Teoria Diraca oparta jest na hipotezie dużych liczb. D i r a c (1938, 1972) stwierdził,że w przyrodzie istnieją pewne koincydencje liczbowe, a mianowicie:
1) Stosunek siły elektrycznej do grawitacyjnej między protonem i elektronem jest « 1 0 ^ , tj. e2/Gmemp * 10^°.
2) Stosunek obecnego wieku Wszechświata t w 2 x 101® lat do 2 3 *"23
atomowej jednostki czasu (e /mec « 10” s) określonej przez czas potrzebny fotonom na przebycie drogi równej klasycznemu promieniowi elektronu jest z grubsza tego samego rzędu. Przyrównanie tych dwóch wielkości, czyli:
e2 t
— n i...
G me mp e2/mec3 ’
doprowadziło D i r a c a do wniosku, że parametr grawitacyjny G ulega zmianie z epoką kosmologiczną, G « t -1, ponieważ e, mg, nip i c należy traktować jako wielkości stałe. Stąd natychmiast można obli czyć względne zmiany „stałej" grawitacyjnej w chwili obecnej: -(G/G) = t"1 5 x 10_11/rok.
58 J. Krempeć-Krygier, B. Krygier
3) Parametr kosmologiczny - stała Hubble*a H daje w powiązaniu z fundamentalnymi stałymi fi, c, e oraz G masę pionu m^ i elektro- nu me
Stałość -ft, c, e, m ^ i m g ( B a u m i F l o r e n t i n-N i e 1- s o n 1976; S o l h e i m , B a r n e s III i S m i t h 1976) implikuje zmienność G <x H.
4) Związek między dwoma parametrami kosmologicznymi: parametrem
Hubble’a Hq i obecną gęstością barionów nQ :
5) Liczba cząstek we Wszechświecie, czyli liczba cząstek zawar-28
ta wewnątrz sfery o promieniu Hubble’a = ctQ * 10 cm, wynosi
N = 4T* P H/3mp ~ 1080 dla « 10”^° g/cm~^.Otrzymujemy więc pro
gresję dużych bezwymiarowych liczb ~10 ^ 0n, gdyż N « 1080 = 10^0n z n = 2. Hipoteza wielkich liczb Diraca przewiduje zmiany bezwymia rowych liczb proporcjonalnie do potęgi czasu. Jednocześnie propor- cjonalność N «<■ t pociąga za sobą konieczność tworzenia się materii we Wszechświecie. D i r a c (1937, 1938, 1973, 1974 a,b) dyskuto wał trzy następujące propozycje oparte na hipotezie wielkich liczb:
a) pierwotną propozycję ( D i r a c 1938) z G •*< t i bez two rzenia się materii;
b) addytywne tworzenie się materii (additive creation = AC). Materia tworzy się w jednakowym tempie w całej przestrzeni, a więc głównie w ośrodku międzygwiazdowym ( D i r a c 1974a).W tej wersji tworzenia się materii masy obiektów pozostają stałe, podczas gdy parametr grawitacyjny zmienia się, G “< t“1. Często ten przypadek traktuje się łącznie za);
c) wielokrotne tworzenie się materii (multiplicative crea tion = MC). Tworzenie się materii następuje głównie w już istnieją cych jej skupiskach i dlatego masy obiektów M rosną z t2 , a G « t ”1. Proces ten żąda w chwili obecnej ułamkowego wzrostu masy skał w ilości M/M w 2/t w 2 x 10 na rok, co leży poza obecnymi możli wościami obserwacyjnego wykrycia.
D i r a c a niepokoił problem sprzeczności jego hipotezy wiel kich liczb oraz przyjęcia G<x t'1 z teorią grawitacji Einsteina.
Teorie g r aw itacji 59
W tym celu zrekonstruował on ( D i r a c 1973, 1979) jednolitą teorię pola grawitacyjnego opartą na geometrii W e y 1 a wprowa dzając dwie metryki (atomową i grawitacyjną) oraz funkcję s k a li. Geometria W e y 1 a (W e y 1 1 9 2 2 ), w której metryczne własności p rze strzen i są określone przez tensor metryczny g ^ oraz wektor skali k ^ , nadaje się do sformułowania te o rii g raw itacji niezm ienni czej względem transform acji sk ali. Czasoprzestrzeń jest pkalowo n i e zm iennicza, je ż e l i zmiana skali czy standardu długości o czynnik /3( x) będący funkcją współrzędnych n ie zmienia praw fizy czn y ch cza so przestrzen i. Zmiany skali i standardu długości prowadzą do zmian elementu liniowego zgodnie z zależnością (1) oraz do zmiany tensora metrycznego p o s t a c i:
form acji skali (s c a le lub g a u g e ), a w postaci podanej przez (2) także transform acji konforemnej. Bazując na powyżej podanych trans formacjach C a n u t o i i n . (1977a) sformułowali skalowo-kowa- riantną teorię pola grawitacyjnego dla dowolnej fu n k cji skali $ ( x ) . W yprowadzili oni uogólnione równania pola grawitacyjnego, które dla jednorodnego i izotropowego doskonałego ośrodka ( c i e c z y ) , ja kim jest Wszechświat z tensorem energii-pędu Ti k = ( P + p ) u ^ujt “ P gj^ oraz elementem liniowym typu Robertsona-Walkera ds2 = c2dt2 - R2( t ) [ d r 2/ ( 1 - k r 2 ) + r 2 ( d82 + tsin2© d<p2 )] , mają postać:
g d z ie : p oznacza gęstość, p - c iś n ie n ie , u i - składową czterowek- tora prędkości, R - czynnik s k a l i, r , 8 ,p - współrzędne sferyczne, t - czas kosmiczny równy czasowi atomowemu, k - stałą krzyw izny. Równania te n ależy uzupełnić o prawo zachowania energii- pędu:
gik " ^ 2gik» (
2
)/ ' E
gdzie g'ik może być gi k « Transformacja tego typu nosi nazwę
trans-R . 0 . 0 trans-R P 2
r + 7T + 15r -72
(3)
(4)
oraz równanie stanu:
60 J . Krempeć-Krygier, B. Krygier
gdzie c je st prędkością dźwięku. Dla jS = const, a śc iśle fl = 1, s
powyższe równania przechodzą w równania pola Einsteina.Praw o
zacho-2 2
wania energii-pędu daje po scałkowaniu: G p R ^ 1+G* ^ 1 +5° s \ Stąd mamy:
1) dla przypadku pyłowego (p = 0 , cg = 0) zmiany gęstości ma t e r i i dane są przez R-5 , podczas gdy w OTW « R-5;
2) dla przypadku promienistego (p = p / 3 , c": = 1/3) zmiany
gęsto-A O 1 /
ści promieniowania opisane są przez p^°< R /3 G , a w OTW p r°< R W ogólności R , p , p i G są funkcjami czasu i fu n k c ji s k a l i. Zmiany
czynnika skali zależą więc n ie tylko od grawitacyjnej dynamiki, lecz również od zmian fu n k cji s k a l i ( t) oraz Rg = /3RA . |3 dla przypadku jednorodnego, izotropowego ośrodka je s t jedynie funkcją czasu. Zmiany G i p z czasem modyfikują również równania hydrodynamiczne i prawa termodynamiczne. Prawo zachowania lic z b y cząstek przyjmuje dla współporuszającej się objętości V postać:
4-£<*tv) - (7Tg - Om - g. lut . o, (6)
(g d z ie M oznacza gęstość masy spoczynkowej = mn. D la p -*■ 0 ,
1 ■» 1 O
ę -*-ę 0 = W i mamy JJ!V G” fł~ °< t ) , a prawo E ulera , c zy li prawo zachowania momentu pędu dane jest p r z e z :
( ę + P) u 1 = ( g lk - u V ) [ p >k + ( f - P ) - ^ “ ] <7)
(g d z ie ,k = 9 / 9 xk ) .
Canuto i Hsieh (1 979 ) podali następujące zmodyfikowane pierwsze prawo termodynamiki dla układów w postaci jednorodnej doskonałej c ie c z y :
dQ = dU + p dV + [ (1 - 7Tg ) p + 3p ] V d <#>, (8)
gdzie Q oznacza c ie p ło , U - energię wewnętrzną daną przez U = 3NQkT/2V/5G oraz </> = ln /3 . W równaniu tym występuje dodatkowy para metr <t> określony przez funkcję skali i jego jakakolwiek zmiana pro wadzi do zmiany energii wewnętrznej układu. <P ma dwie w łasności, a m ianowicie:
a) lokalną uniwersalność - w szystkie układy znajdujące się w lo kalnym obszarze czasoprzestrzeni cechuje i d e n t y c z n e j ;
b) dużo-skalową zmienność - zmiany <ł> - zmiany /3 mają kosmolo giczną skalę.
Teorie grawitacji 61
Zmianie ulegają również parametry obserwacyjne mierzone w ato mowym układzie jednostek, czyli parametr Hubble’a HA = (RA/RA)q , parametr hamowania qA = - ftARA/R^) 0 * gęstość krytyczna i stała kosmologicznaA ^ . Z rozwiązania równań pola grawitacyjnego otrzyma my związki między tymi parametrami w obu układach jednostek postaci:
Ho = Ho + h o ’ 6 d z i e h 0 - ( Ć / P > o .
C a n u t o i in. (1977b) rozważali możliwość połączenia ska- lowo-kowariantnej teorii pola grawitacyjnego z fizyką cząstek ele mentarnych. Dyskutowali więc modele kosmologiczne, w których natę żenia słabych oddziaływań między cząstkami elementarnymi, oddziały wań elektromagnetycznych i grawitacyjnych były porównywalne we
1 c
wczesnych epokach Wszechświata (dla T « 1 0 K). Obecna różnica między tymi oddziaływaniami jest związana ze zmianą ich stosunku z czasem, co wyrażono w skalowo-kowariantnej teorii grawitacji
po-O
przez zmianę stałej kosmologicznej zgodnie z prawem:A[t) = AQ(tQ/t).
Fizycznie A określa wkład próżni do ogólnego tensora energii-pędu, a mianowicie 0 .. . = A /8T1 i p = - A c 2/8TT (Z e l’d o v i c h
prozni
1967). Zmienność stałej kosmologicznej w podanym tempie mogłaby wy tłumaczyć różnicę między obecną jej wartością \A\ < 10”^ cm”2 otrzymaną z badania stabilności gromad galaktyk oraz wartością
A < 1 0 ”^ cip-2 otrzymaną dla t « 10“1^ s, tj.T rs 300 GeV ( L i n d e 1974). A < 10”6 cm”2 osiągnęlibyśmy dla t «. 10“8 s, co nie tak bardzo odbiega od t «
10
” 1^ s pamiętając, że/3
może zmieniać się szybciej z czasem dla niewielkich t.C a n u t o i in. (1977a) zdawali sobie sprawę z faktu, że hi poteza wielkich liczb Diraca może im posłużyć do wyboru funkcji skali najlepiej opisującej fizyczne zjawiska w ramach uogólnionej teorii grawitacji. Zachowali więc hipotezę wielkich liczb Diraca w jej orginalnej formie, lecz zmienili leżącą u jej podstaw teorię. Sformułowali skalowo-kowariantną teorię grawitacji obejmującą pro pozycje D i r a c a jako szczególne przypadki. Omówimy je krótko. Z uogólnionego prawa zachowania (4), z (6) oraz z równań pola (3) otrzymamy dla:
62 J. Krempeć-Krygier, B. Krygier
1) propozycji D i r a c a bez produkcji materii (AC):
p R ^ 1 +cs ^ °< fi “3°s t czyli <=* R~^ oraz p r a< R ^ /3 1. Funkcja skali li ~ t oraz GE = /3GA . D i r a c dyskutował jako jedyny mo
żliwy model kosmologiczny dla tego przypadku model płaski (k = 0) z czynnikiem skali R°< t"*^ i q^ = 2 dający wiek Hubble’a tQ %6 10^ lat ( D i r a c 1979). Z definicji przesunięcia ku czerwieni mamy więc: ( 1 + z) = R ^ / R A = ( t . / t ) 1^ oraz zmiany nparametru"
grawita-T O o *2
cyjnego opisane są przez: G = Gq( tQ/t) = 1 +z) . C a n u t o i in. ( 1977a) rozważają jeszcze jako możliwe modele - modele otwarte (k = -1) z q^ = 0 oraz R° « t dla dużych t i modele zamknięte (k = +1) z q^ = 2 oraz R®< t1^ dla małych wartości© ;
2) propozycji wielokrotnego tworzenia się materii (MC):
p . R3(1+cf)°< p-2-3cff czyli p r-3 p-2 oraz p r-4 ^-3^ "1 “ "1
cja skali f i~ t” oraz Gfi = ft ~ G^. Wychodząc z zasady Macha
MG/Rc2 = const, D i r a c U974a) stwierdził, że dla pyłowego pła-A
skiego modelu (k = 0, p = 0) czynnik skali R «* t oraz qQ = 0. Wtedy zmiany G oraz M z przesunięciem ku czerwieni opisane są przez:
_2 ^ f
G = GQ (1 + z), M = M0 (1 + z) . Uogólnione równania pola grawita cyjnego nie dopuszczają istnienia takiego rozwiązania dla A = 0.
Rozwiązanie ich pozwala na występowanie modeli płaskich z R = t (lnt)2^ , modeli zamkniętych oraz najbardziej faworyzowanych przez obserwacje modeli otwartych z R = t Int.
W standardowej kosmologii promieniowanie szczątkowe tła jest rozważane jako pozostałość po erze promieniowania (T >4000 K) i przemawia za modelem „wielkiego wybuchu" Wszechświata (big bang). Nasuwa się pytanie,jak można pogodzić istnienie tego promieniowania- z hipotezą wielkich liczb Diraca. Przyjmując na temperaturę promie
niowania szczątkowego tła w chwili obecnej T = 3 K możemy
skon-' 2 10
struować bezwymiarowe liczby, a mianowicie m c /kT = 10 =
= (1040)1/4 •*< (tQ)1/4 oraz mnc2/kTo «kilka • 1015«(1040)1/3c><(to)1/3 (n^ oznacza masę nukleonu) zgodne z hipotezą wielkich liczb (C a-
n u t o i L o d e n q u a i 1977). Stąd otrzymamy dla teorii
grawitacji Diraca spadek temperatury promieniowania szczątkowego tła z czasem proporcjonalny do t-1^4 czy t“1^ , a więc znacznie wolniejszy od OTW: T <xt . Według D i r a c a ( 1979) promienio wanie szczątkowe tła ochładza się zgodnie z zależnością T *=*< t”1//^ od momentu czasu bliskiemu „wielkiemu wybuchowi", co nie przeczy obecnym obserwacjom. V/ standardowej kosmologii ochładzanie T <=•< t”1 następuje od momentu „decoupling" (T « 4000 K). Jednocześnie należy
Teorie grawitacji 63
zaznaczyć, że istnienie jakiejkolwiek wyróżnionej epoki byłoby sprzeczne z hipotezą D i r a c a .
Pozostają jeszcze trudności związane z wyjaśnieniem zachowania się charakteru widma promieniowania szczątkowego tław postaci widma Plancka. -Tworzenie się fotonów powinno prowadzić do odstępstw od rozkładu Plancka z T = 3 K, a charakter tych odstępstw zależy od przyjętej propozycji D i r a c a o tworzeniu się materii. Można jednak ominąć te trudności zakładając,że materia głównie tworzy się w postaci nukleonów w już istniejących skupiskach materii.Niewątpli wie jest to sztuczne założenie. Dyskutowane trudności znikają w ska lo wo-kowariantnej teorii grawitacji ( C a n u t o i H s i e h 19 79 ).W teorii tej początkowy rozkład widmowy promieniowania posta ci pr(ł = /J7"9”2 ^ f(p/£T) = fi -2G-1 i> 3 f(P//3T) ewoluuje w widmo
T*g -2
,
P di;o = ^o po ‘o/ ^0 V d o z obecn3 temperaturą Tq =
Po
= T( (3 R/ /3RQ) . Widzimy więc,że w tej teorii jak i w teorii standard owej swobodnie przepływające promieniowanie zachowa swój rozkład równoważny z odpowiednio wyskalowaną temperaturą. Ponadto można przyjąć taką normalizację, że obecnie 0O = 1 i otrzymamy zgodność obecnego rozkładu promieniowania szczątkowego tła z obserwowanym. Szczątkowe promieniowanie tła interpretuje się więc w skalowo-kowa- riantnej teorii grawitacji jako pozostałość po równoważnym promie niowaniu z wcześniejszych epok.