Identyfikacja i estymacja parametrów modelu

W głównej mierze nasza uwaga będzie skupiona na identyfikacji i estymacji parametrów utożsamianych z wahaniami koniunkturalnymi. Jak się okarze w poniższych rozważaniach z

es-12 Przykładem takiego szeregu czasowego jest szereg czasowy postaci: Pt= Pt−1+ ǫt, dla którego istnieje takie t0∈ Z, że E(Pt0) <∞, zaś szereg czasowy {ǫt: t∈ Z} jest POS o stałej funkcji wartości średniej.

13 Wystarczy rozważyć szereg czasowy z trendem deterministycznym postaci: Pt= at+ǫt, gdzie {ǫt: t∈ Z} jest szeregiem czasowym POS, zaś a ∈ R.

14 Patrz Uwaga 1.3.1.

15 Patrz dla przykładu: Nelson i Kang (1981), Kaiser i Maravall (1999), Gómez (2001), Shenk-Hopp´e

tymacji niektórych parametrów będzie można zrezygnować, dzięki zastosowaniu filtrów linio-wych.

Zaproponowany algorytm identyfikacji i estymacji parametrów modelu będzie bazował za-sadniczo na użyciu dwóch filtrów. Pierwszy stosowany filtr ma na celu osłabienie wahań se-zonowych obecnych w większości wskaźników makroekonomicznych. Stosowanym w tym celu rozwiązaniem będzie filtr scentrowanej średniej ruchomej (patrz dla przykładu Brockwell i Davis (2002a), Makridakis i inni (1998)). Drugi filtr będzie miał na celu eliminację (lub osłabienie) trendu (stochastycznego bądź deterministycznego). Rozważony zostanie przypadek zastoso-wania filtru p-krotnych różnic, po zastosowaniu którego przyjęte zostaje założenie o prawie okresowej postaci funkcji autokowariancji otrzymanych po różnicowaniu wahań. W konsekwen-cji po zastosowaniu dwóch filtrów problem identyfikakonsekwen-cji i estymakonsekwen-cji parametrów modelu (4.2) sprowadzony zostanie do wykorzystania wyników zawartych w Rozdziale 3 pracy.

Algorytm identyfikacji i estymacji parametrów modelu przedstawimy w postaci algorytmu składającego się z czterech etapów. W większości przypadków przed zastosowaniem tego algo-rytmu realizacja danego szeregu czasowy będzie poddana operacji logarytmowania, logarytmem o podstawie naturalnej16.

Etap 1 - osłabienie wahań sezonowych. Zważywszy na fakt, że w większości miesięcznych wskaźników makroekonomicznych obecne są wahania sezonowe spowodowane zmianami pór roku oczywiste wydaje się być spostrzeżenie, że

ΨP ∩ {2kπ/12 : k = 1, 2, . . . , 11} 6= ∅,

co oznacza ze zbiór ΨP zawiera pewne częstotliwości odpowiedzialne za wahania sezonowe. Identyfikacja parametrów modelu odpowiedzialnych za wahania sezonowe nie jest jednak kluczowym celem podczas badań nad wahaniami aktywności gospodarczej. Chcąc wyeli-minować wahania sezonowe oraz jednocześnie wzmocnić wahania koniunkturalne będziemy stosować dla rozważanego wskaźnika filtr z rodziny scentrowanej średniej ruchomej. Jedną z możliwości jest wspomniany już operator typu 2x12MA (patrz: Makridakis i inni (1998), Brockwell i Davis (2002a)). Działając operatorem 2x12MA otrzymujemy szereg czasowy {Yt: t∈ Z} dla którego:

Y_t= L_2×12(B)P_t, gdzie

L2_×12(B) = (B⁻⁶+ 2B⁻⁵+ . . . + 2B⁻¹+ 2 + 2B + . . . + 2B⁵+ B⁶)/24,

zaś BkPt = Pt_−k dla dowolnych całkowitoliczbowych wartości czasu t i przesunięcia k. Zauważmy, że dla szeregu czasowego {Yt: t∈ Z} bezwarunkowa wartość oczekiwana istnieje. Korzystając z Twierdzenia B.1 otrzymujemy funkcję bezwarunkowej wartości oczekiwanej szeregu czasowego {Yt : t∈ Z} postaci

µY(t) = E(Yt) = ˜β0+ ˜β1t + . . . + ˜βpt^p | {z } ˜ f (t, ˜β) + ^X ψ∈ΨY mY(ψ)e^iψt, (4.4)

16 Po operacji logarytmowania wyodrębniony cykl (przy zastosowaniu kroków Etapu 4) pozwoli na

inter-pretację tych wahań jako cyklu odchyleń. Kolejnym celem operacji logarytmowania jest ewentualne wyrównanie amplitudy wahań sezonowych, co ułatwi ich osłabienie w Etapie 1 algorytmu.

gdzie

ΨY ∩ {2kπ/12 : k = 1, 2, . . . , 11} = ∅ oraz

ΨY = ΨP \ {2kπ/12 : k = 1, 2, . . . , 11}.

Oznacza to, że szereg czasowy {Yt : t∈ Z} zawiera te same częstotliwości w zbiorze ΨY co szereg czasowy {Pt : t ∈ Z} w zbiorze ΨP, po odjęciu częstotliwości odpowiedzianych za wahania sezonowe. Dodatkowo, dla współczynników mP(ψ) oraz mY(ψ) zachodzi zależność

mY(ψ) = L2_×12(e^−iψ)mP(ψ). (4.5)

Dla współczynników ˜β_k oraz βk otrzymujemy ˜β_k = βk, dla k = p oraz k = p −1, co oznacza, że dla p = 0 oraz p = 1 współczynniki wielomianów się nie zmieniają. W przypadku, gdy p = 2 zmienia się jedynie wyraz wolny wielomianu¹⁷.

Etap 1 będzie wykonywany dla wszystkich rozważanych wskaźników makroekonomicznych podczas analizy cykliczności koniunkturalnej – bez względu na uzasadnienie obecności wa-hań sezonowych. Powodem są własności jakie posiada filtr 2x12MA, po zastosowaniu któ-rego „wahania przypadkowe” zostają osłabione, co ułatwi kolejne etapy analizy.

Etap 2 - eliminacja trendu. Kolejnym krokiem, który zastosujemy w algorytmie identyfi-kacji częstotliwości zbioru ΨP w reprezentacji (4.2) utożsamianych z częstotliwościami od-powiedzialnymi za wahania koniunkturalne jest zastosowanie operatora eliminującego ewen-tualny trend z szeregu czasowego {Pt: t∈ Z}. Przypomnijmy, że w pracy rozważmy jedynie przypadek, w którym funkcja f(t, β) jest wielomianem stopnia p, gdzie p ≤ 2. Rozważymy dwa przypadki.

Przypadek 1. Niech p = 1. Stosując operator L1(B) = (1− B) dla szeregu czasowego

średniej ruchomej otrzymujemy szereg czasowy {Xt : t∈ Z} postaci:

Xt = L1(B)Yt= Yt− Yt−1 = (Pt+6− Pt−6+ Pt+5− Pt−7)/24.

Wartość oczekiwana dla szeregu czasowego {Xt : t ∈ Z} istnieje i jest funkcją prawie okresową postaci µX(t) = β1+ ^X ψ∈ΨX mX(ψ)e^iψt, (4.6) gdzie ΨX = ΨP \ {2kπ/12 : k = 0, 1, 2, . . . , 11}, 17

Zaznaczmy bardzo wyraźnie, że szereg czasowy {Yt: t∈ Z} nie jest w tym momencie traktowany jako

estymator (zgodny w odpowiednim sensie probabilistycznym, np. średnio-kwadratowym) trendu ani też jako estymator sumy trendu i wahań cyklicznych. Szereg ten jest przekształceniem rozważanego szeregu czasowego {Pt: t∈ Z}, tak aby ze zbioru częstotliwości ΨP usunąć częstotliwości odpowiedzialne za wahania sezonowe. Co więcej, oprócz zgodności tych częstotliwości można w sposób bardzo naturalny i intuicyjny uzasadnić dlaczego proces średniej ruchomej może być w nieformalnym sensie „identyfikowany” z wahaniami rozważanego szeregu czasowego, z pominięciem jedynie wahań sezonowych. Otóż, różnica w wartościach średniej ruchomej informuje nas o różnicy w całorocznej średniej. Zważywszy zaś na fakt iż średnia jest całoroczna nie uwzględniamy różnic spowodowanych zmianami pór roku a jedynie różnice spowodowane generalną tendencją w rozważanym szeregu czasowym i innymi zmianami z uwzględnieniem zmian koniunkturalnych.

co wynika z Twierdzenia (B.1). Co więcej

mX(ψ) = L1(e^−iψ)mY(ψ) = L1(e^−iψ)L2_×12(e^−iψ)mP(ψ). (4.7) oraz

ΨX ∩ (0, 0.35) = ΨP,1. (4.8)

Kolejnym spostrzeżeniem jest fakt, iż wartość oczekiwana szeregu czasowego {Xt : t ∈ Z} jest funkcją prawie okresową, dla której Warunek 1.5.1 jest spełniony. Tak otrzymany szereg wynikowy {Xt : t ∈ Z} można identyfikować z dynamiką zmian szeregu czasowego {Pt : t ∈ Z}. Dokładna interpretacja ekonomiczna zostanie przedstawiona w następnym paragrafie.

Przypadek 2. Niech p = 2. W tym przypadku stosujemy operator L2(B) = (1− B)2. W ten

sposób otrzymujemy Xt = (1− B)(Pt+6− Pt−6+ Pt+5− Pt−7)/24, µ_X(t) = ˜β₂+ ^X ψ∈ΨX m_X(ψ)e^iψt, (4.9) gdzie

mX(ψ) = L2(e^−iψ)mY(ψ) = L2(e^−iψ)L2_×12(e^−iψ)mP(ψ), (4.10) ΨX = ΨP \ {2kπ/12 : k = 0, 1, 2, . . . , 11}.

Analogicznie jak w przypadku, gdy p = 1 otrzymujemy

ΨX ∩ (0, 0.35) = ΨP,1. (4.11)

W tym miejscu warto wyjaśnić, dlaczego przed przystąpieniem do wyznaczania pierwszych lub drugich różnic nie wykonujemy znanych w literaturze testów pierwiastka jednostko-wego ADF (Augmented Dickey-Fuller). Powodem jest brak w literaturze uzasadnienia dla stosowania testu ADF w przypadku, gdy zakładamy, że wartość oczekiwana rozważanego szeregu czasowego zależy od wartości nietrywialnej funkcji prawie okresowej. Operacja róż-nicowania, która jest wykonywana w Etapie 2 jest postrzegana w kategoriach filtru, dzięki któremu wyeliminowany zostanie ewentualny składnik trendu liniowego, bądź trendu sto-chastycznego. Nieuzasadnione stosowanie filtru różnicowania nie powoduje bowiem utraty żadnych informacji (z formalnego punktu widzenia) o częstotliwościach utożsamianych ze zmianami koniunktury (patrz formuły (4.8), (4.11)).

Etap 3 - identyfikacja i estymacja częstotliwości. Identyfikacja i estymacja częstotliwo-ści w zbiorze ΨP dla szeregu czasowego {Pt : t∈ Z} sprowadza się zatem do identyfikacji ich na podstawie realizacji szeregu czasowego {Xt: t ∈ Z}¹⁸.

18 W literaturze dotyczącej analizy wahań aktywności gospodarczej znaleźć można również przykłady

za-stosowania szeregów Fouriera jako metody aproksymacji funkcji trendu. W monografii Milas i inni (2006) (Rozdział 9, str. 221-246) rozważono model ze zmiennym w czasie wyrazem wolnym, który aproksymowano przy zastosowaniu szeregów Fouriera. Podejście to jest jednak nieco inne od tego jakie zaprezentowano w rozprawie doktorskiej, gdzie analiza fourierowska jest stosowana w celu identyfikacji i estymacji parametrów mogących mieć wpływ na obraz wahań koniunkturalnych. Funkcja trendu nie podlega zaś estymacji, jak to miało miejsce w przypadku wyników zawartych w Milas i inni (2006).

W tym momencie sformułujemy dodatkowe bardzo istotne założenie dotyczące szeregu cza-sowego {Xt: t∈ Z}. Założenie to umożliwia identyfikację częstotliwości zbioru ΨP szeregu czasowego {Yt: t ∈ Z} na podstawie realizacji szeregu czasowego {Xt : t∈ Z}. Założenie to mówi, że szereg czasowy {Xt: t ∈ Z} jest szeregiem czasowym POS, co oznacza że charak-teryzuje się również prawie okresową funkcją autokowariancji. Założenie to jest konieczne w celu identyfikacji częstotliwości zbioru ΨP metodami zaprezentowanymi w Rozdziale 3 pracy. Nie jest to restrykcyjne założenie, zważywszy na fakt, iż szereg ten ten powstał w wyniku zastosowania operatora różnicowania i operatora średniej ruchomej dla pierwot-nych dapierwot-nych. Założenie o prawie okresowej strukturze funkcji autokowariancji powstałego szeregu czasowego w wyniku operacji różnicowania dla pierwotnych danych wydaje się nie budzić zastrzeżeń w późniejszej analizie przypadków. Nieco silniejsze założenie o okresowej strukturze funkcji autokowariancji pojawia się w wielu cytowanych wczesnej artykułach oraz monografiach dotyczących analizy wskaźników makroekonomicznych (patrz dla przykładu: Parzen i Pagano (1979), Osborn i Smith (1989), Franses i Boswijk (1996), Franses (1996), Franses i Ooms (1997), Franses i Dijk (2005)).

W celu identyfikacji parametrów zainteresowania w zbiorze ΨP,1 stosujemy statystykę te-stową ˜Πn({ψ}) =^√n|ˆrn(ψ)| oraz korespondujące wartości krytyczne ˜gn,b(0.99%) dla szeregu {Xt : t ∈ Z}. Przypomnijmy, że statystyka testowa ˜Πn({ψ}) może być identyfikowana z wartością statystyki testowej Πn({ψ}) = ^√n| ˆm_n(ψ)| opartej na próbie {X1 − Xn, X₂ −

Xn, . . . , Xn− Xn}, gdzie Xn jest średnią z próby {X1, X2, . . . , Xn}. Wartość krytyczna jest obliczana jako ˜ g_n,b^{ψ}(1− α) = inf{x : ˜G^{ψ}_n,b(x)≥ 1 − α}, gdzie ˜ G^{ψ}_n,b(x) = ¹ n− b + 1 n−b+1 X t=1 1{^√b|ˆrn^t−1,b(ψ)| ≤ x} oraz ˆ r_n^t−1,b(ψ) = ¹ b t+b−1 X j=t (Xj− Xn)e^−iψj.

Wielkość parametru b ustalana jest jako b = 2.5√n. Wartości statystyki testowej wraz z wartościami krytycznymi wyznaczamy dla częstotliwości ψ z dyskretnego zbioru19 zawar-tego w przedziale (0, 0.35). Jeśli wartość statystyki testowej przekracza wartość krytyczną na pewnym przedziale I ⊂ (0, 0.35), wtedy zakładamy, że w przedziale tym zawarta jest czę-stotliwości ze zbioru ΨP,1. W kolejnym kroku estymujemy wartość nieznanej częczę-stotliwości korzystając z wyników zawartych w Paragrafie 2.1.2 (patrz Twierdzenie 2.1.5).

Etap 4 - wyodrębnienie cyklu filtrem Hodricka i Prescotta. W tym kroku omówimy problem wyboru parametru metody Hodricka i Prescotta, tak aby poprawnie wyodrębnić wahania będące obiektem zainteresowania.

Poprzez filtr HP będziemy rozumieć filtr (wyodrębniający wahania cykliczne) postaci: L(B) =

P∞

k=−∞ajBj = 1− 1/(1 + λ(1 − B)2(1− B−1)2), gdzie filtr 1− L(B) jest filtrem wyod-rębniającym długookresową ścieżkę wzrostu lub spadku – czyli trend. W rozprawie

torskiej nie zbadano formalnie wpływu działania filtra HP na szereg czasowy dla którego spełnione jest równie 4.220. Wstępne wyniki autora rozprawy sugerują że otrzymany w ten sposób szereg czasowy {Xt = L(B)Yt : t ∈ Z} charakteryzuje się prawie okresową po-stacią funkcji wartości oczekiwanej z częstotliwościami w zbiorze Ψ_X spełniającymi za-leżność ΨX _{∩ (0, 0.35) = Ψ}P,1 ∩ (0, 0.35) oraz współczynnikami Fouriera mY(ψ) postaci mX(ψ) = L(e^−iψ)mY(ψ). Pomimo, iż nie przedstawiono dokładnego formalnego uzasadnie-nia dla zastosowauzasadnie-nia filtra HP (przy założeuzasadnie-niach modelowych (4.2)), filtr będzie stosowany w rozprawie w oparciu o ogólną ideę jego konstrukcji wprowadzoną w Hodrick i Prescott (1997)21.

Jednym z powszechnie znanych problemów na gruncie empirycznym w metodzie filtracji zaproponowanej przez Hodricka i Prescotta jest dobór parametru wygładzającego λ tej metody. Wartości parametru λ są różne dla danych o różnej częstotliwości obserwowania. Zmiana parametru λ dla danych wpływa na „gładkość” wyodrębnionej linii trendu. Im większa wartość parametru λ, tym gładsza linia trendu, a przez to wyodrębnione wahania (będące różnicą pomiędzy danymi a wartościami z linii trendu) zawierają cykle o większej długości. Algorytm doboru parametru wygładzającego λ w zależności od długości cykli będących obiektem zainteresowania zaprezentowano w pracy Maravall i del R´ıo (2001). W pracy tej (str. 17 wzór 5.3) przytoczono formułę na wartość parametru λ jako funkcję częstotliwości ω0 postaci

λ = [4(1− cos(ω0))²]⁻¹. (4.12)

Częstotliwość ω0 można interpretować jako dolną granicę częstotliwości będących obiektem zainteresowania. Ustalenie ω0 oznacza, że wyliczona na tej podstawie wartość parametru λ może być interpretowana jako wartość dla której po zastosowaniu filtra HP wzmocnione zostaną wahania o korespondujących częstotliwościach powyżej wartości ω0, zaś osłabieniu wahania o korespondujących częstotliwościach poniżej wartości ω0. Taka interpretacja jest możliwa poprzez wykazanie, iż filtr HP można otrzymać jako szczególny przypadek filtra Butterwortha (patrz Gómez (1999), Gómez (2001)).

Dobór parametru wygładzania λ w rozprawie będzie opierał sie na obserwacji istotnych wartości częstotliwości zidentyfikowanych w Etapie 3 formułowanego algorytmu. Parametr wygładzania dobieramy tak aby osłabić wahania nie będące efektem zmian koniunktury a jednocześnie wzmocnić te wahania, które utożsamiamy ze zmianami aktywności gospo-darczej. Aby to wyjaśnić rozważymy przykład w którym wyodrębniono wahania za pomocą filtra HP dla różnych wartości parametru λ.

Przykład 4.4.2. Rozważmy szereg czasowy {Pt: t∈ Z} postaci

Pt= cos(0.262t)/2 + 4 cos(0.15t) + 10 cos(0.06t) + 5 sin(2πt/12) + ηt, (4.13)

gdzie ηt = ηt₋₁+ ǫt, η0 = 0 oraz {ǫt : t∈ Z} to biały szum gausowski o średniej równej 0, 6

oraz wariancji równej jeden. Dla danych miesięcznych częstotliwość 0.262 odpowiada za cykl dwuletni, częstotliwość 0.15 za cykl 3.5 letni, zaś częstotliwość 0.06 za cykl 8.7 roku.

Ko-rzystając z reprezentacji (4.3) można zapisać{0.262, 0.15, 0.06} ⊂ ΨP,1 oraz 2πt/12∈ ΨP,2.

20 W literaturze brak również jakichkolwiek wyników dotyczących tej problematyki.

21 Patrz formuła (1) oraz (2) w przytoczonej pracy.

Wyznaczono realizację o liczności n = 160 z modelu (4.13), zastosowano filtr scentrowanej średniej ruchomej 2x12MA celem osłabienia wahań sezonowych oraz wyodrębniono waha-nia za pomocą filtra HP dla różnych parametrów wygładzawaha-nia. Wyniki przedstawiono na Rysunku 4.1. ’10 ’09 ’08 ’07 ’06 ’05 ’04 ’03 ’02 ’01 ’00 ’99 ’98 ’97 ’96 ’95 10 20 30 40 50 60

(a) Realizacja szeregu czasowego (4.13), n=160. 20 30 40 50 (b) 2x12MA 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.2 0.4 0.6 0.8 1

(c) Wzmocnienie filtra HP dla (kolejno od strony prawej) λ = 5500, 12000, 32000, 55000, 133100. -3 -2 -1 1 2 3 (d) λ = 5500, (ω0- 4.5 roku) -4 -2 2 (e) λ = 12000, (ω0 - 5.5 roku) -4 -2 2 4 (f) λ = 32000, (ω0- 7 lat) -6 -4 -2 2 4 (g) λ = 55000, (ω0 - 8 lat) -6 -4 -2 2 4 6 (h)λ = 133100, (ω0 - 10 lat) -6 -4 -2 2 4 6

(i) Porównanie wyników

Rysunek 4.1. Działanie filtra HP dla różnych wartości parametru wygładzającego λ na reali-zację szeregu czasowego postaci (4.13) po zastosowaniu scentrowanej średniej ruchomej.

Zauważmy, że dla parametru λ = 5500, 12000, 32000 (odpowiadającego zgodnie z formułą (4.12) cyklom o długości 4.5, 5.5 oraz 7 lat) wyodrębnione wahania cykliczne charakteryzują sie cyklicznością o średniej długości cyklu 3-4 lata (patrz Rysunek 4.1 (d)-(f )). Analizując z kolei wahania wyodrębnione dla paramentów λ = 55000, 133100 (odpowiadających zgodnie z formułą (4.12) cyklom 8 oraz 10-letnim) zauważyć można wyraźny wpływ częstotliwości

0.06 (korespondującej w równaniu 4.13 z cyklem 8.7 letnim) na obraz otrzymanych wahań.

Dla tak dobranych parametrów wygładzania wahania o korespondującej długości 8.7 roku nie są bowiem skutecznie odseparowane za względu na bliskość częstotliwości 0.06 z częstotliwo-ścią korespondującą z parametrem wygładzania λ oraz ze względu na dużą wartość amplitudy tych wahań (patrz równanie modelu (4.13)). Dlatego też filtr HP osłabił te wahania w mniej-szym stopniu dla λ = 55000, 133100 (tworząc cykl pozorny o przybliżonej długości 6-8 lat),

niż dla parametrów λ = 5500, 12000, 32000. Rysunek 4.1 (c) przedstawia wielkość|L(e−iψ)|

(tzw. wzmocnienie filtra liniowego) – istotną z punktu widzenia interpretacji amplitudy wy-odrębnionych wahań.

Analizując zatem zidentyfikowane częstotliwości ze zbioru ΨP,1 parametr λ dobieramy tak aby korespondująca częstotliwość wyznaczona według formuły (4.12) znajdowała się po-między częstotliwościami utożsamianymi ze zmianami koniunktury a tymi utożsamianymi z długookresową tendencją do wzrostu. Brak informacji na temat istotnych częstotliwości zbioru ΨP,1, może prowadzić bowiem do błędnych wniosków lub obarczonych dużą niepewno-ścią badacza. Ustalanie arbitralne parametru wygładzania może w istotny sposób (z punktu widzenia wyciąganych wniosków) zniekształcić obraz wahań cyklicznych utożsamianych ze zmianami aktywności gospodarczej.