Główny podział i struktura równa konstytutywnych

Zwi zki przyrostowo liniowe mo na zapisa w postaci równania:

δσσσσ = Dt(σ,εσ,εσ,εσ,ε)·δεεεε, (2.48) b d cego jednocze nie równaniem hipospr ysto ci, w którym δσ, δε oznaczaj infinitezymalne przyrosty napr enia i odkształcenia, a Dt – styczn macierz sztywno ci zale n w przypadku ogólnym od aktualnego stanu napr enia i odkształcenia. Równanie to ukazuje explicite liniowy charakter zale no ci mi dzy przyrostami δσσσσ i δεεεε, cho generalnie jest nieliniowe.

Zało enie Dt(σσσσ) = D = const umo liwia całkowanie równania (2.48), a jego wynik zale y od pocz tkowych warto ci stanu napr enia i odkształcenia(σσσσ0 i εεεε0). W najogólniejszym przypadku otrzymuje si posta :

σσσσ = D(εεεε-εεεε0) + σσσσ0. (2.49) Jest to równanie konstytutywne o rodka liniowo odkształcalnego z pocz tkowym napr eniem i odkształceniem. Dopiero dodatkowe zało enie istnienia beznapr eniowego i bezodkształceniowego stanu pocz tkowego tj. σσσσ0 =0 i εεεε0 = 0 prowadzi do powszechnie znanego zwi zku liniowo spr ystego:

σσσσ = D·εεεε (2.50) W najbardziej zło onym przypadku trójsko nej anizotropii symetryczna macierz

spr ysto ci składa si z 21 ró nych stałych materiałowych:

=

66 56 55

46 45 44

36 35 34 33

26 25 24 23 22

16 15 14 13 12 11

D D D sym

D D D

D D D D

D D D D D

D D D D D D

D , (2.51)

podczas gdy w najprostszym przypadku spr ystej izotropii – tylko z dwóch: modułu ci liwo ci (Helmholtza) K i modułu cinania (Kirchoffa) G:

2. Poj cia kluczowe 25

o klarownym znaczeniu fizycznym:

const

Równie cz sto spotykany jest zapis:

( )( )

wywodz cy si z mechaniki o rodków innych ni rozdrobnione, wykorzystuj cy moduł Younga E oraz współczynnik Poissona ν. Poprawne oszacowanie warto ci tych parametrów jest zdecydowanie bardziej skomplikowane, poniewa wymaga wykonania bada w warunkach ciskania lub rozci gania próbek bez obecno ci ci nienia bocznego. Istniej jednak proste zale no ci:

K

Analizy z u yciem anizotropii trójsko nej s mało praktyczne ze wzgl du na liczb potrzebnych parametrów. W wi kszo ci przypadków jednokierunkowa, sedymentacyjna historia obci ania podło a pozwala z powodzeniem przyj , e

grunty zachowuj si w sposób poprzecznie anizotropowy (anizotropia transwersalna), tzn. odpowied gruntu na obci enie pionowe b dzie inna ni na poziome, lecz niezale na od k ta przyło enia obci enia poziomego. Wówczas liczba niezale nych parametrów redukuje si do pi ciu.

Z uwagi na fakt, e w badaniu trójosiowym, które jest najcz ciej stosowane w praktyce laboratoryjnej, nie ma mo liwo ci wyznaczenia wi cej ni trzech stałych spr ystych, Graham i Houlsby (1983) zaproponowali szczególn form poprzecznej anizotropii, mo liw do zapisania przy u yciu tylko trzech parametrów: E*, ν* i α, gdzie pierwsze dwa to zmodyfikowane warto ci modułu Younga i współczynnika Poissona a α to parametr anizotropii.

Równanie konstytutywne transwersalnie anizotropowego modelu liniowo spr ystego w warunkach badania trójosiowego mo na zapisa w formie:

=

s vol

* G J

J

* K q p

δε δε δ

δ

3 , (2.58)

gdzie K* i G* s zmodyfikowanymi modułami ci liwo ci i cinania a J:

const p vol const q s

q

J = p ₌ = ₌

ε

ε ^{, (2.59)}

modułem sprz enia efektów obj to ciowych i postaciowych.

Trzeba doda , e wszystkie wy ej zdefiniowane stałe materiałowe mog by funkcjami poło enia w obszarze ciała. Mówi si wtedy o niejednorodnych materiałach liniowo – spr ystych.

Modele liniowo spr yste gruntów nie wytrzymały próby czasu. W wietle współczesnego stanu bada opisuj adekwatnie ich zachowanie tylko w niewielkich obszarach przestrzeni napr e wokół punktów ostrych zwrotów cie ki napr enia.

Zachowuj natomiast znaczenie jako podstawowe ogniwo procesów przyrostowo – iteracyjnych w numerycznych analizach zagadnie brzegowych.

Wa ne znaczenie na obecnym etapie rozwoju modelowania konstytutywnego o rodków ci głych maj modele przyrostowo biliniowe, charakteryzuj ce si dwiema ró nymi postaciami funkcji tensorowej M( ). Naturalnym rozwini ciem zwi zków hipospr ystych w tym kierunku jest wła nie zastosowanie ich ró nych form w opisach obci enia i odci enia. S jednak trudno ci z implementacj tej opcji równa przyrostowo biliniowych do analiz stanu granicznego, a tak e z opisem cyklu

„obci enie – odci enie”. Mróz (1980) wykazał, e o ile w przypadku cie ek obci ania, opisy w ramach hipospr ysto ci i spr ysto – plastyczno ci s równowa ne, to w odniesieniu do odci e ró nica mi dzy oboma podej ciami jest zasadnicza, a przewidywania w tym zakresie przy u yciu modelu bihipospr ystego sprzeczne z obserwacjami do wiadczalnymi. W konkluzji Mróz stwierdził, e kryteria przej cia od obci e do odci e i z powrotem, stosowane w bihipospr ysto ci, prowadz w przypadku niektórych cie ek obci enia do nierealistycznych przewidywa . Jest to zapewne główne ródło dominacji opcji spr ysto – plastycznej.

Typowa posta przyrostowego równania spr ysto – plastyczno ci, wyprowadzona na bazie znanych praw i hipotez jest nast puj ca (Gryczma ski, 1995c):

2. Poj cia kluczowe 27

δσ = D^ep(σσσσ,εεεε)·δε . (2.60) Macierz spr ysto – plastyczna D^ep, w uj ciu ogólnym opartym na niestowarzyszonym prawie plastycznego płyni cia i dotycz cym materiałów ze wzmocnieniem plastycznym, dana jest wyra eniem:

+ dotycz ce odpowiednio powierzchni plastyczno ci i bie cego punktu wewn trz powierzchni ograniczaj cej. Specyfikacja modułów wzmocnienia plastycznego stanowi kluczowe zadanie w bardziej zaawansowanych koncepcjach plastyczno ci.

Wielko ciami definiuj cymi te moduły s parametry: wzmocnienia izotropowego (skalar) ξ i kinematycznego (wektor) ωωωω.

Osobnej uwagi w kontek cie klasyfikacji Darve’a i in. (1988) wymagaj modele spr ysto – plastyczne o wzmocnieniu izotropowo - kinematycznym, które maj z reguły wi cej ni dwie strefy tensorowe. Odpowiednikiem powierzchni plastyczno ci wyst puj cej w modelach o wzmocnieniu izotropowym jest tu powierzchnia ograniczaj ca, nie b d ca obwiedni obszaru spr ystego. Powierzchnia plastyczno ci mie ci si dopiero wewn trz niej. W najprostszym przypadku modelu dwupowierzchniowego implikuje to trzy strefy tensorowe, co sytuuje go w klasie modeli przyrostowo triliniowych, Model trójpowierzchniowy nale y sklasyfikowa jako przyrostowo quadriliniowy, a modele wielopowierzchniowe nale generalnie do

klasy zwi zków przyrostowo multiliniowych. W ogólnej systematyce równa konstytutywnych mieszcz si jeszcze równania przyrostowo nieliniowe, inaczej tzw.

modele hipoplastyczne, zapisywane w ogólnej postaci:

δσσσσ = (σσσσ,εεεε,δεεεε)·δεεεε. (2.65) Ogólne wyra enie izotropowej funkcji tensorowej (σσσσ,εεεε,δεεεε) oparte jest na jej rozwini ciu w szereg Cayleya – Hamiltona, który ogranicza niezale ne argumenty tensorowe do drugich pot g.

Odr bne grupy stanowi modele reologiczne uwzgl dniaj ce wpływ czasu na odpowied gruntu na obci enie. B d to wówczas odpowiednio modele lepko-spr yste i lepko-plastyczne. Niezale nie od typu zwi zków konstytutywnych, w mechanice gruntów nale y je stosowa z wykorzystaniem poj cia napr e efektywnych.

W celu na wietlenia w tej ogólnej klasyfikacji miejsca trzech stosowanych w niniejszej pracy modeli konstytutywnych (tj. modelu Coulomba – Mohra, Modified Cam Clay i NAHOS), na nast pnych stronach w zwi zły sposób omówiono mieszcz ce je grupy przyrostowo biliniowych i multiliniowych modeli spr ysto – plastycznych. Dla uzupełnienia opisu, podstawowe informacje na temat prostszych modeli przyrostowo liniowych oraz bardziej zaawansowanych modeli przyrostowo nieliniowych, umieszczono w zał cznikach 2.1 i 2.2. W zał cznikach 2.3 i 2.4 umieszczono natomiast opis modeli uogólnionej plastyczno ci oraz o plastyczno ci wielomechanizmowej, które co prawda mieszcz si w grupie modeli spr ysto – plastycznych (patrz: rysunek 2.3), lecz nie dotycz bezpo rednio modeli wybranych do kalibrowania.

2.2.3. Modele przyrostowo biliniowe i multiliniowe