3. Struktura terminowa stóp procentowych
3.4. Instrumenty pochodne
3.4. Instrumenty pochodne
3.4.1. Kontrakty FRA
FRA (ang. Forward Rate Agreement) to umowa pomiędzy dwoma kontrahentami, którzy ustalają wysokość stopy procentowej mającej obowiązywać w przyszłości dla określonej kwoty wyrażonej w walucie transakcji dla z góry ustalonego okresu.
W kontrakcie FRA są dwie strony transakcji:
1. Długa pozycja (ang. long position — a FRA buyer) otrzymuje przepływ determinowany przez stawkę referencyjną, w zamian za stawkę stałą kontraktu (co niekiedy, w celu uniknięcia popełnienia błędu, bywa zapisywane jako: RECEIVE floating and PAY fixed),
2. Krótka pozycja (ang. short position — a FRA seller) otrzymuje przepływ stały (którego wyso-kość w rzeczywistości jest ustalona w dniu zawarcia transakcji) w zamian za stawkę referencyjną (RECEIVE fixed and PAY floating).
W kontrakcie FRA występuje:
1. Data zawarcia transakcji (ang. transaction date) Tt, 2. Data ustalenia stawki referencyjnej (ang. fixing date) Tf,
3. Data rozpoczęcia okresu odsetkowego obowiązywania stawki referencyjnej (ang. start date) Ts; przeważnie jest to data spot (tzn. drugi kolejny dzien roboczy) od dnia fixingu stawki, 4. Data zakończenia okresu odsetkowego obowiązywania stawki referencyjnej (ang. end date) Te.
Tt< Tf < Ts< Te Stopy (stawki) rref i rF RA podawane są w skali rocznej.
Rozliczenie kontraktu następuje w drugim kolejnym dniu roboczym po ustaleniu stawki Tm = Tf + spot, który przeważnie pokrywa się z datą rozpoczęcia okresu odsetkowego obo-wiązywania stawki referencyjnej. Podczas rozliczania kontraktu nie dochodzi do rzeczywistej wymiany odsetek a jedynie do transferu zdyskontowanej różnicy stóp |rref − rF RA| · (Te− Ts) w odpowiednim kierunku. A zatem, gdy Tm = Ts, to wypłaty (tzw. kwoty kompensacyjne) wynoszą
CFbuyer = K(rref − rF RA)(Te− Ts)
1 + rref(Te− Ts) = −CFseller,
gdzie K kwota kontraktu (umowna kwota kapitału, na który opiewa kontrakt), a czas jest liczony w latach (por. [4, §8.1.2.3]).
Stawki rF RAsą ściśle powiązane ze strukturą terminową stóp procentowych w dniu zawarcia transakcji.
Lemat 3.5.
rF RA· (Te− Ts) =B(Ts− Tt) B(Te− Tt) − 1. Dowód.
Rozważmy dwie inwestycje:
A. Sprzedaż kontraktu FRA na okres < Ts, Te > na kwotę 1 i kupno 1 obligacji płacącej 1 w chwili Ts.
B. Kupno obligacji płacących 1 w chwili Te za kwotę B(Ts− Tt) i ich sprzedaż w chwili Tf. Rozliczenie.
W chwili zawarcia transakcji mamy:
40 3. Struktura terminowa stóp procentowych Rozliczenie obu transakcji nastąpi w chwili Ts= Tf + spot.
CFA,Ts = 1 +(rF RA− rref)(Te− Ts) 1 + rref(Te− Ts) , CFB,Ts = B(Ts− Tt)
B(Te− Tt)(1 + rref(Te− Ts)). Po przyrównaniu obydwu wypłat otrzymujemy
(1 + rref(Te− Ts)) + (rF RA− rref)(Te− Ts) = B(Ts− Tt) B(Te− Tt). Co po uproszczeniu daje tezę lematu.
3.4.2. Kontrakty IRS
Swap stopy procentowej, IRS (ang. interest rate swap), to kontrakt wymiany płatności od-setkowych, jeden z podstawowych instrumentów pochodnych, będący przedmiotem obrotu na rynku międzybankowym. IRS jest umową pomiędzy dwiema stronami, na podstawie której stro-ny wypłacają sobie wzajemnie (w określostro-nych odstępach czasu w trakcie trwania kontraktu) odsetki od umownego nominału kontraktu, naliczane według odmiennie zdefiniowanych stóp procentowych. Transakcja IRS może być traktowana jako seria kontraktów FRA, albo jako wymiana odsetek od dwóch obligacji kuponowych.
Obecnie w coraz większym zakresie transakcje IRS zawierane są przez korporacje. Dokonują tego m.in. w celu zapewnienia sobie stałego kosztu finansowania (receive floating rate and pay fixed), albo pozyskania tańszego finansowania w walucie obcej (receive foreing fixed rate vs. pay domestic fixed rate).
W rodzinie IRS można wyróżnić:
1. Prosty (waniliowy) swap stopy procentowej (ang. plain vanilla IRS) – strony wymieniają się przepływami uzależnionymi od stopy stałej i zmiennej (fixed rate vs. floating rate).
2. Basis swap - obie strony płacą odsetki wg różnej stopy zmiennej, np. WIBOR 3-miesięczny w zamian za WIBOR 6-miesięczny (floating rate vs. floating rate).
3. Walutowy swap stopy procentowej (ang. currency IRS, CIRS) – strony wymieniają się płat-nościami denominowanymi w różnych walutach. Nie należy go mylić ze swapem walutowym.
W waniliowej transakcji IRS wyróżnia się dwie pozycje, przy czym to kierunek płatności stawki zmiennej określa jaką pozycję zajmuje kontrahent w transakcji IRS:
1. Kontrahent A zajmuje długą pozycję w stopie zmiennej – referencyjnej, gdy otrzymuje przepływ wyznaczony przez stawkę zmienną w zamian za ustaloną stawkę stałą (RECEIVE floating and PAY fixed).
2. Kontrahent B zajmuje krótką pozycję w stopie zmiennej (ang. short position), gdy płaci odsetki określone przez stawkę zmienną, a w zamian otrzymuje płatności determinowane przez stawkę stałą (RECEIVE fixed and PAY floating).
W charakterze stopy zmiennej występuje zazwyczaj stopa ”rynkowa” (LIBOR, EURIBOR, WI-BOR lub inna, zależnie od rynku). Wysokość stopy stałej dla standardowych kontraktów jest kwotowana przez banki i zwana stopą swapową (ang. swap rate). Jest ona dobrana w taki sposób, by początkowa wartość kontraktu była zerowa.
Należy zwrócić uwagę, że wysokość stopy zmiennej płaconej w danym okresie odsetkowym standardowo ustalana jest z góry na początku tego okresu (tak jak dla lokat bankowych). Niekie-dy spotykane są kontrakty, w których stopa ta ustalana jest z dołu (tzw. ang. LIA swap lub Libor in arrears swap). Należą one jednak do grupy skomplikowanych w wycenie, tzw. egzotycznych instrumentów pochodnych.
3.5. Ćwiczenia 41 3.4.3. Opcje na stopę procentową
Opcja na górny pułap stopy procentowej (interest rate cap)
jest instrumentem służącym do ochrony różnego rodzaju zobowiązań głównie długotermino-wych przed wzrostem stopy procentowej. Przedmiotem zabezpieczenia mogą być na przykład długoterminowe kredyty lub różnego rodzaju instrumenty finansowe, których oprocentowanie jest zmienne i ustalane na bazie danej stawki referencyjnej. Opcja cap jest wielookresowym odpowiednikiem opcji call. W wyniku zawarcia transakcji cap nabywca opcji otrzymuje gwa-rancję od sprzedawcy, którym jest najczęściej bank, że wzrost stopy procentowej ponad poziom uzgodniony w umowie zostanie zrekompensowany przez sprzedającego
Opcja na dolny pułap stopy procentowej (interest rate floor)
jest instrumentem służącym do ochrony różnego rodzaju należności długoterminowych (choć nie tylko) przed spadkiem stopy procentowej. Przedmiotem tego zabezpieczenia mogą być długoter-minowe lokaty lub różnego rodzaju instrumenty finansowe, których oprocentowanie jest zmienne i ustalane na bazie danej stawki referencyjnej. Opcja floor jest wielookresowym odpowiednikiem opcji put. W wyniku zawarcia transakcji typu floor nabywca opcji otrzymuje od sprzedawcy, którym jest najczęściej bank, gwarancję, że spadek stopy procentowej poniżej uzgodnionego w umowie pułapu zostanie zrekompensowany przez sprzedającego. Kompensata polega na przeka-zaniu przez wystawcę floor kwoty stanowiącej różnicę pomiędzy referencyjną stopą procentową, a stopą procentową ustaloną w transakcji opcyjnej zwaną pułapem. Wystawca płaci ją na po-czątku każdego podokresu wówczas, gdy różnica pomiędzy powyższymi kwotami jest ujemna. W każdym innym przypadku nie dochodzi do żadnej płatności.
3.5. Ćwiczenia
Ćwiczenie 3.1. Rozważamy strukturę terminową stóp procentowych opisaną przez chwilową intensywność
δ(t) = 1 1 + t.
Inwestor zainwestował 1 JM na okres n lat. Obliczyć, ile wynosi wypłata i efektywna stopa zwrotu R.
Rozwiązanie. Niech K oznacza wypłatę inwestora po n latach. Wiemy, że 1 = K · B(n). Zatem K = B(n)−1= exp Z n 0 δ(t)dt = exp Z n 0 1 1 + tdt = exp ln(1 + t) n 0 = 1 + n. Ponadto R = √nK − 1 = √n n + 1 − 1.
Odpowiedź. Wypłata jest równa n + 1, a efektywna stopa zwrotu √n
n + 1 − 1.
Ćwiczenie 3.2. Udowodnić lemat3.4.
Ćwiczenie 3.3. Wyznaczyć stopę rF RAdla półrocznego okresu odsetkowego, który rozpocznie się za dwa lata
a. dla płaskiej struktury terminowej.
b. dla struktury terminowej opisanej wzorem Stoodleya. c. dla struktury terminowej opisanej wzorem Nelsona-Siegela.
42 3. Struktura terminowa stóp procentowych d. dla struktury terminowej opisanej wzorem Vasiˇcka.
Zakładamy, że Tm= Ts.
Ćwiczenie 3.4. Struktura terminowa jest wyznaczona przez chwilową stopę δ(t). Niech rF RA(h, t) oznacza stopę FRA dla okresu odsetkowego o długości h, który rozpocznie się za t lat. Zakła-damy, że Tm = Ts, wyznaczyć
lim