6. Planowanie eksperymentów symulacyjnych i analiza wyników
6.3. Metody redukcji wariancji
W trakcie budowy modelu symulacyjnego wyróżnić można cztery fazy, w któ-rych szczególnie silnie uwidacznia się wpływ losowości zjawisk rzeczywistych na
_________
∗ Ang. batch means method: metoda średnich odcinkowych lub inaczej metoda podziału szeregu cza-sowego.
proces modelowania. Są to etapy: (1) gromadzenia i przygotowania danych źródło-wych, (2) uzyskania losowych charakterystyk zmiennych w modelu symulacyjnym, (3) weryfikacji i walidacji modelu, (4) planowania eksperymentów symulacyjnych i analizy wyników.
Pobieranie wartości z rozkładów losowych skutkuje losowym charakterem wyni-ków symulacji i automatycznie wprowadza wariancję do pozyskiwanego na wyjściu zbioru wartości. Im wyższa wariancja, tym mniej precyzyjne będą wyniki, tym szersze przedziały ufności, tym większa niepewność rezultatów symulacji.
Bardzo pomocne w częściowym przynajmniej niwelowaniu wariancji są metody redukcji wariancji (ang. VRT: variance-reduction technique), z których na szcze-gólną uwagę zasługuje metoda jednakowych ciągów losowych (ang. CRN: common random numbers). CRN, poprawnie zastosowana, pozwala na uzyskanie precyzyj-niejszych rezultatów symulacji niejako „przy okazji”, bez dodatkowego inwestowa-nia w proces modelowainwestowa-nia. Jest to możliwe dzięki kontroli, którą za pomocą genera-torów liczb losowych sprawujemy nad losowością odwzorowywanych zjawisk. Świadome i umiejętne manipulowanie mechanizmem procesu generowania zmien-nych losowych na etapie budowy modelu może być przydatnym narzędziem uła-twiającym późniejsze zmniejszanie wariancji w wynikach symulacji. Ta niezwykle cenna, chociaż nie zawsze doceniania, własność stanowi jedną z istotniejszych zalet symulacji stochastycznej. Nie chcemy przecież pozbyć się losowości z budowanego modelu, skoro model ten ma poprawnie opisać zjawisko fizyczne, będące w samej swojej naturze losowym. Wysoka wariancja może nam jednak zaburzyć właściwą ocenę. Wysiłek, jaki wkładamy w projektowanie eksperymentów symulacyjnych, ma na celu właśnie zmniejszenie wariancji. Metody redukcji wariancji pozwalają dodatkowo, poprzez umiejętne korzystanie z generatorów liczb losowych, poprawić jakość danych wynikowych.
Metoda jednakowych ciągów losowych
Celem stosowania techniki CRN jest zapewnienie alternatywnym konfiguracjom modelu podobnych warunków eksperymentalnych. W przypadku zaobserwowania istotnych różnic w wartościach wskaźników będziemy wtedy mieli pewność, że zmiany te wynikają z różnic w konfiguracji modelu, nie są natomiast rezultatem fluktuacji w „warunkach eksperymentu”. Metoda CRN zakłada stosowanie jedna-kowych ciągów liczb losowych do generowania tych samych wielkości w różnych eksperymentach. Technicznie oznacza to konieczność synchronizacji, czyli wyko-rzystania tych samych liczb losowych do nadania wartości tym samym atrybutom w obu badanych konfiguracjach.
Metodę CRN zastosowano w prostym modelu systemu produkcyjnego (por. rys. 6.4). Wyroby, po wprowadzeniu na halę produkcyjną, poddawane są dwóm procesom ob-róbki, po których następuje kontrola jakości (wersja A modelu).
Planowanie eksperymentów symu
lacyjnych
i analiza wyników
123
Rys. 6.4. Model prostego systemu produkcyjnego. Wersja A Źródło: opracowanie własne za pomocą pakietu Arena v.10.0
Wyjście dla dobrych Wyjście dla złych Rejestruj czas pobytu dobrych Rejestruj czas pobytu złych sprawdzanie pierwszy proces kontrola Nadanie wartości atrybutom Ponowna obróbka wyrobów wadliwych drugi proces Wprowadzanie wyrobów
Rozdzi
ał 6
Rys. 6.5. Model prostego systemu produkcyjnego. Wersja B Źródło: opracowanie własne za pomocą pakietu Arena v.10.0 Nadawanie wartości atrybutom pierwszy proces Rejestruj czas pobytu złych Wyjście dla złych Rejestruj czas pobytu dobrych Czy powtórne mycie sprawdzanie kontrola powtórne mycie Wprowadzanie wyrobów
Wyroby po korekcie nie podlegają ponownej kontroli jakości
Wyjście dla dobrych
Większość wyrobów, tzn. te, u których nie stwierdzono usterek, opuszcza halę. Wyroby, które nie spełniają wymogów, ale możliwa jest ich korekta, są ponownie po-dawane obróbce w ramach drugiego procesu. Niewielki procent braków opuszcza halę w postaci osobnego potoku.
Model z rysunku 6.4 zmodyfikowano (wersja B modelu), wprowadzając założenie, że wyroby poddane korekcie nie podlegają już ponownej kontroli jakości i automa-tycznie uznane zostają za wyroby bez usterek (por. rys. 6.5).
Zastosowanie metody CRN wymaga określenia wszystkich losowych elementów modelu, a następnie uzależnienia ich losowego charakteru od odrębnych ciągów liczb losowych. W tabeli 6.2 zebrano losowe elementy modelu z rys. 6.4 (wersja A modelu) i przypisano im te same (model A1) oraz różne (model A2) ciągi liczb losowych. Dla zmienionej konfiguracji modelu również zdefiniowano wersję B1 (jeden ciąg losowy dla wszystkich zmiennych losowych) oraz wersję B2 (różne ciągi dla różnych elemen-tów losowych).
Tabela 6.2. Wykaz losowych elementów modelu z rys. 6.4 wraz z przyporządkowanymi strumieniami liczb losowych dla badanych konfiguracji (A i B). Indeks 1 przy literach określających konfigurację modelu oznacza wersję z jednym ciągiem liczb losowych. Indeks 2 oznacza
wersję z oddzielnymi ciągami liczb losowych dla poszczególnych atrybutów Element losowy modelu Rozkład losowy losowych dla wersji ANumer strumienia liczb
1 i BB1
Numer strumienia liczb losowych dla wersji A2 i BB2
Wprowadzanie
wyrobów WYKŁADNICZY(5) 10 10
Czas obsługi
w pierwszym procesie TRÓJKĄTNY(1, 3, 6) 10 1
Czas obsługi
w drugim procesie TRÓJKĄTNY(1, 3, 6) 10 2
Czas kontroli jakości JEDNOSTAJNY(1, 2, 3) 10 3
Wynik kontroli jakości Podział procentowy 10 4
Badania symulacyjne miały na celu porównanie wersji A i B modelu poprzez określenie średniego czasu pobytu w systemie wyrobów uznanych ostatecznie jako braki. Eksperyment przeprowadzono dwuetapowo, porównując (1) wersje A1 oraz B1, czyli dwie alternatywne konfiguracje modelu, w których wszystkie elementy losowe są generowane z wykorzystaniem jednego ciągu liczb losowych oraz (2) wersje A2 oraz B2, w których za każdy losowy element modelu odpowiedzialny jest inny (ale ten sam w obu konfiguracjach) ciąg liczb losowych. W przypadku etapu numer 2 zadbano o to, aby te same atrybuty w modelach A2 i B2 były generowane z wykorzystaniem tego samego ciągu liczb losowych.
Wyniki eksperymentu przedstawiono w tabeli 6.3. W celu wyraźniejszego zade-monstrowania wpływu synchronizacji ciągów liczb losowych na wariancję wyników symulacji, oba etapy eksperymentu powtórzono, zwiększając liczbę powtórzeń prze-biegów symulacyjnych (wykonano 10, 20, 30 i 50 powtórzeń). Badanym miernikiem
był średni czas pobytu w systemie wyrobów uznanych ostatecznie jako braki. Sku-teczność metody CRN obserwowano za pomocą 95% przedziału ufności obliczanego dla różnicy pomiędzy wartością oczekiwaną średniego czasu pobytu w systemie bra-ków w konfiguracji A oraz wartością oczekiwaną średniego czasu pobytu w systemie braków w konfiguracji B. Uzyskane wyniki wyraźnie pokazują, że w kategoriach pre-cyzji oszacowania wielkości wynikowych symulacji, zastosowanie metody CRN zmniejsza przedział ufności przy porównywaniu różnicy pomiędzy dwiema konfigu-racjami tego samego modelu. Należy podkreślić, że zwiększoną dokładność uzyskano bez ponoszenia żadnych dodatkowych nakładów ani w trakcie budowy modelu, ani w trakcie wykonywania eksperymentów symulacyjnych.
Tabela 6.3. Zestawienie wielkości 95-procentowych przedziałów ufności obliczanych dla różnicy pomiędzy wartością oczekiwaną średniego czasu pobytu w systemie wyrobów
uznanych jako braki w konfiguracji A minus ta sama wielkość w konfiguracji B. Indeks 1 oznacza wersję z jednym ciągiem liczb losowych. Indeks 2 oznacza wersję
z oddzielnymi ciągami liczb losowych dla poszczególnych atrybutów Liczba powtórzeń
symulacyjnych
Długość 95% przedziału ufności przy porównaniu czasu pobytu braków
w konfiguracji A1 i B1
Długość 95% przedziału ufności przy porównaniu czasu pobytu braków
w konfiguracji A2 i B2 10 6,46 5,18 20 3,97 3,87 30 3,11 3,08 50 2,55 2,48 Różnicowanie przeciwstawne
Celem tej metody jest wymuszenie negatywnej korelacji. Pierwszą symulację wykonujemy wykorzystując liczby losowe dostarczane przez generator liczb loso-wych, ale w kolejnym powtórzeniu zastępujemy liczby losowe U1, U2, U3... przez 1 – U1, 1 – U2, 1 – U3. Losowość nie zostaje w ten sposób zaburzona, ponieważ jeże-li U są rozłożone równomiernie w (0, 1), to 1 – U również. Zastosowana koncepcja polega na tym, że skoro „duże” U definiuje „małe” 1 – U (i odwrotnie), wyniki tak powiązanych ze sobą powtórzeń będą ujemnie skorelowane. Do analizy bierzemy zatem nie wyniki pierwszego powtórzenia, ale wartość średnią z dwóch kolejnych powtórzeń. W tak skonstruowanych przeciwstawnych parach, korelacja spowoduje, że uzyskana średnia będzie bardziej zbliżona do wartości rzeczywistej
(
X1,X2)
=E[(
X1−E( )
X1)(
X2−E( )
X2)]
Cov (6.1)
Kowariancja (por. (wzór 6.1)) jest miarą liniowego związku pomiędzy zmiennymi losowymi X1 i X2. Może być dodatnia, ujemna lub równa zeru. Jeżeli łączny rozkład jest taki, że w przypadku, gdy X1 jest powyżej średniej, to również X2 jest powyżej średniej – kowariancja jest dodatnia; a zatem małe X1 wymusza również małe X2. Gdy kowariancja jest ujemna – duże X1 wymusza małe X2. Jeżeli pomiędzy X1 i X2 nie ma związku liniowego – kowariancja jest równa zeru.
Za pomocą kowariancji nie jesteśmy jednak w stanie oszacować wielkości tego powiązania, ponieważ kowariancja mierzona jest w jednostkach zmiennych losowych. Współczynnik korelacji (wzór (6.2)) pozwala zmierzyć siłę związku pomiędzy X1 i X2
( )
2 1 2 1 2 1 , ) , ( x x X X X X σ σ Cov Cor = (6.2)Współczynnik korelacji ma taki sam znak jak kowariancja i nie jest mierzony w jednostkach (będzie miał taką samą wartość niezależnie od wybranych jednostek miary). Wspólczynnik przyjmuje wartości pomiędzy –1 a 1. Przykładowo, wartość 0,96 lub –0,98 oznacza silną korelację (odpowiednio dodatnią lub ujemną), natomiast 0,1 lub –0,08 słabą (co oznacza, że nie ma liniowego związku pomiędzy dwiema zmiennymi losowymi).
Różnicowanie kontrolne
Metoda wykorzystuje pomocniczą „kontrolną” zmienną losową, aby skorygować wyniki w górę lub w dół. Załóżmy, że kontrolną zmienną losową w pewnym ekspe-rymencie jest czas pomiędzy nadejściem kolejnych zgłoszeń. Jeżeli wartości wygene-rowane z tego rozkładu są mniejsze od wartości oczekiwanej (którą znamy, ponieważ to my zdefiniowaliśmy ten rozkład), powinniśmy odpowiednio korygować również mierniki działania systemu (wyniki symulacji).
Estymacja pośrednia
Metoda ta polega na tym, że estymujemy inny miernik, ale związany z interesują-cym nas miernikiem. Załóżmy, że chcemy oszacować czas pobytu klienta w systemie, na który składa się czas pobytu w kolejce i czas obsługi na stanowisku. Zamiast esty-mować ten czas z wyników symulacji, estymujemy jedynie czas pobytu w kolejce. Czas obsługi określamy, wyznaczając jego wartość oczekiwaną ze znanego nam roz-kładu wejściowego. Usuwamy w ten sposób z rozwiązania wariancję czasu obsługi na stanowisku.