lUafjbejttmmungen in ber piwftft

1. D a s $ el ) i e r g e f e t s

-Sobaib ber Rtenfcf) jid) irgenbroie meffenb betatigt, unterliegt feine ©atig=

beit aud) ftets beftimmten $ef)lern. 3n ber ©at eyiftiert beine ITteffung, bie nidjt mit einem Sef)Ier betjaftet roare. Bei ber erftmaligen ITteffung eines Stabes 3. B. bebam id) eine £ange oon 1 0 0 ,1 mm, bei ber 3toeiten 99,9 mm u. f. f.*) IDenn id) barum iiber bie £dnge bes Stabes eine genaue Ausfage mad)en roili, fo ift es notig, oiele ITtejfungen an3uftellen. Bei 80maliger ITteffung bes=

felben Stabes ergaben fid) in buntem Durdjeinanber £angen, bie non 99,6 bis 100,4 mm fdjroanbten. Dod) traten bie nerfdjiebenen 3ei)ntelmillimeter 3roifd)en 99,6 mm unb 100,4 mm nicfjt gleid) oft ais ITteffungsergebnis auf, fonbern in folgenben An3aI)Ien:

99,6 mm 1 mai 99,7 „ 3 „ 99,8 „ 8 „ 99,9 „ 17 „ 1 0 0 2 2 „ 1 0 0 ,1 „ 17 „ 1 0 0 , 2 „ 8 „ 100,3 „ 3 „ 100,4 „ 1 n

©rage id) bie 3et)nteimillimeter auf einer roagered)ten £inie (Abfciffe) unb bie 3ugel)brigen An3aI)Ien ber Bteffungen in Senkred)ten (©rbinaten) auf, fo ertjalte id) bie Kurne Sig. 1 2. ©s ergibt fid) baraus bie iiberrafd)enbe ©atfad)e, bafj trotj ber bei ben Ilteffungen Ijeroortretenben anfd)einenben Regeliofigfeeit bie Der=

teilung ber $ei)ler aufjerorbcntlid) regelmafjig erfolgt. Die ^etjlerśuroe ift uollig

*) Die ITteffung erfolgte mit einem geroóf)nltd)en Cineaf mit irtitlimetereinteilung, roobei bie 3et)ntelmillimeter g e j Ą a ^ t roerben mujjten. TTtit genaueren 3nftrumenten roerben bie $ef)ter natiirlid) erfjebiicf) geringer ausfalien.

14 A. Die matl)ematifcf)e Beljanblung ber Kinberpft)ĄoIogie unb pabagogif.

ftjmmetrifd), bie red)te tjdlfte ift genau gleid) ber linkert, fie fteigt 3unad)ft fetjr langfam, bann allmdt)lid) immer fdjneller an, um in ber ITTitte ebenfo allmatjlidj um3ubiegen. Unb 3tnar tritt genau biefelbe Kurne bei allen TTteffungen auf, gleidjgiiltig, ob id) bie £ange ober bas ©etnidjt ober irgenb eine anbere ©igen*

fdjaft eines Korpers meffenb unterfudje. 3n biefer gleidjmd^igen Derteilung offenbart fid) alfo ein beftimmtes ffiefetj, bas $el)lergefetj *), bem alle unfre pl)t)fiftalifd)en TTteffungen unterrnorfen finb.

Die genaue Ableitung unb Begriinbung biefes ffiefetjes erfolgt in ber ®f)eorie ber U)al)rfd)einlid)beitsred)nung. tDir ftonnen uns aber fdjon burd) gan3 elemen*

tare Uberlegungen einen ©inblidt in bas U)efen bes Setjlergefetjes nerfdjaffen.

3unad)ft ift es leidjt begreiflid), bafj mir bie £ange bes ffiegenftanbes ebenfo*

oft ais 3U grofj, [tnie ais 3U blein be3eid)nen. ®s ift ja gar itein ffirunb ein*

3ufeljen, tnesljalb man ben Korper nidjt ebenfo oft unter* tnie iiberfdjatjen follte.

99,6 99,7 99,8 99,9 1°0 100,1 100,2. 100,3 ioo,t

Sig. 12. nerteilim gsfm rtie beim SOmaligen me(|en eines Stgbes.

Damit ift bie Spmmetrie ber Kurne erblart. ©benfo felbftnerftanblid) ift, baj) bie grofjeren $efjler (99,6 mm unb 100,4 mm) nur fcfjr felten auftreten, bafj bie tjaufigbeit bann langfam rnadjft unb bafj bie Meinften Seijler befonbers Ijaufig auftreten. Damit ift aber bie Setjlerfmrne in iljren tnefentlidjen 3iigen begreif*

lid) gemad)t. Uber bie Breite unb tjolje ber Kurne freilid) bonnen tnir a p rio ri (burd) Doriiberlegungen) nid)ts ausmadjen. Diefe beiben ©igenfd)aften finb aber fiir bie Kurne aud; nidjt roefentlid}, fie roed)feln mit ber H ^al)! ber ITieffungen, mit ber ffienauigbeit bes ITtafjes u.f. f. IDefentlid) ift nur bie 5 o r m ber Kurne.

2. D as a r i t l j m e t i f d j e ITTittel.

Da fid} bie bei unfrer ITteffung erljaltenen 3ufaIIigen 5eI)Ier ftjmmetrifd) gruppieren, fo erl)alte id) in bem aritljmetifdjen ITtittel famtlidjer ®in3elmeffungen bie tnaljre ©rofje bes gemeffenen ffiegenftanbes.

Be3eid;ne id) bie Hn3aI)I ber TTteffungen (in unferm Salte 80) m it n, bie

©in3elmeffungen, alfo 99,6 mm ( l mai), 99,7 mm (3 mai) u.f.f. m it aJ( a.,, a3 . . . an,

*) Die $ef)Ierfmrne ift 3uerft non ©auf) beredjnet unb begriinbet toorben unb tnirb barum ais ©aufjfdjes ©efetj bejeidjnct.

I. tlTafjbejthnmungen in ber p ijtjjik . 15 jo muf; id) DOU biejen jamtlidjen a bie Summę ( 2 ) nel)men unb burd) bie flm 3dt)I ber Htejjungen (n) teilen, urn bas aritt)metijd)e lititte l (A) 3U erljalten.

(Es ijt a ljo :

toofjnltd) erjdjopft, fyanbelte es jid) bod; nur barum, bie ©rof;e bes ©egenjtanbes 3U beftimmen.

Ulan konnte nod) bie $rage aufroerfen: tDie grofj maren bie bei ber ITteffung 3utage tretenben $ef)ler? man konnte 3U bem 3roecke bie grofjte unb kleinjte gemejfene 3at)t (99,6 unb 100,4 mm) ober itjre Differen3 nom aritt)=

metijdjen m ittel angeben unb jagen: Das ITtajimum ber flbroeicfjung betrug (nad) oben unb unten) je 0,4 mm. Dod) roare eine berartige flngabe roenig genau. Denn es ift leidjt ein3ufet)en, bafj man burd) einen ein3igen ungliicklid)en 3ufali einmal eine 3al)l ert)alten konnte, bie gan3 ert)eblid) (nielleidjt urn 2 mm) oom ITtittel abroeidjt. Diefe ein3ige 3al]l roiirbe bann 3ur Befdjretbung ber (Benauigkeit ber mejfung benutjt, unb jie roiirbe ein gan3 falfdjes Bilb geben.

Darum ijt es t>or3U3iel)en, ben m i t t l e r e n §et)ler (m F ) aus3ured)nen. 3d) be3eidjne ben Unterfd)ieb ber einjelnen meffungen nom aritfjmetijdjen m ittel mit A,, A2 . . . An. ( J = Differen3.) Ax unb An betragt beifpielsroeife 0 ,4 mm u .f.f.

3d) beredjne bann bie Summę aller biefer Differen3en (2 A) unb teile burd) bie

£tn3al)I ber meffungen.

Demnad) ift ber mittlere $eljler:

Bei flusfiifyrung ber Red)nung ert)alte id):

Diefe (Brofje ift ein Utaj) fiir bie (Benauigkeit unfrer Beobad)tungen ober fiir bie Streuung ber 5ef)ler.

Tltan konnte an biefer Beredjnung ausfe^en, bafj einem burd) 3ufaII auf=

tretenben fet)r grojjen 5et)ler (etroa 2 mm) ein 3U grojjer (Einfluj) auf bie Redjnung 3ukommt. (Es roiirbe fid; beifpielsroeife im angenommenen $alle nid)t

ffiiljre id) bie Redjnung aus, fo ert)alte id):

Damit ijt bas Snterejfe ber pf)i)jib an ben geroonnenen 3at)Ien fu r

3. D ie S t r e u u n g b er $ e f ) l e r .

m F = 5K = 1,15 3eljntelmillimeter.

16 A- Die matt)emati[d)e Bebanblung ber Kinberpfgdjologie unb pabagogift.

80' fon&ertt 8o — 1 »35 - alfo eine erljeblid) grofjere 3af)t ergeben. Bei ge=

naueren Unterfucfjungen beftimmt man besljalb ais Prd3ifionsmafe nicbt ben mtttleren, fonbern ben roal)rfd)einlid)en Setjler (w F ). Ulan benftt fid) bie famt*

hdjen (Ijter 80) 5ef)Ier ber ©ro&e nad) georbnet unb 3at)It nun, inbem man oom nletnften ober grofjten $et)Ier ausgel)t, bis 3um 40., alfo bis 3ur B litte.*) ITtan ftatin nun fagen, bafj, non biefem jefjler aus geredjnet, ebenfooiel grofjere ais ftletnere 5eI)Ier oorljanben finb. Darum nennt man iljn ben roaljrfdjeinlicben 5d?Ier. Denn bie TDaf)rfd)einlid)I?eit, ba& grofeere 5ef)Ier auftreten, ift ebenfo=

grofj, ais bte, bafj Itleinere auftreten. Der roa!)rfcI)einIid)e 5ef)ler roirb nad) unfern (Errodgungen immer etroas Meiner fein ais ber mittlere, ba ja bei biefer Beredjnung ben aufjerften 5eI)Iern nid)t ein fo grofjes ffieroidjt beigelegt ift. (Es tft burd) Beredjnungen feftgeftellt roorben, bafj ber roal)rfd)einlid!e Sehler ftets etroa /5 (genauer 0,8 453) bes mittleren 5ef)Iers betragt. (Es ift alfo

w F = + 0,8 453 ■ — . n

$ iir unfern 5aII ergibt fid):

~

i

° i 8 4 5 3 • 1,15 = + 0,972 3eljntelmillimeter.

5 ig . 13. Setjterfturoen oon 3toei Bcobaditern.

IDenn id) bei meinen ITieffungen immer biefelben 3nftrumente benufte unb mtt berfelben ffieroiffen$aftigfceit oerfabre, fo roirb aud) bas prd3ifionsmafj (ber mittlere ober roal)rfd)einlid)e 5ef>Ier) berfelbe bleiben, gleidjgiiltig, ob ich etroa etne £ange oon 10, 20 ober 100 cm meffe. 3ft barum bie ©enauiglteit eines Jnftrumentes em fur allemal beftimmt, fo Ijat bei ber ITteffung eines ein3elnen

kl ein% ^ cfl [cr r?r °&te 2 0, fo mufc ber in ber Iłtitte liegenbe (. t " td>* ? , ®egenb oon 10 Itegen. ttritt 3. B. ber Jeftler 1 febr oft auf ebenfo ber $ef)ler 2 unb 3 fo ift es moglid), bafj ber roaf)rfd)einlid)e $eł}ler gleid) 3 ift'

®b nun ber etne grofjte Seljler gleid; 20 ober gleid) 100 ift, bas ntad)t bei biefer Be*

reĄnungsart gar ftetnen Unterjd)ieb. <Entfd)eibenb ift babei, in tDeId)er ffiegenb bie me t j t e n 5ebler 3u oer3etd)nen finb.

I. Tftafjbeftimmungen in ber Pbpfik. 17

ffiegenftanbes bie Beftimmung bes Prajifionsma^es fiir ben pi)t)fiker nur eine geringe Bebeutung.

3eber Beobadjter I)at allerbings (je nad) ber Sd)drfe feiner Sinnesorgane, feiner ffieroiffenljaftigkeit ufro.) fein eigenes Prajifionsma^. 3n §ig. 13 fet)en roir bie 5eI)lerkuroe uon 3roei Beobadjtern. Der Beobadjter B (punktierte IDir fyaben norljin angenommen, baj) bie roirklidje ffirofje bes gemeffenen ffiegenftanbes gleid) fei bem aritl)metifd)en ITtittel ber ffiinjelmeffungen. Das gilt aber nur in bem jaHe- roenn fel)r niele ITieffungen, ftreng genommen unenblid) niele, norliegen. Ttur in biefem $alle entfpridjt bas aritljmetifdje IKittel roirk=

lid) ber ffirofce bes ffiegenftanbes, unb man bann beljaupten, bafj ber $ef)Ier biefer ffirofje gleid) Ilu II ift. Ijatte id) bagegen nur eine einige Kleffung aus=

gefiil)rt, fo konnte id) iiber ben moglidjen $el)ler gar nidjts ausfagen. 3? roeljr Ifleffungen id) anftelle, um fo grofeer roirb bie ffienauigkeit, um fo kleiner roirb ber roat)rfd)einlid)e ^^Ijler bes aritl;metifd)en mittels. man konnte meinen, bei 100mai fo ciel meffungen miifjte aud) ber $el)ler lOOmal fo klein roerben, es Ijat fid) aber ge3eigt, baj) er nur 10 mai fo klein roirb (] 100). IDenn id) alfo ben norljin beftimmten roat)rfd)einlid)en $ef)ler aKer ein3elnen Beobad)tungen burd) y 100 (allgemein: U)ur3el aus ber 3al)l ber Beobadjtungen, alfo /n ) teile, fo erl)alte id) ben roal)rfd)einlid)en ^e ljler, ber bem aritljmetifdjen m ittel nod) anĄaftet. IDir be3eid)nen ben roafyrfdjeintidjen 5eI)Ier bes aritl)metifd)en mittels mit w F m. Demnad) ift gemeffene ffiegenftanb 100 mm lang ift.

Die bisl)er angegebenen $ormeIn finb fiir ben $all geniigenb genau, roenn roenigftens 3el)n meffungen ausgefiifjrt rourben. Bei einer geringen 3al}( non meffungen I)aben fid) anbere $ormeIn beffer beroaljrt. IDir ftellen bie ab=

geleiteten einfadjen $ormeIn fiir bie 5ef)Ierbered)nung nod) einmal 3ufammen unb jd)reiben barunter bie genaueren. (Itr. la , 2a, 3a).

Sd)ul3c, (Ejperimentelle Pftjdjologie. 2

18 A. Die matf)ematifdie Bef)anblung ber Ktnberpfgdjologie unb Pabagogth.

t 0,97)

© e n a u e r e $ o r m e ! n . DTittlerer 5d)ler:

Ia ) m F = | / ~ ( m F = f / ^ = 1,53) H)al)rfd)etn[i(f)er 5ef)Icr ber ein3elnen Beobadjtungert:

2a) w F = + 0,6745

\ f ^(wF

= + 0,6745 • 1,53 = 1,03) n)af)rjd)einli(f|er ^clilcr bes aritfjmetifdfen ITlittels:

3 a) w F m = ( w F łn = = 0,12}

In \ 180 /

$ormel l a nerlangt, baj) alle $ef)ler (A) ins dfuabrat 3U erfyeben, 311= jammen3U3al)len ( ^ A 2) unb burd; n— 1 3U teilen jinb. Aus bem erlangten IDerte ijt bie <3}uabratrour3el 3U 3ief;en. Sormel 2 a unb 3 a jinb banad; oljne roeiteres uerftdnblid). Plan fie ljt, baj) bei 80 Plefjungen fcfyon bie ffienauigkeit ber einfadjen 5ormeIn (namentlid; fiir 2 unb 3) fefyr grof) ijt.

W dokumencie Aus der Werkstatt der experimentellen Psychologie und Pädagogik (Stron 27-32)