Strategie eksperymentów symulacyjnych dla modeli stochastycznych

Z punktu widzenia strategii prowadzenia badań modeli stochastycznych, więk-szość symulacji można zaklasyfikować jako symulacje pulsacyjne (ang. terminating simulations), czyli takie, w których to model wskazuje warunki rozpoczynania i kończenia eksperymentu jako naturalne odzwierciedlenie sposobu działania syste-mu (np. każda instytucja czynna dla klientów w określonych godzinach doby) oraz symulacje niezmiennicze (ang. steady-state simulations), badające systemy pracujące bez przerwy przez (teoretycznie) nieskończony czas (przykładem może być pogoto-wie ratunkowe, które odbiera wezwania przez całą dobę, czy system produkcyjny pracujący w systemie trzyzmianowym). Rozróżnienie obu typów symulacji ma klu-czowe znaczenie przy planowaniu strategii dla eksperymentów symulacyjnych mo-deli stochastycznych.

Symulacje pulsacyjne (terminating simulations)

Cechą charakterystyczną systemów pulsacyjnych jest naturalne niewypełnienie w momencie rozpoczynania pracy, tj. brak zgłoszeń w chwili startu, niezajęte i do-stępne stanowiska obsługi, brak kolejek. Dokładnie taki stan odzwierciedla model sy-mulacyjny wprawiony w ruch bez uprzedniego definiowania warunków początko-wych. Pozyskanie statystycznie poprawnej próby z wynikami symulacji jest stosunkowo proste – wystarczy wykonać n niezależnych powtórzeń, zebrać wyniki z każdego po-wtórzenia i traktując uzyskane wartości badanego miernika (np. czasu pobytu w sys-temie czy całkowitego kosztu obsługi) jako realizacje zmiennej losowej, wyznaczyć wartości oczekiwane. Kluczowe znaczenie ma ustalenie właściwej liczby powtórzeń symulacyjnych. Przedział ufności, często obliczany automatycznie w pakietach symu-lacyjnych, może nas poinformować o jakości próby losowej. Dla przyjętego poziomu

ufności (najczęściej 95%) obliczony według wzoru (6.5) (por. podrozdział 6.6) prze-dział liczbowy jest „losowym” przeprze-działem, który z założonym prawdopodobień-stwem (tj. 0,95 dla 95% poziomu ufności) zawiera wartość oczekiwaną szacowanego miernika wyjściowego. Im przedział ten jest węższy, tym precyzja oszacowania jest większa. Zwiększanie liczby powtórzeń powoduje kurczenie się przedziału ufności. Gdybyśmy byli w stanie wykonać nieskończenie wiele powtórzeń, przedział ufności skurczyłby się do zera i uzyskalibyśmy wartość punktową szacowanego parametru. Niestety, tempo kurczenia się przedziału ufności nie jest wprost proporcjonalne do tempa przyrostu liczby powtórzeń.

Tabela 6.1. Długość 95% przedziałów ufności dla średniego czasu produkcji wyrobów niewadliwych oraz braków, przy różnej liczbie powtórzeń symulacyjnych Liczba powtórzeń

symulacyjnych

Długość 95% przedziału ufności dla średniego czasu produkcji wyrobów niewadliwych

Długość 95% przedziału ufności dla średniego czasu produkcji braków

5 14,66 16,8 10 10,95 11,59 20 5,92 6,56 30 4,27 5,43 50 3,52 4,31 100 2,25 2,98

Średni czas procesów produkcji dla wyrobów niewadliwych i braków, uzyskany w pewnym eksperymencie symulacyjnym, dobrze ilustruje wyraźną tendencję zmniej-szania się wartości przedziału ufności w miarę wzrostu liczby powtórzeń (por. tabela 6.1). Coraz intensywniejsze zwiększanie n skutkuje malejącym tempem pomniejszania długości przedziału ufności. W pewnym momencie nawet znaczące zwiększenie licz-by powtórzeń (np. z 20 000 do 30 000) nie przyniesie istotnej poprawy precyzji osza-cowania. Modelujący podejmuje zatem arbitralną decyzję o satysfakcjonującej go liczbie przebiegów symulacyjnych.

Więcej na temat analizy wyników symulacji Czytelnik znajdzie w podrozdziale 6.6. Symulacje niezmiennicze (steady-state simulations)

W symulacjach niezmienniczych planowanie eksperymentów jest trudniejsze, ponieważ musimy zmierzyć się z problemem warunków początkowych. W przeci-wieństwie do symulacji pulsacyjnych, w których stan modelu w chwili uruchamiania eksperymentu idealnie odpowiadał pustemu i nieobciążonemu systemowi rozpoczy-nającemu swój kolejny cykl pracy, w przypadku symulacji niezmienniczej należy poradzić sobie z warunkami startu i zatrzymania oraz z niezgodnością między pu-stym modelem w chwili uruchamiania eksperymentu i wypełnionym (chociaż nieko-niecznie zawsze w tym samym stopniu) systemem. Ta niezgodność powoduje, że przez pewien czas wyniki symulacji będą niedoszacowane. Aby uniknąć błędów

w interpretacji wyników, wskazane jest rozgrzanie modelu (ang. warm-up period) (czyli uruchomienie go, odczekanie aż wypełni się zgłoszeniami i zaniknie wpływ warunków początkowych), a następnie przystąpienie do zbierania statystyk.

Długość okresu rozgrzewania ustala się arbitralnie, obserwując wybrane wskaźni-ki, takie jak np. liczbę zgłoszeń przebywających w systemie, długość kolejek, czas pobytu w systemie. Zaleca się wybór takich mierników, dla których okres osiągania stabilności jest stosunkowo długi. Dla pewnego przykładu założono, że system pro-dukcyjny pracuje w ruchu ciągłym na trzy zmiany, spełniając warunki systemu o cha-rakterze niezmienniczym. Symulację wykonano dla okresu 4 godzin, obserwując licz-bę wyrobów przebywających w danej chwili w systemie (rys. 6.1) oraz średnią długość wszystkich kolejek (rys. 6.2). Wartości drugiego wskaźnika wyraźnie sugeru-ją, że okres rozgrzewania modelu powinien wynosić około 60 minut.

wartość

czas

Rys. 6.1. Liczba zgłoszeń w systemie w ciągu 4 godzin (240 minut) symulacji Źródło: opracowanie własne

wartość

czas

Rys. 6.2. Średnia długość wszystkich kolejek w ciągu 4 godzin (240 minut) symulacji Źródło: opracowanie własne

Jeżeli wyznaczony okres rozgrzewania się modelu jest stosunkowo krótki, można przyjąć dalszą strategię planowania eksperymentów taką, jak w przypadku symulacji pulsacyjnych, tzn. wykonać n niezależnych powtórzeń (każde powtórzenie należy roz-począć okresem rozgrzewania modelu), a następnie przeprowadzić odpowiednią anali-zę statystyczną.

W przypadku modeli o długich i bardzo długich okresach rozgrzewania, przedsta-wiona strategia nie rokuje jednak pomyślnie. Zaleca się wtedy wykonanie jednego niezwykle długiego powtórzenia i tym samym tylko jednokrotnego poświęcenia czasu symulacji na rozgrzewanie modelu, a następnie podzielenie całego okresu symulacji na kilka większych odcinków^∗ (por. rys. 6.3), wyznaczenie średnich w obrębie każde-go odcinka i potraktowanie tak uzyskanych wartości jako próby losowej, którą można poddać właściwej analizie statystycznej. Średnie wyliczone dla każdego odcinka będą pełnić rolę średnich wyznaczonych dla każdego powtórzenia w przypadku wielokrot-nego powtarzania symulacji. Obserwacje pochodzące z okolicy miejsc podziału będą niestety ze sobą skorelowane, aby więc wyznaczone średnie odcinkowe wykazywały jak najmniejszą korelację, odcinki na które dzielone jest powtórzenie powinny być jak największe. Zwiększanie długości odcinków skutkuje jednak wzrostem wariancji, dla-tego często rozważanym problemem jest znalezienie optymalnej długości odcinków, czyli takiej długości, która zapewni rozsądną równowagę pomiędzy obciążeniem i wa-riancją.

wartość

czas

Rys. 6.3. Podział jednego długiego powtórzenia (20 dni) na mniejsze odcinki. Ilustracja zastosowania metody średnich odcinkowych

Źródło: opracowanie własne