Procesy stochastyczne prawie okresowo skorelowane w badaniu cykliczności wskaźników makroekonomicznych

Pełen tekst

(1)UNIWERSYTET EKONOMICZNY W KRAKOWIE Wydział Zarządzania Katedra Ekonometrii i Badań Operacyjnych. Łukasz Lenart. Procesy stochastyczne prawie okresowo skorelowane w badaniu cykliczności wskaźników makroekonomicznych. Praca doktorska napisana pod kierunkem prof. UEK dr hab. Mateusza Pipienia. Kraków 2010.

(2) Spis treści. Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rozdział 1. Podstawowe pojęcia z zakresu szeregów czasowych prawie okresowo skorelowanych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Definicje szeregów czasowych okresowo i prawie okresowo skorelowanych . . . . . . 1.2. Reprezentacja Fouriera dla funkcji wartości oczekiwanej i funkcji autokowariancji 1.3. Spektrum dyskretne oraz ciągłe szeregów czasowych prawie okresowo skorelowanych 1.4. Zagadnienie pamięci szeregu czasowego – pojęcie ciągu α-mieszania . . . . . . . . . 1.5. Definicja gęstości spektralnej i problem estymacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rozdział 2. Rezultaty asymptotyczne związane za spektrum dyskretnym i ciągłym w przypadku prawie okresowym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. Wyniki asymptotyczne związane ze spektrum dyskretnym . . . . . . . . . . . . . .. 4 13 14 17 19 25 31. . . . . .. 41 42 42 45 46 46 49. Rozdział 3. Metody identyfikacji okresowości i prawie okresowości w klasie szeregów czasowych POS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. Podstawy metody podpróbkowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Badanie okresowości i prawie okresowości funkcji wartości oczekiwanej . . . . . . .. 52 53 55. 2.1.1. Estymacja współczynników Fouriera . . . . . . 2.1.2. Estymacja częstotliwości . . . . . . . . . . . . 2.2. Rozkłady asymptotyczne związane ze spektrum 2.2.1. Przypadek zerowej wartości oczekiwanej . . . 2.2.2. Przypadek niezerowej wartości oczekiwanej . .. . . . . . . . . . . . . . . ciągłym . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. 3.2.1. Zgodność metody podpróbkowania dla modułu współczynników Fouriera w reprezentacji funkcji wartości oczekiwanej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2. Testy statystyczne okresowości i prawie okresowości funkcji wartości oczekiwanej – konstrukcja i własności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3. Testowanie istotności wahań sezonowych na przykładzie ankietowych wskaźników koniunktury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4. Interakcja wahań koniunkturalnych i sezonowych na przykładzie wskaźników produkcji przemysłowej w krajach UE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Badanie okresowości i prawie okresowości funkcji autokowariancji . . . . . . . . . . 3.3.1. Zgodność procedury podpróbkowania dla modułu gęstości spektralnej oraz koherencji 3.3.2. Graficzne metody identyfikacji nośnika miary spektralnej . . . . . . . . . . . . . . .. 55 58 88 94 98 98 99. 2.

(3) 3.3.3. Identyfikacja okresowości funkcji autokowariancji oparta o analizę współczynników Fouriera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103. Rozdział 4. Analiza wahań aktywności gospodarczej w Polsce na podstawie wybranych wskaźników makroekonomicznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 4.1. Ogólna charakterystyka cykli koniunkturalnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 4.1.1. Cykle koniunkturalne – cechy morfologiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2. Wahania koniunkturalne, trend, wahania sezonowe i ich wzajemne interakcje . . . 4.2. Identyfikacja cykli koniunkturalnych – przegląd głównych metod i wyników dla gospodarki polskiej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Rola wskaźników cyklicznych w identyfikacji wahań aktywności gospodarczej . . 4.4. Propozycja modelowania wahań cyklicznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1. Założenia modelu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2. Identyfikacja i estymacja parametrów modelu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.3. Interpretacje ekonomiczne wybranych charakterystyk modelu . . . . . . . . . . . . 4.5. Analiza wahań cyklicznych podstawowych wskaźników . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1. Prezentacja ujętych w analizie wskaźników makroekonomicznych . . . . . . . . . . 4.5.2. Produkcja przemysłowa i budowlano-montażowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.3. Handel zagraniczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.4. Rynek pracy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.5. Wskaźniki monetarne i finansowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . Wykaz najważniejszych oznaczeń . Dodatek A. . . . . . . . . . . . . . . . Dodatek B. . . . . . . . . . . . . . . . Dodatek C. . . . . . . . . . . . . . . . Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . .. . 109 . 110 . . . . . . . . . . . .. 112 114 115 116 118 125 128 128 129 166 168 186. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226.

(4) Wstęp. We współczesnym świecie zmienna koniunktura jest cechą charakterystyczną nie tylko gospodarek wysoko rozwiniętych. W państwach będących w okresie transformacji z systemów scentralizowanych do systemów wolnorynkowych fluktuacje koniunktury stają się również naturalnym elementem ich funkcjonowania. Nie sposób kwestionować samego istnienia fluktuacji koniunkturalnych w większości gospodarek. Problem podstawowy dotyczy formy jaką cykl koniunkturalny może przyjąć w przyszłości. Zagadnienie prognozy koniunktury jest jednym z nietrywialnych zagadnień makroekonomii stosowanej już od wielu dziesiątek lat. Fluktuacje koniunktury mają bowiem istotny wpływ nie tylko na kondycję całej gospodarki, ale również indywidualnych przedsiębiorstw i gospodarstw domowych. Dlatego analiza wahań aktywności gospodarczej jest podejmowana przez wielu badaczy na gruncie zarówno empirycznym, jak również teoretycznym. Kształtowanie się wahań koniunktury jest wynikiem zarówno polityki gospodarczej danego kraju lub obszaru, jak również polityki gospodarczej innych państw. Znane jest powszechne w literaturze przedmiotu zjawisko transmisji koniunktury czy zarażenia, które jest przedmiotem rozważań wielu badaczy. Przegląd literatury z tego zakresu zawiera Barczyk i inni (2006), Rozdział 2. Efekt transmisji koniunktury ma miejsce, ponieważ wahania aktywności gospodarczej w danym państwie są mechanizmem, który jest współzależny z mechanizmem wahań koniunktury gospodarczej innych państw. Nie sposób wskazać na jednoznaczne przyczyny powstania danych wahań, jak również przewidzieć ich skutki. Za początek intensywnych badań nad powojennymi wahaniami koniunkturalnymi można uznać rok 1946, kiedy to ukazała się monografia Burns i Mitchell (1946), będąca usystematyzowaniem badań do okresu przed II Wojną Światową. Autorzy tej monografii definiują cykle koniunkturalne jako wahania w podstawowych agregatach makroekonomicznych pisząc: ”Business cycles are a type of fluctuation found in the aggregate economic activity of nations that organize their work mainly in business enterprises: a cycle consists of expansions occurring at about the same time in many economic activities, followed by similarly general recessions, contractions, and revivals which merge into the expansion phase of the next cycle; this sequence of changes is recurrent but not periodic; in duration business cycles vary from more than one year to ten or twelve years; they are not divisible into shorter cycles of similar character with. 4.

(5) Wstęp. amplitudes approximating their own.” Według tej definicji cykl składa się z fazy ekspansji, kryzysu, zastoju oraz ożywienia. Definicję przeformułowano w Mintz (1972), dostosowując ją do zmian jakie zaszły w wahaniach koniunktury po II Wojnie Światowej w gospodarkach wolnorynkowych. Mintz argumentował potrzebę przedefiniowania pojęcia wahań koniunkturalnych łagodniejszymi zmianami aktywności gospodarczej – niż przed II Wojną Światową (patrz również Burns (1969)). Nowe pojęcie w odróżnieniu od pojęcia cyklu koniunkturalnego nazwał cyklem wzrostu (ang. growth cycle). Autor pisze: ”Growth cycles are fluctuations in aggregate economic activity. A growth cycle consists of a period of relatively high growth rates occurring at about the same time in many economic activities, followed by a period of similarly widespread low growth rates which merges into the high-growth phase of the next cycle.” Do chwili obecnej pojawiło sie w literaturze przedmiotu wiele koncepcji analizy fluktuacji koniunkturalnych wykorzystujących materiał statystyczny w postaci dostępnych agregatów makroekonomicznych. Z definicją cyklu wzrostu związane są koncepcje ich wyodrębniania oparte między innymi na cyklach odchyleń (ang. deviation cycles) oraz cyklach kroczących (ang. step cycles). Prekursorami i kontynuatorami tych koncepcji, ilustrującymi je również bogatymi przykładami empirycznymi są autorzy prac: Friedman i Schwartz (1963a), Mintz (1969), Mintz (1972), Banerji (1999), Banerji i Hiris (2001), Dua i Banerji (2006). Pojęcia te są obecne również w polskiej literaturze przedmiotu (patrz: Barczyk i inni (2006), Paragraf 3.2.1, str. 131-143). Wyznaczanie cech charakterystycznych cyklu koniunkturalnego może polegać na łączeniu tych podejść, jak również na stosowaniu ich indywidualnie. Pomimo różnic w sposobie definiowania cyklu koniunkturalnego, jak i różnic w podejściu do jego wyznaczania, powszechnie i zgodnie przyjmuje się, że współczesne cykle koniunkturalne składają się jedynie z dwóch faz i są rozumiane jako kolejne okresy o zwiększonej i zmniejszonej aktywności gospodarczej lub też okresy pomyślnej i niepomyślnej koniunktury (patrz między innymi Barczyk i inni (2006)). Należy zwrócić uwagę, że wahania koniunkturalne danej gospodarki to nie wahania w pojedynczym sektorze, ani wahania pojedynczych podstawowych wskaźników makroekonomicznych. Wahania koniunkturalne to jednoczesne, ukierunkowane fluktuacje większości wskaźników makroekonomicznych (patrz między innymi Lukas (1977)). W literaturze przedmiotu zwraca się uwagę na fluktuacje (spowodowane zmianami aktywności gospodarczej) produktu krajowego brutto oraz takich wskaźników jak wskaźniki związane z produkcją, zatrudnieniem, cenami i wieloma innymi wskaźnikami (patrz dla przykładu: Zarnowitz (1992), Rozdział 10 oraz Lukas (1977)). Niestety, dotychczas nie wyłoniła się wiodąca, a zarazem akceptowalna przez większość ekonomistów, teoria dotycząca przyczyn powstawania cykli koniunkturalnych, nie mówiąc już nawet o teorii wiążącej cechy tej cykliczności. Konstruowanie takiej teorii, zwanej teorią cyklu koniunkturalnego jest jednym z podstawowych celów makroekonomii1 . Metody analizy wahań 1 Patrz cytat z pracy Lukas (1977): ”Why is it that, in capitalist economies, aggregate variables undergo repeated fluctuations about trend, all of essentially the same character? Prior to Keynes General Theory, the. 5.

(6) Wstęp. cyklicznych, przy zastosowaniu modeli ekonometrycznych dla makroekonomicznych szeregów czasowych są powszechnie znane i stosowane (patrz między innymi: Zarnowitz (1992), Stock i Watson (1993), Coglay i Nason (1995), Zarnowitz i Ozyildirim (2002), Milas i inni (2006)). Jednak, do tej pory nie wyłoniła się wiodąca i uznawana przez większość badaczy metoda ekonometryczna, na podstawie której charakteryzowanoby cykle koniunkturalne. Co więcej, w literaturze światowej dotyczącej empirycznej analizy cykliczności koniunkturalnej można znaleźć wiele prac o charakterze polemicznym (patrz polemika w pracach: Canova (1998), Burnside (1998)) na temat zastosowania różnych podejść w analizie danych. Pomimo wielu trudności problematyka analizy cykliczności koniunkturalnej jest powszechnie znana i bardzo często podejmowana przez badaczy na gruncie zarówno empirycznym, jak również teoretycznym. Powodem są korzyści, jakie mogą wynikać z analizy cykliczności koniunkturalnej. W przypadku gospodarki polskiej charakterystyka cyklu koniunkturalnego jest ważna zarówno dla prowadzenia polityki monetarnej i fiskalnej, jak również ważna jest z punktu widzenia możliwości przystąpienia Polski do strefy euro. Estymacja fazy cyklu koniunkturalnego, w jakim znajduje się gospodarka w danym momencie lub prognoza koniunktury w kolejnych interwałach czasowych (patrz: Stock i Watson (1993), Zarnowitz (1992)), to cenne informacje mogące przyczynić sie do bardziej efektywnej polityki gospodarczej. Odpowiednia polityka monetarna oraz fiskalna, bazująca na informacjach dotyczących aktualnej fazy cyklu koniunkturalnego lub jej prognozowanego stanu, może wpływać na skrócenie recesji lub przyspieszenie ożywienia w gospodarce. W przypadku gospodarki polskiej dokładna analiza empiryczna wahań aktywności gospodarczej, przy zastosowaniu odpowiednich metod ekonometrycznych, pozwoliłaby na sformułowanie stylizowanych faktów dotyczących cyklu koniunkturalnego2 . Z kolei, wyższy stopień synchronizacji wahań koniunkturalnych w państwach Europy, stanowiących unię walutową, jest ważnym czynnikiem, który sprzyja prowadzeniu efektywnej polityki przez Europejski Bank Centralny. Dlatego badanie stopnia synchronizacji wahań koniunkturalnych Polski z krajami strefy euro jest ważne ze względu na możliwość wprowadzenia w przyszłości euro jako waluty obowiązującej również w Polsce. Zauważmy bowiem, że bez odpowiedniej synchronizacji gospodarczej Polski z krajami strefy euro, koszty przystąpienia Polski do unii walutowej mogą przewyższyć ewentualne korzyści (patrz: Proczek (2008), Łon (2007)). Ocena poziomu zbieżności cyklu koniunkturalnego Polski z krajami strefy euro jest przedmiotem dociekań w pracach Adamowicz i inni (2008) oraz Skrzypczyński (2009). Dokładna analiza wahań aktywności gospodarczej dla Polski może pomóc w tej ocenie, jak również przyczynić się do bardziej efektywnej polityki prowadzonej przez Narodowy Bank Polski w kierunku spełnienia jednego z kryteriów konwergencji3 – odnoszącego się do stabilności cen. W przypadku gospodarki polskiej zagadnienie analizy cykliczności koniunkturalnej jest stosunkowo nowe ze względu na krótki okres czasu od wejścia Polski do grupy gospodarek wolnoresolution of this question was regarded as one of the main outstanding challenges to economic research, and attempts to meet this challenge were called business cycle theory.” 2 Opracowanie stylizowanych faktów na temat polskiego cyklu koniunkturalnego należy do obszarów badawczych „Ramowego programu badań ekonomicznych Narodowego Banku Polskiego na lata 2009 - 2012”, patrz: http://www.nbp.pl/badania/ramowyprogrambadan.pdf. 3 Inaczej kryteriów zbieżności lub kryteriów z Maastricht.. 6.

(7) Wstęp. rynkowych. Jest to zarazem motywacja do intensywnych badań nad tą problematyką. Analiza cykliczności koniunkturalnej dla gospodarki polskiej opiera się na istniejących już w światowej literaturze przedmiotu wynikach zarówno teoretycznych jak i empirycznych. Otrzymane wnioski nie zawsze są jednoznaczne lub są obarczone niepewnością (porównaj: Adamowicz i inni (2008), Skrzypczyński (2009), Barczyk i inni (2006), Konopczak (2009), Nagaj (2010)). Należy bowiem zwrócić szczególną uwagę na fakt, że w przypadku gospodarki polskiej trudno jest oprzeć analizę cykliczności koniunkturalnej na bogatym materiale empirycznym, ze względu na krótkie stosunkowo szeregi czasowe – jeśli porównać ich długość z szeregami dotyczącymi wysoko rozwiniętych gospodarek europejskich lub USA. To poważne ograniczenie podczas badań nad tą problematyką dla gospodarki polskiej. Skutkuje to brakiem jednoznacznych i przemyślanych wniosków dotyczących cech wahań aktywności gospodarczej polski w literaturze przedmiotu. Różnice występują już na poziomie oceny długości cyklu. Szczegółowa analiza przeprowadzona na wybranych danych makroekonomicznych zawarta jest w opracowaniach Skrzypczyński (2009) oraz Adamowicz i inni (2008). Wnioski dotyczące wahań aktywności gospodarczej dla Polski, sformułowane w opracowaniu Skrzypczyński (2009) opierają sie na analizie w dziedzinie częstotliwości oraz częściowo w dziedzinie czasu dla realizacji szeregów czasowych, o liczności nieprzekraczających 52 obserwacji. Przy tak małej liczności próby sformułowane wnioski mogą być obarczone dużą niepewnością4 , na co autor opracowania nie zwraca wyraźnej uwagi. Również w przypadku opracowania Adamowicz i inni (2008) analizowano dane kwartalne5 o zbliżonej liczności próby, jak w opracowaniu Skrzypczyński (2009). W opracowaniu tym zwrócono jednak uwagę na możliwość obciążenia wyników analizy, a przez to i formułowanych wniosków, dużą niepewnością. Analiza ekonometryczna makroekonomicznych szeregów czasowych charakteryzujących stan gospodarki powinna być przeprowadzona w taki sposób, aby dostarczała badaczowi wyników, które pozwalają na formułowanie wniosków nie obarczonych zbyt dużą niepewnością – wynikającą z zastosowanych procedur wnioskowania statystycznego. W rozprawie doktorskiej przyjęto zatem koncepcję analizy wahań aktywności gospodarczej na podstawie danych obserwowalnych z częstotliwością miesięczną, co zwiększa tzw. rozdzielczość analizy spektralnej trzykrotnie w porównaniu z analizą danych kwartalnych pochodzących z tego samego okresu czasu. Podejście to pozwala otrzymać, wiarygodne ze statystycznego punktu widzenia, wnioski dotyczące wahań cyklicznych dla gospodarki polskiej. Ponadto, analizie poddano dwa dodatkowe lata, tj. okres 2007-2009, w porównaniu z analizą w opracowaniach Skrzypczyński (2009) oraz Adamowicz i inni (2008), co daje pełniejszy obraz wahań aktywności gospodarczej, a zarazem poprawia wiarygodność formułowanych wniosków. Przyjęta koncepcja analizy wahań aktywności gospodarczej opiera się jednocześnie na idei cyklu odchyleń oraz idei zbliżonej do idei cyklu kroczącego. Podstawowym celem pracy jest charakterystyka wahań aktywności gospodarczej Polski na podstawie ekonometrycznej analizy wybranych wskaźników makroekonomicznych, które zaliBrak w literaturze z zakresu statystyki matematycznej lub dziedziny pokrewnej badań nad własnościami estymatorów definiowanych w dziedzinie częstotliwości dla tak małych prób. Zaznaczmy, że większość estymatorów w dziedzinie częstotliwości powstaje w wyniku stosowania procedury wygładzania, dla efektywności której ˇ (w odpowiednim sensie probabilistycznym) liczność próby jest kluczowa (patrz: Priestley (1981), Zurbenko (1986)). 5 W opracowaniu tym analizowano również dane miesięczne. 4. 7.

(8) Wstęp. czane są do tzw. grupy wskaźników cyklicznych6 (ang. cyclical indicators). Wybrane wskaźniki makroekonomiczne będą stanowiły podstawę do sformułowania stylizowanych faktów na temat wahań aktywności gospodarczej w Polsce. Analiza będzie miała na celu między innymi identyfikację dominującej długości cyklu koniunkturalnego w Polsce. Interpretacji będą podlegać estymowane amplitudy zidentyfikowanych wahań, jak również estymowane ich fazy. Weryfikacji będą podlegać stylizowane fakty na temat wahań aktywności gospodarczej sformułowane dotychczas w polskiej literaturze przedmiotu oraz te sformułowane w światowej literaturze przedmiotu (patrz: Zarnowitz i Boschan (1975), Zarnowitz (1992), Milas i inni (2006)). Podstawowy cel pracy będzie realizowany poprzez zastosowanie autorskich wyników z zakresu statystyki matematycznej. Analiza cykliczności koniunkturalnej będzie oparta w rozprawie doktorskiej na wynikach uzyskanych w dziedzinie częstotliwości dla szeregów czasowych prawie okresowo skorelowanych (patrz: Hurd (1991), Bloomfield (2000)). Istniejąca od dawna teoria spektralna dla klasy szeregów czasowych stacjonarnych, jak również teoria harmonizowanych (patrz: Loève (1948), Rozanov (1959), Hurd i Miamee (2007)) szeregów czasowych prawie okresowo skorelowanych będzie stanowić fundament w konstrukcji nowych narzędzi statystycznej analizy cykliczności koniunkturalnej. Główne wyniki teoretyczne w pracy z zakresu statystyki matematycznej dotyczą parametrów i ich estymatorów charakteryzujących zarówno spektrum dyskretne oraz ciągłe szeregu czasowego prawie okresowo skorelowanego. W rozprawie zastosowano nowatorskie podejście, w którym zakłada się, że wahania aktywności gospodarczej mogą być modelowane w podejściu nieparametrycznym jednocześnie poprzez charakterystyki spektrum dyskretnego oraz ciągłego. Zaznaczmy wyraźnie, że w większości podejść, jakie są stosowane przez ekonometryków w analizie cykliczności koniunkturalnej zakłada się, że wahania cykliczne to szereg czasowy o zerowej wartości oczekiwanej (patrz: Beveridge i Nelson (1981), Clark (1987), Hamilton (1989), Krolzig (1997), Croux i inni (2001), Amblera i inni (2004)), co oznacza, że spektrum dyskretne dla tego szeregu czasowego jest tożsamościowo równe zero. Analiza cykliczności koniunkturalnej oparta jest zaś na charakterystykach spektrum ciągłego. Takie założenie budzi mniejsze wątpliwości w badaniu cykliczności koniunkturalnej w krajach wysoko rozwiniętych, gdzie w ostatnich dziesięcioleciach doszło do wyraźnego spłaszczenia wahań koniunkturalnych wokół generalnej tendencji rozwojowej. Wypracowane przez dziesiątki lat metody analizy cykliczności koniunkturalnej w tych krajach nie koniecznie muszą być skuteczne w przypadku gospodarek w okresie transformacji. W przypadku gospodarki polskiej, będącej niespełna ćwierć wieku w obszarze gospodarek wolnorynkowych, założenie o zerowej wartości oczekiwanej wahań utożsamianych z wahaniami aktywności gospodarczej może być dyskusyjne. W literaturze przedmiotu zwraca się bowiem uwagę na oczekiwaną wyższą amplitudę wahań cyklicznych w krajach okresu transformacji niż w krajach wysoko rozwiniętych7 . Stąd wynika propozycja w rozprawie doktorskiej modelowania wahań aktywności gospodarczej w Polsce poprzez charakterystyki spektrum dyskretnego oraz ciągłego. Jednakże, podejście, w którym zakłada się istnienie niezerowego a jednocześnie nie trywialnego spektrum dyskretnego powoduje, że estymacja spektrum ciągłego jest bardzo trudna. Brak w literaturze z zakresu statystyki matematycznej i ekonometrii wyników dotyczących estymacji takich parametrów, charakteryzujących spektrum ciągłe, jak gęstość spektralna w przypadku, gdy 6 7. Patrz: Zarnowitz i Boschan (1975), Zarnowitz (1992). Patrz Barczyk i inni (2006), Paragraf 3.2.2. 8.

(9) Wstęp. założenie o zerowaniu się spektrum dyskretnego jest zaniechane. Dlatego też, w rozprawie doktorskiej wnioski, jakie wyciągnięto podczas analizy empirycznej na temat wahań aktywności gospodarczej są wnioskami otrzymanymi na podstawie analizy statystycznej jedynie dla spektrum dyskretnego, jednocześnie przy bardzo ogólnych warunkach regularności mogących mieć wpływ na kształtowanie sie spektrum ciągłego. W literaturze z zakresu statystyki matematycznej oraz ekonometrii można znaleźć przykłady modelowania parametrycznego szeregów czasowych z uwzględnieniem niezerowego spektrum dyskretnego rozważanego szeregu czasowego. Podejście to wiąże się jednak z zastosowaniem odpowiedniej parametryzacji, w której zakładamy skończony wymiar przestrzeni parametrów charakteryzujących spektrum dyskretne, jak również spektrum ciągłe (patrz: Walker (1971), Artis i inni (2007)). Podejście takie jest jednak rzadko stosowane w modelowaniu wahań aktywności gospodarczej, gdyż powszechnie uważa się, że nie należy przypisywać wahaniom cyklicznym struktury deterministycznej8 – jaką posiadają funkcje trygonometryczne. Zwracają na to uwagę autorzy Rozdziału 8, monografii Milas i inni (2006), komentując: ”It is rarely appropriate to model cycles in economic series with a deterministic trigonometric function.” Stwierdzenia tego nie należy jednak interpretować jako przestrogi przed stosowaniem funkcji trygonometrycznych w jakiejkolwiek postaci podczas modelowania wahań aktywności gospodarczej. Zauważmy bowiem, że autorzy Rozdziału 8 w monografii Milas i inni (2006) stosują model, w którym kluczową rolę odgrywają funkcje trygonometryczne. W rozprawie doktorskiej sformułowano równanie modelu charakteryzujące jednowymiarowy szereg czasowy opisujący stan gospodarki. Równanie to stanowi nowe podejście w modelowaniu wahań aktywności gospodarczej. W równaniu tym uwzględniono oczekiwania9 wobec ogólnej tendencji rozwojowej, wobec wahań sezonowych, koniunkturalnych oraz uwzględniono możliwość ich wzajemnej interakcji. W jednym z kluczowych założeń formułowanym w pracy przyjęto, że różnica pomiędzy wartością oczekiwaną rozważanego szeregu czasowego oraz wartością oczekiwaną jego ogólnej tendencji rozwojowej jest funkcją prawie okresową, której definicję przytoczymy w Rozdziale 1 pracy. Sformułowane równanie modelu wiąże ze sobą stosowane w rozprawie koncepcje cyklu odchyleń oraz cyklu kroczącego. Związek ten, opisywany do tej pory w sposób nieformalny na podstawie uzyskanych wyników empirycznych, znalazł w rozprawie formalne uzasadnienie. Poprzez zastosowanie klasy szeregów czasowych prawie okresowo skorelowanych możliwe jest uwzględnienie podstawowych znanych już cech cykliczności koniunkturalnej, takich jak asymetryczność cyklu, nakładanie się na siebie cykli o różnej długości. Ponadto, podejście nieparametryczne pozwala uwzględnić jednocześnie szerokie spektrum różnorodnych parametrycznych modeli stosowanych w analizie cyklicznoPoprzez strukturę deterministyczną wahań cyklicznych należy rozumieć strukturę wynikającą z reprezentacji: Xt = f (t) + ǫt , gdzie szereg czasowy Xt jest utożsamiany z wahaniami cyklicznymi, f (t) jest deterministyczną (nielosową) dyskretną funkcją trygonometryczną, zaś ǫt jest szumem (o zerowej średniej) nie mającym większego wpływu na wyjaśnianie wahań cyklicznych. 9 Poprzez oczekiwania należy tutaj rozumieć bezwarunkową wartość oczekiwaną rozważanego wskaźnika makroekonomicznego interpretowanego jako szereg czasowy. 8. 9.

(10) Wstęp. ści koniunkturalnej. Modelowanie wahań aktywności gospodarczej poprzez charakterystyki spektrum dyskretnego pozwala na wyciąganie istotnych ze statystycznego punktu widzenia wniosków, co do dominującej długości cyklu koniunkturalnego, na podstawie analizy wybranego wskaźnika makroekonomicznego. Analiza uzyskanych w ten sposób wyników na temat długości cyklu stanowi podstawę w ustaleniu parametrów metody filtracji, na podstawie której wyodrębniane są wahania utożsamiane z wahaniami spowodowanymi zmianami koniunkturalnymi. Jak pokazują badania empiryczne, arbitralne ustalanie parametrów metod stosowanych w celu wyodrębnienia wahań cyklicznych może prowadzić do otrzymania różnych wyników, co utrudnia ich interpretację (patrz w przypadku gospodarki polskiej: Adamowicz i inni (2008), Skrzypczyński (2009)). W rozprawie doktorskiej problem wyboru parametrów metody filtracji został rozwiązany. Na podstawie wyodrębnionych w ten sposób wahań cyklicznych możliwa jest konstrukcja powszechnie znanych zegarów cyklu koniunkturalnego10 . W rozprawie doktorskiej przyjęto nietypową koncepcję konstrukcji zegara cyklu koniunkturalnego. Ze względu na analizę danych miesięcznych skonstruowane zegary charakteryzują się większą rozdzielczością w porównaniu z zegarami konstruowanymi na podstawie danych kwartalnych – co daje pełniejszy obraz zachodzących zmian w gospodarce. Podstawową metodą badawczą stanowić będą metody statystyczne oparte na rezultatach asymptotycznych dotyczących parametrów utożsamianych z charakterystykami cykliczności koniunkturalnej dla jednowymiarowego szeregu czasowego. Charakterystyki te to długość wahań, ich amplituda oraz faza. Podstawowy problem, jakim jest identyfikacja długości wahań koniunkturalnych, będzie rozwiązywany poprzez zastosowanie jednej ze znanych w literaturze metod repróbkowania (ang. resampling) dla szeregów czasowych. Stosowaną metodą repróbkowania będzie metoda podpróbkowania (ang. subsampling) będąca przedmiotem intensywnych badań na gruncie teoretycznym w monografii Politis i inni (1999). Wybór takiego niestandardowego rozwiązania nie jest przypadkowy i wiąże sie z brakiem możliwości zastosowania rozkładu asymptotycznego unormowanego estymatora parametru, na temat którego prowadzone jest wnioskowanie statystyczne. Zauważmy, że do tej pory nie pojawiło się zbyt wiele rezultatów dotyczących wykorzystania metod podpróbkowania dla niestacjonarnych szeregów czasowych, jaką stanowi klasa szeregów czasowych prawie okresowo skorelowanych11 . Problemem jest bowiem uzasadnienie zgodności tych metod. W pracy znajdują się odpowiednie rezultaty teoretyczne dotyczące uzasadnienia zgodności tej procedury. Jedną z podstawowych hipotez, jaka będzie podlegać weryfikacji w rozprawie doktorskiej to hipoteza mówiąca, że wnioskowanie na temat spektrum dyskretnego klasy szeregów czasowych prawie okresowo skorelowanych, z zastosowaniem metod podpróbkowania, pozwala na wyciąganie istotnych ze statystycznego punktu widzenia konkluzji na temat cykliczności koniunkturalnej w Polsce. Wnioski te pozwolą z kolei na poprawne wyodrębnienie wahań koniunkturalnych, Zegary cyklu koniunkturalnego są stosowane w celu prowadzenia efektywnej polityki gospodarczej kraju. W Polsce zegar cyklu koniunkturalnego jest wykorzystywany w prowadzeniu polityki monetarnej przez Narodowy Bank Polski. Do najbardziej znanych zegarów cyklu koniunkturalnego nalżą zegary EUROSTATU (patrz: http://epp.eurostat.ec.europa.eu/cache/BCC2/group1/xdis_en.html) oraz OECD (patrz: http://chartporn.org/2009/05/12/oecd-business-cycle-clock/). 11 Problemem zastosowania metod repróbkowania w dziedzinie częstotliwości dla prawie okresowo skorelowanych szeregów czasowych zajmowano sie w pracy Lenart (2010b), Lenart (2010a), zaś w dziedzinie czasu w pracach Lenart i inni (2008a), Lenart i inni (2008b), Synowiecki (2007). 10. 10.

(11) Wstęp. poprzez zastosowanie znanych w literaturze metod filtracji. Inną hipotezą badawczą postawioną w rozprawie jest hipoteza dotycząca fundamentalnych własności procesu utożsamianego z procesem wahań cyklicznych. Według tej hipotezy własności drugiego momentu tego procesu odbiegają od podstawowych własności procesu stacjonarnego w sensie szerszym. Zauważmy bowiem, że założenie o okresowej postaci funkcji autokowariancji procesu makroekonomicznego (po odseparowaniu długookresowej ścieżki wzrostu) było do tej pory stosowane w wielu artykułach i monografiach z zakresu ekonometrii (patrz dla przykładu: Franses i Paap (2004)). W pracy przyjmowane jest założenie o prawie okresowej strukturze funkcji autokowariancji wahań utożsamianych z wahaniami spowodowanymi zmianami koniunktury, co stanowi wyjście poza dotychczas przyjmowane założenia w literaturze. Problem weryfikacji tej hipotezy przy użyciu podejścia nieparametrycznego okazuje sie jednak problemem niebanalnym, na co zwrócono uwagę w rozprawie doktorskiej. Rozprawa doktorska składa się z wstępu, czterech rozdziałów, podsumowania, wykazu oznaczeń oraz dodatków. Pierwszy rozdział pracy to osadzenie części teoretycznej w dziedzinie częstotliwości dla harmonizowalnych szeregów czasowych prawie okresowo skorelowanych. W rozdziale tym przywołano definicję klasy szeregów czasowych prawie okresowo skorelowanych oraz definicję szeregów czasowych harmonizowalnych wraz z ogólną ich charakterystyką. Przedstawiono wstępne rezultaty i założenia, dzięki którym możliwe jest zdefiniowanie parametrów, dla których prowadzone jest w pracy formalne wnioskowanie statystyczne. Zdefiniowane parametry zainteresowania to parametry charakteryzujące zarówno pierwszy jak i drugi moment szeregów czasowych prawie okresowo skorelowanych. W Rozdziale 2 pracy skupiono uwagę na uzyskaniu podstawowych rezultatów asymptotycznych, takich jak zgodność estymatora, czy też jego asymptotyczny rozkład. Wyniki te stanowią podstawę do uzyskania rezultatów pozwalających na weryfikację hipotez statystycznych dotyczących parametrów zainteresowania. Rozdział 3 pracy przedstawia zestaw narzędzi pozwalających na statystyczną analizę wahań cyklicznych. Narzędzia te oparte są na metodzie podpróbkowania dla niestacjonarnych szeregów czasowych. W rozdziale tym zbadano małopróbkowe własności skonstruowanych testów statystycznych, takie jak poziom istotności testu oraz moc. Wykorzystano metodę Monte-Carlo i zaimplementowane samodzielnie algorytmy w języku C++. Rozdział 4 pracy stanowi najobszerniejszą, a zarazem najistotniejszą część rozprawy doktorskiej. Pierwsza część czwartego rozdziału pracy skupia uwagę na podstawowych własnościach cykli koniunkturalnych. Na wstępie scharakteryzowano podstawowe cechy cykli koniunkturalnych, które często nazywamy cechami morfologicznymi. W kolejnej części omówiono możliwe interakcje pomiędzy wahaniami cyklicznymi, sezonowymi a trendem. W dalszej kolejności zaprezentowano krótki przegląd znanych metod analizy cykliczności koniunkturalnej, wraz z odniesieniem tych metod do metod prezentowanych w rozprawie doktorskiej. Omówiono również dotychczasowe wyniki empiryczne uzyskane dla gospodarki polskiej na temat wahań aktywności gospodarczej. Następnie uwagę skierowano na wskaźniki makroekonomiczne, na podstawie których możliwa jest analiza cykli koniunkturalnych. W Paragrafie 4.4 podjęto próbę analizy cykliczności koniunkturalnej na podstawie cyklicznych wskaźników gospodarki polskiej, takich jak: produkcja przemysłowa, wskaźniki rynku pracy, wskaźniki handlu zagranicznego, oraz na podstawie wybranych wskaźników monetarnych i finansowych. Wszystkie analizowane zmienne ekonomiczne w rozprawie doktorskiej są. 11.

(12) zmiennymi obserwowanymi w odstępach miesięcznych i zostały zaczerpnięte z oficjalnej witryny Eurostatu oraz Głównego Urzędu Statystycznego. Składam serdeczne podziękowania mojemu Promotorowi, Prof. UEK dr hab. Mateuszowi Pipieniowi, za opiekę naukową i wszelką pomoc podczas pisania tej rozprawy doktorskiej. Chciałbym również serdecznie podziękować Prof. dr hab. Jackowi Osiewalskiemu oraz całemu zespołowi Katedry Ekonometrii i Badań Operacyjnych Uniwersytetu Ekonomicznego w Krakowie za cenne uwagi podczas wygłaszanych seminariów w katedrze..

(13) Rozdział 1. Podstawowe pojęcia z zakresu szeregów czasowych prawie okresowo skorelowanych. Na wstępie tego rozdziału przedstawiono definicje szeregów czasowych okresowo i prawie okresowo skorelowanych. Przytoczono również definicje i własności funkcji prawie okresowych, które mają ścisły związek z definicją i własnościami szeregów czasowych prawie okresowo skorelowanych. Definicjom tym poświęcono Paragraf 1.11 . Znaną w literaturze reprezentację funkcji wartości oczekiwanej oraz funkcji autokowariancji w postaci szeregu Fouriera dla szeregów czasowych prawie okresowo skorelowanych przedstawiono w Paragrafie 1.2. W paragrafie tym przedstawiono również definicje amplitudy oraz fazy w odniesieniu do reprezentacji funkcji wartości oczekiwanej w postaci szeregu Furiera. Definicji spektrum dyskretnego, spektrum ciągłego oraz harmonizowalności szeregów czasowych prawie okresowo skorelowanych poświęcono osobny Paragraf 1.3. Paragraf ten zawiera podstawowe definicje, pojęcia oraz twierdzenia związane z analizą spektralną dla szeregów czasowych. We wspomnianych Paragrafach 1.2 oraz 1.3 znajdują się twierdzenia będące wersją dla szeregów czasowych prawie okresowo skorelowanych istniejących już w literaturze wyników dotyczących szeregów czasowych okresowo skorelowanych oraz procesów stochastycznych okresowo skorelowanych i prawie okresowo skorelowanych2 . Odpowiedniki tych twierdzeń dla szeregów czasowych okresowo skorelowanych można znaleźć w monografii Hurd i Miamee (2007), zaś dla procesów stochastycznych okresowo skorelowanych oraz prawie okresowo skorelowanych w pracach Hurd (1989b) oraz Hurd (1991). Pojęcie ciągu α-mieszania wraz z interpretacją i własnościami przedstawiono w Paragrafie 1.4. Paragraf ten bazuje na znanych już rezultatach, zawartych między innymi w monografii Doukhan (1994) oraz Dodatkowe własności funkcji okresowych oraz prawie okresowych, których nie przytoczono w pracy można znaleźć między innymi w monografiach: Besicovitch (1932) oraz Corduneanu (1989). 2 W rozprawie doktorskiej sformułowanie proses stochastyczny utożsamiamy z procesem obserwowalnym z czasem ciągłym. Mówiąc zaś o szeregu czasowym mamy na myśli proces stochastyczny obserwowalny z czasem dyskretnym (lub inaczej dyskretny proces stochastyczny). 1. 13.

(14) pracy Fryzlewicz i Rao (2009). W Paragrafie 1.5 sformułowano warunki regularności dotyczące szeregów czasowych prawie okresowo skorelowanych. Przy tych warunkach wprowadzono pojęcie uogólnionej gęstości spektralnej na całym kwadracie spektralnym (0, 2π]2. Warto zwrócić uwagę, że warunki sformułowane w tym paragrafie w istotny sposób wpływają na uzyskanie asymptotycznych rezultatów dotyczących zgodności estymatorów w dziedzinie częstotliwości, co jest przedmiotem rozważań w ostatniej części Paragrafu 1.5. W części tej udowodniono brak zgodności w sensie średnio-kwadratowym tzw. biperiodogramu. oraz zgodność w sensie średnio-kwadratowym estymatora wygładzonego gęstości spektralnej, zwanego wygładzonym biperiodogramem. Zaznaczmy, że przeprowadzone dowody niektórych twierdzeń są skrótowe, gdyż opierają się o istniejące już w literaturze odpowiedniki tych twierdzeń. Ponadto, rozdział ten jest jedynie wprowadzeniem teoretycznym, które stanowi podstawę do dalszych rozważań tak, aby możliwe było przeprowadzanie formalnego wnioskowania statystycznego na temat cykliczności koniunkturalnej w ostatnim rozdziale pracy. Niektóre dowody twierdzeń, które zostały już opublikowane przez autora rozprawy doktorskiej nie są przytaczane w pracy, a jedynie podawane są odnośniki do źródeł tych dowodów. 1.1. Definicje szeregów czasowych okresowo i prawie okresowo skorelowanych. Definicje szeregów czasowych okresowo i prawie okresowo skorelowanych w sensie szerszym związane są z pojęciami funkcji okresowych i prawie okresowych. Po raz pierwszy klasę szeregów czasowych okresowo skorelowanych (ang. periodically correlated) zdefiniował Gladyshev w pracy Gladyshev (1961). Często szeregi czasowe okresowo skorelowane oraz odpowiednio prawie okresowo skorelowane nazywa się w języku angielskim cyclostationary time series oraz odpowiednio almost cyclostationary time series (patrz Gardner i inni (2006)). Rozważmy szereg czasowy {Xt : t ∈ Z} o funkcji wartości oczekiwanej oraz funkcji autokowariancji. µ(t) = E(Xt ) < ∞ B(t, τ ) = cov(Xt , Xt+τ ) < ∞,. gdzie τ ∈ Z. Wprowadźmy definicję szeregów czasowych okresowo skorelowanych.. Definicja 1.1.1 (Gladyshev (1961)). Mówimy, że szereg czasowy {Xt : t ∈ Z} jest okresowo skorelowany w sensie szerszym (w skrócie OS) z okresem równym T , jeśli dla każdego τ ∈ Z funkcje µ(t) oraz B(t, τ ) są funkcjami okresowymi zmiennej całkowitoliczbowej t z okresem równym T . Rozważmy przykład modelu szeregu czasowego o strukturze okresowej funkcji wartości oczekiwanej i funkcji autokowariancji. Model ten jest szczególnym przypadkiem znanego w literaturze modelu autoregresji średniej ruchomej z okresowymi współczynnikami (ang. Periodically Autoregressive Moving Average, w skrócie PARMA). Warto zwrócić uwagę, że modele autoagresji średniej ruchomej z okresowymi współczynnikami znalazły szerokie zastosowanie w ekonomii (patrz: Parzen i Pagano (1979), Osborn i Smith (1989), Franses i Boswijk (1996), Franses (1996), Franses i Ooms (1997), Franses i Dijk (2005)). 14.

(15) Przykład 1.1.1. Rozważmy szereg czasowy {Xt : t ∈ Z} postaci: Xt =. q X. θk (t)ǫt−k + ǫt ,. (1.1). k=1. gdzie θ1 (t), θ2 (t), . . . , θq (t) są dowolnymi funkcjami okresowymi zmiennej całkowitej t o okresie równym T , parametr q jest dodatnią liczbą całkowitą, zaś {ǫt : t ∈ Z} jest białym szumem o wartości oczekiwanej równej c oraz wariancji σ 2 > 0. Elementarne obliczenia prowadzą do następujących postaci funkcji wartości oczekiwanej oraz autokowariancji: q X µ(t) = c θk (t), (1.2) k=0.  q−τ P  2  σ θj (t)θj+τ (t + τ ) dla 0 ≤ τ ≤ q,    j=0 τ P (1.3) B(t, τ ) = 2 σ θ−j (t)θτ −j (t + τ ) dla − q ≤ τ < 0,    j=−q   0 dla |τ | > q, gdzie θ0 (t) ≡ 1. Funkcje µ(t) oraz B(t, τ ) są funkcjami okresowymi dla dowolnego τ ∈ Z o okresie T , co wynika z elementarnych własności funkcji okresowych. Oznacza to, że szereg czasowy {Xt : t ∈ Z} jest OS z okresem równym T . Model o tej strukturze jest tak zwanym modelem średniej ruchomej rzędu q z okresowymi współczynnikami (ang. Periodically Moving Average, w skrócie PMA). Znane są również modele okresowe warunkowej heteroskedastyczności. Modele te były przedmiotem analizy między innymi w pracach: Bollerslev i Ghysels (1996), Burridge i Taylor (2001). Aby zdefiniować klasę szeregów czasowych prawie okresowo skorelowanych w sensie szerszym podamy najpierw definicję funkcji prawie okresowej, zaczerpniętą z monografii Corduneanu (1989). Definicja 1.1.2 (Corduneanu (1989), str. 45). Funkcję zmiennej całkowitej f : Z → R nazywamy prawie okresową, jeśli dla dowolnego ǫ > 0 istnieje liczba całkowita Nǫ , taka że w każdym zbiorze Nǫ - elementowym kolejnych liczb całkowitych istnieje taka liczba p, dla której zachodzi sup |f (t + p) − f (t)| < ǫ. t∈Z. Z powyższej definicji wynika, iż każda funkcja okresowa o okresie równym T jest również funkcją prawie okresową. Aby to uzasadnić, wystarczy w powyższej definicji dla dowolnego ǫ > 0 podstawić Nǫ = T , zaś wartość p ustalić jako odpowiednią wielokrotność długości okresu T. Rodzina funkcji prawie okresowych jest zamknięta ze względu na operacje dodawania oraz iloczynu (patrz Corduneanu (1989), str. 46). Jedną z podstawowych własności funkcji prawie okresowej f : Z → R jest fakt, iż granica t0 +n 1 X lim f (t) n→∞ n t=t +1 0. 15. (1.4).

(16) istnieje i nie zależy od wartości parametru całkowitoliczbowego t0 (patrz: Corduneanu (1989), Twierdzenie 1.28, str. 48). Granicę tą nazywamy wartością średnią funkcji prawie okresowej. Jak sie okaże w późniejszych rozważaniach własność ta jest fundamentalna w dowodach większości sformułowanych twierdzeń. Aby przybliżyć pojęcie funkcji prawie okresowej rozważmy funkcję h : Z → R postaci √ (1.5) h(t) = sin( 2t). Funkcja ta nie jest funkcją okresową zmiennej całkowitoliczbowej t, co w prosty sposób można uzasadnić stosując dowód nie wprost. Funkcja h jest natomiast funkcją prawie okresową. Aby to uzasadnić, wprowadźmy definicję funkcji prawie okresowej zmiennej rzeczywistej. Definicja 1.1.3 (Corduneanu (1989), str. 14). Funkcję zmiennej rzeczywistej f : R → R nazywamy prawie okresową, jeśli dla dowolnego ǫ > 0 istnieje liczba rzeczywista Nǫ , taka że w każdym przedziale o długości Nǫ istnieje liczba rzeczywista p, dla której zachodzi sup |f (x + p) − f (x)| < ǫ. x∈R. Poniższe twierdzenie pomoże w uzasadnieniu stwierdzenia, że funkcja h jest funkcją prawie okresową argumentu całkowitoliczbowego. Twierdzenie 1.1.1 (Corduneanu (1989), str. 47). Funkcja f zmiennej całkowitej jest prawie okresowa, wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje funkcja prawie okresowa g zmiennej rzeczywistej, taka że g(t) = f (t), dla każdego t ∈ Z. √ Funkcja g(x) : R → R zmiennej rzeczywistej, mająca postać g(x) = sin( 2x) jest funkcją okresową. Funkcja (1.5) jest zatem funkcją prawie okresową, gdyż zachodzi równość g(t) = h(t) dla każdego t ∈ Z. Przejdźmy do definicji klasy szeregów czasowych prawie okresowo skorelowanych. Definicja ta jest naturalnym uogólnieniem definicji klasy szeregów czasowych okresowo skorelowanych. Definicja 1.1.4. Mówimy, że szereg czasowy {Xt : t ∈ Z} jest prawie okresowo skorelowany w sensie szerszym (w skrócie POS), jeśli dla każdego τ ∈ Z funkcje µ(t) oraz B(t, τ ) są funkcjami prawie okresowymi zmiennej całkowitoliczbowej t. Zaznaczmy, iż w literaturze można spotkać ogólniejszą definicję klasy szeregów czasowych POS, w której wymaga się tylko, aby funkcja B(t, τ ) była funkcją prawie okresową dla każdego τ ∈ Z (patrz definicja szeregu czasowego POS na str. 17 w monografii Hurd i Miamee (2007)). Rozważmy przykład szeregu czasowego będącego szeregiem POS. Przykład 1.1.2. Rozważmy szereg czasowy {Xt : t ∈ Z} postaci (1.1), gdzie θ1 (t), θ2 (t), . . . , θq (t) są dowolnymi funkcjami prawie okresowymi zmiennej całkowitoliczbowej t, zaś ǫt jest białym szumem o wartości oczekiwanej równej c oraz wariancji σ 2 . Korzystając z (1.2), (1.3) oraz własności funkcji prawie okresowych otrzymujemy, że dla dowolnego τ ∈ Z funkcje µ(t) oraz B(t, τ ) są prawie okresowe, co oznacza że szereg czasowy {Xt : t ∈ Z} jest POS.. 16.

(17) Zauważmy, ze najszerszą klasą szeregów czasowych, z powyżej wymienionych, jest klasa szeregów czasowych POS. Każdy szereg czasowy stacjonarny jest również okresowo skorelowany, zaś każdy szereg czasowy okresowo skorelowany jest prawie okresowo skorelowany. Interesujący jest również fakt, że każdy szereg czasowy okresowo skorelowany o okresie równym T można interpretować jako T wymiarowy szereg czasowy stacjonarny. Aby w sposób intuicyjny wyjaśnić różnicę pomiędzy funkcją okresową i prawie okresową, rozważmy prosty przykład funkcji okresowej f (t) o okresie równym T = 12. Korzystając z elementarnych własności funkcji okresowych funkcja f ma reprezentację T −1 X. f (t) =. bk eitωk ,. (1.6). k=0. gdzie bk są liczbami zespolonymi, zaś częstotliwości ωk są równe ωk = 2kπ/T , dla k = 0, 1, . . . , T − 1. Jak łatwo zauważyć charakterystyczną własnością funkcji okresowej jest to, że w reprezentacji (1.6) częstotliwości ωk zależą od okresu T (są ściśle określone). Zakładając natomiast, że funkcja f (t) jest funkcją prawie okresową postaci K X. f (t) =. bk eitωk ,. (1.7). k=0. zakładamy jedynie, że ωk są liczbami z przedziału [0, 2π), zaś K jest dowolną liczbą naturalną. W kolejnym paragrafie przedstawiono reprezentację funkcji wartości oczekiwanej i autokowariancji w postaci szeregów Fouriera oraz sformułowano ważne twierdzenie dotyczące współczynników Fouriera w reprezentacji funkcji autokowariancji. Paragraf ten stanowi punkt wyjścia w kierunku zdefiniowania podstawowych parametrów zainteresowania. 1.2. Reprezentacja Fouriera dla funkcji wartości oczekiwanej i funkcji. autokowariancji Funkcje wartości oczekiwanej µ(t) oraz autokowariancji B(t, τ ) dla ustalonego τ , dla szeregu POS są funkcjami prawie okresowymi zmiennej całkowitoliczbowej t. Dlatego posiadają reprezentację w postaci szeregów Fouriera: X µ(t) ∼ m(ψ)eiψt , (1.8) ψ∈Ψ. B(t, τ ) ∼. X. a(λ, τ )eiλt ,. (1.9). λ∈Λτ. gdzie współczynniki m(ψ) oraz a(λ, τ ) są równe. n. 1X µ(t)e−iψt , n→∞ n t=1. m(ψ) = lim. n. 1X B(j, τ )e−iλj . n→∞ n j=1. a(λ, τ ) = lim. 17. (1.10).

(18) Symbol ”∼”w reprezentacjach (1.8) oraz (1.9) można zastąpić równością jeśli szeregi po prawych stronach reprezentacji są zbieżne. W ogólnym przypadku zbieżność nie musi jednak zachodzić. Jedną z podstawowych własności powyższych reprezentacji jest fakt, że zbiory Ψ = {ψ ∈ [0, 2π) : m(ψ) 6= 0} oraz Λτ = {λ ∈ [0, 2π) : a(λ, τ ) 6= 0}. są przeliczalne (patrz Corduneanu (1989)). Dlatego zbiór postaci [ Λ= Λτ. (1.11). τ ∈Z. jest również przeliczalny. W przypadku, gdy dla dowolnego τ ∈ Z funkcje µ(t) oraz B(t, τ ) są okresowe, z okresem równym T , powyższe reprezentacje (1.8) oraz (1.9) stają się równościami, zaś zbiory Ψ oraz Λ są zawarte w zbiorze: {2kπ/T : k = 0, 1, . . . , T − 1}. Ogólnie, jeśli zbiory po których sumujemy po prawych stronach reprezentacji (1.8) oraz (1.9) są skończone, wtedy reprezentacje te stają się równościami. Poniższe twierdzenie jest uogólnieniem Twierdzenia 6.4, str. 156 z monografii Hurd i Miamee (2007) dotyczącego przypadku szeregów czasowych OS. Analogiczne twierdzenie dla procesów stochastycznych POS zostało udowodnione w pracy Hurd (1991), str. 31. Twierdzenie 1.2.1. Niech {Xt : t ∈ Z} będzie szeregiem czasowym POS. Wtedy dla dowolnego λ ∈ [0, 2π) istnieje miara rλ (·) określona na podzbiorach borelowskich zbioru [0, 2π) o wartościach zespolonych, dla której Z 2π. eiξτ rλ (dξ),. a(λ, τ ) =. 0. dla dowolnego τ ∈ Z.. Dowód. Patrz Dodatek C.. W końcowej części tego paragrafu skupimy uwagę na ważnych pojęciach takich jak amplituda wahań oraz ich faza. Pojęcia te wprowadzimy w oparciu o definicję i własności funkcji prawie okresowej. Pojęć tych nie należy utożsamiać w powszechnie znanymi w literaturze przedmiotu pojęciami amplitudy oraz fazy wahań utożsamianych z wahaniami aktywności gospodarczej. Pojęcia poniżej przytoczone należy traktować jako pojęcia związane z teorią funkcji trygonometrycznych stanowiące podstawę do konstrukcji narzędzi w analizie amplitudy i fazy wahań utożsamianych z wahaniami aktywności gospodarczej. Wprowadźmy pojęcie amplitudy oraz fazy wahań dla poszczególnych częstotliwości zbioru Ψ. Weźmy dowolne ψ ∈ Ψ ∩ (0, π). Wtedy 2π − ψ ∈ Ψ. Rozważmy funkcję prawie okresową argumentu całkowitoliczbowego h : Z → R postaci h(t) = m(ψ)eiψt + m(2π − ψ)ei(2π−ψ)t = 2Re[m(ψ)eiψt ]. 18.

(19) Zauważmy, że powyższa funkcja h to suma tych składników z reprezentacji funkcji wartości oczekiwanej w postaci szeregu Furiera, które zawierają częstotliwość ψ. Aby przywołać pojęcie fazy oraz amplitudy z teorii sygnałów powyższą funkcję h(·) przedstawimy w równoważnej postaci h(t) = A(ψ) cos(ψ(t + C(ψ))), (1.12) gdzie A(ψ) nazywamy amplitudą wahań, zaś C(ψ) fazą. Po prostych przekształceniach otrzymujemy 2Re[m(ψ)] = A(ψ) cos(ψC(ψ)) (1.13) 2Im[m(ψ)] = A(ψ) sin(ψC(ψ)). Im[m(ψ)] /ψ. Stąd A(ψ) = 2|m(ψ)| oraz C(ψ) = arctg Re[m(ψ)] W rozprawie doktorskiej poprzez amplitudę rozumieć będziemy różnicę pomiędzy maksymalną a minimalna wartością rzeczywistej funkcji prawie okresowej3 h(·) argumentu całkowitoliczbowego. Korzystając z podstawowych własności funkcji trygonometrycznych można wykazać, że rozumiana w ten sposób amplituda wahań funkcji 2Re[m(ψ)eiψt ] argumentu rzeczywistego ma wartość 4|m(ψ)| dla ustalonego ψ. W przypadku, gdy ψ = π ∈ Ψ amplituda funkcji m(π)eiπt argumentu całkowitoliczbowego wynosi 2|m(ψ)|, zaś faza równa jest zero. W kolejnym paragrafie zdefiniowano klasę szeregów czasowych harmonizowalnych i pokazano związek miary rλ (·) z miarą spektralną dla harmonizowalnych szeregów czasowych POS. 1.3. Spektrum dyskretne oraz ciągłe szeregów czasowych prawie okresowo. skorelowanych Spektrum dyskretne oraz ciągłe szeregów czasowych POS to ich podstawowe charakterystyki, zaliczane do elementów dziedziny częstotliwości. Analiza szeregów czasowych okresowo lub prawie okresowo skorelowanych w dziedzinie częstotliwości opiera się częściowo o wyniki dotyczące węższej klasy szeregów czasowych, jaką jest powszechnie znana klasa szeregów czasowych stacjonarnych. Teoria dotycząca analizy szeregów czasowych w dziedzinie częstotliwości nazywana jest często analizą spektralną lub analizą widmową. Dziedzina częstotliwości była ˇ przedmiotem teoretycznych rozważań w takich monografiach jak Priestley (1981) oraz Zurbenko (1986). W monografii Priestley (1981) skupiono uwagę między innymi nad analizą spektrum ciągłego P dla klasy stacjonarnych szeregów czasowych {Xt : t ∈ Z} mających reprezentację Xt = ∞ i=−∞ ai ǫt−i , gdzie szereg {ǫt : t ∈ Z} jest białym szumem o zerowej wartości oczekiwanej, zaś ciąg liczbowy {ai }∞ i=−∞ spełnia odpowiednie, prezentowane w monografii warunki sumowalności. W mniejszym stopniu zajmowano się teorią dotyczącą spektrum dyskretnego ˇ szeregów czasowych. Monografia Zurbenko (1986) jest zbiorem wyników dotyczących analizy jedynie spektrum ciągłego dla pewnych klas szeregów czasowych stacjonarnych definiowanych przy dodatkowych założeniach związanych z sumowalnością funkcji autokowariancji lub ograniczeniami dla tak zwanego ciągu α-mieszania. Rezultaty w dziedzinie częstotliwości dla szeregów czasowych stacjonarnych można znaleźć również w rozdziałach takich monografii jak Andrson (1971), Brillinger (1981), Brockwell i Davis (2002b), Hamilton (1994). Analizy danych empirycznych wraz z teoretycznym wprowadzeniem do dziedziny częstotliwości można znaleźć w monografii Bloomfield (2000). 3. Każda funkcja prawie okresowa jest funkcją ograniczoną (patrz Corduneanu (1989)).. 19.

(20) Wraz z rozwojem takich dziedzin jak między innymi telekomunikacja, większym zainteresowaniem cieszyła się analiza spektralna dla procesów stochastycznych okresowo lub prawie okresowo skorelowanych. Do najistotniejszych rezultatów w tej dziedzinie należą wyniki zawarte w pracach i rozdziałach monografii takich jak: Hurd (1989a), Hurd (1989b), Hurd (1991), Hurd i Leśkow (1992), Dehay i Hurd (1994), Leśkow (1994), oraz Lii i Rosenblatt (2006). W pracach tych zajmowano się dziedziną częstotliwości dla harmonizowalnych procesów stochastycznych okresowo skorelowanych lub prawie okresowo skorelowanych. Warto zwrócić uwagę, że w ostatnich latach powstały również prace dotyczące przeglądu bibliograficznego na temat procesów stochastycznych i szeregów czasowych okresowo i prawie okresowo skorelowanych. Wspomniany przegląd bibliograficzny można znaleźć z pracach Serpedin i inni (2005) oraz Gardner i inni (2006). Natomiast zbiór najistotniejszych wyników dotyczących analizy spektralnej dla szeregów czasowych okresowo skorelowanych można znaleźć w niedawno wydanej monografii Hurd i Miamee (2007). Interesujące przykłady analizy danych rzeczywistych, oparte o analizę Fouriera dla szeregów czasowych można znaleźć we wspomnianej już monografii Bloomfield (2000). Zaznaczmy, że do tej pory nie pojawiało się zbyt wiele rezultatów dotyczących analizy szeregów czasowych prawie okresowo skorelowanych. Co więcej, w wielu dziedzinach, takich jak choćby telekomunikacja, analiza sygnałów okresowo lub prawie okresowo skorelowanych skupiona jest w głównej mierze w elementach dziedziny częstotliwości charakteryzujących drugie i wyższe momenty. Brak natomiast wyników dotyczących analizy w dziedzinie częstotliwości funkcji wartości oczekiwanej dla szeregów czasowych okresowo lub prawie okresowo skorelowanych. Pojęcie spektrum dyskretnego oraz ciągłego przyjmowane w rozprawie doktorskiej oparte jest na definicji procesów harmonizowalnych. Dlatego rozważania zaczniemy od wprowadzenia pojęcia harmonizowalności. Pojęcie procesów harmonizowalnych zostało wprowadzone po raz pierwszy w pracach Loève (1948) oraz Bochner (1956), jako uogólnienie klasy procesów stacjonarnych. W późniejszych latach pojęcie harmonizowalności oraz słabej harmonizowalności było analizowane w pracach i monografiach: Rozanov (1959), Cramér (1961), Loève (1963), Miamee i Salehi (1978). Zaznaczmy, na wstępie, że szeregi czasowe harmonizowalne charakteryzują się bardzo ważną cechą jaką jest asymptotyczna stacjonarność (patrz Twierdzenie 6.11, str. 173 w monografii Hurd i Miamee (2007)). Asymptotyczna stacjonarność oznacza, że dla ustalonego τ ∈ Z granica ! t0 +n 1 X lim cov(Xt , Xt+τ ) n→∞ n t=t +1 0. istnieje i nie zależy od parametru t0 . To bardzo istotna własność z punktu widzenia wnioskowania statystycznego4 . Wprowadźmy formalną definicję szeregów czasowych silnie oraz słabo harmonizowalnych zaczerpniętą z monografii Hurd i Miamee (2007). Przed wprowadzeniem pojęcia harmonizowalności zwrócimy uwagę na kilka ważnych pojęć związanych z definicją szeregu czasowego Zaznaczmy bardzo wyraźnie, że w przypadku analizy makroekonomicznych szeregów czasowych założenie asymptotycznej stacjonarności jest bardzo często jednym z kluczowych założeń podczas wnioskowania statystycznego. Prostym przykładem szeregu czasowego asymptotycznie stacjonarnego jest klasa szeregów czasowych stacjonarnych w sensie szerszym. 4. 20.

(21) harmonizowalnego. Zaczniemy od definicji miary wektorowej zaczerpniętej z monografii Hurd i Miamee (2007), str. 134. Definicja 1.3.1. Niech M będzie σ-algebrą na zbiorze X, zaś H przestrzenią Hilberta. Mówimy, że funkcja ν : M → H, jest miarą wektorową skończenie addytywną (w skrócie miarą wektorową), jeśli ν (E1 ∪ E2 ) = ν(E1 ) + ν(E2 ), dla dowolnych rozłącznych zbiorów E1 oraz E2 należących do σ-algebry M. Jeśli zachodzi warunek ! ∞ ∞ [ X ν Ei = ν(Ei ), i=1. i=1. {Ei }∞ i=1. dla dowolnego ciągu parami rozłącznych zbiorów należących do σ-algebry M, wtedy miarę wektorową ν nazywany przeliczalnie addytywną. Przejdźmy teraz do definicji miary wektorowej o ograniczonym wahaniu oraz miary wektorowej o ograniczonym półwahaniu. Definicje te zaczerpnięto również z monografii Hurd i Miamee (2007), str. 135.. Definicja 1.3.2. Niech M będzie σ-algebrą na zbiorze X, zaś H przestrzenią Hilberta. Funkcję |ν| : M → R+ postaci n X |ν|(E) = sup kν(Ei )k, E ∈ M, i=1. gdzie supremum przebiega po wszystkich skończonych podziałach {Ei }ni=1 zbioru E, zaś k · k jest normą w przestrzeni H nazywamy wahaniem miary wektorowej ν. Mówimy, że miara wektorowa jest miarą o ograniczonym wahaniu, jeśli |ν|(X) < ∞. Funkcję kνk : M → R+ postaci. n. X. αi ν(Ei ) , E ∈ M, kνk(E) = sup . i=1. gdzie supremum przebiega po wszystkich skończonych podziałach {Ei }ni=1 zbioru E, k · k jest normą w przestrzeni H, zaś liczby skalarne αi spełniają zależność |αi | ≤ 1, dla dowolnego i = 1, 2, . . . , n nazywamy półwahaniem miary wektorowej ν. Mówimy, że miara wektorowa jest miarą o ograniczonym półwahaniu, jeśli kνk(X) < ∞. Przejdźmy do definicji szeregu czasowego silnie oraz słabo harmonizowalnego. Zaznaczmy, że w poniższej definicji, przestrzeń Hilberta H pełni rolę przestrzeń L2 zmiennych losowych całkowalnych z kwadratem. Przez h·, ·i oznaczać będziemy iloczyn skalarny w rozważnej przestrzeni Hilberta.. Definicja 1.3.3 (Hurd i Miamee (2007), str. 141). Szereg czasowy {Xt : t ∈ Z} nazywamy silnie harmonizowalnym (w skrócie harmonizowalnym), jeśli istnieje miara zespolona F o ograniczo-. 21.

(22) nym wahaniu na zbiorze (0, 2π]2 określona na podzbiorach borelowskich zbioru (0, 2π]2 i taka, że Z2π Z2π hXt , Xt+τ i = E(Xt Xt+τ ) = eit(ξ1 −ξ2 )−iτ ξ2 F (dξ1 , dξ2 ). (1.14) 0. 0. Miarę F nazywamy miarą spektralną dla szeregu czasowego {Xt : t ∈ Z}. Szereg czasowy {Xt : t ∈ Z} nazywamy słabo harmonizowalnym, jeśli istnieje miara wektorowa Z o ograniczonym półwahaniu na zbiorze [0, 2π) określona na podzbiorach borelowskich zbioru [0, 2π) i wartościach w przestrzeni L2 taka, że Xt =. Z2π. eiξt Z(dξ), prawie na pewno.. (1.15). 0. Miarę Z nazywamy miarą losową dla szeregu czasowego {Xt : t ∈ Z}.. Własności miary wektorowej, własności wahania, półwahania miary wektorowej oraz konstrukcję całki względem miary wektorowej można znaleźć w monografii Tsoy-Wo Ma (2002) oraz w monografii Hurd i Miamee (2007) w Paragrafie 5.1. Zwróćmy uwagę, że każda miara o wartościach zespolonych jest szczególnym przypadkiem miary wektorowej przeliczalnie addytywnej (patrz Definicja 1.3.1 oraz Paragraf 6.1 w monografii Rudin (1970)). Dlatego definicja całki w reprezentacji (1.14) jest pominięta. Każdy szereg czasowy {Xt : t ∈ Z}, który jest harmonizowalny jest również słabo harmonizowalny, co zostało pokazane we Wniosku 5.10, str. 143 w monografii Hurd i Miamee (2007). Warto zwrócić uwagę, że sformułowanie w drugą stronę nie musi być prawdziwe (patrz Hurd i Miamee (2007), str. 144 oraz Dehay (1987), str. 252-253). Dlatego klasa szeregów czasowych słabo harmonizowalnych jest ogólniejsza niż klasa szeregów czasowych harmonizowalnych. Zaznaczmy, że każdy szereg czasowy okresowo skorelowany, a zatem również stacjonarny, jest harmonizowalny, co udowodniono we Wniosku 6.7, str. 161 w monografii Hurd i Miamee (2007). Poniżej sformułujemy istotne twierdzenie dotyczące harmonizowalnych szeregów czasowych POS. Twierdzenie 1.3.1. Jeśli POS szereg czasowy {Xt : t ∈ Z} jest harmonizowalny o mierze spektralnej F oraz card(Ψ) < ∞, wtedy cov(Xt , Xt+τ ) =. Z2π Z2π 0. gdzie FC = F − oraz δ(x, y) = 1 ⇔ x = y = 0.. X X. ψ1 ∈Ψ ψ2 ∈Ψ. eit(ξ1 −ξ2 )−iτ ξ2 FC (dξ1 , dξ2 ),. (1.16). 0. m(ψ1 )m(ψ2 )δ(ξ1 − ψ1 , ξ2 − ψ2 ). 22. (1.17).

(23) Dowód. Dowód tego twierdzenia wynika bezpośrednio z uogólnienia wnioskowania zawartego w monografii Hurd i Miamee (2007), Paragraf 6.7.. Z Twierdzenia 1.3.1 wynika, że jeśli szereg czasowy {Xt : t ∈ Z} jest harmonizowalny, wtedy szereg czasowy {Xt − µ(t) : t ∈ Z} również jest harmonizowalny z miarą spektralną FC . Miarę FC należy zatem interpretować jako miarę spektralną dla szeregu czasowego {Xt −µ(t) : t ∈ Z}. Miarę tą będziemy utożsamiać ze spektrum ciągłym rozważanego szeregu czasowego. Natomiast składnik X X m(ψ1 )m(ψ2 )δ(ξ1 − ψ1 , ξ2 − ψ2 ) ψ1 ∈Ψ ψ2 ∈Ψ. reprezentacji (1.17) ze spektrum dyskretnym rozważanego szeregu czasowego. Zaznaczmy, że spektrum dyskretne dla POS szeregu czasowego charakteryzowane jest poprzez współczynniki Fouriera m(ψ) oraz zbiór Ψ. Zważywszy zaś na fakt, iż w przypadku analizy wahań cyklicznych zbiór Ψ nie jest znany, elementy zbioru Ψ stają się nieznanymi parametrami. Spektrum ciągłe jest zaś charakteryzowane poprzez zbiór Λ oraz między innymi taką charakterystykę jak uogólniona gęstość spektralna, której definicja zostanie przywołana w dalszej części pracy. Poniższe twierdzenie ustala związek pomiędzy miarą spektralną FC szeregu czasowego harmonizowalnego oraz miarą rλ , o której mówi Twierdzenie 1.2.1. Twierdzenie to jest wersją dla szeregów czasowych POS Twierdzenia 2. Z pracy Hurd (1989b) dotyczącego procesów stochastycznych POS. Twierdzenie 1.3.2. Jeśli szereg czasowy {Xt : t ∈ Z} jest POS oraz harmonizowalny, wtedy dla dowolnego λ ∈ [0, 2π) oraz [a, b) ⊂ [0, 2π) mamy rλ ([a, b)) = FC (Sλ ∩ {(ξ1 , ξ2) : a ≤ ξ1 < b}), gdzie Sλ = {(ξ1 , ξ2 ) ∈ (0, 2π]2 : (ξ1 − ξ2 − λ) modulo 2π = 0}. Oznacza to, że miara rλ może być identyfikowana z obcięciem miary FC do zbioru Sλ . Dowód. Patrz Dodatek C.. Poniższe Twierdzenie charakteryzuje nośnik miary spektralnej FC dla harmonizowalnych szeregów czasowych POS w odniesieniu do zbioru częstotliwości Λ. Twierdzenie to jest dyskretną wersją części znanego Twierdzenia 6, str. 36 z pracy Hurd (1991). Twierdzenie 1.3.3. Jeśli szereg czasowy {Xt : t ∈ Z} jest POS oraz harmonizowalny, wtedy miara FC ma nośnik skoncentrowany w zbiorze S postaci: [ S= {(ξ1 , ξ2 ) ∈ (0, 2π]2 : ξ2 = ξ1 ± λ}, (1.18) λ∈Λ. gdzie Λ =. S. Λτ .. τ ∈Z. Dowód. Dowód tego twierdzenia wynika z części (drugiej (⇒)) ścieżki dowodowej Twierdzenia 6 z pracy Hurd (1991). 23.

(24) Łatwo zauważyć że zbiór S jest zbiorem odcinków równoległych. Dla szeregu czasowego stacjonarnego mamy Λ = {0} oraz nośnik miary FC jest skoncentrowany w zbiorze S = {(ξ1 , ξ2) ∈ (0, 2π]2 : ξ2 = ξ1 }, zaś dla szeregu okresowo skorelowanego Λ ⊂ {2kπ/T : k = 0, 1, . . . , T − 1} oraz nośnik miary FC jest skoncentrowany w zbiorze S = {(ξ1 , ξ2 ) ∈ (0, 2π]2 : ξ2 = ξ1 ± 2kπ/T, k = 0, 1, . . . , T − 1}. W ogólnym przypadku, gdy szereg czasowy {Xt : t ∈ Z} jest POS, zbiór Λ może zawierać nieskończenie wiele elementów. Na Rysunku 1.1 przedstawiono przykładowy nośnik miary spektralnej FC dla przypadku szeregu czasowego stacjonarnego, okresowo skorelowanego i prawie okresowo skorelowanego. Z kolei Rysunek 1.2 obrazuje przykładowy nośnik miary spektralnej F . W przypadku nośnika miary spektralnej F zaznaczono czarnymi punktami pojedyncze atomy miary spektralnej wynikające rozkładu masy dla spektrum dyskretnego. 2Π. 2Π. 2Π. 2ΠT. 0. 2Π. (a) Przypadek szeregu czasowego stacjonarnego (Λ = {0}, Ψ ⊂ {0}).. 0. 2Π. (b) Przypadek szeregu czasowego OS (Λ ⊂ {2kπ/T : k = 0, 1, . . . , T − 1}, Ψ ⊂ {2kπ/T : k = 0, 1, . . . , T − 1}, T -długość okresu).. 0. (c) Przypadek szeregu czasowego POS.. Rysunek 1.1. Przykładowy nośnik miary FC na kwadracie (0, 2π]2 .. 24. 2Π.

(25) 2Π. 2Π. 2Π. 2ΠT. 0. 2Π. (a) Przypadek szeregu czasowego stacjonarnego (Λ = {0}, Ψ ⊂ {0}).. 0. 2Π. (b) Przypadek szeregu czasowego OS (Λ ⊂ {2kπ/T : k = 0, 1, . . . , T − 1}, Ψ ⊂ {2kπ/T : k = 0, 1, . . . , T − 1}, T -długość okresu).. 0. 2Π. (c) Przypadek szeregu czasowego POS.. Rysunek 1.2. Przykładowy nośnik miary F na kwadracie (0, 2π]2 .. Uwaga 1.3.1. W większości stosowanych metodach analizy wyodrębnionych wahań cyklicznych utożsamianych z wahaniami koniunkturalnymi zakłada się, iż wahania te są stacjonarne. Ponadto, bardzo często przyjmowane jest założenie o zerowej wartości oczekiwanej wyodrębnionych wahań cyklicznych, co oznacza, że FC = F . Innymi słowy własności wahań cyklicznych modeluje się poprzez parametry szeregu czasowego o spektrum dyskretnym tożsamościowo równym zero. Z kolei, przyjmowana stacjonarność funkcji autokowariancji oznacza, że Λ = {0}. W konsekwencji, własności wahań cyklicznych, takie jak np. ich długość, amplituda, asymetria, modeluje się poprzez własności spektrum ciągłego o masie skoncentrowanej na głównej przekątnej kwadratu spektralnego (0, 2π]2. W rozprawie doktorskiej modelowanie wahań cyklicznych odbywa sie przy znacznie ogólniejszych założeniach. Zakłada się bowiem, że podstawowe własności wahań cyklicznych takie jak: długość wahań, amplituda, ich asymetria, oraz faza mogą być modelowane poprzez parametry nietrywialnego spektrum dyskretnego szeregu czasowego POS, przy jednoczesnym założeniu, że te same cechy mogą być modelowane również poprzez parametry spektrum ciągłego. Inna z cech wahań cyklicznych, która może być charakteryzowana poprzez parametry spektrum ciągłego szeregu czasowego POS – to akcentowana w literaturze okresowość funkcji autokowariancji. Przypomnijmy, że okresowość funkcji autokowariancji oznacza, że Λ \ {0} = 6 ∅. Dlatego też, w rozprawie doktorskiej skoncentrowano uwagę na wynikach teoretycznych dotyczących zarówno własności estymatorów parametrów charakteryzujących spektrum dyskretne, jak również spektrum ciągłe. 1.4. Zagadnienie pamięci szeregu czasowego – pojęcie ciągu α-mieszania. Pojęcie ciągu α-mieszania jest ściśle związane z tak zwaną pamięcią szeregu czasowego – czyli mniej formalnie z „siłą zależności”pomiędzy zmiennymi losowymi w tym szeregu. Wprowadźmy 25.

(26) formalnie pojęcie ciągu α-mieszania oraz definicję szeregu czasowego α-mieszającego. Definicja ta została wprowadzona po raz pierwszy w pracy Rosenblatt (1956) dla procesów stacjonarnych. Warunek α-mieszania pozwala na uzyskanie asymptotycznych rezultatów takich jak choćby centralne twierdzenia graniczne. Poniższe definicje i własności będą wykorzystywane w kolejnych rozdziałach pracy. Definicja 1.4.1. Niech {Xt : t ∈ Z} będzie dowolnym szeregiem czasowym, zaś FX (t1 , t2 ) niech oznacza σ-algebrę generowaną przez {X(t) : t1 ≤ t ≤ t2 }. Ciąg α-mieszania dla szeregu czasowego {Xt : t ∈ Z} definiujemy jako α(s) = sup. sup. t∈Z A∈FX (−∞,t) B∈FX (t+s,∞). |P(A ∩ B) − P(A)P(B)|.. Szereg czasowy {Xt : t ∈ Z} nazywamy α-mieszającym, jeśli α(s) → 0 dla s → ∞.. Poniżej podano dwa lematy dotyczące oszacowania dla funkcji autokowariancji szeregu czasowego o ciągu α-mieszania α(·). Wyniki te zaczerpnięto z monografii Doukhan (1994). Lematy te są fundamentalne w dowodach rezultatów przedstawionych w następnych rozdziałach pracy. Lemat 1.4.1 (Doukhan (1994), str. 9). Niech {Xt : t ∈ Z} będzie szeregiem czasowym z ciągiem α-mieszania α(·). Niech zmienne losowe ξ oraz ζ będą mierzalne względem odpowiednio FX (−∞, n) oraz FX (n + k, ∞). Niech dodatkowo, E|ξ|p < ∞, E|ζ|q < ∞, gdzie liczby p oraz q są większe od jedności i spełniają zależność 1/p + 1/q < 1. Wtedy zachodzi oszacowanie 1. 1. |cov(ξ, ζ)| ≤ 8kξkp kζkq α1− p − q (k). Lemat 1.4.2 (Doukhan (1994), str. 10). Niech {Xt : t ∈ Z} będzie szeregiem czasowym z ciągiem α-mieszania α(·). Niech zmienne losowe ξ oraz ζ będą mierzalne względem odpowiednio FX (−∞, n) oraz FX (n + k, ∞). Niech dodatkowo, kξk∞ < ∞ oraz kζk∞ < ∞. Wtedy zachodzi oszacowanie |cov(ξ, ζ)| ≤ 4α(k)kξk∞ kζk∞. Zaznaczmy, że powyższe lematy nie wymagają, aby rozpatrywane szeregi czasowe {Xt : t ∈ Z} były α-mieszające. Poniżej sformułowano własny lemat, z którego będziemy często korzystać w dalszych rozdziałach pracy. Rezultat ten jest bezpośrednią konsekwencją Lematu 1.4.1 oraz prostych przekształceń, dlatego jego uzasadnienie zostało pominięte. Lemat 1.4.3. Niech {Xt : t ∈ Z} będzie szeregiem czasowym o ciągu α-mieszania α(·). Załóżmy, że istnieją stałe δ > 0 oraz ∆ < ∞, takie że sup kXt k2+δ ≤ ∆. t∈Z. Wtedy 26.

(27) (i) dla dowolnych liczb całkowitych t oraz τ mamy δ. |B(t, τ )| ≤ 8∆2 α 2+δ (|τ |), (ii) przy dodatkowym założeniu, że szereg czasowy {Xt : t ∈ Z} jest POS, dla dowolnego λ ∈ [0, 2π) oraz dowolnej liczby całkowitej τ mamy δ. |a(λ, τ )| ≤ 8∆2 α 2+δ (|τ |). (iii) przy dodatkowym założeniu ∞ X k=0. δ. (k + 1)r α 2+δ (k) < K < ∞,. (1.19). gdzie r ≥ 0, dla dowolnych liczb całkowitych p1 , p2 , q1 , q2 , s takich, że p1 < q1 oraz p2 < q2 mamy q1 q2 X X. l1 =p1 l2 =p2. δ. |l2 − l1 + s|r α(|l2 − l1 + s|) 2+δ. (1.20). ≤ 2 min{q1 − p1 + 1, q2 − p2 + 1}K.. Poniżej zdefiniowano w naturalny sposób pojęcie ciągu α-mieszania dla tablicy trójkątnej zmiennych losowych. Definicja 1.4.2. Niech {Xn,t : 1 ≤ t ≤ pn } będzie tablicą trójkątną zmiennych losowych. Ciąg αn -mieszania w n-tym wierszu dla tablicy {Xn,t : 1 ≤ t ≤ pn } definiujemy jako αn (s) =. sup. sup. 1≤t≤pn −s A∈An,t B∈Bn,t+s. |P (A ∩ B) − P (A)P (B)|,. gdzie s = 1, 2, . . . , pn − 1, An,t jest σ-algebrą generowaną przez {Xn,u : 1 ≤ u ≤ t}, zaś Bn,t jest σ-algebrą generowaną przez {Xn,u : t ≤ u ≤ pn }. W modelowaniu danych makroekonomicznych posługujemy się między innymi modelami liniowymi. Dlatego też przybliżymy pojecie ciągu α-mieszania przytaczając twierdzenie, w którym oszacowano z góry ciąg α-mieszania dla dyskretnego procesu liniowego {Xt : t ∈ Z} postaci X Xt = gt,s ǫs , (1.21) s∈Z. gdzie gt,s są liczbami rzeczywistymi dla ustalonych wartości s oraz t, zaś {ǫt : t ∈ Z} jest ciągiem losowym. Twierdzenie 1.4.1 (Doukhan (1994), str. 78). Załóżmy, że dla dyskretnego procesu liniowego postaci (1.21) spełnione są następujące warunki regularności 27.