W artykule A.2. rozszerzono tematykę pracy A.1. o zewnętrzne pole magne-tyczne, przyłożone prostopadle do płaszczyzny nanostruktury. Badania dotyczyły krystalizacji wignerowskiej wywołanej polem magnetycznym z zakresu ułamkowego efektu Halla. Interesowano się możliwością odtworzenia gęstości elektronowej przy pomocy algorytmu przedstawionego w streszczeniu pracy A.1. w kontekście zmian zachodzących w stanie podstawowym wraz ze wzrastającym polem magnetycznym, aż do warunków ułamkowego kwantowego efektu Halla [76] – tj. przy niepełnym obsadzeniu najniższego poziomu Landaua.
Pierwszy całkowicie spolaryzowany spinowo stan podstawowy, który pojawia się w niezerowym polu magnetycznym, wykazuje właściwości tzw. nieściśliwej cieczy elektronowej i jest nazywany kroplą maksymalnej gęstości (ang. maximum density droplet, MDD) [1]. Orbitalny moment pędu dla stanu MDD wynosi L =−N(N − 1)~
2, a współczynnik wypełnienia poziomu Landaua ν jest równy jed-ności. Wraz ze wzrostem pola magnetycznego gęstość ładunku jest stale ściskana, aż w wysokich polach magnetycznych oddziaływanie kulombowskie między elek-tronami wymusza rozpad stabilnego MDD. Stan podstawowy staje się ściśliwym układem elektronów o skorelowaniu cząstek silniejszym niż dla cieczy i ulega trans-formacjom momentu pędu: L maleje o wartość N ~; wówczas ν < 1 [1, 71, 77]. W ta-kich warunkach współczynnik wypełnienia definiuje się poprzez zależność z liczbą elektronów i orbitalnym momentem pędu, tj. ν = N (N −1)2|L| [78].
Rachunki wykonano w taki sam sposób, jak w pracach nad publikacją A.1., uwzględniając niezerowe pole magnetyczne B w hamiltonianach (2.4) i (2.5). Pa-rametry materiałowe dobrano odpowiednie dla związku GaAs: m∗ = 0.067m0, = 12.5, g∗ = −0.44 [74, 79]. Potencjał efektywny wprowadzony przez ostrze mi-kroskopu modelowano funkcją Lorentza (3.1) o szerokości połówkowej 2dtip= 8 nm i amplitudzie Vtip = ±2 meV. Skupiono się na czterech potencjałach uwięzienia Vc(r):
• parabolicznym (kropka okrągła, wzór(3)według numeracji z pracy A.2. przy ~ω = 2 meV i parametrze Z = 0),
• parabolicznym z przyciągającym defektem (we wzorze (3) dołączono do-datkowy wyraz pochodzący od dodatnio naładowanego defektu, znajdują-cego się w odległości zdef ponad płaszczyzną nanostruktury, tj. w punkcie rdef = (xdef, 0, zdef) = (20 nm, 0, 20 nm); ~ω = 2 meV, Z = 1),
• kwadratowym według wzoru (4) z parametrami X = Y = 50 nm, V0 = 100 meV,
• kwazijednowymiarowym: X = 75 nm, Y = 15 nm, V0 = 100 meV.
Celem artykułu A.2. było przebadanie możliwości odtworzenia gęstości elektro-nowej z map energii w funkcji położenia ostrza mikroskopu sił atomowych przy różnych wartościach pola magnetycznego dla każdego z rozważanych potencjałów uwięzienia. Aby ułatwić dyskusję wielu wyników, w większości przypadków zde-cydowano się na zilustrowanie zgodności gęstości odtworzonej nr(r) z oryginalną niezaburzoną gęstością n(r) za pomocą znormalizowanego współczynnika korelacji,
τ = 1 S Z Z S n(x, y) − hni nr(x, y)− hnri σnσnr dx dy, (3.4)
obliczonego dla obszaru o powierzchni S.hni oraz σnoznaczają odpowiednio: śred-nią oraz odchylenie standardowe gęstości n.
I. Okrągła kropka kwantowa
W przypadku okrągłej kropki kwantowej ostrze mikroskopu sił atomowych wy-wiera niewielki wpływ na gęstość elektronową przy ν > 1, w szczególności w stanie MDD (rys. 2(a)-(o) z omawianej publikacji). Jest to reakcja charakterystyczna dla nieściśliwej cieczy elektronowej. Zniesienie symetrii potencjału uwięzienia spowo-dowało nieznaczne eliptyczne wydłużenie kształtu gęstości ładunku. Zupełnie inne zjawisko zaobserwowano przy wyższych polach magnetycznych dla ułamkowych współczynników wypełnienia. Ostrze łamiąc symetrię obrotową potencjału uwię-zienia powoduje transformację gęstości do molekuły Wignera (rys.2(p)-(ad)), która bez zaburzenia symetrii nie może być widoczna, ale jest oznaką silnego skorelowania elektronów.
Podobne jakościowe zróżnicowanie wyników, zależne od pola magnetycznego, zauważono odtwarzając gęstość ładunku dwóch, trzech i czterech elektronów przy pomocy algorytmu opartego na rachunku zaburzeń. Znormalizowany współczynnik korelacji τ jest bliski jedności przy niskich polach magnetycznych aż do stanu MDD włącznie, tj. gdy ν > 1 – zarówno dla przyciągającego, jak i dla odpychającego tipu (rys.1(a) i 4). Opisana wcześniej reakcja układu na zaburzenie wprowadzone przez ostrze jest niewielka, co pozwala na dokładne odtworzenie gęstości elektronowej z map energii w funkcji położenia tipu.
Wraz z rozpadem kropli maksymalnej gęstości i przejściem do zakresu kwanto-wego ułamkokwanto-wego efektu Halla, współczynnik korelacji zaczyna stopniowo spadać i oscylować z częstotliwością odpowiadającą transformacjom momentu pędu stanu podstawowego (rys. 1(b) i 4). Algorytm odtwarzania gęstości daje gorsze wyniki niż w przypadku niskich pól magnetycznych, ponieważ ostrze silnie zaburza stan układu, w związku z czym założenie o stosowalności rachunku zaburzeń (3.3) nie jest spełnione dla wysokich pól.
Jednocześnie wartość współczynnika korelacji τ w warunkach ułamkowego kwan-towego efektu Halla znacząco różni się w zależności od znaku Vtip: ostrze przycią-gające pozwala na dokładniejsze odtworzenie gęstości. Niezaburzona gęstość n dla danego stałego współczynnika wypełnienia ν wraz ze wzrostem pola magnetycz-nego staje się coraz bardziej skompresowana (co zwiększa oddziaływanie elektron-elektron), aż dochodzi do transformacji momentu pędu z przeskokiem do niższe-go ułamkoweniższe-go współczynnika ν. Każdej takiej transformacji towarzyszy nagłe zwiększenie promienia pierścienia gęstości elektronowej. Tymczasem promień od-tworzony za pośrednictwem przyciągającego ostrza (Vtip =−2 meV, rys. 1(c)) jest najczęściej zawyżony, ponieważ gęstość elektronowa podąża za sondą, minimalizu-jąc w ten sposób energię. Dlatego dla przyciągaminimalizu-jącego ostrza maksimum gęstości odtworzonej ze zmian energetycznych jest najczęściej odsunięte od środka kropki w porównaniu z oryginalną gęstością (rys.3(a)) i nie wykazuje nagłych transforma-cji. Natomiast przy odpychającym potencjale (Vtip = 2 meV) maksimum gęstości odtworzonej jest znacznie przesunięte w kierunku centrum układu, a obszar przez nią zajęty jest zawyżony (rys. 3(b)). Efekty te znacząco różnią gęstość odtworzoną nr od niezaburzonej n – stąd niski współczynnik korelacji, jednak średni promień nr pozostaje w dużej zgodności z promieniem oryginalnej gęstości ze względu na częściowe znoszenie się tych przeciwstawnych odchyleń (rys. 1(c)).
Zauważono również, że wraz ze wzrostem liczby elektronów rośnie współczynnik korelacji τ – im więcej elektronów, tym silniejsze ekranowanie potencjału ostrza, w związku z czym zaburzenie jest mniejsze, a gęstość łatwiejsza do odtworzenia przy pomocy proponowanego algorytmu.
II. Okrągła kropka kwantowa z defektem przyciągającym
W tej części pracy nad publikacją A.2. analiza wyników prowadziła do po-dobnych wniosków niezależnie od znaku Vtip, dlatego w artykule niektóre wykresy zamieszczono tylko dla przyciągającego przypadku.
mak-symalnej kropli gęstości kropki izotropowej, maksimum gęstości elektronowej jest przesunięte do położenia defektu w płaszczyźnie nanostruktury. Gęstość tę udaje się bardzo precyzyjnie odtworzyć z map energii w funkcji położenia tipu (rys. 6(a)-(i)
dla N = 2 oraz 7(a)-(j)dla N = 3), współczynnik korelacji τ jest bliski wartości 1 (rys. 5(a) oraz 5(b)).
W warunkach wyższego pola magnetycznego (od ok. 5 T) obserwuje się znacz-ne rozszczepienie dwóch najniższych poziomów eznacz-nergetycznych dwóch elektronów związanych w badanej kropce kwantowej. Jednocześnie współczynnik wypełnienia jest ciągłą funkcją pola magnetycznego (rys. 5(a)), co jest konsekwencją braku na-głych transformacji momentu pędu ze względu na zniesienie symetrii potencjału uwięzienia. Obecność defektu o dodatnim ładunku powoduje przekształcenie gę-stości dwóch elektronów do fazy molekularnej z dwoma wyraźnymi maksimami: jednym pokrywającym się z położeniem defektu i drugim po przeciwnej stronie kropki. Znajduje to swoje odzwierciedlenie w energii układu wynikającej z zabu-rzenia ostrzem, dzięki czemu oba maksima są odtworzone w wynikowej gęstości nr testowanego algorytmu (rys. 6(j)-(r)). Proponowana metoda poprawnie odwzo-rowuje kształt molekularnego rozkładu gęstości, jedynie rozmiar obszaru zajętego przez ładunek wydaje się być miejscami zawyżony (np. porównanie gęstości orygi-nalnej 6(p) i odtworzonej 6(q)).
Dla N = 3 obecność defektu ma dużo mniejszy wpływ na poziomy energetyczne, niż w opisywanym wyżej przypadku dwóch elektronów. Zależność współczynnika wypełnienia τ od pola magnetycznego zachowuje kształt zbliżony do schodkowego (rys. 5(b)) z przeskokami dla takich wartości B, dla których zachodzi nieznaczne odpychanie poziomów energetycznych (tzw. antykrossing, ang. anticrossing), zastę-pujące przecięcia poziomów w przypadku kropki izotropowej. Molekuła Wignera o trzech wyraźnie odseparowanych maksimach pojawia się w gęstości elektronowej tylko w okolicach antykrossingów przy wysokich polach magnetycznych i okazu-je się być niemożliwa do zobrazowania: współczynnik korelacji gęstości oryginalnej i odtworzonej, bliski jedności w początkowym zakresie pól magnetycznych, po gwał-townym obniżeniu stopnia wypełnienia ν < 1 zaczyna cyklicznie spadać w okolicy każdego antykrossingu. Gęstość odtworzona nr jest zbliżona kształtem do pierście-nia z jednym maksimum w okolicy położepierście-nia defektu (rys. 7), co jest niezgodne z molekułą Wignera widoczną w gęstości n. Trzy maksima odpowiadające położe-niom jednoelektronowych wysp ładunku udało się odtworzyć dopiero po obniżeniu amplitudy ostrza do Vtip=−0.5 meV, co pokazano na wykresach rysunku7.
ukła-dzie laboratoryjnym – taką gęstość udaje się z dużym powodzeniem odtworzyć, dla-tego pomiędzy antykrossingami współczynnik korelacji dla N = 3 jest relatywnie wysoki (rys. 5(c)).
III. Prostokątne kropki kwantowe: kwadratowa i kwazijednowymiaro-wa
W przypadku kwadratowej kropki kwantowej w całym badanym zakresie pola magnetycznego udało się z dużą dokładnością odtworzyć gęstość czterech elektro-nów, która w miarę wzrostu wartości B układa się w molekułę Wignera (rys. 11(g)-(l)). Dla N = 2 i N = 3 gęstość ładunku odwzorowano precyzyjnie tyl-ko przy niskim polu magnetycznym – dla wyższych pól, dla których współczynnik wypełnienia ν jest mniejszy od 1, oryginalna gęstość wykazuje wyraźne maksima w narożnikach kropki kwantowej, co okazało się być niemożliwe do odzwierciedlenia przy pomocy proponowanego algorytmu (rys.11(a)-(f)). Podobny problem dotyczy jednoelektronowej gęstości: o ile w niskich zakresach pól udało się ją precyzyjnie odtworzyć (rys. 8(b),(d)), o tyle w wysokim polu ostrze wywarło duży wpływ na stan układu, w związku z czym gęstość otrzymana z map zmian energetycznych zaj-muje znacząco większy (dla Vtip=−2 meV, rys.8(g)) lub mniejszy (Vtip= 2 meV, rys. 8(i)) obszar niż gęstość oryginalna.
W potencjale kwazijednowymiarowej kropki kwantowej w wysokim polu magne-tycznym zaobserwowano stabilny rozkład molekularny. Dla tej kropki kwantowej współczynnik korelacji między gęstością niezaburzoną oraz odtworzoną uzyskano bliski jedności niezależnie od liczby elektronów oraz wartości pola magnetycznego.