inafjbeftimmungen in ber Biologie

1. D ie f f i e j e f i m a f j i g k e i t b i o I o g i f d ; e r f f i r of j en.

P)enn 3ur 3eit ber grofjen ljerings3iige ein Ijeftiger Sturm unfre norb=

beutfdjen Kiiften fjeimfudjt, bann roerben bie roanbernben ^tfd)e 3U Ijunberten unb (Eaufenben aufs £anb geroorfen unb finben fo itjren ffiob. Anfdjeinenb oijne P)al;I greift bie P)ut ber PM len in bie fjunberttaufenbe non ffirganismen ein unb be--

ftim m t einen grofjen ffieil berfelben 3um Untergange. Kein Plenfd), ber biefem ( E i n f a d j e $ o r m e ! n .

Plittlerer 5el)ter:

1) = ^ ( m P - 1 - 1 , 1 5 )

tDafjrfdieinlicfier ^etjler ber einjelnert Beobadjtungen:

2) w F = + 0,8453 • ( w F = + 0,8453 • 1,15 tDaljrjcfieinlicber Kepler bes aritf)metifcf)en IP itte ls:

wF ,, 0,97

3) w F m = ^ ( w F m = -7= = 0,1 A

In V j/80 /

II. RTafjbefthnmungen in ber Biologie. 19

geroaltigen ITaturjdjaufpiele beirooljnen mufj, bann fid; feinem (Einbruck ent3iel)en, mag er nun ais birefet Beteiligter (ais $ifcl)er ober Kaufmann) ober nur ais ITaturfreunb bie Dernidjtung fo oieler £eberoefen bebauern. Ttur roenig litero fdjen aber afynen, bafj fid; aud) foldje Itaturoorgange nad) beftimmten (Defetjen abroicbeln, bafj aud) l)ier ber „3ufaII" fid) in eine beftimmte 5ormeI faffen lafjt. berfelbe ^orfcfjer biefelben Utafje bei ben braufjen im Uteer gefangenen llieren feftftellte, 3eigte fid), bafj bort gerabe bie feljlenbe Ittittelgrofje bei roeitem am jtarbften oertreten mar unb bafj biefelbe nad) oben unb unten gan3 regelmafjig abnaljm unb 3roar genau nad) bemfelben ©efetje, bas aud) fiir bie ITteffung pt)t)fibalifd)er ffirofjen g ilt, nad) bem ffiaufjfd)en 5el)lergefetj. IDir ftonnen alfo aud) I)ier, um bas 3um Ausbrudr bommenbe ffiefetj 3U befd)reiben, einen ITtitteb roert unb ben mittleren (ober tcaljrfdjeinlidjen) $eb)Ier ber Abroeidjung beftimmen.

Unb 3toar reprafentiert ber Htittelroert ben „ffippus" bes 5ifd)es, roafyrenb man bie mittlere Abroeidjung ais „Dariationsbreite" be3eidjnet I)at. (Es 3eigt fid) alfo l)ier getoiffermafjen bie (Eenben3 ber U a tu r, biefe ffiiere ftets in einer be=

ftimmten ffirofje, nad) beftimmten UTafjen, 3U probu3ieren; unb man bann mit Sidjerljeit anneljmen, bafj fid) in ber „Dererbung", infolge beren bie Had)bommen im allgemeinen ben Dorfafyren afyneln, ber geniigenbe ffirunb fiir bas Auftreten biefes ITtittelroertes finbet, roafyrenb bie Dariationsbreite bie Breite ber mittleren

£ebensbebingungen bebeutet, unter benen bas tEier fein Dafein oerbringt. So beftimmt unter anberm bie burd)fd)nittlid)e Stdrbe ber an ben Kiiften Ijerrfdjero ben Stiirme bie ffiren3en, innerljalb beren bie 3U grofjen unb 3U Weinen 0rga- nismen ausgefd)ieben roerben. 3n biefen burd) Dererbung unb mittlere £ebens=

bebingungen feftgelegtcn ffiren3en folgt bie Derteilung nun ben rein 3ufalligen

£ebensbebingungen bes (Ein3elroefens (oerfdjiebene Ualjrung ufro.), unb infolge biefer 3ufaIIigbeiten muf; bie $orm ber Kuroe biefelbe fein roie bie beim ffiaufj*

jd)en $el)lergefetj, bas bei ben ebenfalls rein 3ufaIIigen (Ereigniffen beim UTeffeit irgenbeiner pl)pfikalifd)en ffirofje 3utage tritt. Ulan fiel)t aber, bafj ber mittlere 5eI)Ier, ber fiir bie pf)t)fiftalifd)e ITteffung nur roenig Bebeutung Ijat, in ber Biologie eine grofjere IDidjtigkeit Ijat, roeil er ais „Dariationsbreite" biejenigen ffirofjen angibt, innerl)alb beren bie um ben ITtittelroert fid) fd)arenben 3nbioibuen ais

„normal" 3U be3eid)nen finb.

ffienau biefelben ffiefetje gelten fiir alle £eberoefen, aud) fiir ben Utenfd)en.

(Eine Ittafjbeftimmung ift I)ier uiel fdjroieriger ais bei pf)t)fibalifd)en ITieffungen.

So fanb 3. B. tEI)oma*), baf; bei ber ITteffung ber Korperlange eines UTenfd)en

*) d!)oma, R., Unterfud)ungen iiber bie ©rofse unb bas ffiemidjt ber anatomijcf)en Beftanbteife bes menfd)lid)en Korpers. £eip3tg 1882.

2*

2 0 A. Die matt)ematijd)e Bef)an6Iung ber Kinberpjtjdjologie unb pabagogift.

fdjon red)t betrad)tlid)e ^eljler oorkommen. IDenn er ein Kinb unmittelbar f)intereinanber mefjrmals maj), fo kamen tro^ grofjter Dorfidjt Seljler oon 4, bas 3al)lreid)e tjeer bes menfdjlidjen ffiefd)led)ts burd) bie 3eugung aus feinem Uidjts l)eroorget)en, fooiel er besfelben 3um £eben georbnet fjat. Ber (Etoige

*) 3itiertnad)£ipps, Diepfpdjiftfjenmakmetfjoben. Dietoeg &Sot;n, Braunfdpoeig 1906.

5 ig . 14. Derteilung ber (Einjelbeobadpungen ber (Brofje non 2192 ad)t=

jaftrigen Ulabdfen aus St. Couis nad] bem ©aufjfdjen ©efetj (ausge3 ogene Kuroe) unb nad) ber Beobadjtung (pun&tierte Kuroe). (flu s itotrmfenb P o rte r, Unterfud)ungen ber Sd)uIItinber in 6ejug a uf bie pftpfifdjen ffirunblagen ifjre r geiftigen (Enttoidtlung. 3eit|d)r. f. (Ett)nologie, 1893.

flff)er & (To., Berlin.)

II. ITtafjbeftitnmungen in ber Biologie. 21 lafjt uns in ber 3eit gleid)fam oor feinem flngefidjt oorbeigetjen, bis roir nad) (Erreidjung bes einem jeben geftedbten 3ieles roieberum non biefem Sdjauplatje abtreten. Der H uftritt, ber Doriibergang nor ben flugen bes iferrn ber ifeerfdjaren unb ber flb tritt, alles gefd)iel)t mit einer berounberungsroiirbigen

©rbnung."

2. D a s j r o e i t e i l i g e ©aufefdj e ffiefet).

5ed;ner unterfud)te im 3al)te 1863 bie Utafje oon iiber 200 fedjsgliebrigen Roggenfyalmen, bie er einem $elbe ber £eutjfd)er bei £eip3ig entnommen I)atte. Das 3roeite ®Iieb ber Ifalme beifpielsroeife 3eigte folgenbe Utafje*):

1 m ai: 19 cm 30 mai: 35 ero

5tg. 15. Derteilung ber Cangen bes 3toeiten (Bliebes Don 217 |ed}S=

gliebrigen Roggenfyalmen non Ceipjig * Ceuttfdjer 5 1 ur.

(3u|ammengefteIIt nad} einer D erteilungstafel aus 5ed)ners KollefctiDmajjleljre.)

£ ig . 16. Rftjmmetrifdje Derteilungs&urue. (Hus bem H rdjio fiir A n tro p o lo g ie , Bb. 30 f 1904. Dieroeg & Soljn, Braunfdjroeig.)

22 A. Die matf)ematifd)e Befjanblung ber Kinberpfijd)ologie unb pdbagogik.

kunbgibt, bafj auf ber linken tjalfte ber grofjte tCeil ber punktierten £inie irtner=

Ijalb, auf ber redjten Fjalfte aufjertjalb ber ausge3ogenen £tnie fa llt*).

Die Urfadje ber flfpmmetrie biologifdjer Derteilung lafjt fid) fdjtoer tt)eore=

tifd) ableiten, leidjt aber an Betfpielen beutlid) madfen. So kann man fid) redjt gut oorftellen, bafj fdjon eine geringe Derkiirjung ber Sd)toan3floffe ber tferinge gegen bas tlormalmafe biefe diere unfat)ig mad)tr ben Kampf mit ben (Elementen

auf3unel)men, toafjrenb bie Sloffe oie!Ieid)t otel betrad)Iid)er nad) oben in ber

©rofje abtoeidjen kann, el)e fie burd) it)re „Unl)anblid)keit" (alfo r»ielleid)t ba=

*) ID ir teiten nidjt bie Anjidp non Rankę unb (Breiner (Das 5et)Iergefek unb feine Derallgemeinerung burd) 5 ed)ner unb pearfon in ifjrer Hragroeite fiir bie Hntfjropologie.

Rrd)io fiir flntf)ropoIogie 1904), baf; bie flfpmmetrie antt)ropoIogifd)er RTajje nur eine umoefentIid)e fei, bie fid) burd) bie oon 5ecf)ner oorgefd)lagene IogaritI)mifd)e Befjanblung bes einfadjen ®aujjfd)en Sefe^es bejeitigen taffe. Diefe ffrage, fotoie bie anbere, ob roefent=

iidje flfpmmetrie nur bei biskontinuierlid) oariierenben ITTafjen (nie bei kontinuiertid) oariierenben) a u ftritt, mie bie angefiiijrten flutoren bel)aupten, finb f)ier aber nidjt 311

biskutieren, toeil fie fiir bie matt)ematifd)e Bef)anblung pfqd)oiogifd)er unb pabagogijd)er Probleme nidjt oon grunbtegenber Bebeutung finb.

II. ITtafjbejtimmungen in ber Biologie. 23

burd), bafj 6te norljanbenen ITIusItetn nid)t mel)r ausreidjen, bei ftarbem See*

gange bie 5 M !e geniigenber Kraft 3U betnegen) bem Iliere Sdjaben bringt. *) ITIiifjen tnir aber fiir biologifdje ITIeffungen eine aftjtnmetrijdje Derteilung anneljmen, jo ijt Mar, bajf l)ier bie Beredptung eine anbere jein muff, tnie bet ben pf)t)fibalifd)en ITTejjungen. tDas 3unacf)ft bert Ijauptroert anlangt, jo ijt er*

jid)tlid), bafs I)ier nidjt bas arittjmetifĄe ITIittel ben TEppus reprafentiert, fon*

bern bie ©rojfe, bie ant i)dufigften auftritt, bas fogenannte Didjtigkeitsmittel (D), jo genannt, toeil an ber beftintmten Stelle jici) bie fln3at)Ien ber Beobadjtungen 3entraIroert liegt jtets 3toifd)en aritl)metifd)em ITIittel unb Bid)tigheitsmittel unb liommt alfo bem lepterett nal)er ais bas arittjmetifd)e ITIittel. 3rt unferm Bei* ber Bidjtigfceitsroert oljne roeitere Bed)nung fdjon in ber Derteilungstafel burd) bie groge 3aI)I ber Beobad)tungen Ijeroor unb ijt bann fiir bie Beredjnung nor*

3U3iet)en.

Ilad) 5eftfteIIung bes Bidjtigbeitsroertes mufe man nun fiir jebe Seite ber Kurne befonbers ben mittleren $el)ler bered)nen, baraus ergibt fid) bie Bariations*

breite, bie naturlid) afpmmetrifd), nom Bid)tigbeitsmittel gered)net, nerteilt fein mug.

Ijaben tnir alfo in unferm Beifpiel ben Bid)tigbeitsroert mit 39 beftimmt, fo beredjnen tnir 3unad)ft bie Summę aller flbroeidjungen nad) oben, bie tnir

*) Dom rein matf)ematijd]en Stanbpunbte aus lafjt fid) bie flfpmmetrie biologijdjer (Brojjen etroa jo erblaren: Dic ft)mmetrifd)e Derteilung ift nur bort 3U ertoarten, roo un*

enblid) oiele, ooneinanber unabljangige $ef)lerurfad)en gebadjt toerben miiffen. 3n einem joldjen 5 aIIe tnufj man annetjmen, bajj bie pofitioen ^cf)Ier bie negatioen auftoiegen miiffen, toeil beine ltrfadje fiir bas ffiegenteil aufgefunben toerben bann. IDo aber aufjer*

bem bejtimmte ©efetje eintoirben, 3. B. bie TDadjstumsgejetje in ber Biologie, ba ift ftets eine ajt)mmetrijd)e Kuroe 3U ertoarten. Die ©rójfe eines Baumes 3. B. bann nad) oben t)in nidjt all3ujet)r iiber bas Ttormalmafe t)inausgef)en, toeil er fonjt ben I)errfd)enben Stiirmen nidjt ftanbfjalten bann, toaprenb nad) unten tjin fid) bie Kuroe bis 3U ben bieinjten 3toerg*

btiumen nur gan3 alfmatjlid) oerliert.

24 A. Die matt)ematijd)e Bet)anMung ber Kinberp(t)d)oIogie unb pdbagogift.

1. Der Didjtigkeitsroert D. (Er reprafentiert ben Uppus bes unterfudjten

©egenftanbes.

Dian kann jdjliefjlid) nod) ben roaljrjdjeinlidien $el)Ier bes Didjtigkeitsmertes beredjnen unb 3roar kann id) it)n non ber oberen ober uon ber unteren Ijalfte

Die beut(d)e anttjropologifdje $orfd)ung Ijat leiber non biefer mattjematifdjen Betjanblungsroeife iljrer (Ergebniffe faft nod) gar nidjt (Bebraud) gemadjt. Ulan

*) ®tjne tneiteres er(id)tlid) i|t, bak ottf ber Seite ber Kurne, tno bie m V groker ijt, aud) bie grókere flrt3af)I non Beobadjtungen norljanben (ein muk unb 3tnar muk (id) bie fln3at)I ber Beobadjtungen nertjalten tnie bie ©roke ber mittleren Oariationen, alfo

m V0 : 111 V „ = n0 : n

**) Ber toat)r|d)einIid)e 5et)Ier erjdjeint alfo in biejen beiben $alien nid|t gan3 gleid), tnas batjer kommt, bak id) im einen JaHe eine grokere fln3ai)I non Beobadjtungen 3U feiner Bejtimmung nertnenbet t)abe ais im anbern.

II. ItTafsbeftimmungen in ber Biologie. 25

begniigt (id) gerooljnlid), bas arittjmetifdje ITtittel ber Beobadjtungen an3ugeben.

Das mag nun in ben T)ingel)en, roo bie flftjmmetrie eine geringe ift.

Dajj man aber faft nie (aud) in ben neueften flrbeiten nidjt) bie mittlere Daria*

tion angibt, ijt eine jd)Iimmere Derfaumnis.*) (Es miijjen baburd) ber flntljro*

pologie eine grojje fln3at)I roidjtiger Beobad)tungen entget)en.

IDarum aber gerabe bei ITtejfungen non Sdjulftinbern bie uon uns ent*

roidtelte Beredjnung eingefiit)rt werben mujj, roirb nod) gejeigt roerben.

3. ( E r f o r b e r n i j f e e i n e s K o I I e b t i o g e g e n j t a n b e s .

road)fenen Deutfdjen meffen (ogl. Rebrutenmeffungen) ober alle 3rooIfjatjrigen ITTab*

djen ber Stabt Berlin ujro. Knaben unb TTtabdjen biirfen natiirlid) nidjt bei ber Beredjnung 3ufammengeroorfen roerben, roeil id) fdjon im ooraus roeifj, bajj bie Knaben anbere Utafje I)aben roie bie ITtabdjen. Sinb in einer ffiegenb roefentlid) cerjd)iebene RTenfd)enraffen oertreten, fo muf) id) jebe Raffe gefonbert unterfudjen.

®an3 befonbere flufmerbfambeit erforbern bie $alle, roo burd) biinftlidje (Einfliiffe bie natiirlidjen Derl)altniffe fo ftarb geanbert roerben, bafj anftatt ei nes (Eppus 3toei angenommen roerben miiffen. So fdjeint feft3uftel)en, bafj bie Kinber rooI)Il)abenber beutfdjer (Eltern roefentlid) anbere Korpermafje 3eigen roie bie armer (Eltern, bafj aud) it)re Korperentroicblung oerfdjieben jdjnell fortfdjreitet. Unb 3roar fdjeinen bie Unterfdjiebe fo bebeutenb 3U fein, bafj Kinber reid)er unb armer (Eltern berfelben flltersjtufe grofjere Unterfdjiebe 3eigen, ais bie Kinber gleidjer flltersftufe non gan3 oerfd)iebenen Raffen. Die Antropometrie mufe fo!d)e Der*

t)dltnifje mit befonberer flufmerbfambeit oerfolgen, ba fie oon grófjter Bebeutung fiir bie nationale <Er3ieE)ung finb. TDenn biefe Derljaltniffe fid) nod) roeiterl)in fo oerfd)ieben follten, fo roiirbe bas einen Ijodjft bebauerlidjen inneren 3erfall ber (Eint)eittid)beit bes beutfdjen Dolbes bebeuten, bem nur burd) 3ielberoujjte flngleid)ung ber £ebensoerl)dItniffe roaljrenb ber 3eit ber (Entroicblung (einfjeit*

Iid;e DoIbsfd)uIe ufro.) begegnet roerben bonnte.

3n ben meiften 5&IIen roirb es nidjt moglid) fein, alle 3U ber flrt geljorigen Kollebtiogegenftanbe aus3umeffen. Dann muf} bie notige flusroaljl natiirlid) mit Dorfid)t erfolgen. ID ill id) 3. B. bie Rtajje ber flljren eines Kornfelbs beftimmen,

*) Das Anfuf)ren bes grofpen unb geringjten IDertes (Btajimum unb minimum), bas geroofptltd) erfolgt, ift nur ein fet)r biirftiger (Erjatj.

26 A. Die matl)ematijd)e Bet)anblung ber Kinberpftjdjologie unb pabagogift.

fo roare es felbftoerftanblid) toridjt, roenn id) etroa bie am $elbrain toad)fenben (Ejemplare benutjen roollte. Bei ITTejfung oon Kopfgrofjen finb o f f e n b a r anormale Bilbungen, 3. B. IDafferfeopfe, Ktikro3epl)alen, aus3ufd)eiben. 3m alb

gemeinen aber ift baran fefoutjalten, baf; man bei Kollektiogegenftanben, roo, tnie roir gefetjen Ijaben, in ben meiften $atlen eine aft)mmetrifd)e Kuroe 3U er=

roarten ift, mit ber 3al)l ber Beobadjtungen nidjt fparen barf. Ttletjrere tjunbert, beffer nod) ©aufenb, getjoren 311 e i n e r Derteilungstafel, roenn man genaue (Er= ben Senkredjten bie enrjelnen tjaufigkeiten fiir jebe 3af)I ab. Der lEppus ift burd) bie 3af)I 5 reprafero tiert, bie flbtoeid)ung nad) oben roirb ungefatjr 2 fein, bie nad) unten ift gan3 minimal, ba, roie man fiefjt, nur fel)r roenig Bliiten mit oier Staubblattern oorljanben toaren. TTtit biefen 3al)Ien: Didjtigkeitsroert 5, obere flbroeidjung 2, untere 3iemlid) 0, ift ber Sacf)oert)alt matfjematifd) erfdjopfenb befdjrieben. Klan fiet)t aber t)ier red)t beutlid), toas fiir ein falfdjes Bilb entftet)en roiirbe, roenn roir nur bas aritt)metifd)e ITtittel (etroa 6) angeben roollten. Das miifjte ben flnfdjein erroecken, ais ob bie grofjte fln3al)l ber Bliiten fedjs Staubblatter 3at)Ite, mas nidjt ben ©atfadjen entfpridjt.

Kuroe b 3eigt biefelbe Pflan3enart, in einem ©Ias=

PUan3MsDetomsrecUMenm faus rotem ffilas ge3ogen. K)ir febjen, bafe faft tociScn (a) unb roten £icf)t (b). nur nod) Bliiten mit fiinf Staubblattern oort)anben finb.

rfatiorf Hrdiro’fU^^^ kl°&cr Beredjnung bes aritljmetifd)en Ktittels roiirbe mcaianift bet cDrgcmistnen, 1907. nun ber flnfd)ein erroeckt, ais ob burd) bie (Einroirkung ro. (Engeimonn, £eip3ig.) j,es roj en £i^tes ber JEppus einer fedjsbldttrigen Pflan3e fid) 3U bem einer fiinfblattrigen oeranberte. 3n EDirk=

Iid)keit aber Iiegt ber $all fo, bafj ber l)dufigfte tDert 5 berfelbe bleibt, bafj aber alle reidjer ausgeftatteten Bliiten burd) bas rote £id)t in ber (Entroicklung

*) Das neuerbings roieber empfol)Iene Derfabren, etne oerbaltnismafjig geringe fln=

3at)I oon „normalen" 3nbioibuen aus3ufud)en, ftann nidjt gebiliigt roerben, roeil es ber ID idftiir bes Beobadjters iiberlaffen bleibt, roas er ais normal anjiet)t. Derartige Illeffungen befdjreiben bann nici)t ben „KormaI"=Ktenjd)en, fonbern einen 3beaI=lTtenfd)en, unb es roer=

ben auf ©runb foldjer Unterjudjungen oft bie oerftet)rteften Sd)liiffe ge3ogen.

III. Rtafjbeftirmnungen tn ber Pft)d)oIogie. 27

geijemmt roerben. IDir fel)en alfo, baj) nur bie oollftanbige Befdjreibung eines KoIIeMiogegenftanbes nad) Didjtigfteitsroert, oberer unb unterer Dariationsbreite ein erfd)opfenbes Bilb non ben Derdnberungen g ib t, bie bei einer beftimmten Beeinfluffung bes IDadjstumsoorganges entfteljen.

t)ie 3tneigipflige Kurne (§ig. 19) ift fo ent=

ftanben, baj) biefelbe Sebum=Hrt 3uerft eine Seitlang unter normalen Bebingungen aufroudjs, bis eine fln3ai)I non Bliiten anfetjte; bann liej) man eine d)emifd)e Subftan3 auf bas IDad)stum einroirben.

Die gemeffenen 3nbioibuen (Bliiten) finb alfo unter gan3 oerfdjiebenen Bebingungen entjtanben, bie erfte tfalfte unter normalen, bie 3tneite unter anormalen.

(Es finb geroiffermaj)en 3tnei gan3 oerfdjiebene Uppen ober Raffen norf)anben.

3n allen ja lle n , ino 3tnei= ober mel]rgipf=

ligę Kurnen auftreten, ift bas Beftimmen eines IKittelrnertes natiirlid) ausgefdjloffen, man tjat niel=

metjr nad)3uforfd)en, ob nid)t 3toei nerfd)iebene Raffen norliegen ober ob ber eine Heit ber unter=

fudjten 3nbinibuen unter anberen Bebingungen auf=

roudjs rnie ber 3tneite.