Etapy stosowania metody reprezentacyjnej

1. Należy sprecyzować cel prowadzonego badania statystycznego, a następnie – wyróżnić w badanej zbiorowości te obiekty (jednostki badania), które będą istotne ze względu na przyjęty cel analizy. Jeżeli celem naszej analizy będzie ocena sprawności obsługi klientów przy stanowiskach kasowych, to jednostkami badania będą klienci podchodzący do kas.

2. Należy określić cechy zgłoszeń, interesujące ze względu na przyjęty cel analizy (czas obsługi przy kasie).

3. Należy sprecyzować horyzont czasowy badania (np. rok 2004), a następnie określić liczebność zbiorowości (załóżmy, na podstawie danych historycznych z 2004 roku, że było to 20 000 klientów).

4. W zależności od celu badania możemy określić kilka warstw zbiorowości: np. możemy oddzielnie analizować dni robocze, soboty i niedziele lub np. klientów „zwy-kłych” i „ekspresowych”. W każdym przypadku musimy określić liczebność elemen-tów w warstwie.

Określenie parametrów badania i schematu losowania

Wyniki losowania będą przedstawione w postaci pewnych wskaźników, zwanych parametrami badania, opisujących w sposób statystyczny badaną zbiorowość. Para-metrami badania mogą być:

• liczba elementów zbiorowości mających określone własności, np. liczba klien-tów „zwykłych” w dni świąteczne,

• frakcja (udział procentowy) elementów mających określoną własność, np. pro-centowy udział klientów kupujących więcej niż 10 towarów w liczbie wszystkich klientów,

• średnia wartość badanej cechy, np. średni czas pobytu przy kasie,

• globalna wartość badanej cechy, np. łączna wartość zakupionych towarów w da-nym dniu,

• rozkłady zmienności – rozkłady prawdopodobieństwa, np. rozkład czasu obsługi klientów.

2. Po ustaleniu parametrów badania należy ustalić te cechy elementów zbiorowo-ści, których analiza umożliwi określenie wybranych parametrów badania. Jeżeli para-metrem badania będzie średni czas pobytu przy kasie, to analizowanymi cechami zbiorowości będzie czas „rozpoczęcia obsługi” i czas „zakończenia obsługi”.

3. Kolejną czynnością jest wybór schematu losowania. W badaniach reprezenta-cyjnych najczęściej wybiera się losowanie zależne ze względu na jego korzystne wła-sności statystyczne. Wybór losowania indywidualnego lub zespołowego jest uzależ-niony od wielu czynników, m.in. od charakteru analizowanej zbiorowości. Można pokazać, że jeśli ugrupowanie elementów zbiorowości w zespoły jest takie, że we-wnątrz zespołów występuje duże zróżnicowanie elementów pod względem badanej cechy, to losowanie zespołowe jest lepsze. Gdy ugrupowanie elementów zbiorowości w zespoły jest losowe (przypadkowe), wówczas losowanie zespołowe jest przeciętnie tak samo efektywne jak losowanie indywidualne, a przy tym z reguły łatwiejsze. W rozpatrywanym przykładzie ustalamy zastosowanie zespołowego losowania zależ-nego: zamiast losować spośród 20 tys. klientów obsłużonych w ciągu roku, będziemy losować określoną liczbę dni i włączymy do próby wszystkich klientów przyjętych w tych dniach.

Jeżeli podjęliśmy decyzję o uwzględnieniu warstw, to losowanie przeprowadzać będziemy oddzielnie w każdej warstwie, w przeciwnym razie elementy do próby bę-dziemy pobierali z całej populacji.

4. Kolejne czynności to:

• określenie precyzji oszacowania, tj. maksymalnego dopuszczalnego błędu osza-cowania interesującego nas parametru; precyzja oszaosza-cowania może być wyrażona w procentach (np. dopuszczamy nie więcej niż 5% błędu) lub w jednostkach natural-nych (np. dopuszczalny błąd oszacowania średniego czasu obsługi przy kasie nie mo-że być większy niż 2 minuty),

• określenie poziomu ufności, tj. akceptowanego przez nas prawdopodobieństwa niepopełnienia błędu. Zazwyczaj jest to 0,9; 0,95 lub 0,99.

Badanie wstępne

Przed przystąpieniem do właściwego badania statystycznego w niektórych przy-padkach wykonuje się tzw. badanie wstępne. Polega ono na wybraniu ograniczonej liczby elementów zbiorowości, zbadaniu ich ze względu na interesującą nas cechę i określeniu wartości parametrów niezbędnych do wyznaczenia liczebności badania właściwego (średniej i wariancji).

Jeśli się przyjmie, że liczebność populacji generalnej wynosi N, próba wstępna zawiera NW elementów, a symbol y_i oznacza wartość cechy i-tego elementu (np. czas

obsługi i-tego klienta przy kasie), to analiza wyników badania wstępnego będzie obejmowała:

– obliczenie średniej wartości

y

cechy wszystkich badanych elementów w próbie wstępnej:

∑

= = ^NW i ⁱ y NW y 1 1 (2.1)

– obliczanie wartości s2 badanej cechy w próbie (tzw. estymatora wariancji), tj. współczynnika odchylenia wartości y_i cechy dla poszczególnych elementów od obli-czonej średniej :y 2 1 2

( )

1

1

∑

=

−

−

=

^NW i i

y

y

NW

s

(2.2)

Zaplanowanie i przeprowadzenie badania zasadniczego

Zaplanowanie badania zasadniczego obejmuje wykonanie wymienionych etapów procedury obliczania liczebności próby właściwej, a następnie określenie tzw. operatu losowania i przeprowadzenie losowania.

Wzory określające minimalną wielkość próby w losowaniu zasadniczym różnią się w zależności od przyjętego schematu losowania i parametrów badania. Poniżej przed-stawiono trzy wzory, odpowiadające sytuacjom najczęściej występującym w praktyce i dotyczącym losowania zależnego.

Liczebność próby dla losowania indywidualnego (LMI) przy szacowaniu średniej wartości cechy uniwersalnej:

2 2 2 1 s u Nd N LMI α + = (2.3)

gdzie: N – liczba elementów badanej zbiorowości (liczebność populacji generalnej), d – precyzja oszacowania (maksymalny błąd w jednostkach naturalnych), u_α – od-czytana wartość dla przyjmowanego współczynnika ufności 1 – α z tablicy rozkła-du N(0,1). Gdy nie mamy bardziej szczegółowych informacji o sposobie kształto-wania się cechy badanej w całej zbiorowości lub gdy rozkład populacji nie jest zbliżony do normalnego, można przyjąć, że wartość współczynnika uα = 3, korzy-stając z reguły 3σ (u_α2 = 9), s2 – wariancja w próbie cechy badanej (znana lub osza-cowana wg wzoru).

Liczebność próby dla losowania zespołowego (LMZ) przy szacowaniu średniej wartości cechy uniwersalnej:

2 2 2 2 1 α u SZ M NZd NZ LMZ + = (2.4)

gdzie: NZ – liczebność zespołów, tj. jednostek losowania, u_α, d – jak we wzorze na LMI, M – przeciętna liczba elementów zbiorowości (jednostek badania) w jednym zespole (jednostce losowania) obliczona na podstawie badania wstępnego w następujący sposób:

∑

= = ^NW i ⁱ m NW M 1 1 (2.5)

gdzie: mi – liczba elementów zbiorowości w każdym spośród NW zespołów wyloso-wanych do próby wstępnej, SZ2 – wariancja cechy badanej, znana lub oszacowana na podstawie próby wstępnej w następujący sposób:

∑

− = 2 2 ¹ (y my) NW SZ )_{i i (2.6)} przy czym: i i i my y⁾ = (2.7)

to globalna wartość cechy y dla elementów należących do i-tego zespołu (mi – liczeb-ność i-tego zespołu,

y

_i – średnia wartość cechy y dla elementów i-tego zespołu)

∑

= = ^NW i ⁱ y m y 1 1 (2.8)

to średnia wartość cechy dla całej próby wstępnej (m – łączna liczba elementów zbio-rowości we wszystkich zespołach w próbie wstępnej).

Liczebność próby dla losowania indywidualnego przy szacowaniu frakcji (udziału procentowego) elementów określonego typu (LFI):

F u N d N LFI 2 2( 1) 1 α − + = (2.9)

gdzie: N, d, u_α – znaczenie jak powyżej, F – współczynnik równy 1/4, jeśli nie mamy dokładniejszych informacji o sposobie kształtowania się badanej cechy (frakcji) w całej zbiorowości, natomiast F = p(1 – p), jeśli można się spodziewać, że rząd wiel-kości szacowanej frakcji w zbiorowości wynosi p. Wartość p można przyjąć także

wtedy, gdy w wyniku badania wstępnego okaże się, że w próbie wstępnej o liczebno-ści NW było NF elementów mających interesującą nas własność. Wtedy:

NW NF

p= (2.10)

Rys. 2.1. Schemat posługiwania się tablicami liczb losowych Źródło: [What is… 1959] za [Steczkowski 1995]

Jeżeli można założyć, że rozkład badanej cechy w całej zbiorowości jest zbliżony do rozkładu normalnego, to uα jest wartością odczytywaną dla przyjętego poziomu ufności z tablic rozkładu N(0, 1). Dla najczęściej przyjmowanych wartości poziomu ufności, wartości u_α i 2 wynoszą:

α u – poziom ufności 0,9 u_α = 1,645

u

_α² = 2,71, – poziom ufności 0,95 u_α = 1,96 2 = 3,84, α

u

– poziom ufności 0,99 u_α = 2,58

u

_α² = 6,66.

Przykład: chcemy oszacować średni czas obsługi klientów przy kasie. Wielkość próby określimy za pomocą losowania zależnego (bez zwracania), zespołowego (wzór (2.4)). Przyjmijmy, że d = 1 minuta (dopuszczalny błąd szacowania średnie-go czasu oczekiwania), = 9 (ze względu na to, że nie mamy dokładniejszych in-formacji o sposobie kształtowania się badanej cechy w całej zbiorowości). Obli-czamy pozostałe parametry. Dla uproszczenia rozważań załóżmy, że w wyniku badania wstępnego liczącego NZ = 50 zespołów (dni) otrzymaliśmy następujące wyniki:

2

α

u

M = 48 klientów (przeciętna liczba klientów w jednym dniu w wylosowanych 50 dniach w próbie wstępnej),

y

= 32 minuty,

2

SZ

= 32 400.

Zgodnie ze wzorem LMZ = 93,98. Oznacza to, że próba zasadnicza powinna liczyć co najmniej 94 zespoły (dni).

Po ustaleniu liczebności próby należy obliczyć całkowity koszt przeprowadzenia badania. Jeżeli koszt ten okaże się zbyt duży, to liczebność próby musimy dopasować do możliwości finansowych. Należy wtedy obliczyć, jaką precyzję szacunku osią-gniemy, badając taką próbę. Jeśli precyzja (błąd oszacowania) okaże się zbyt mała, to albo zwiększamy fundusze, albo ograniczamy zakres badania.

W następnej kolejności sporządza się operat losowania, tj. wykaz wszystkich jed-nostek losowania, uporządkowanych i ponumerowanych. Ostatnim elementem przy-gotowań jest przeprowadzenie losowania (por. rys. 2.1).

Aby wylosować próbę z danej zbiorowości generalnej, można posłużyć się tabli-cami liczb losowych lub generatorami. Tablice zawierają cyfry podzielone na bloki, które z kolei dzielą się na wiersze oraz kolumny (rys. 2.1, część B). Po sporządzeniu operatu losowania (rys. 2.1, część A), wyznacza się w sposób przypadkowy miejsce w tablicy (rys. 2.1, część B) i rozpoczyna się odczytywanie numerów. Przesuwając się wzdłuż wierszy lub kolumn, odczytuje się n kolejnych numerów, ale tylko takich, któ-re spełniają warunek n ≤ N, gdzie N to liczba wszystkich jednostek losowania, a n to liczebność próby (rys. 2.1, część C).

2.3. WYKORZYSTANIE DANYCH WEJŚCIOWYCH

W dokumencie Modelowanie symulacyjne w zarządzaniu : symulacja dyskretna (Stron 38-44)