Fakt 7.1 Je´sli n ∈ N to nie istnieje funkcja f : N −→ n. W szczeg´1−1 olno´sci zbi´or liczb naturalnych N jest niesko´nczony.
Dow´od: Gdyby taka funkcja istnia la, to f |s(n) : s(n)−→ n, a to by´c nie mo˙ze z powodu1−1 Lematu 6.6(1).
Definicja 7.2 Liczbe kardynaln, a zbioru N oznaczamy symbolem ℵ, 0 (
”alef zero”). M´owimy,
˙ze zbi´or A jest przeliczalny wtedy i tylko wtedy, gdy jest sko´nczony lub jest zbiorem mocy ℵ0. W przeciwnym razie zbi´or A jest nieprzeliczalny.
Moc ℵ0 jest najmniejsza moc, a niesko´, nczona, w nast, epuj, acym sensie:,
Twierdzenie 7.3 Zbi´or A jest niesko´nczony wtedy i tylko wtedy, gdy ma podzbi´or mocy ℵ0. Dow´od: (⇒) Niech ϑ bedzie funkcj, a wyboru dla rodziny P(A) − {∅}. Okre´slimy funkcj, e, f : N → A, za pomoca takiej definicji indukcyjnej:,
f (n) = ϑ(A−
→
f (n)) (*)
Poprawno´s´c tej definicji nie jest oczywista i wymaga takiej obserwacji: Skoro n jest zbiorem sko´nczonym, to
→
f (n) te˙z jest sko´nczone (na mocy Faktu 6.8(3)) a zatem zbi´or A−
→
f (n) jest niepusty (na mocy Faktu 6.8(2)) i dlatego prawa strona r´ownania ma sens. Istnie-nie dok ladIstnie-nie jednej funkcji spe lniajacej r´, ownanie (*) mo˙zna teraz udowodni´c metodami podobnymi do u˙zytych w dowodzie Twierdzenia 5.11.
Zauwa˙zmy, ˙ze funkcja f jest r´o˙znowarto´sciowa. W rzeczy samej, je´sli m 6= n, to na przyk lad m ∈ n. Wtedy f (m) ∈
→
f (n), a wiec warto´s´, c f (n), wybierana z dope lnienia zbioru
→
f (n), musi by´c r´o˙zna od f (m). Zatem f : N −→1−1
na Rg(f ). Zbi´or Rg(f ) ma wiec moc ℵ, 0 i jest podzbiorem A.
6Uwaga dla dociekliwych: Konstrukcja liczb kardynalnych wymaga dodatkowego (schematu) aksjomatu, zwanego aksjomatem zastepowania.,
(⇐) Je˙zeli N ∼ B ⊆ A i A = n ∈ N, to istnieja funkcje f : N, −→1−1
na B i g : A−→1−1
na n. Stad, g ◦ f : N−→ n, co jest sprzeczne z Faktem 7.1.1−1
Wniosek 7.4 Zbi´or jest niesko´nczony wtedy i tylko wtedy, gdy jest r´ownoliczny z pewnym swoim podzbiorem w la´sciwym.
Dow´od: (⇐) Ta cze´s´, c wynika wprost z Twierdzenia 6.7.
(⇒) Skorzystamy z poprzedniego twierdzenia. Je´sli zbi´or A jest niesko´nczony to ma podzbi´or B o mocy ℵ0. Mamy wiec funkcj, e f : N, −→1−1
na B i mo˙zemy okre´sli´c g : A → A warunkiem
g(x) = f (f−1(x) + 1), je´sli x ∈ B;
x, w przeciwnym przypadku.
Latwo zauwa˙zy´c, ˙ze funkcja g jest r´o˙znowarto´sciowa. Ale ta funkcja nie jest na A bo element f (0) nie nale˙zy do Rg(g). Zatem A ∼ Rg(g) A.
Dla B ⊆ N, przez min B oznaczymy najmniejszy element zbioru B. Taki element zawsze istnieje, je´sli tylko B jest niepusty. (Twierdzenie 5.18.)
Fakt 7.5 Ka˙zdy podzbi´or zbioru przeliczalnego jest przeliczalny.
Dow´od: Niech C bedzie podzbiorem zbioru przeliczalnego B. Je´sli C jest sko´, nczony, to dobrze, wiec niech C b, edzie niesko´, nczony. Wtedy zbi´or B te˙z musi by´c niesko´nczony, a skoro B jest przeliczalny, to mamy funkcje g : B, −→1−1
na N. Zbi´or C jest wiec r´, ownoliczny z podzbiorem →g (C) zbioru N. A zatem wystarczy udowodni´c, ˙ze ka˙zdy niesko´nczony podzbi´or zbioru N jest przeliczalny.
Niech A bedzie takim podzbiorem. Definiujemy przez indukcj, e funkcj, e f : N → A:, f (n) = min(A−
→
f (n)) (*)
Ta definicja jest poprawna, a funkcja f jest r´o˙znowarto´sciowa, z powod´ow podobnych do omawianych w dowodzie Twierdzenia 7.3. Pozostaje stwierdzi´c, ˙ze f jest na A. Przy-pu´s´cmy, ˙ze nie, tj. ˙ze istnieje jakie´s m ∈ A − Rg(f ). Wtedy dla dowolnego n mamy jednocze´snie m ∈ A−
→
f (n) i m 6= f (n), a wiec m > f (n). St, ad Rg(f ) ⊆ m czyli Rg(f ), jest zbiorem sko´nczonym. To niemo˙zliwe, bo f jest r´o˙znowarto´sciowa, wiec Rg(f ) ∼ N., Nastepuj, acy fakt uzasadnia nazw, e,
”zbi´or przeliczalny”. Zbi´or jest przeliczalny, gdy jego elementy mo˙zna przelicza´c (niekoniecznie przeliczy´c), tj. ustawi´c je w ciag niesko´, nczony.
Wniosek 7.6 Niepusty zbi´or A jest przeliczalny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje surjekcja f : N−→ A.na
Dow´od: (⇒) Je´sli A = ℵ0 to taka funkcja istnieje z definicji i nawet jest r´ o˙znowarto´s-ciowa. Je´sli A = n ∈ N, to n 6= 0 i mamy funkcje g : n, −→1−1
na A, kt´ora mo˙zna poprawi´, c tak:
h(m) = g(m), je´sli m ∈ n;
g(0), w przeciwnym przypadku.
(⇐) Niech f : N −→ A. Wtedy funkcja g : Ana −→ N mo˙ze by´c okre´slona tak: g(a) =1−1 min{i ∈ N | f (i) = a}. Zbi´or A jest wiec r´, ownoliczny z podzbiorem Rg(g) zbioru N, a zatem przeliczalny.
Lemat 7.7 Je´sli zbi´or A jest przeliczalny i f : A−→ B, to B jest przeliczalny.na
Dow´od: Na mocy Wniosku 7.6 istnieje surjekcja g : N−→ A. Wtedy f ◦ g : Nna −→ B,na wiec na mocy tego samego wniosku zbi´, or B jest przeliczalny.
Fakt 7.8 Je´sli zbiory A i B sa przeliczalne to A ∪ B i A × B te˙z s, a przeliczalne.,
Dow´od: Je´sli kt´ory´s ze zbior´ow A i B jest pusty to teza jest oczywista. Za l´o˙zmy wiec,,
˙ze A i B sa niepuste. Na mocy Wniosku 7.6 istniej, a wi, ec funkcje f : N, −→ A i g : Nna −→ B.na Mo˙zemy teraz okre´sli´c funkcje ϕ : N, −→ A ∪ B wzoremna
ϕ(n) = f (k), je´sli n = 2k, dla pewnego k;
g(k), je´sli n = 2k + 1, dla pewnego k
A zatem A ∪ B jest zbiorem przeliczalnym, co te˙z wynika z Wniosku 7.6. Aby okre´sli´c funkcje ψ : N, −→ A × B, skorzystamy z jednoznaczno´sci rozk ladu liczb naturalnych nana czynniki pierwsze.7 Ka˙zda liczb, e n 6= 0 mo˙zemy jednoznacznie zapisa´, c w postaci
n = 2i3jq,
gdzie q nie jest podzielne ani przez 2 ani przez 3. Przyjmujemy ψ(n) = hf (0), g(0)i, je´sli n = 0;
hf (i), g(j)i, je´sli n = 2i3jq oraz q nie dzieli sie przez 2 ani 3, Funkcja ψ jest
”na”, bo dla dowolnych a ∈ A, b ∈ B istnieja takie liczby i, j, ˙ze f (i) = a, i f (j) = b. A wiec ha, bi = ψ(2, j3j).
7Przedmiotem tego wyk ladu jest teoria mnogo´sci. Dlatego interesuje nas to, jak mo˙zna na gruncie tej teorii zdefiniowa´c liczby naturalne. Ale w lasno´sci arytmetyczne liczb naturalnych, kt´ore wynikaja, z aksjomat´ow Peano (takie jak przywo lana tu jednoznaczno´s´c rozk ladu), ju˙z przecie˙z znamy.
Przyk lad 7.9 Funkcja t : N×N → N dana wzorem f (n, m) = 2n3mjest r´o˙znowarto´sciowa.
Natomiast nastepuj, ace funkcje u, v : N × N → N s, a nawet bijekcjami., 8 u(m, n) = 2m(2n + 1) − 1
v(m, n) = (m + n)(m + n + 1)
2 + m
Sprawdzenie, ˙ze tak jest w istocie, pozostawiamy jako ´cwiczenie. Wskaz´owka: pierwszy sk ladnik w definicji v(m, n) przedstawia sume liczb naturalnych od zera do m + n.,
Przyk lady zbior´ow przeliczalnych
• Zbi´or N × N jest przeliczalny.
• Zbi´or Z wszystkich liczb ca lkowitych jest przeliczalny. Skoro bowiem Z = (N × N)/∼ to mamy funkcje κ : N×N, −→ Z okre´slonna a warunkiem κ(m, n) = [hm, ni], ∼. (M´owiac, po ludzku, chodzi o funkcje κ(m, n) = m − n. Ka˙zda liczba ca lkowita jest r´, o˙znica, dw´och liczb naturalnych.)
• Zbi´or Q wszystkich liczb wymiernych definiujemy podobnie jak zbi´or Z. Rozwa˙zamy relacje r´, ownowa˙zno´sci ≈ w zbiorze par Z × (Z − {0}), dana warunkiem,
hx, yi ≈ hu, vi wtedy i tylko wtedy, gdy x · v = u · y,
i przyjmujemy Q = (Z × (Z − {0}))/≈. Po sprawdzeniu, ˙ze warunki hx, yi ≈ hx0, y0i i hu, vi ≈ hu0, v0i implikuja,
hxv + yu, yvi ≈ hx0v0+ y0u0, y0v0i oraz hxu, yvi ≈ hx0u0, y0v0i, mo˙zemy zdefiniowa´c operacje na liczbach wymiernych:
[hx, yi]≈+ [hu, vi]≈= [hxv + yu, yvi]≈ [hx, yi]≈· [hu, vi]≈ = [hxu, yvi]≈
Liczby ca lkowite interpretujemy jako liczby wymierne za pomoca w lo˙zenia, j(z) = [hz, 1i]≈.
Oczywi´scie zamiast [hx, yi]≈ piszemy odtad, xy. Poniewa˙z κ : Z × (Z − {0}))−→ Q,na gdzie κ(x, y) = xy, wiec zbi´, or wszystkich liczb wymiernych jest przeliczalny.
• A wiec przeliczalny jest te˙z np. zbi´, or wszystkich punkt´ow p laszczyzny o wsp´o lrzed-, nych wymiernych. Uto˙zsamiamy go przecie˙z ze zbiorem Q × Q.
Twierdzenie 7.10 Suma przeliczalnej rodziny zbior´ow przeliczalnych jest przeliczalna.
8Czasami o bijekcji z N × N na N m´owimy funkcja pary. Taka funkcja pozwala na zakodowanie dw´och liczb naturalnych za pomoca jednej.,
Dow´od: Niech A bedzie przeliczaln, a rodzin, a zbior´, ow przeliczalnych. Bez straty og´ ol-no´sci mo˙zemy za lo˙zy´c, ˙ze:
• A 6= ∅, bo inaczej S A = ∅, czyli teza jest oczywista;
• ∅ 6∈ A, bo S A = S(A − {∅}), wiec zamiast A mo˙zemy wzi, a´,c A − {∅}.
A wiec, na mocy Wniosku 7.6 mamy funkcj, e:, F : N−→ A,na
a poniewa˙z elementy A sa te˙z przeliczalne, wi, ec dla dowolnego m ∈ N jest te˙z funkcja, fm : N−→ F (m).na
Wtedy G : N × N−→na S A, gdzie G(m, n) = fm(n). Sprawd´zmy, ˙ze funkcja G jest faktycz-nie ”na”. Poniewa˙z F jest
”na”, wiec ka˙zdy element a ∈, S A nale˙zy do pewnego F (m).
Zatem a jest postaci fm(n), bo fm te˙z jest
”na”. Wnioskujemy, ˙ze S A jest zbiorem przeliczalnym, jako obraz zbioru przeliczalnego (Lemat 7.7).
Uwaga: * Cho´c nie wida´c tego na pierwszy rzut oka, dow´od powy˙zszego twierdzenia w istotny spos´ob opiera sie na pewniku wyboru. Przypisujemy bowiem ka˙zdej liczbie m pewn, a funkcj, e f, m : N−→ F (m),na a wiec implicite stosujemy funkcj, e wyboru dla rodziny A. ´, Sci´slej, powo lujemy sie tu na Twierdzenie 3.13, o niepusto´sci produktu zbior´ow niepustych.
Definicja 7.11 S lowo nad alfabetem A to dowolny sko´nczony ciag element´, ow zbioru A.
Dok ladniej, jest to dowolna funkcja w : n → A, gdzie n jest pewna liczb, a naturaln, a. Liczb, e, te nazywamy d lugo´, scia s lowa w, i zapisujemy to tak: n = |w|. A wi, ec s lowo baba to funkcja, w : 4 → {a, b}, spe lniajaca warunki,
w(i) = b, je´sli i jest parzyste;
a, je´sli i jest nieparzyste
Zbi´or wszystkich s l´ow n-literowych nad A (s l´ow nad A o d lugo´sci n) pokrywa sie wi, ec ze, zbiorem Anwszystkich funkcji z n do A. Zbi´or wszystkich s l´ow nad A oznaczamy przez A∗. Szczeg´olnym s lowem jest jedyne s lowo o d lugo´sci 0. Jest to s lowo puste, czyli funkcja pusta.
Oznaczamy je przez ε.
Fakt 7.12 Je´sli alfabet A jest przeliczalny to zbi´or wszystkich s l´ow A∗ te˙z jest przeliczalny.
Dow´od: Nietrudno pokaza´c przez indukcje, ˙ze ka˙zdy ze zbior´, ow An jest przeliczalny.
Istotnie, zbi´or A0 = {ε} jest jednoelementowy, a krok indukcyjny wynika z latwej r´ owno-liczno´sci An+1 ∼ An× A. Skoro A∗ jest suma wszystkich A, n, dla n ∈ N, to teza wynika z Twierdzenia 7.10.