W pracy tej rozpatrzymy równanie różniczkowe z wyprzedzającym argumen
tem postaci
(1) <p' ( 0 = F {<p (s)}f,k(0 t ^ k ( t ) ,
podobne do rozpatrywanego w [6]. Na wartość pochodnej 9'(f)> z równania (1), w chwili r, mają wpływ stany rozwiązania 9 (r) tego równania z całego przedziału
< t , k (t)>> t < & (r) < + 0 0,
W chwili obecnej istnieje zaledwie bardzo skąpa literatura dotycząca istnienia i własności rozwiązań równań różniczkowych z wyprzedzającym argumentem (patrz np. [3], [4], [5]).
W pracy tej stosuję twierdzenie Schaudera o punkcie stałym dla dowodu istnienia rozwiązań równania (1) w pewnej klasie funkcji o wykładniczej szybkości wzrostu.
Korzystam przy tym z pewnej specjalnej metryki, którą zaproponował A. Bie
lecki w pracy [1].
W dalszym ciągu przyjmujemy te same oznaczenia, które zostały sformułowane na początku pracy [6], aż do określenia odległości wykresów w sensie Hausdorffa włącznie.
Oznaczmy przez j<p|, „ = max |<p(s)|. Symbol 4>0Oo oznacza klasę funkcji
f < s < o
9 (5), określonych w przedziale < 0, 0 0 ) , przyjmujących wartości z przestrzeni X n i ciągłych względem zmiennej s. ¢0,^ oznacza podkładkę klasy funkcji ¢0,00, mających ciągłą pochodną w przedziale < 0 , 0 0 ) . Zakładamy, że F oznacza funkcję, która elementom zbioru ¢ , tj. funkcjom ciągłym, zlokalizowanym do podprze- działów domkniętych przedziału <0, 0 0 ) , przyporządkowuje punkty przestrzeni X n. Zakładamy, że funkcja F jest ciągła ze względu na metrykę przyjętą w zbio
rze ¢ . Oznacza to, że spełniony jest warunek (6) z pracy [6], z tym, że należy pisać k (t) zamiast h (t) i zmienić porządek liter t i k (t). Punkt przyporządkowany funkcji {9)(,0 oznaczamy przez F {9)(,0.
Zakładamy przy tym, że k (t) oznacza funkcję ciągłą dla t > 0 i że t < k (t) dla t > 0.
Będzie chodziło o rozwiązanie 9 (f) równania (1), należące do klasy ^ i speł
niające warunek początkowy
(2) 9(0) = 9„, gdzie ® 0 e X n .
Połóżmy A (?) = f [M ( t ) -f AT (t)] d~, t > O, gdzie M (?) i iV (?) są O
funkcjami ciągłymi i nieujemnymi dla t > 0. Zakładamy, że istnieją liczby a, x i K takie, że
(3) a. [A(& (?))—A(t)] ^ (1 — a) A(?)+e 1 dla ? ^ O *) przy czym
(4) K x* < x i a e < 0 , 1 > , K ^ O, x ^ O , oraz
(5) |F {<p}a(o | < Al (?) + iV (?) K (max |? (s)|)« .
L e m a t. Dla ustalonej funkcji 9 (?) e <1>0iOO, funkcja y (0 = F W}t,k(th którą będziemy też oznaczać F 9 (?), należy także do klasy <1>0/X) . Dowód lematu jest w pełni analogiczny do lematu 1 z pracy [6].
W dalszym ciągu ograniczamy się do pewnej podklasy zbioru i w niej będziemy poszukiwać rozwiązań równania (1). W tym celu wprowadzamy jeszcze jedną normę funkcji 9 (?) e <I>0 ><3C , a mianowicie
(6) ||9|| = sup {|<p (?)| exp (—e A (?) — X?) , X = cosnt > 0 . f>0
Oznaczam przez B zbiór, utworzony z wszystkich funkcji 9 (?) e (I>0i takich, że H9IJ < +0 0. Jest to przestrzeń Banacha. Liniowość przestrzeni B jest oczy
wista. Weźmy ciąg funkcji 9,, <p2, ... , o wyrazach ze zbioru B, taki, że n 2 II [(« > m) II9,, — 9mj| < e] .
s>0 mCNo n>m
Wykażę zbieżność tego ciągu do pewnej funkcji 9 (?) takiej, że | | < p | | < + 0 0 .
Ustalmy dowolny punkt ?„ e < 0 , 0 0 ) . Ciąg liczb 91(?0), 9 2(io)> ••• 3 spełnia warunek Cauchy’ego (|9„(?0) - 9m(?0)| exp (—e A (?„) - Xr0) < ||ę„ - 9J ^ s), więc jest zbieżny. Zbieżność według normy (6), oznacza jednostajną zbieżność ciągu
9u 92, ... w każdym ustalonym przedziale < 0, T > , T > 0. Więc w przedziale
< 0 ,0 0 ) , ciąg ten jest zbieżny do funkcji ciągłej 9 (?). Z nierówności ||9n — 9 m|| <
< z otrzymujemy w granicy gdy n -> +0 0: ||9 — 9m|| < e, skąd z własności normy j ||9|j — ||9m|| | < e, czyli ||9|j =¾ ||9m|| + e < + 0 0 . Ostatnia nierówność dowodzi, że zbiór B stanowi przestrzeń Banacha.
Oznaczmy przez U, podzbiór zbioru B, utworzony przez funkcję 9 (?) takie, że I9 (?)| < x exp (e A (?)), gdzie K y.’ ^ max (1; jcp01). Zbiór U jest niepusty ograniczony, wypukły i domknięty. Aby wykazać domkniętość zbioru U, weźmy ciąg funkcji 9, , 92, .. . , ze zbioru U, zbieżny do funkcji 9. Trzeba wykazać, że również 9 e U. W przeciwnym razie, istniałby punkt ?, taki, że I9 (?x)| > x exp
• (e A (?0). Z (6) wynika, że 9„(t) ^ 9 (?) dla ? e < 0 , ? !> , więc byłoby |9„(?0! >
< x exp (e A (?x)) dla n > N , co niemożliwe.
*) Równanie podobne do (1) (k (t) > t) rozpatruje A. Bielecki w pracy [2], Założenie podobne do (2) wprowadzono w [3].
Rozpatrzmy obecnie transformację ty (r) — T <p (t), określoną dla funkcji
Z jednostajnej zbieżności ciągu <p((r) do funkcji <p (t) w przedziale < 0 , T > wynika, że dla dowolnej liczby 8 > 0, istnieje liczba N taka, że dla n > N jest
(11) [{9n//, KO 5(9)/,)1(0] ^ ^ dla f e<c0, t , > . z (5) otrzymujemy
(12) ji7 {tpn}/,)fc(0 — ^ '{9}/,KO I < £s dla ? e < 0 , r , > ,
gdzie ss > 0 jest liczbą z góry daną. Z nierówności (10) otrzymujemy wniosek
t
IW O —+(01 < / l-F{9nkk(T)—^tekkC T) ! d-c < s r, dla t e < 0 , r ,> . Ó
Więc nie może być +„(ti) -/-> V (O - Przeciwnie W O ^ + (0 dla r e < 0 , r , > c C < 0 , 00). Ponadto |+ n( 0 — + (0 1 exP ( —e A (r) — Xr) < 2 x exp ( —Xr) < e, dla t > ti dostatecznie dużego, skąd ||+„ — +|| -> 0 gdy n -> + 00. Oznacza to,
że operacja (7) jest ciągła. Pokażemy jeszcze, że zbiór V jest zwarty.
Niech {+n(0}» « = 1 , 2 , ... , oznacza dowolny ciąg funkcji ze zbioru V . Obierzmy ciąg liczb T m, m — 1, 2 , ... taki, że lim T m = +0 0. Weźmy pod
m-^oc
uwagę przedział < 0 , 7",>. Gdy + ( 0 = T 9 (0 , 9 ( 0 e U i 0 cC t, <: t 2 < 7',, t0 !+n(0l ^ x exP (e A (7'1) + kT,) dla w = 1 ,2 , ,„ oraz r e < 0 , r , > . Ponadto
h
1+ ( O - + (O l < f [M ( 0 + M ( t ) K (max |7 (s)|)«] dt <
fl t<s<m
< [max (t) + N max A’ (r) x “ exp (e A (&* (7',)) +
r , < t < T , 0 </<r,
+ k r,)] (r2 — t,) = const (t2 — r , ) , gdzie k*(Tj) = max k (t).
o </< r.
Wykazaliśmy, że w przedziale < 0 , 7 \ > , funkcje zbioru F są wspólnie ogra
niczone i jednakowo ciągłe. Z twierdzenia Arzeli wynika, że istnieje podciąg {+„(0) ciągu {+„(0) zbieżny jednostajnie do pewnej funkcji +x(0 w przedziale
< 0 , 7 \ > takiej, że | +Ł(01 ^ x exP (e A (r)). Rozpatrzmy przedział < 0 , T2>
oraz ciąg funkcji { + 1 (z)} dla t e < 0 , T 2> . Podobnie jak wyżej można wykazać wspólną ograniczoność i równociągłość ciągu funkcji (+ x(0 ) dla t e < 0 , T 2> . Więc istnieje podciąg (+jj(0) ciągu (+ x(0 zbieżny jednostajnie do funkcji +* (r) dla t e < 0 , T 2> .
Powtarzając ostatnie rozumowanie, określamy rekurencyjnie nieskończony ciąg {+„(0 }> m ~ P 2 , . .. , będący podciągiem ciągu {+™~x(0} * +„ ( 0 + m( 0 d^a t e < 0 , T m> i n -> + c o . Utwórzmy ciąg przekątniowy + J ( 0s + |(0j ••• • Ciąg ten jest niemal jednostajnie zbieżny w przedziale < 0 ,0 0) do funkcji + (f) takiej, że t[/ (r) = +m(f) dla t e < 0 , T m> i + (t) e U. Obierzmy liczbę e > 0 i oznaczmy T e = X-1 In (4x/e). Wówczas
1 + ( 0 - + ^ ( 0 1 1 + ( 0 - + - ( 0 1 1 + ( 0 - + - ( 0 1
S/>? exP (e A ( 0 + k t) W < /< r, exp (e A (t) + X t) exp (e A (r) + X r ) '
Pierwszy ze składników prawej strony ostatniej nierówności można uczynić
< s/2 dla n > N ł, gdyż ^ 'v (0 dla f e < 0 , T t > . Do drugiego składnika można stosować oszacowanie
l ' K 0 - ^ ( 0 l 2x exp 0 A (t» 2x
s u p < s u p , . . — sup ~---= e/2 .
» T texp (eA (r) + U ) f>Te exp (e A (t) + >-0 exp ( X t )
Dowodzi to zwartości zbioru V. W ten sposób wykazaliśmy twierdzenie:
T w i e r d z e n i e . Załóżmy, że spełnione są warunki (2), (3), (4), (5) oraz obowiązują oznaczenia przyjęte we wstępie do tej pracy. Wówczas równanie różniczkowe (1) z warunkiem początkowym (2) posiada przynajmniej jedno roz
wiązanie 9 (r) e <J>Ó, oo takie, że 9 (t) < x exp (e A (t)).
LITER A TU R A
[1] A. B w e j i e u K H : 3 a x e r x a o upuMeuenuU Meroda E an aza — Kaunuorto/iu —- Tuxouoea e reopuu o6t>iKHogenHux ću<f)(fiepeHuuaAUbix ypaenenuu,
Buli. Acad. Polon. Sci, Tom IV, Nr. 5 (1956), s. 2 5 5-258.
[2] A. B ie le c k i: Równania różniczkowe i pewne ich uogólnienia (skrypt), Biuro kształcenia i do
skonalenia kadr naukowych, Warszawa 1961.
[3] A. B ie le c k i: Certaines conditions suffisantes pour l’existence d’une solution de l’equation
<p’(t) = f ( t , <p(r), 9(v(t))), Folia Soc. Scient. Lubliniensis 2 (1962), s. 70 —73.
[4] J. Bł aż: O istnieniu rozwiązań równań różniczkowych z przesuniętym argumentem, Praca doktorska przyjęta przez UM CS w 1962 r.
[5] T. D ł o t k o : Sur une methode de A . Bielecki appliąuee a l’equation (p’(t) = f ( t , tp(r), <f (/i(t))) h (t) r, Ann. Univ. Mariae Curie-Skłodowska, Sectio A, Vol. XV, w druku.
[6] T. D ł o t k o : O pewnym równaniu różniczkowym z opóźniającym się argumentem, praca umiesz
czona w niniejszym czasopiśmie, s. 63 — 72.
R f i S U M E
Nous admettons que F est une fonction defime pour les systemes des fonctions
9i ( s ) ,9n(s) continues pour s e < t, k ( t) > , oii k (t) designe une fonction donnee d ’avance. De plus F est continu dans le sens de H ausdorff et satisfait aux condi
tions (3), (4) et (5).
Alors il existe au moins une solution 9 ( t) de 1’eąuation (1) avec la condition (2). Cette solution appartient a la classe <!>' et (9 (t)| < x exp (e A (r)) pour t > 0.
Oddano do Redakcji 15. 7. 63 r.
ZESZYTY N A U K O W E WYŻSZEJ SZKOŁY PEDAG O G ICZNEJ W KATO W ICACH SEKCJA M A T E M A T Y K I, N R 4 (OG. ZB. N R 21) 1964
JAN BŁAŻ
O PEWNYM UKŁADZIE RÓW NAŃ RÓŻNICZKOWO-CAŁKOWYCH