Omówimy teraz wyniki obliczeń modeli gwiazd rotujących odpowia dających typom widmowym A. Pełny układ równań opisujących model ta kiej gwiazdy musi oczywiście opisywać zarówno jądro, w którym gene rowana jest energia, jak i zewnętrzną otoczkę będącą w równowadze promienistej i pozbawioną ruchów turbulentnych. Ponieważ nas będzie interesowała wyłącznie otoczka, przedyskutujemy skromniejszy układ równań opisujących tylko tę otoczkę. Wygląda on następująco:
grad p + pgradcf + ? = 0, (10) A y = 47Tp G, (11) div *rad = °» (12) *rad = " T) grad T » (13) ( 14) k p T ^ m H
W równaniach tych p, ę i T są ciśnieniem, gęstością i temperaturą, V jest potencjałem grawitacyjnym,Frad strumieniem energii promieni
stej (zgodnie z naszym założeniem, energia w otoczce przenoszona jest wyłącznie na drodze promienistej), A(p, T) odpowiednim współ
czynnikiem, którego dokładny kształt nie jest nam potrzebny, G, k,
p i mjj są, odpowiednio, stałą grawitacji, stałą Bolzmanna, średnim
ciężarem cząsteczkowym i masą atomu wodoru. 7 zawiera w sobie wszyst
kie inne siły, które mogą wystąpić w równaniu równowagi hydrosta tycznej .
Pola magnetyczne 25
Rozpatrzmy najpierw najprostszą sytuację, gdy f ■ 0. Mamy wtedy
do czynienia z nierotującą gwiazdą, która będzie oczywiście miała symetrię sferyczną. Wektorowe równanie (10) zredukuje się we współ rzędnych sferycznych do jednego równania skalarnego postaci:
p <*Ł = _ p 1 2
^ dr dr
i podobnie z równania ( 13) też otrzymamy jedno równanie skalarne. Będzie więc łącznie pięć równań na pięć niewiadomych p, p, T, <f
i Fra(j. Można zatem jednoznacznie znaleźć konfigurację spełniającą nasze założenia, tzn. będącą w równowadze promienistej (oczywiście po sprecyzowaniu odpowiednich warunków brzegowych). Sytuacji nie zmieni fakt, jeżeli siła 7 będzie miała tylko składową radialną,
zadaną analitycznie (np. pochodzącą od ciśnienia promieniowania). Jako drugi etap rozpatrzymy gwiazdę rotującą. Pozwoli nam to na wyrobienie intuicji pomocnej przy zrozumieniu zaburzenia wprowadzo nego przez obecność pola magnetycznego.
Załóżmy zatem, że zadajemy analitycznie z góry prawo rotacji i jako najprostszy wypadek przyjmijmy rotację jednorodną z prędkoś cią kątową Si . Wtedy siła 9 będzie miała postać:
? = £2 x {Si x r) p
i będzie miała dwie składowe fr i (w sferycznym układzie współ
rzędnych) . Równanie (10) da nam teraz dwa równania skalarne:
T
= ~ F H " * <1 5 * )Zauważmy, że przybyło nam w ten sposób jedno równanie, ale ani jed na niewiadoma ( 9 jest zadane). Wprawdzie również równanie (13) roz
padnie się na dwa, ale Frad teraz też będzie miało dwie składowe, które trzeba obliczyć, czyli tutaj stosunek ilości niewiadomych do ilości równań nie ulegnie zmianie. A zatem w sumie dostajemy o jedno równanie za dużo (czasami mówimy, że problem jest nadokreślony). Z równań (11), (14) i (15) możemy w pełni wyznaczyć ę , p, T i <f, co
Powoduje, że prawa strona równania (13) też jest wyznaczona i na ogół nie można znaleźć takiego ?rad, który by równocześnie spełniał równania (12) i (13). Gdy odkryto ten fakt kilkadziesiąt lat temu, stwierdzono, że istnieją dwa wyjścia z sytuacji: albo struktura
26 K. Stępień
gwiazdy rotującej musiałaby dopasować się tak, by strumień promie
nisty obliczony z równania (13) spełniał warunek równowagi promie
nistej dany równaniem (12), albo nie może istnieć rotująca jednorod nie gwiazda w równowadze promienistej. W pierwszym wypadku gwiazda musiałaby bardzo osobliwie wysyłać energię generowaną w jądrze: najwięcej w kierunku osi rotacji, a najmniej w płaszczyźnie równika, i ta asymetria zależałaby od tempa rotacji (rys. 1). Jest to
oczy-Rys. 1. Powierzchnie ekwipotencjalne (będące równocześnie powierzch niami stałej temperatury) w gwieździe rotującej. Zagęszczenie tych powierzchni na osi rotacji oznacza, że większy jest tam gradient temperatury, a co za tym idzie większy strumień energii promieni stej (zgodnie z równaniem (13)). Aby pozostać w równowadze, gwiazda musiałaby wysyłać w tym kierunku z jądra odpowiednio więcej energii
wiście zupełnie niefizyczne założenie. A zatem pozostaje druga mo żliwość. Warunek stałości strumienia promienistego trzeba zastąpić innym, ogólniejszym,że stały jest strumień całkowity składający się w części ze strumienia promienistego, a w części z konwektywnego. Rachunki pokazują, że strumień konwektywny musi „wspomagać" strumień promienisty wzdłuż osi rotacji, zatem gorące elementy gazu muszą się tam unosić w górę przenosząc energię cieplną, a w płaszczyźnie rów nika elementy chłodne muszą opadać zmniejszając strumień całkowity. Powstaje charakterystyczny wzór tzw. cyrkulacji południkowych (rys. 2). Wielkość tego dodatkowego strumienia konwektywnego zależy natu ralnie od szybkości rotacji i trzeba ją obliczyć dla każdej warto ści £2. Jest to więc brakująca nam niewiadoma domykająca problem. Należy podkreślić, że generowane na tej drodze ruchy mają zupełnie
Pola magnetyczne 27
inny charakter niż konwekcja turbulentna, gdyż typowa skala opływu narysowanej na rys. 2 pętli przez dany element gazu jest rzędu m i liona lat.
Rys. 2. Linie prądowe cyrkulacji południkowych. Cyrkulacje te redy- strybuują strumień energii, który jest produkowany w jądrze sferycz- no-symetrycznie w ten sposób,by całkowity strumień energii (promie nistej plus konwektywnej) był dopasowany do struktury gwiazdy
rotu-dącej
Można oczywiście przyjąć inne założenia przy budowie modelu gwiazdy rotującej poprzez dopuszczenie, by G! nie było stałe w całej gwieździe, lecz by było nie znaną a priori funkcją współrzędnych. Wtedy też wprowadzamy do problemu jeszcze jedną niewiadomą i po przedni układ zawiera dokładnie tyle równań ile niewiadomych, dzię ki czemu nie ma potrzeby uchylania warunku równowagi promienistej. Modele takie były też liczone i znaleziono rozkład prędkości kąto wej spełniający powyższe założenia. Niestety, badania stabilności otrzymanych modeli pokazały, że znalezione rozkłady prędkości kąto wej prowadzą do niestabilności konfiguracji gwiezdnej. Obecnie p o wszechnie przyjmuje się,że rotacja musi indukować cyrkulacje połud nikowe.
Uzbrojeni w intuicję wyrobioną na modelach gwiazd rotujących, "bez trudu zrozumiemy, jaki wpływ na model gwiazdy będzie miało wpro wadzenie do niej pola magnetycznego. Jeżeli pole nie jest bezsiło- we, jego obecność spowoduje powstanie siły Lorentza:
28 K. Stępień
a co za tym idzie, sytuacji identycznej, jak przy wprowadzeniu rota cji. I dalej: gdybyśmy pole magnetyczne z góry zadali, to nie mogli byśmy na ogół otrzymać modelu w równowadze promienistej. Niestety, w literaturze pokazało się w swoim czasie kilka prac, w których ba dano strukturę zewnętrznych warstw gwiazdy magnetycznej przy obec ności zadanego pola magnetycznego i milczącym przyjęciu, że warunek równowagi promienistej jest spełniony. Modele takie muszą być we wnętrznie sprzeczne. Błąd popełniano wskutek tego, że bardzo roz powszechnione było zakładanie zadanego analitycznie pola przy po szukiwaniu modeli plam słonecznych. Ale w plamach znaczna część energii przenoszona jest na drodze konwektywnej. Wprowadzenie pola magnetycznego powodowało zmianę strumienia konwektywnego energii i nowy strumień był dodatkową niewiadomą układu rówńań powodując jego domknięcie.
Przejdziemy teraz do omówienia modeli całych gwiazd z polem ma gnetycznym. Na początku założymy, że pole na zewnątrz gwiazdy jest dipolowe i zachowuje swoje podobieństwo do dipola wewnątrz gwiazdy (choć, ponieważ wewnątrz gwiazdy płyną prądy, przestaje być czystym dipolem). Ściśle mówiąc: rozpatrujemy wewnątrz gwiazdy pole otrzyma ne z potencjału wektorowego o składowych:
/t _ a _ o . _ b( r) sin
&
r u » --- “
Funkcja b(r) jest brakującą nam niewiadomą związaną z polem magne tycznym. Dla bezprądowego dipola b(r) = 1/r i do takiej wartości musi dążyć b na powierzchni gwiazdy. W środku gwiazdy prądy również powinny znikać. Zatem obydwa warunki brzegowe na b mają postać:
1
-
0.
x2 dr2
™ i b . db „
x = 1» x" dr"= °»
gdzie x = r/R, a R jest promieniem gwiazdy. Z pierwszego warunku
O
brzegowego widać, że b ~ x w pobliżu środka, a z drugiego, że
b ~1/x w pobliżu powierzchni. Należy zatem oczekiwać jakościowego przebiegu b(x), takiego jak na rys. 3, przy czym dokładny przebieg części przerywanej musi być znaleziony z obliczeń.
Przy prowadzeniu obliczeń wprowadzono dwa bezwymiarowe parame try będące miarą stosunku energii magnetycznej do potencjalnej i ro tacyjnej do potencjalnej gwiazdy (M jest masą gwiazdy):
Pola magnetyczne 29
AH . f R 2 | i / f ^ . gdzie B = Br( ^ = o, r = R)»
la -
n n2*2
/ t t 'Istotnym założeniem rachunkowym było przyjęcie, że /*H <§1, gdyż to pozwoliło rozwinąć odpowiednie parametry występujące w równaniach budowy wewnętrznej względem Ag. Za
łożenie małości .Ry jest bardzo do brze spełnione we wszystkich reali stycznych modelach gwiazd magnetycz nych. Można było również przyjąć, że przewodnictwo jest nieskończone bio rąc pod uwagę, że skala dyfuzji pola jest bardzo długa. Jako wypadek naj prostszy rozważano rotację jednorod ną. Jak wiemy, wywołuje ona odstęp stwa od równowagi promienistej i cyr kulacje południkowe. Otóż zadaniem postawionym sobie było znalezienie takiego pola magnetycznego, które wywoła perturbację modelu gwiazdy dokładnie przeciwną niż rotacja i po zwoli na zachowanie równowagi pro
mienistej. Innymi słowy: rotacja
chciałaby pobudzić cyrkulacje południkowe, a my szukamy takiego po la, które by te cyrkulacje zastopowało. Okazało się, że dla każdej prędkości kątowej z szerokiego zakresu wartości można znaleźć takie Pole, które wstrzymuje cyrkulacje pozwalając na istnienie w gwieź-
dzie równowagi promienistej ( W r i g h t 1969; M e s t e 1
1 M o s s 1977). Rysunek 4 pokazuje przebieg linii pola policzo nego dla różnych wartości prędkości kątowej. Jak widać, im szybsza rotacja, tym większa część pola chowa się pod powierzchnią gwiazdy i tym silniej pole jest skoncentrowane w pobliżu środka gwiazdy. Może w tym wyniku tkwi wyjaśnienie, dlaczego gwiazdy magnetyczne rotują wolniej. Po prostu wszystkie gwiazdy mają pola, ale tylko w wolniej rotujących pojawia się ono na powierzchni, natomiast w szybko rotujących jest ukryte pod powierzchnią. Należy dodać, że Podobne wyniki uzyskano dla pól kwadrupolowych.•
Rys. 3. Jakościowy przebieg, funkcji b(r) zgodny z warunka mi brzegowymi. Dokładny kształt części przerywanej musi być
30 K. Stępień
Rys. 4 . Linie ciągłe pokazują przebieg l i n ii pola o charakterze d i polowym wewnątrz gwiazdy. Linia przerywana oddziela l in ie , które są
zamknięte wewnątrz gwiazdy i z zewnątrz są niewidoczne
M o n a g h a n i R o b s o n (1971) policzyli dodatkowo
kształt gwiazdy z polem magnetycznym. Gdy pole jest bardzo silne,
6 7
rzędu 10 - 1 0 Gs na powierzchni, gwiazda odkształca się i kurczy
(rys. 5) przybierając oryginalny
kształt iiCiastka z dziurką". Ponie
waż jej jasność praktycznie nie
ulega zmianie, mniejsza powierzchnia
oznacza wyższą temperaturę niż
u gwiazdy normalnej. Jest to efekt
do pewnego stopnia przeciwny wywo łanemu przez rotację, która powodu
je (poza odkształceniem) ekspansję
gwiazdy i zmniejszenie jej tempera
tury. Niestety, takie pola, przy
których odkształcenie jest znaczą
ce, są o czynnik ~ 100 większe od
najsilniejszego pola obserwowanego w gwiazdach magnetycznych.
Przy interpretacji wyników wy
łoniła się pewna trudność. Dla za
danej rotacji istnieje tylko pewien
magnetycznego (liczonego jako całka z pola magnetycznego po pła
szczyźnie równika od środka gwiazdy do punktu neutralnego, poza któ rym linie pola się zamykają), dla którego można było znaleźć rozwią zanie. Jest to dość oczywiste intuicyjnie: gdy gwiazda rotuje szyb
ko, pole nie może być zbyt słabe, jeżeli ma zatrzymać cyrkulacje
— 2
go. Wartość = 10 odpowia
da natężeniu na powierzchni 7
rzędu 10 gausów
Pola magnetyczne 31
południkowe. A zatem pole musi być do pewnego stopnia dopasowane do rotacji. Powstaje pytanie: co się stanie, jeżeli pole będzie miało nniewłaściwy" strumień magnetyczny? Nie jest to problem czysto aka demicki, gdyż nawet gdyby gwiazda miała na początku „dobre" pole, to z czasem będzie ono zanikać i może po pewnym czasie okazać się za słabe. Należy przypuszczać, że wtedy pole nie będzie w stanie zahamować cyrkulacji południkowych. Konieczne zatem staje się zba danie modeli, w których pole magnetyczne „współżyje" z cyrkulacjami południkowymi. Napotykamy tu jednak natychmiast na poważne utrudnie nia. Nie możemy już założyć nieskończonego przewodnictwa, gdyż gdy byśmy to założyli (co oznaczałoby całkowite wmrożenie linii pola w materię) ruch materii byłby możliwy tylko wzdłuż linii pola, a po nieważ, jak wynika z rys. 2, linie prądowe ruchu materii zamykają
się w gwieździe, to i pole też musiałoby być całkowicie pod po wierzchnią gwiazdy i mieć bardzo specjalny charakter. Jest to wypa dek niefizyczny i nieinteresujący. Dopuszczając istnienie pola na powierzchni gwiazdy i w przestrzeni otaczającej ją, musimy dopuścić przepływ w poprzek linii pola, który może odbywać się w stanie sta cjonarnym tylko z prędkością dyfuzji tych linii w materii. Na szczę ście nie musimy wprowadzać równania ruchu,lecz możemy zachować rów nanie równowagi hydrostatycznej, gdyż ruchy cyrkulacyjne są tak po wolne (nawet w pobliżu powierzchni, gdzie z równania ciągłości
i spadku gęstości wynika znaczny wzrost prędkości), że w każdym mo mencie zachowana jest równowaga.
Rachunki dla pól dipolowych i kwadrupolowych wykonane zostały przez M o s s a (1974) oraz M e s t e l a i M o s s a (1977). Pokazały one, że dla danej rotacji można było otrzymać dwie klasy rozwiązań: aktywne i pasywne. Aktywne, odpowiadające raczej silnym polom, były równoważne znalezionym poprzednio bez cyrkulacji, z tym że teraz prędkości cyrkulacji były zmniejszone w całej gwieździe nie do zera, ale do wartości wynikających ze skończonego przewod nictwa. Rozwiązania pasywne odpowiadały słabszym polom i wyglądały "tak, że cyrkulacje wewnątrz gwiazdy były niezaburzone (a pole tak się do nich dopasowało, że składowa ruchu prostopadła do linii pola też była równa prędkości dyfuzji), natomiast pole redukowało pręd kości cyrkulacji płytko pod powierzchnią. Rozszerzono zatem klasę rozwiązań, ale nie udało się ich otrzymać dla dowolnej pary prędko ści kątowej i strumienia magnetycznego. Problem niewłaściwego stru mienia pozostał.
32 K. Stępień