W ostatniej pracy wchodzącej w skład rozprawy przeanalizowano przejścia spi-nowe, zachodzące w obecności zmiennego pola elektrycznego pochodzącego od tipu skanującego nanostrukturę w eksperymencie SGM wykorzystującym mechanizm elektrycznego dipolowego rezonansu spinowego [7–14]. Profil potencjału uwięzienia modelowano funkcją Vc(r) =− V0 1 +hRx22 x i20 1 +hRy22 y i20 + Vb 1 +hRx22 b i20 1 +hRy22 y i20 , (3.17)
dającą w wyniku studnię z dnem o kształcie zbliżonym do prostokąta o wymiarach 2Rx× 2Ry = 90 nm× 40 nm i głębokości V0 = 50 meV. Drugi człon wzoru (3.17) odpowiada za barierę potencjału oddzielającą dwie kropki kwantowe; parametr Rb= 5 nm oznacza połowę szerokości bariery o wysokości Vb. W obliczeniach dla jednego elektronu związanego w pojedynczej kropce kwantowej przyjęto Vb = 0, natomiast w przypadku dwóch elektronów w podwójnej kropce: Vb = 10 meV.
Równania własne jednoelektronowego i dwuelektronowego hamiltonianu z zada-nym potencjałem uwięzienia rozwiązano zgodnie z opisem zawartym w podrozdzia-le 2.4.2. Założono, że modelowana kropka kwantowa jest wytworzona na bazie hete-rostruktury In0.5Ga0.5As, dla której stała materiałowa γ = 32.2 meV·nm3 [80], co – zgodnie z wzorem (2.15) – daje w efekcie stałą Dresselhausa γhk2zi ≈ 10.82 meV·nm (przyjęto wysokość kropki kwantowej d = 5.42 nm). Stała sprzężenia typu Rashby wyniosła α = 0.572 nm2 [81]. Pozostałe parametry materiałowe przyjęto jako śred-nie ważone z odpowiednich parametrów dla związków GaAs i InAs (o wagach 0.5 i 0.5), tj. m∗ = 0.0465 m0, g∗ =−8.97 oraz = 13.5 [74, 79, 82].
W rachunkach zależnych od czasu, wykonanych według metodologii wyjaśnionej w podrozdziale 2.4.2., periodyczne zaburzenie modelowano krótkozasięgową funkcją Lorentza (3.1) o szerokości połówkowej 2dtip= 40 nm i amplitudzie Vtip = 5 meV, modulowanej funkcją okresową sin(ωt), wprowadzonej do rachunków zgodnie z wzo-rami (2.21) i (2.22).
I. Prostokątna kropka kwantowa
Pracę A.4. rozpoczęto od przypadku jednego elektronu w prostokątnej krop-ce kwantowej, tj. z pominięciem bariery: Vb = 0. Obliczenia przeprowadzono dla dwóch wartości składowej wektora pola elektrycznego prostopadłej do płaszczyzny nanostruktury, Fz = 0 oraz Fz = 94.406 kVcm. Sprzężenie spin-orbita
spowodowa-ło pojawienie się antykrossingów w miejscach przecięć poziomów energetycznych odpowiadających stanom o przeciwnych spinach. Efekt ten jest niemal identyczny w obu rozważanych przypadkach Fz = 0 i Fz = 94.406 kVcm – zaobserwowany na wykresie 3 omawianego artykułu wpływ wartości Fz na poziomy energetyczne jest nieznaczny. Wszystkie dalsze obliczenia dotyczące pojedynczej kropki kwantowej przeprowadzono dla obu wartości Fz, jednak w publikacji część wykresów dotyczy tylko Fz = 0 (tj. bez udziału oddziaływania spin-orbita typu Rashby), ponieważ ilustracje te były równoznaczne i prowadziły do identycznych wniosków.
Do badań nad ewolucją czasową funkcji falowej wybrano pole magnetyczne B = 0.5 T, dla którego różnica energii dwóch najniższych stanów wyniosła ~ω10≡ E1− E0 ≈ 0.24 meV. Początkowo układ jest przygotowany w stanie pod-stawowym |ψ0i ≡ |0i. Następnie zostaje włączone zewnętrzne zmienne pole elek-tryczne, wprowadzone przez ostrze mikroskopu, znajdujące się w ustalonym położe-niu (xtip, ytip). Przeprowadzając symulacje ewolucji funkcji falowej skupiono się na maksymalnym prawdopodobieństwie przejścia do pierwszego stanu wzbudzonego |ψ1i ≡ |1i, któremu towarzyszy obrót spinu elektronu.
Dla ostrza znajdującego się w centrum kropki kwantowej nie zaobserwowano obrotu spinu – obliczone maksymalne prawdopodobieństwo przejścia jest zerowe niezależnie od czasu symulacji i przyjętej częstotliwości zmiennego pola elektrycz-nego (zielona linia na wykresach 5(a), 5(c)). Przejście proste dla częstotliwości rezonansowej ~ω10 pojawia się już po nieznacznym przesunięciu tipu do punktu (0, 10 nm), natomiast położenie dalekie od osi symetrii potencjału uwięzienia – tj. (22 nm, 10 nm) – powoduje, że przejście zachodzi dużo szybciej: już po 300 ps symulacji maksymalne prawdopodobieństwo przejścia prostego rośnie do 1, a pik jest rozległy. Po wydłużeniu czasu symulacji do 250 ns widoczne stają się również przejścia ułamkowe dla częstości ~ω10
2 ,~ω10
3 , . . . (wstawki na wykresach5(a), 5(c)). Dla częstotliwości rezonansowej ~ω10 obliczono mapy maksymalnego prawdo-podobieństwa przejścia do stanu ψ1(r, s) w różnych chwilach czasowych, zaprezen-towane na rys. 6.
Część rachunków powtórzono, przybliżając maksymalne prawdopodobieństwo przejścia przy pomocy rachunku zaburzeń pierwszego rzędu zgodnie z równaniem (2.30). Obliczenia pozwoliły na odtworzenie przejść prostych (rys. 5(b), (d)). Uzy-skane w ten sposób przejście do stanu wzbudzonego silnie zależy od elementu ma-cierzowego hψ1|VT(r; rtip)| ψ0i, którego wartość bezwzględną w funkcji położenia tipu zilustrowano w omawianym artykule na rys. 7. Kształt mapy wyraźnie od-wzorowuje maksymalne prawdopodobieństwo przejścia (rys. 6) i pozwala na
wy-jaśnienie szybkości zaobserwowanych przejść. Umiejscowienie ostrza mikroskopu w środku kropki kwantowej nie łamie symetrii, a odpowiednie składowe spinowe funkcji podcałkowych ψ0↑(r), ψ↑1(r) oraz ψ0↓(r), ψ1↓(r) wykazują przeciwną parzy-stość. W konsekwencji element macierzowy w punkcie (xtip, ytip) = (0, 0) znika, co uzasadnia brak przejścia.
II. Podwójna kropka kwantowa
W dalszej części rachunków do potencjału uwięzienia wprowadzono barierę (Vb = 10 meV), rozdzielającą nanostrukturę na dwie sprzężone tunelowo krop-ki kwantowe. Do rozważania ewolucji czasowej dwóch elektronów wybrano pole magnetyczne B = 1.2 T, w którym stanem podstawowym jest spinowo spolaryzo-wany tryplet |T+i. Przyjmujemy go za początkowy stan układu: przepływ prądu przez nanostrukturę jest zabroniony ze względu na blokadę Pauliego. Skupiono się na przejściach do stanów o przeciwnie skierowanych spinach, w których blokada Pauliego jest zniesiona: do 1. stanu wzbudzonego |Si oraz 2. stanu wzbudzonego |T0i. Odpowiadające im częstości rezonansowe ~ω10i ~ω20 zaznaczono na wykresie spektrum energetycznego, zamieszczonego w publikacji na ilustracji 8.
Dla przypadku ostrza umiejscowionego w centrum potencjału uwięzienia, (xtip, ytip) = (0, 0), nie zaobserwowano przejść do stanu |T0i. Mapy maksymal-nego prawdopodobieństwa przejścia dla częstotliwości rezonansowych w funkcji położenia ostrza różnią się szczególnie dla tego położenia tipu: dla trypletu |T0i prawdopodobieństwo jest zerowe (rys. 11), natomiast w przypadku przejścia do singletu w tym miejscu widać wyraźne maksimum (rys. 10). Wykresy wartości bezwzględnych elementów macierzowych hS |VT(r; rtip)| T+i i hT0|VT(r; rtip)| T+i, zaprezentowane na rys. 12(a) oraz 12(b), wykazują dużą zgodność z odpowia-dającymi im mapami maksymalnego prawdopodobieństwa przejścia. Charaktery-styczny łukowaty kształt lokalnych maksimów maksymalnego prawdopodobień-stwa przejścia do singletu (rys. 10(c)), który nie znajduje odwzorowania w for-mie |hS |VT(r; rtip)| T+i|, jest wynikiem przesunięć Blocha-Siegerta częstotliwości rezonansowej [83–85]. Efekt ten jest widoczny również na ilustracji maksymalnego prawdopodobieństwa przejścia do stanu|Si w funkcji częstotliwości zmiennego pola elektrycznego: położenie piku przejścia prostego jest wyraźnie przesunięte w sto-sunku do dokładnej częstości rezonansowej ~ω10.
W dalszej części publikacji podjęto próbę wyjaśnienia kształtu uzyskanych map. W tym celu przeanalizowano wkład jednoelektronowych funkcji falowych w stany |T+i, |Si i |T0i. W obecności oddziaływania spinowo-orbitalnego stany
jednoelek-tronowe w symetrycznym potencjale uwięzienia są stanami własnymi operatora P σz (P jest operatorem parzystości: P f (r) = f (−r)). Oznacza to, że ich skła-dowe spinowe mają określone, przeciwne parzystości. Obliczone jednoelektronowe spinorbitale, będące składowymi wyznaczników Slatera tworzących stany dwuelek-tronowe, odpowiadają wartościom własnym operatora P σz: +1 dla stanów |0i i |3i oraz −1 dla |1i, |2i.
Tabela 3.1 prezentuje udział poszczególnych wyznaczników Slatera w interesu-jących nas stanach dwuelektronowych. Stany te są stanami własnymi operatora P (1)σz(1)P (2)σz(2) z wartościami własnymi +1 dla |T0i oraz −1 dla pozosta-łych. Ostrze mikroskopu zlokalizowane w środku układu nie zaburza symetrii po-tencjału uwięzienia, a wartość elementu macierzowego hT0|VT(r; rtip)| T+i znika dla (xtip, ytip) = (0, 0) ze względu na symetrię. Z tego powodu nie zaobserwowa-no przejścia do stanu wzbudzonego |T0i, co wyjaśnia minimum na środku mapy maksymalnego prawdopodobieństwa przejścia (rys. 11). Dopiero przesunięcie ti-pu pozwala na przeskok do |T0i. Natomiast przejście do stanu |Si przy założeniu (xtip, ytip) = (0, 0) nie jest zabronione.
|T+i 1
√
2(|02i − |20i) 0.8806 Pozostałe wyznaczniki Slatera 0.1194
|Si 1 √ 2(|01i − |10i) 0.5658 1 √ 2(|23i − |32i) 0.2792 Pozostałe wyznaczniki Slatera 0.1550 |T0i 1 √ 2(|03i − |30i) 0.4925 1 √ 2(|12i − |21i) 0.4940 Pozostałe wyznaczniki Slatera 0.0135
Tabela 3.1: Wkład poszczególnych bazowych wyznaczników Slatera w stany |T+i, |Si oraz |T0i. Znormalizowane wartości, prezentujące wkład wyznaczników, zostały obliczone w rachunku oddziaływania konfiguracji dla równania własnego dwuelek-tronowego hamiltonianu w podwójnej kropce kwantowej w obecności pola magne-tycznego B = 1.2 T.
Źródło: E. Strzałka, B. Szafran, Pauli blockade microscopy of quantum dots, Physica E: Low-dimensional Systems and Nanostructures 104, 22 (2018), tab. 1.
Dokładne stany dwuelektronowe uproszczono do kombinacji liniowych najbar-dziej znaczących wyznaczników Slatera według udziałów zamieszczonych w
tabe-li 3.1. Dzięki temu elementy macierzowe można zapisać w przybtabe-liżonej formie: hS |VT(r; rtip)| T+i ≈ β h1 |VT(r; rtip)| 2i − γ h3 |VT(r; rtip)| 0i , (3.18) hT0|VT(r; rtip)| T+i ≈ δ h3 |VT(r; rtip)| 2i + ζ h1 |VT(r; rtip)| 0i . (3.19)
Współczynniki β, γ, δ, ζ są wyznaczone przez diagonalizację hamiltonianu w ba-zie wyznaczników Slatera. Uzyskane w ten sposób przybliżenia map elementów ma-cierzowych, zaprezentowane na rys. 12(c), (d), pozostają w dużej zgodności z ilu-stracjami dokładnymi: rys. 12(a), (b).
4. Podsumowanie i wnioski
Jednym z podstawowych celów rozprawy była teoretyczna dyskusja możliwości odwzorowania gęstości ładunku elektronów związanych w dwuwymiarowych krop-kach kwantowych na podstawie pomiarów mikroskopii bramki skanującej. Przy po-mocy autorskiego oprogramowania, implementującego metodę oddziaływania kon-figuracji, wykonano symulacje dla kilku (N 6 4) elektronów związanych w kropkach kwantowych o zróżnicowanych rozmiarach i profilach potencjału, charakteryzują-cych się różnymi symetriami. Zaburzenie indukowane przez ostrze modelowano przy pomocy krótkozasięgowego lorentzowskiego oraz dalekozasięgowego kulombowskie-go potencjału. Uzyskano mapy energii układu w funkcji położenia ostrza mikro-skopu sił atomowych. W oparciu o rachunek zaburzeń zaproponowano algorytm, który na podstawie map energetycznych odzyskiwał obraz gęstości, którą następnie porównywano z niezaburzoną gęstością w celu skontrolowania poprawności odtwo-rzenia.
Szczególną uwagę zwrócono na molekuły Wignera, które mogą tworzyć się w nie-wielkich kropkach kwantowych w warunkach wysokiego pola magnetycznego (przy współczynniku wypełnienia najniższego poziomu Landaua ν < 1), jak również w dużych kropkach bez udziału pola magnetycznego – jednak ze względu na roz-miar i symetrię kropki silne korelacje elektronowe wymuszają krystalizację. Bada-nia przedstawione w pracy A.1. pokazały, że pojawiająca się w dużych kropkach kwantowych molekuła Wignera daje się z powodzeniem odtworzyć z map energii w funkcji położenia krótkozasięgowego ostrza. Warto zaznaczyć, że w prostokątnej kropce o kwazijednowymiarowym potencjale uwięzienia molekułę Wignera uzyska-no dla wszystkich badanych wartości N , a obrazowanie tej gęstości molekularnej było szczególnie efektywne.
Podobne wnioski można wysnuć na podstawie obliczeń dotyczących niewielkich kropek kwantowych w niezerowym polu magnetycznym, których wyniki opubliko-wano w pracy A.2. Wyjątek stanowiły trzyelektronowe molekuły Wignera w para-bolicznym potencjale z przyciągającym defektem, pojawiające się cyklicznie tylko w wąskich zakresach pola magnetycznego odpowiadającego antykrossingom dwóch najniższych stanów energetycznych. Zaobserwowane molekuły można nazwać nie-stabilnymi, ponieważ w ich przypadku niewielka zmiana wartości B powodowała zanik molekularnego rozkładu, a przyłożenie ostrza destabilizowało je i w efekcie nie udało się ich odwzorować. Natomiast w stosunkowo niskich polach magnetycz-nych (stan cieczy elektronowej – przy ν > 1), gęstość elektronową udawało się
odwzorować z dużą dokładnością dla wszystkich testowanych potencjałów uwię-zienia; znormalizowany współczynnik korelacji τ , będący miarą zgodności gęstości oryginalnej i odtworzonej, był bliski jedności.
Zauważono również, że obszar kropki, zajęty przez gęstość odtworzoną, jest z re-guły zawyżony dla przyciągającego ostrza, a zaniżony dla odpychającego. Ponadto obrazowanie gęstości ładunku okazało się być mocno utrudnione dla odpychające-go tipu w przypadkach, gdy dla danej liczby elektronów w potencjale uwięzienia istnieje kilka równoważnych konfiguracji klasycznych ładunków punktowych mi-nimalizujących ten potencjał, np. przy N = 2 i N = 3 w kwadratowej kropce kwantowej.
Część obliczeń, wchodzących w skład rozprawy, poświęcono dyskusji kształtu efektywnego potencjału indukowanego przez ostrze w eksperymentach SGM. W ar-tykule A.3. zaproponowano algorytm oparty o rachunki DFT, uwzględniające ekra-nowanie oryginalnego, dalekozasięgowego potencjału tipu nie tylko przez elektrony związane w kropce, ale także przez ładunki zgromadzone w rezerwuarach dwu-wymiarowego gazu elektronowego. Samouzgodniony model numeryczny pozwolił na otrzymanie diagramów stabilności ładunkowej kropek kwantowych o zadanych profilach potencjału uwięzienia.
Efektywny potencjał tipu okazał się silnie zależeć od położenia ostrza zarówno w kontekście wysokości, jak i kształtu. Stawał się silnie asymetryczny, szczególnie po umiejscowieniu tipu na granicy kropki i rezerwuaru 2DEG.
Liczbę elektronów związanych w kropce kwantowej oraz linie ładowania kropki obliczono dwoma sposobami: przy pomocy pełnego modelu uwzględniającego ekra-nowanie oraz korzystając z przybliżenia danego przez pierwszą poprawkę rachunku zaburzeń. W każdym z badanych przypadków liczba elektronów oszacowana drugą metodą była silnie zaniżona, a kształt linii ładowania kropki najczęściej znacznie odbiegał od formy wynikającej z dokładnego algorytmu.
W ostatniej z prac wchodzących w skład rozprawy rozważano przejścia spino-we indukowane zewnętrznym zmiennym polem elektrycznym, wprowadzonym przez tip w eksperymencie SGM. Przeprowadzone rachunki dotyczyły półprzewodnikowej kropki kwantowej z oddziaływaniem spinowo-orbitalnym, będącym mechanizmem pośredniczącym między spinem elektronu a zmiennym polem. Stany własne jedne-go elektronu związanejedne-go w potencjale kropki uzyskano poprzez rozwinięcie funkcji falowej w bazie funkcji Gaussa, natomiast problem dwuelektronowy rozwiązano metodą oddziaływania konfiguracji. Z wynikowych stanów stacjonarnych utworzo-no bazę, w której przy użyciu schematów różnicowych rozwiązautworzo-no zależne od czasu
równanie Schrödingera z oscylującym zaburzeniem wprowadzonym przez sondę. Analizując ewolucję czasową dwóch elektronów związanych w podwójnej kropce kwantowej skupiono się na przejściach prostych ze spinowo spolaryzowanego stanu początkowego|T+i, w którym przepływ prądu jednoelektronowego przez układ jest zabroniony, do stanów |Si i |T0i, znoszących zakaz Pauliego.
Zaobserwowano dużą zależność tempa przejść do stanów wzbudzonych od poło-żenia ostrza mikroskopu. Dla tipu umiejscowionego w centrum potencjału przejścia do niektórych stanów okazały się być zabronione ze względu na symetrię i parzy-stość funkcji uczestniczących w przejściach. Pokazano podobieństwo map maksy-malnego prawdopodobieństwa przejścia dla ustalonej częstotliwości rezonansowej z wykresami odpowiadających im elementów macierzowych w funkcji położenia ostrza. Omawiane elementy macierzowe łączą przekrywanie składowych spinowych początkowych i końcowych funkcji falowych z potencjałem tipu, dzięki czemu po-stuluje się możliwość eksperymentalnego odczytywania symetrii funkcji falowych uczestniczących w przejściach.
Literatura
[1] S. M. Reimann, M. Manninen, Rev. Mod. Phys. 74, 1283 (2002).
[2] Y. Masumoto, T. Takagahara, Semiconductor Quantum Dots: Physics, Spec-troscopy and Applications (Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2002).
[3] D. Loss, D. P. DiVincenzo, Phys. Rev. A 57, 120 (1998).
[4] M. A. Topinka, B. J. LeRoy, S. E. J. Shaw, E. J. Heller, R. M. Westervelt, K. D. Maranowski, A. C. Gossard, Science 289, 2323 (2000).
[5] D. K. Ferry, A. M. Burke, R. Akis, R. Brunner, T. E. Day, R. Meisels, F. Ku-char, J. P. Bird, B. R. Bennett, Semicond. Sci. Technol. 26, 043001 (2011). [6] H. Sellier, B. Hackens, M. G. Pala, F. Martins, S. Baltazar, X. Wallart, L.
De-splanque, V. Bayot, S. Huant, Semicond. Sci. Technol. 26, 064008 (2011). [7] S. Nadj-Perge, V. S. Pribiag, J. W. G. van den Berg, K. Zuo, S. R. Plissard,
E. P. A. M. Bakkers, S. M. Frolov, L. P. Kouwenhoven, Phys. Rev. Lett. 108, 166801 (2012).
[8] J. Stehlik, M. D. Schroer, M. Z. Maialle, M. H. Degani, J. R. Petta, Phys. Rev. Lett. 112, 227601 (2014).
[9] M. D. Schroer, K. D. Petersson, M. Jung, J. R. Petta, Phys. Rev. Lett. 107, 176811 (2011).
[10] E. A. Laird, C. Barthel, E. I. Rashba, C. M. Marcus, M. P. Hanson, A. C. Gossard, Phys. Rev. Lett. 99, 246601 (2007).
[11] E. A. Laird, C. Barthel, E. I. Rashba, C. M. Marcus, M. P. Hanson, A. C. Gossard, Semicond. Sci. Technol. 24, 064004 (2009).
[12] E. I. Rashba, A. L. Efros, Phys. Rev. Lett. 91, 126405 (2003).
[13] V. N. Golovach, M. Borhani, D. Loss, Phys. Rev. B 74, 165319 (2006). [14] F. Forster, M. Mühlbacher, D. Schuh, W. Wegscheider, S. Ludwig, Phys. Rev.
B 91, 195417 (2015).
[15] K. C. Nowack, F. H. L. Koppens, Y. V. Nazarov, L. M. K. Vandersypen, Science 318, 1430 (2007).
[16] S. Nadj-Perge, S. M. Frolov, E. P. A. M. Bakkers, L. P. Kouwenhoven, Natu-re 468, 1084 (2010).
[17] M. A. Eriksson, R. G. Beck, M. Topinka, J. A. Katine, R. M. Westervelt, K. L. Campman, A. C. Gossard, Appl. Phys. Lett. 69, 671 (1996).
[18] M. A. Topinka, B. J. LeRoy, R. M. Westervelt, S. E. J. Shaw, R. Fleischmann, E. J. Heller, K. D. Maranowski, A. C. Gossard, Nature 410, 183 (2001). [19] A. Pioda, Local manipulation of single electrons in semiconductor
nano-structures; rozprawa doktorska, Swiss Federal Institute of Technology Zu-rich (2005), https://www.nano.phys.ethz.ch/members/pioda/home.htm, do-stęp: 11.07.2018 r.
[20] P. Fallahi, Imaging Electrons in Few-Electron Qu-antum Dots; rozprawa doktorska, Harvard University (2006), https://meso.seas.harvard.edu/theses.html, dostęp: 11.07.2018 r. [21] P. Fallahi, A. C. Bleszynski, R. M. Westervelt, J. Huang, J. D. Walls, E. J.
Heller, M. Hanson, A. C. Gossard, Nano Lett. 5, 223 (2005).
[22] A. E. Gildemeister, T. Ihn, M. Sigrist, K. Ensslin, D. C. Driscoll, A. C. Gos-sard, Phys. Rev. B 75, 195338 (2007).
[23] M. Huefner, B. Kueng, S. Schnez, K. Ensslin, T. Ihn, M. Reinwald, W. We-gscheider, Phys. Rev. B 83, 235326 (2011).
[24] R. Crook, C. G. Smith, M. Y. Simmons, D. A. Ritchie, Phys. Rev. B 62, 5174 (2000).
[25] A. A. Kozikov, D. Weinmann, C. Rössler, T. Ihn, K. Ensslin, C. Reichl, W. We-gscheider, New J. Phys. 15, 083005 (2013).
[26] N. Pascher, F. Timpu, C. Rössler, T. Ihn, K. Ensslin, C. Reichl, W. Wegsche-ider, Phys. Rev. B 89, 245408 (2014).
[27] R. Steinacher, A. A. Kozikov, C. Rössler, C. Reichl, W. Wegscheider, T. Ihn, K. Ensslin, New J. Phys. 17, 043043 (2015).
[28] M. P. Jura, M. A. Topinka, L. Urban, A. Yazdani, H. Shtrikman, L. N. Pfeiffer, K. W. West, D. Goldhaber-Gordon, Nat. Phys. 3, 841 (2007).
[29] M. G. Pala, S. Baltazar, P. Liu, H. Sellier, B. Hackens, F. Martins, V. Bayot, X. Wallart, L. Desplanque, S. Huant, Phys. Rev. Lett. 108, 076802 (2012). [30] B. Hackens, F. Martins, T. Ouisse, H. Sellier, S. Bollaert, X. Wallart, A. Cappy,
J. Chevrier, V. Bayot, S. Huant, Nat. Phys. 2, 826 (2006).
[31] F. Martins, B. Hackens, M. G. Pala, T. Ouisse, H. Sellier, X. Wallart, S. Bol-laert, A. Cappy, J. Chevrier, V. Bayot, S. Huant, Phys. Rev. Lett. 99, 136807 (2007).
[32] M. G. Pala, B. Hackens, F. Martins, H. Sellier, V. Bayot, S. Huant, T. Ouisse, Phys. Rev. B 77, 125310 (2008).
[33] M. G. Pala, S. Baltazar, F. Martins, B. Hackens, H. Sellier, T. Ouisse, V. Bay-ot, S. Huant, Nanotechnology 20, 264021 (2009).
[34] B. Hackens, F. Martins, S. Faniel, C. A. Dutu, H. Sellier, S. Huant, M. Pala, L. Desplanque, X. Wallart, V. Bayot, Nature Communications 1, 39 (2010). [35] M. R. Connolly, K. L. Chiu, A. Lombardo, A. Fasoli, A. C. Ferrari, D.
Ander-son, G. A. C. Jones, C. G. Smith, Phys. Rev. B 83, 115441 (2011).
[36] S. Morikawa, Z. Dou, S.-W. Wang, C. G. Smith, K. Watanabe, T. Taniguchi, S. Masubuchi, T. Machida, M. R. Connolly, Appl. Phys. Lett. 107, 243102 (2015).
[37] S. Bhandari, G.-H. Lee, A. Klales, K. Watanabe, T. Taniguchi, E. Heller, P. Kim, R. M. Westervelt, Nano Lett. 16, 1690 (2016).
[38] M. T. Woodside, P. L. McEuen, Science 296, 1098 (2002).
[39] X. Zhou, J. Hedberg, Y. Miyahara, P. Grutter, K. Ishibashi, Nanotechnolo-gy 25, 495703 (2014).
[40] J. Xue, R. Dhall, S. B. Cronin, B. J. LeRoy, ArXiv:1508.05462 (2015). [41] S. Tarucha, D. G. Austing, T. Honda, R. J. van der Hage, L. P. Kouwenhoven,
Phys. Rev. Lett. 77, 3613 (1996).
[42] A. C. Bleszynski-Jayich, L. E. Fröberg, M. T. Björk, H. J. Trodahl, L. Samu-elson, R. M. Westervelt, Phys. Rev. B 77, 245327 (2008).
[44] E. E. Boyd, K. Storm, L. Samuelson, R. M. Westervelt, Nanotechnology 22, 185201 (2011).
[45] J. Qian, B. I. Halperin, E. J. Heller, Phys. Rev. B 81, 125323 (2010).
[46] K. E. Aidala, R. E. Parrott, T. Kramer, E. J. Heller, R. M. Westervelt, M. P. Hanson, A. C. Gossard, Nat. Phys. 3, 464 (2007).
[47] A. Fuhrer, S. Lüscher, T. Ihn, T. Heinzel, K. Ensslin, W. Wegscheider, M. Bi-chler, Nature 413, 822 (2001).
[48] U. F. Keyser, C. Fühner, S. Borck, R. J. Haug, M. Bichler, G. Abstreiter, W. Wegscheider, Phys. Rev. Lett. 90, 196601 (2003).
[49] Y. A. Bychkov, E. I. Rashba, J. Phys. C: Solid State Phys. 17, 6039 (1984). [50] G. Dresselhaus, Phys. Rev. 100, 580 (1955).
[51] K. Ono, D. G. Austing, Y. Tokura, S. Tarucha, Science 297, 1313 (2002). [52] F. H. L. Koppens, J. A. Folk, J. M. Elzerman, R. Hanson, L. H. Willems van
Beveren, I. T. Vink, H. P. Tranitz, W. Wegscheider, L. P. Kouwenhoven, L. M. K. Vandersypen, Science 309, 1346 (2005).
[53] A. C. Johnson, J. R. Petta, C. M. Marcus, M. P. Hanson, A. C. Gossard, Phys. Rev. B 72, 165308 (2005).
[54] F. H. L. Koppens, C. Buizert, K. J. Tielrooij, I. T. Vink, K. C. Nowack, T. Meunier, L. P. Kouwenhoven, L. M. K. Vandersypen, Nature 442, 766 (2006).
[55] K. Ono, S. Tarucha, Phys. Rev. Lett. 92, 256803 (2004).
[56] E. N. Osika, B. Szafran, M. P. Nowak, Phys. Rev. B 88, 165302 (2013). [57] C. D. Sherrill, An Introduction to Configuration
Interac-tion Theory; dokument pdf, Georgia Institute of Technology (1995), http://vergil.chemistry.gatech.edu/notes/ci.pdf, dostęp: 12.07.2018 r. [58] T. Chwiej, B. Szafran, Phys. Rev. B 78, 245306 (2008).
[59] C. F. Destefani, S. E. Ulloa, G. E. Marques, Phys. Rev. B 70, 205315 (2004). [60] J. Crank, P. Nicolson, Proc. Camb. Philos. Soc. 43, 50 (1947).
[61] A. Askar, A. S. Cakmak, J. Chem. Phys. 68, 2794 (1978).
[62] J. J. Sakurai, J. J. Napolitano, Modern Quantum Mechanics, wyd. 2 (Addison-Wesley, 2014).
[63] F. Nogueira, A. Castro, M. A. L. Marques, A Tutorial on Density Functional Theory w: A Primer in Density Functional Theory. Lecture Notes in Physics, vol. 620 (Springer Berlin Heidelberg, 2003).
[64] P. Hohenberg, W. Kohn, Phys. Rev. 136, B864 (1964). [65] W. Kohn, L. J. Sham, Phys. Rev. 140, A1133 (1965).
[66] C. Attaccalite, S. Moroni, P. Gori-Giorgi, G. B. Bachelet, Phys. Rev. Lett. 88, 256601 (2002).
[67] P. Gori-Giorgi, C. Attaccalite, S. Moroni, G. B. Bachelet, Int. J. Quantum Chem. 91, 126 (2003).
[68] M. Governale, C. Ungarelli, Phys. Rev. B 58, 7816 (1998). [69] C. G. Broyden, Math. Comput. 19, 577 (1965).
[70] G. P. Srivastava, J. Phys. A: Math. Gen. 17, L317 (1984). [71] P. A. Maksym, Phys. Rev. B 53, 10871 (1996).
[72] A. Ghosal, A. D. Güçlü, C. J. Umrigar, D. Ullmo, H. U. Baranger, Phys. Rev. B 76, 085341 (2007).
[73] K. Balzer, M. Bonitz, R. van Leeuwen, A. Stan, N. E. Dahlen, Phys. Rev. B 79, 245306 (2009).
[74] I. Vurgaftman, J. R. Meyer, L. R. Ram-Mohan, J. Appl. Phys. 89, 5815 (2001).
[75] B. Szafran, Phys. Rev. B 84, 075336 (2011).
[76] T. H. Oosterkamp, J. W. Janssen, L. P. Kouwenhoven, D. G. Austing, T. Hon-da, S. Tarucha, Phys. Rev. Lett. 82, 2931 (1999).
[77] B. Szafran, F. M. Peeters, EPL (Europhysics Letters) 66, 701 (2004). [78] S. M. Girvin, T. Jach, Phys. Rev. B 28, 4506 (1983).
[79] M. Willatzen, L. C. Lew Yan Voon, J. Phys.: Condens. Matter 20, 345216 (2008).
[80] S. Saikin, M. Shen, M.-C. Cheng, V. Privman, J. Appl. Phys. 94, 1769 (2003). [81] E. A. de Andrada e Silva, G. C. La Rocca, F. Bassani, Phys. Rev. B 55,
16293 (1997).
[82] R. Winkler, Spin-orbit Coupling Effects in Two-Dimensional Electron and Ho-le Systems w: Springer Tracts in Modern Physics, vol. 191 (Springer Berlin Heidelberg, 2003).
[83] J. H. Shirley, Phys. Rev. 138, B979 (1965). [84] F. Bloch, A. Siegert, Phys. Rev. 57, 522 (1940).
Dorobek naukowy
Pełna lista publikacji naukowych
1. Elżbieta Wach, Dariusz P. Żebrowski, Bartłomiej Szafran, Charge density mapping of strongly-correlated few-electron two-dimensional quantum dots by the scanning probe technique, Journal of Physics: Condensed Matter 25, 335801 (2013), https://doi.org/10.1088/0953-8984/25/33/335801
2. Dariusz P. Żebrowski, Elżbieta Wach, Bartłomiej Szafran, Confined states in quantum dots defined within finite flakes of bilayer graphene: Coupling to the edge, ionization threshold, and valley degeneracy, Physical Review B 88, 165405 (2013), https://doi.org/10.1103/PhysRevB.88.165405
3. Bartłomiej Szafran, Michał P. Nowak, Elżbieta Wach, Dariusz P. Żebrow-ski, Interaction effects near constriction of a quasi two-dimensional electron system: an exact diagonalization study, Physics Letters A 378, 1036 (2014), https://doi.org/10.1016/j.physleta.2014.01.052
4. Elżbieta Wach, Dariusz P. Żebrowski, Bartłomiej Szafran, Imaging quantum-dot-confined electron density in transition to fractional quantum Hall regime, Semiconductor Science and Technology 30, 015020 (2015), https://doi.org/10.1088/0268-1242/30/1/015020
5. Marcin Kurpas, Barbara Kędzierska, Iwona Janus-Zygmunt, Anna Gorczyca-Goraj, Elżbieta Wach, Elżbieta Zipper, Maciej M. Maśka, Charge transport through a semiconductor quantum dot-ring nanostructure, Journal of Phy-sics: Condensed Matter, 27, 265801 (2015), https://doi.org/10.1088/0953-8984/27/26/265801
6. Elżbieta Wach, Bartłomiej Szafran, Simulation of the Coulomb blockade mi-croscopy of quantum dots, Physica E: Low-dimensional Systems and Nano-structures 93, 70 (2017), https://doi.org/10.1016/j.physe.2017.05.007
7. Elżbieta Strzałka, Bartłomiej Szafran, Pauli blockade microscopy of quan-tum dots, Physica E: Low-dimensional Systems and Nanostructures 104, 22 (2018),
Lista wystąpień konferencyjnych i seminariów
1. Elżbieta Wach, Bartłomiej Szafran, Extraction of the charge density confined in quantum dots from the maps of chemical potentials in scanning gate micro-scopy measurements, 42nd "Jaszowiec" International School and Conference on the Physics of Semiconductors, Wisła, 22–27 czerwca 2013 r. (plakat). 2. Elżbieta Wach, Bartłomiej Szafran, Read-out of confined charge density by
charge probe technique in the fractional quantum Hall regime, International Conference on Quantum Dots (QD 2014), Piza (Włochy), 11–16 maja 2014 r. (plakat).
3. Elżbieta Wach, Bartłomiej Szafran, Modelowanie detekcji ładunku elektrono-wego w dwuwymiarowych kropkach kwantowych z wykorzystaniem mikroskopii bramki skanującej, Seminarium Zakładu Fizyki Teoretycznej (Instytut Fizyki; Wydział Matematyki, Fizyki i Chemii) na Uniwersytecie Śląskim w Katowi-cach, 19 maja 2014 r. (referat).
4. Elżbieta Wach, Bartłomiej Szafran, Imaging of liquid – solid transition in two-dimensional quantum dots by scanning probe microscopy, 43rd "Jaszo-wiec" International School and Conference on the Physics of Semiconductors, Wisła, 7–12 czerwca 2014 r. (plakat).
5. Elżbieta Wach, Bartłomiej Szafran, Simulations of imaging of the electron density in the planar quantum dots in transition to fractional quantum Hall regime, 44th "Jaszowiec" International School and Conference on the Physics of Semiconductors, Wisła, 21–25 czerwca 2015 r. (plakat).
6. Elżbieta Wach, Bartłomiej Szafran, Mapping of the Electron Density in