wtedy ka˙zdy niepusty podzbi´_, or A ma element najmniejszy.)

Przyk lad 12.5

• Wszystkie zbiory z Przyk ladu 12.2 sa dobrze uporz_, adkowane._,

• Zbiory Z, Q, R nie sa dobrze uporz_, adkowane._,

• Relacja ⊆ jest dobrym ufundowaniem zbioru A^∗.

• Je´sli w A sa dwa elementy a, b, takie ˙ze a < b to porz_, adek leksykograficzny ,_, wyznaczony przez ≤, nie jest dobrym ufundowaniem zbioru A^∗. (Zbi´or {aⁿb | n ∈ N}

nie ma elementu minimalnego.)

Fakt 12.6 Zbi´or hA, ≤i jest dobrze ufundowany wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje w nim ciag malej_, acy, tj. taki podzbi´_, or {a_i | i ∈ N}, ˙ze ai+1< a_i dla dowolnego i.

Dow´od: (⇒) Gdyby taki istnia l, to by nie mia l elementu minimalnego.

(⇐) We´zmy niepusty podzbi´or B ⊆ A i przypu´s´cmy, ˙ze B nie ma elementu minimalnego.

Skoro B jest niepusty to ma jaki´s element b0. On oczywi´scie nie jest minimalny, wiec_, jest takie b₁ ∈ B, ˙ze b₁ < b₀. I tak dalej: przez indukcje_,¹⁵ okre´slamy ciag malej_, acy_, b₀ > b₁ > b₂ > · · ·

15Owszem, ta konstrukcja wymaga pewnika wyboru. I co z tego?

Drzewa

Definicja 12.7 Podzbi´or B zbioru cze´sciowo uporz_, adkowanego A nazywamy odcinkiem_, poczatkowym w A, gdy_,

∀x, y ∈ A (x ∈ B ∧ y ≤ x → y ∈ B).

Szczeg´olny przypadek odcinka poczatkowego to odcinek wyznaczony przez element x ∈ A:_, O_A(x) = {y ∈ A | y < x}.

Uwaga: nier´owno´s´c w definicji OA(x) jest ostra, tj. x 6∈ OA(x). Je´sli wiadomo o jaki zbi´or chodzi, to zamiast O_A(x) piszemy po prostu O(x).

Definicja 12.8 Je´sli w zbiorze cze´sciowo uporz_, adkowanym mamy a < b, ale dla ˙zadnego c_, nie zachodzi a < c < b, to m´owimy, ˙ze a jest bezpo´srednim poprzednikiem b, i ˙ze b jest bezpo´srednim nastepnikiem a.

Definicja 12.9 Zbi´or cze´sciowo uporz_, adkowany hT, ≤i nazywamy drzewem, gdy spe lnia_, on nastepuj_, ace warunki:_,

1) Istnieje element najmniejszy.

2) Ka˙zdy odcinek postaci O_T(x) jest sko´nczonym¹⁶ la´ncuchem.

Niech A bedzie dowolnym alfabetem (niekoniecznie sko´_, nczonym). Niepusty podzbi´or T zbioru A^∗nazywamy drzewem s l´ow (nad A), gdy jest on odcinkiem poczatkowym w hA_, ^∗, ⊆i, czyli gdy spe lniony jest warunek

∀w, u ∈ A^∗(w · u ∈ T → w ∈ T ).

Na przyk lad nastepuj_, acy zbi´_, or jest drzewem s l´ow nad alfabetem {a, b}:

{ε, a, b, aa, ab, ba, bb, aaa, aab, abb, bab, bba, bbb, aaba, aabb, baba, bbab}.

Przedstawiamy go tak jak na Rysunku 3.¹⁷

Twierdzenie 12.10 Ka˙zde drzewo jest izomorficzne z pewnym drzewem s l´ow.

16Czasami drzewem nazywa sie ka˙zdy porz_, adek, kt´_, ory ma element najmniejszy i w kt´orym wszystkie zbiory O(x) sa dobrze uporz_, adkowane (ale niekoniecznie sko´_, nczone).

17Jak wiadomo, drzewa rosna zwykle z g´_, ory na d´o l.

• bezpo´srednich nastepnik´ow a. We´zmy dowolny zbi´or A spe lniajacy warunek A ≥ S_{, a}, dla dowolnego a ∈ T . Istnieja wtedy funkcje ξ_, a: Sa

−→ A.1−1

Poniewa˙z T spe lnia warunki (1) i (2), wiec T =_, S{T_n | n ∈ N}, gdzie T_n= {a ∈ T | O(a) ≤ n}.

Przy tym T₀ = {⊥}, gdzie a₀ jest najmniejszym elementem T . Okre´slimy przez indukcje_, wstepuj_, acy ci_, ag funkcji f_, n : Tn

−→ A1−1 ^∗, w ten spos´ob aby dla dowolnych a, b ∈ Tn za-chowany by l warunek

a ≤ b ⇔ f_n(a) ≤ f_n(b),

oraz by obraz Rg(f_n) by l drzewem s l´ow. Szukanym izomorfizmem bedzie wtedy oczywi´scie_, f =S{f_n | n ∈ N}.

Zaczynamy od f₀(⊥) = ε. Je´sli funkcja f_n jest ju˙z okre´slona, to przyjmujemy f_n+1(b) = f_n(b), je´sli b ∈ T_n;

fn(a) · ξa(b), je´sli b ∈ Tn+1− Tn i a jest bezpo´srednim poprzednikiem b.

Uwaga: Konstrukcje powy˙zej mo˙zna uwa˙za´_, c za definicje indukcyjn_, a_,

f (⊥) = ε, f (b) = f (a) · ξ_a(b), gdy b ma bezpo´sredni poprzednik a.

Definicja 12.11

1. Ga lezi_, a w drzewie T nazywamy dowolny ci_, ag postaci ε = a_{, 0}, a₁, a₂, . . . (sko´nczony lub niesko´nczony) gdzie ka˙zde a_i+1 jest bezpo´srednim nastepnikiem a_i.

2. M´owimy, ˙ze T jest drzewem o sko´nczonym rozga lezieniu, je´sli ka˙zdy element T ma_, sko´nczenie wiele bezpo´srednich nastepnik´ow.

Twierdzenie 12.12 (Lemat K¨oniga) Je´sli T jest niesko´nczonym drzewem o sko´nczonym rozga lezieniu to w T jest ga l_, a´_,z niesko´nczona.

Dow´od: Dla a ∈ T niech Ta = {b ∈ T | a ≤ b}. Przez indukcje konstruujemy niesko´_, n-czona ga l_, a´_,z ε = a₀, a₁, a₂, . . . w ten spos´ob, aby dla ka˙zdego i zbi´or T_ai by l niesko´nczony.

Krok bazowy jest poprawny, bo T_ε = T . Je´sli teraz T_an jest zbiorem niesko´nczonym, oraz an ma tylko sko´nczenie wiele bezpo´srednich nastepnik´ow b1, . . . , bk, to zauwa˙zmy, ˙ze T_an = {a_n} ∪ T_b1 ∪ · · · ∪ T_bk, wiec kt´_, ory´s ze zbior´ow T_bj, . . . , T_bk musi by´c niesko´nczony, powiedzmy T_bj. Jako a_n+1 mo˙zemy wiec przyj_, a´_,c b_j.

Lemat K¨oniga ma rozmaite zastosowania. Czesto u˙zywamy go, aby pokaza´_, c, ˙ze pewne obliczenia musza si_, e zako´_, nczy´c w ograniczonym czasie. Sp´ojrzmy na dwa przyk lady.

Definicja 12.13 Relacja → w zbiorze A ma w lasno´s´c silnej normalizacji (SN) wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje niesko´nczony ciag postaci a_{, 0} → a₁ → a₂ → · · ·

Fakt 12.14 Za l´o˙zmy, ˙ze relacja → w zbiorze A ma w lasno´s´c SN oraz dla dowolnego a ∈ A, zbi´or S_a = {b ∈ A | a → b} jest sko´nczony. W´owczas dla dowolnego a ∈ A istnieje taka liczba n, ˙ze ka˙zdy ciag postaci a = a_{, 0} → a₁ → a₂ → · · · → a_k spe lnia warunek k ≤ n.

Dow´od: Ustalmy a ∈ A i niech T ⊆ A^∗ bedzie zbiorem wszystkich s l´_, ow postaci a₀a₁. . . a_k, gdzie a₀ = a oraz a_i → a_i+1 dla i < k. Zbi´or T z porzadkiem prefiksowym_, jest drzewem o sko´nczonym rozga lezieniu, a zatem teza wynika z lematu K¨_, oniga.

Nastepny przyk lad dotyczy problemu znanego stad, ˙ze jego algorytmiczne rozwi_, azanie jest_, w og´olnym przypadku niemo˙zliwe. Przypu´s´cmy, ˙ze dany jest sko´nczony zbi´or K (doz-wolonych rodzaj´ow kafelk´ow). Na zbiorze K mamy okre´slone relacje zgodno´sci poziomej r i pionowej s. Je´sli M ⊆ Z×Z, to m´owimy, ˙ze funkcja f : M → K jest pokryciem zbioru M , gdy zachodza warunki_,

hf (x, y), f (x + 1, y)i ∈ r hf (x, y), f (x, y + 1)i ∈ s

dla wszystkich x, y dla kt´orych odpowiednie punkty le˙za w zbiorze M . M´_, owiac o pokryciu_, zbioru M ⊆ R × R mamy na my´sli pokrycie dla M ∩ (Z × Z).

Fakt 12.15 Je´sli istnieje pokrycie dowolnie wielkiego kwadratu to istnieje pokrycie ca lej p laszczyzny.

Dow´od: Niech W_n = {p ∈ Z | − n < p < n}, gdzie n ∈ N i niech T = {f | f jest pokryciem W_n² dla pewnego n ∈ N}.

Zbi´or T uporzadkowany przez inkluzj_, e jest drzewem o sko´_, nczonym rozga lezieniu. Istot-_, nie, ka˙zde pokrycie kwadratu W_n o boku 2n − 1 ma co najwy˙zej (K)⁸ⁿ rozszerze´n do pokrycia kwadratu W_n+1. Drzewo T jest niesko´nczone, bo istnieja pokrycia dowolnie wiel-_, kich kwadrat´ow, a zatem ma niesko´nczona ga l_, a´_,z ∅ ⊆ f1 ⊆ f2 ⊆ f3 ⊆ . . ., gdzie ka˙zde fn

jest pokryciem W_n². Suma wszystkich funkcji f_n stanowi pokrycie ca lej p laszczyzny.

Indukcja

Zasada indukcji, kt´ora znamy dla liczb naturalnych, uog´_, olnia sie latwo na dowolne zbiory_, dobrze ufundowane. Te uog´_, olniona zasad_, e indukcji nazywamy czasem indukcj_, a strukturaln_, a_, lub noetherowska._,

Fakt 12.16 (Zasada indukcji) Niech hA, ≤i bedzie dobrze ufundowany i niech P ⊆ A._, Za l´o˙zmy, ˙ze dla dowolnego a ∈ A zachodzi implikacja:

O_A(a) ⊆ P ⇒ a ∈ P . Wtedy P = A.

Dow´od: Przypu´s´cmy, ˙ze P 6= A. Zbi´or A − P jest wtedy niepusty i ma element minimalny a. Z minimalno´sci mamy jednak O_A(a) ⊆ P , wiec a ∈ P ._,

Nastepujaca definicja jest nam potrzebna do podania przyk ladu zastosowania indukcji_, noetherowskiej.

Definicja 12.17 Niech → bedzie relacj_, a binarn_, a w zbiorze A. Wtedy przez →_, → oznaczamy najmniejsza relacj_, e zwrotn_, a i przechodni_, a zawieraj_, ac_, a → (domkni_, ecie przechodnie sumy_, relacji → i relacji identyczno´sciowej). Symbol ← (odp. ←←) oznacza oczywi´scie relacje_, odwrotna do → (odp. →_, →). Piszemy a ↓ b gdy istnieje takie c, ˙ze a →→ c ←← b. M´owimy,

˙ze → ma w lasno´s´c Churcha-Rossera (CR), gdy dla dowolnych a, b, c ∈ A

je´sli b ←← a →→ c to b ↓ c.

Relacja → ma s laba w lasno´_, s´c Churcha-Rossera (WCR), gdy dla dowolnych a, b, c ∈ A:

je´sli b ← a → c to b ↓ c.

Zauwa˙zmy, ˙ze w lasno´s´c CR nie wynika z WCR. Najprostszy przyk lad jest chyba taki:

• ←− • ←→ • −→ •

Fakt 12.18 (Lemat Newmana) Relacja o w lasno´sciach WCR i SN ma te˙z w lasno´s´c CR.

Dow´od: Za l´o˙zmy, ˙ze relacja → w zbiorze A ma w lasno´sci WCR i SN. Na poczatek za-_, uwa˙zmy, ˙ze relacja ←← jest dobrze ufundowanym cze´sciowym porz_, adkiem. Istotnie, zwrot-_, no´s´c i przechodnio´s´c wynikaja z samej definicji, a antysymetria z silnej normalizacji. A za-_, tem zbi´or hA, ←←i jest dobrze ufundowany i mo˙zemy zastosowa´c indukcje ze wzgl_, edu na_, porzadek ←_, ←. Udowodnimy, ˙ze ka˙zdy element a ma w lasno´s´c:

”Dla dowolnych b, c, je´sli b ←← a →→ c, to b ↓ c.”