Interpretacje ekonomiczne wybranych charakterystyk modelu

W tym paragrafie poddano interpretacji wybrane charakterystyki zaproponowanego modelu. Zinterpretowano szereg czasowy pierwszych różnic, amplitudy wahań związanych z daną często-tliwością zbioru Ψ_P oraz fazą tych wahań. Uwagę skierowano również w kierunku interpretacji wahań wyodrębnionych filtrem HP.

Amplituda i faza wahań koniunkturalnych

Zauważmy, że definicja amplitudy wahań utożsamianych z wahaniami aktywności gospodar-czej wprowadzona na początku tego rozdziału to charakterystyka samej realizacji otrzymanego procesu wahań aktywności gospodarczej. W rozprawie doktorskiej przyjęto koncepcję w której analiza amplitudy wahań koniunkturalnych utożsamiana będzie z amplitudą ciągu dyskretnego {2Re[m(ψj)eiψjt]}t∈Z, gdzie ψj, dla j = 1, 2, . . . , M to częstotliwości z nieznanego zbioru Ψ – utożsamiane ze zmianami aktywności gospodarczej22. Amplituda ta dla ustalonego 1 ≤ j ≤ M informuje o wpływie danej częstotliwości na obraz wahań cyklicznych. Jeśli amplituda ta różni się pomiędzy różnymi wartościami 1 ≤ j ≤ M to oznacza to, że wpływ tych częstotliwości na funkcję wartości oczekiwanej µ(t) (a przez to obraz wahań aktywności gospodarczej) jest różny. Większa amplituda oznacza większy wpływ, zaś mniejsza oznacza, że wpływ ten jest mniejszy. Dzięki takiemu podejściu możliwa jest analiza amplitudy wahań koniunkturalnych poprzez zastosowanie procedur estymacji nieznanych parametrów w równaniu na amplitudę. Znając wartości estymatorów parametrów ψj (1 ≤ j ≤ M) oraz wartości estymatorów para-metrów mX(ψj) można wyznaczyć wartości estymatorów amplitudy wahań ciągu dyskretnego {mP(ψj)eiψjt}t∈Z korzystając z zależności (4.7), (4.10), (1.13) i podstawiając w miejsce niezna-nych parametrów wartości ich estymatorów23.

Analiza fazy wahań koniunkturalnych będzie oparta na analizie fazy ciągu dyskretnego {2Re[m(ψj)eiψjt]}t∈Z, gdzie ψj, dla j = 1, 2, . . . , M to częstotliwość z nieznanego zbioru Ψ

22 Patrz pojęcie amplitudy związane z funkcją prawie okresową w Paragrafie 1.2.

23 Istotną kwestią jest zbadanie własności tak otrzymanego estymatora w próbach o liczności odpowiadają-cej średniej długości analizowanego szeregu czasowego. Problem ten powinien być zbadany, gdyż zależność (4.7) zawiera składnik typu (1 − e−iψt), który jako funkcja argumentu ψ podlegającego estymacji może niekorzystnie wpływać na jakość oszacowania parametru m(ψ). Badanie w symulacjach szybkości zbieżności estymatora parametru m(ψ) jak również estymatora amplitudy nie będzie jednak przedmiotem rozważań w rozprawie doktorskiej.

– utożsamiana ze zmianami aktywności gospodarczej24. Analogicznie jak w przypadku ana-lizy amplitudy wahań aktywności gospodarczej znając wartości estymatorów parametrów ψj (1 ≤ j ≤ M) oraz wartości estymatorów parametrów mX(ψj) można wyznaczyć wartości es-tymatorów fazy wahań korzystając z zależności (4.7), (4.10), (1.13) i podstawiając w miejsce nieznanych parametrów wartości ich estymatorów.

Wyodrębnione wahania filtrem Hodricka i Prescotta

Działanie filtru liniowego HP pozwala na wyodrębnienie wahań utożsamianych bardzo czę-sto przez badaczy z wahaniami cyklicznymi spowodowanymi zmianami koniunktury. Zważyw-szy jednak na liczne kontrowersje wokół działania poszczególnych filtrów liniowych, w tym również filtra HP przyjmiemy w pracy, iż proces wynikowy po zastosowaniu filtra HP może być utożsamiany z procesem odzwierciedlającym aktualną fazę cyklu koniunkturalnego bez interpretacji amplitudy tych wahań. Jest bowiem rzeczą znaną że stosowanie różnych filtrów liniowych prowadzi w większości przypadków do zidentyfikowania wahań o różnej amplitudzie, jednakże o stosunkowo podobnych punktach zwrotnych (patrz dla przykładu polskie opraco-wania: Skrzypczyński (2009), Adamowicz i inni (2008)). Rezultat dotyczący niezmienniczości zbioru ΨP,1 po zastosowaniu filtra HP (patrz równanie (4.2)) nie jest znany w literaturze i nie będzie również przedmiotem dociekań w rozprawie. Jest to odrębny i nietrywialny problem. Wyodrębnienie wahań poprzez zastosowanie filtra HP ma zatem w rozprawie doktorskiej na celu jedynie graficzną ich analizę. Z kolei analiza graficzna stanowi w pracy podstawę identyfikacji punktów zwrotnych wahań cyklicznych dla danego wskaźnika.

W przypadku, gdy przed zastosowaniem filtra HP szereg czasowy podlegał operacji loga-rytmowania, otrzymane wahania cykliczne mogą być interpretowane (w nieformalny sposób) jako procentowe odchylenia od linii trendu pierwotnego szeregu czasowego25. Otrzymany w ten sposób cykl jest tzw. cyklem odchyleń (patrz Mintz (1969), str. 12). W przypadku, gdy wahania cykliczne wyodrębniamy dla danych bez operacji logarytmowania otrzymany szereg wahań również będziemy nazywać w pracy cyklem odchyleń. Jednak, otrzymany w ten sposób cykl odchyleń nie przedstawia procentowych odchyleń od linii trendu a odchylenia absolutne.

Proces pierwszych różnic jako idea cyklu kroczącego oraz dynamiki zmian

Operacja różnicowania pomimo, że nie zmienia częstotliwości odpowiedzialnych za wahania cykliczne utożsamiane z wahaniami koniunktury, wpływa na postać funkcji wartości oczekiwanej nowo otrzymanego procesu (patrz wzory (4.7)). Zmiany są na tyle dalekie, iż nie jest możliwe utożsamianie nowo powstałego szeregu czasowego z cyklem odchyleń. Aby to uzasadnić niech { ˜Pt : t ∈ Z} będzie logarytmem naturalnym rozważanego szeregu czasowego {Pt : t ∈ Z} – o dodatnich wartościach. Wówczas szereg czasowy pierwszych różnic tego szeregu może być interpretowany jako procentowe zmiany szeregu czasowego { ˜Pt : t∈ Z}^{26. Z kolei wyznaczanie} procentowych zmian rozważanego szeregu czasowego i porównywanie tych zmian z ich wartością

24 Patrz pojęcie fazy związane z funkcją prawie okresową w Paragrafie 1.2.

25 Wynika to z aproksymacji ln(Pt)− ln(Tt) = ln(Pt/Tt) ≈ (Pt− Tt)/Tt dla Pt bliskiego Tt, gdzie Pt

jest rozważaną zmienną makroekonomiczną (przyjmującą dodatnie wartości), zaś ln(Tt) jest wyodrębnionym za

pomocą filtra HP szeregiem – utożsamianym z trendem zmiennej ln(Pt). Szereg czasowy Tt może być zatem

w nieformalny sposób interpretowany jako trend zmiennej Pt.

średnią to znana koncepcja wyznaczania cyklu kroczącego27. Koncepcja przyjęta w rozprawie doktorskiej nie zakłada jednak porównywania otrzymanych zmian procentowych z ich wartością średnią. Skoncentrujemy uwagę na innej ciekawej interpretacji otrzymanego szeregu czasowego pierwszych różnic. Przedstawimy intuicyjne wyjaśnienie wpływu i roli operatora pierwszych różnic na otrzymany obraz wahań. W tym celu rozważmy poniższy przykład.

Przykład 4.4.3. Niech szereg czasowy {Pt : t∈ Z} będzie szeregiem obserwowalnym w

odstę-pach miesięcznych charakteryzującym stan gospodarki. Rozważmy przykład w którym przyjmu-jemy, że szereg ten można przedstawić w postaci

Pt = 5 sin(ω1t) + 3 sin(ω2t) + 4 sin(ω3t) + 20 sin(ω4t) + t/2 + ηt, (4.14)

gdzie ω1 = 0.105, ω2 = 0.138, ω3 = 0.249, ω4 = 0.035. Zauważmy, że ω1 odpowiada za cykl

o długości 5 lat, ω2 odpowiada za cykl o długości 3.8 roku, ω3 odpowiada za cykl o długości 2.1

roku, zaś ω4 odpowiada za cykl o długości 15 lat. Niech szereg czasowy{ηt: t∈ Z} będzie postaci

ηt = ηt₋₁+ ǫt, gdzie {ǫt : t∈ Z} jest biłabym szumem gaussowskim o średniej zero i wariancji

równej jedna druga, zaś E(η0) = 0. Rysunek 4.2 (a) przedstawia dwustu elementową realizacje

{p1, p₂, . . . , p200} z modelu (4.14). 25 50 75 100 125 150 175 200 20 40 60 80 100 120 140 (a) 50 100 150 200 -1 1 2 3 4 (b)

Rysunek 4.2. (a) Dwustu-elementowa realizacja z modelu (4.14), (b) Pochodna funkcji wartości oczekiwanej szeregu czasowego postaci (4.14), wraz z wartościami pierwszych różnic realizacji z Rysunku (a).

Zauważmy, że wartość oczekiwana szeregu mającego reprezentację (4.14) istnieje i jest funk-cją postaci (4.2). Korzystając z elementarnych własności funkcji prawie okresowych oraz Twier-dzenia 1.1.1 otrzymujemy że funkcja wartości oczekiwanej szeregu (4.14) definiowana na osi rzeczywistej jest również funkcją prawie okresową (oraz różniczkowalną). Pochodna tej

funk-cji w dowolnym punkcie całkowitoliczbowym t0 to limh→0(µP(t0)− µP(t0 − h))/h. Zauważmy,

że wartość oczekiwana szeregu czasowego Xt = Pt− Pt−1 w dowolnej chwili czasowej t0 (czyli

pierwszych różnic dla szeregu czasowego (4.14)) spełnia zależność E(Xt0) = µP(t0)−µP(t0−1),

co stanowi przybliżenie pochodnej funkcji wartości oczekiwanej szeregu czasowego (4.14) roz-szerzonej na argument rzeczywisty. Aby to zilustrować na Rysunku 4.2 (b) przedstawiono wartości pochodnej funkcji wartości oczekiwanej szeregu czasowego (4.14) wraz z realizacjami jednomiesięcznych przyrostów realizacji tego szeregu czasowego (przedstawionych na Rysunku 4.2 (a)). Widać bardzo wyraźnie że wartości różnic stanowią przybliżenie wartości pochodnej

funkcji µP(t).

27 Patrz: Friedman i Schwartz (1963a), Mintz (1969).

W powyższym przykładzie rozważany szereg czasowy nie charakteryzował się wahaniami sezonowymi spowodowanymi zmianami pór roku. Należy zwrócić bardzo wyraźną uwagę na możliwą interakcję pomiędzy natężeniem wahań sezonowych oraz aktualną fazą cyklu koniunk-turalnego28.